1.2 菱形的性质与判定（九大题型）2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦菱形性质与判定，通过九类题型系统训练角度、线段、面积计算及判定证明，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |性质应用|9题|求角度、线段长、面积，结合中点、平移等综合条件|从菱形边、角、对角线性质出发，逐步关联三角形中位线、勾股定理等知识| |判定应用|6题|添条件判定菱形、证明四边形为菱形，涉及平行四边形基础|以菱形定义及判定定理为核心，构建"平行四边形→菱形"的推理链条| |性质与判定综合|9题|综合运用性质与判定求角度、线段、面积，含折叠、作图情境|融合性质应用与判定推理，形成"性质→判定→性质应用"的完整逻辑闭环|

1.2 菱形的性质与判定 题型一 利用菱形的性质求角度 1．如图1，千斤顶利用四边形的不稳定性可以达到“四两拨千斤”的效果，其基本形状是菱形（如图2），当千斤顶工作时，横杆与地面平行．若，则与地面的夹角为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：菱形中，，对角线平分， ， 与地面平行， 与地面的夹角为． 2．如图，是菱形的对角线，，点在的延长线上，则___________． 【答案】104 【分析】本题考查菱形的性质、平行线的性质，熟练掌握菱形的性质是解答的关键．先根据菱形的性质得到，，，再根据平行线的性质解答即可． 【详解】解：∵是菱形的对角线，， ∴，，， ∴，， ∴， 故答案为：． 3．如图，在中，分别是边，，的中点． (1)求证：四边形为菱形． (2)若，求的大小． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，三角形中位线定理，解题的关键是： （）由三角形中位线的性质可得，，即可得四边形为平行四边形，又由中点定义可得，即可求证； （2）先根据平行线的性质求出的度数，然后根据菱形的对角线平分每一组对角求解即可． 【详解】（1）证明：∵分别是的中点， ∴，，，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴． 题型二 利用菱形的性质求线段长 4．如图，菱形对角线，相交于点O．F为的中点，E为的中点．若，，则的长为（     ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，取的中点，连接，证明，，，为的中位线，再进一步求解即可. 【详解】解：如图，取的中点，连接， ∵菱形对角线，相交于点O，，， ∴，，， ∵F为的中点，E为的中点． ∴为的中位线，，， ∴，，， ∴， ∴. 5．如图，在菱形中，对角线，相交于点O，，，E是的中点，连接，则的长为_________． 【答案】 【分析】取的中点，连接，由菱形的性质可得，，利用勾股定理求出，判断是的中位线，得到，，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵点是的中点，点E是的中点， ∴，是的中位线， ∴，，， ∴， ∴． 6．如图，在矩形中，对角线交于点O，过点O作，交于点E，交于点F，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，求线段的长． 【答案】(1)证明： ∵四边形是矩形， 在 与 中， ， ， 又， ∴四边形为平行四边形， ∴是的垂直平分线， ∴四边形为菱形 (2) 【分析】（1）证明，得到四边形为平行四边形，结合线段中垂线的性质推出，进而证明； （2）根据计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：由(1)知， 即 解得 题型三 利用菱形的性质求面积 7．在菱形中，，则菱形的面积是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据菱形的面积计算公式计算即可． 【详解】解：． 8．如图，在菱形中，，，则菱形面积为______． 【答案】35 【详解】菱形面积为． 9．如图，在四边形中，是的中点，，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1) 证明：∵，， 四边形是平行四边形， 在中，，是的中点，则是斜边上的中线， ， 四边形是菱形； (2) 【分析】（1）先证得四边形是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，最后由菱形的判定定理求证即可； （2）连接，先证得四边形是平行四边形，得到，再由勾股定理求出，最后由菱形面积公式计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接，如图所示： ∵四边形是菱形， ∴， ， ， c， 四边形是平行四边形， ， 在中，，， ∴， 菱形的面积为． 题型四 利用菱形的性质证明 10．矩形具有而菱形不具有的性质是（   ） A．对边平行且相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角线相等 【答案】D 【分析】本题主要考查矩形和菱形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．根据矩形和菱形性质定理进行判断即可． 【详解】解：A．对边平行且相等，矩形和菱形均具有，故不符合题意； B．对角线互相平分，矩形和菱形均具有，故不符合题意； C．对角线互相垂直，矩形不具有，菱形具有，故不符合题意； D．对角线相等，矩形具有而菱形不具有，故符合题意． 故选：D． 11．如图，菱形的对角线交于点O，点M为的中点，连接．若，则的长为_____． 【答案】4 【分析】此题重点考查菱形的性质、三角形的中位线定理等知识，证明是的中位线是解题的关键．由菱形的性质得，而点M为的中点，则是的中位线，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是菱形，对角线、交于点O， ． 点O为的中点． 点M为的中点， 是的中位线． ， ． 故答案为：4． 12．如图，在菱形 中， ， ，垂足分别为 ， ，连接 ． (1)求证： ； (2)连接 ，求证：． 【答案】(1)证明：∵四边形是菱形， ∴，． ∵，， ∴， ∴， ∴； (2)证明：∵四边形是菱形， ， ， ， ∴， 又∵， ∴垂直平分，即． 【分析】（1）利用证明，即可得到 ； （2）证明和，可得到 垂直平分，即可得到． 【详解】（1）略 （2）略 题型五 添一个条件使四边形是菱形 13．如图，在中，对角线相交于点O，，添加下列条件，能判定为菱形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴当或时，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，能判定为菱形． 观察四个选项，只有选项C符合题意． 14．如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，从①；②；③中选择一个作为条件，补充后使四边形是菱形，则应选择_____（限填序号）． 【答案】①③或③① 【分析】本题主要考查了菱形的判定定理，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，据此可得到答案． 【详解】解：添加条件①时， ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形，故①符合题意； 添加条件②时， ∵四边形是平行四边形，， ∴不能得到四边形是菱形，故②不符合题意； 添加条件③时， ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形，故③符合题意； 故答案为：①③． 15．如图，在四边形中，，相交于点O，，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)请添加一个条件，使四边形为菱形．（不需要说明理由） 【答案】(1) 证明：， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形． (2)或（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定： （1）利用证得，进而可得，进而可求证结论； （2）根据菱形的判定定理，增加一个条件即可； 熟练掌握平行四边形的判定定理和菱形的判定定理是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：添加的条件为：， 由（1）得：四边形是平行四边形， 是菱形． 添加的条件为：， 由（1）得：四边形是平行四边形， 是菱形． 题型六 证明四边形是菱形 16．如图，这是一个由7根长度相等的木棒拼成的图形．若再将2根长度一样的木棒与已知图形拼接在一起，并使所得到的图形有且只有3个菱形，则拼接方法共有（   ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】D 【分析】本题考查了图形的剪拼以及菱形的判定．根据菱形的性质，找出各种拼接法，此题得解． 【详解】解：共有5种拼接法，如图所示． 故选：D． 17．如图，菱形 边长为，，将菱形 沿方向平移得到菱形， 交于点，则重叠部分的面积与菱形 的面积之比为________． 【答案】 【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算出和的长，然后即可计算出重叠部分的面积，再计算出菱形 的面积即可得出结论． 【详解】解：连接， ，和 交于点O，连接交于点O，交于点F，如图所示， ， ∵菱形 的边长为，， ∴，， ， ∴ 是等边三角形， ， ∴， ∴， ∴菱形 的面积， ∵ ， ∴， 由平移的性质得：，，， ∴四边形是平行四边形，且， ∴四边形是菱形， ∴，， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴ ， ∴重叠部分的面积为：， ∴重叠部分的面积与菱形 的面积之比为 ． 18．如图1，为的边上一点，连接，，使，过点作，交延长线于点，连接． (1)求证：； (2)如图2，连接，交于点，再连接．若，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)证明：， ，， ， ， ，， ， ，， ， ， 在和中， ， ， (2)证明：，即， 四边形是平行四边形， ，， ， ，， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 由（1）知， ，， ， ， 四边形是菱形． 【分析】（1）根据平行线的性质可得，，，进而根据结合平行四边形的性质可得，，证明，进而证明； （2）先证明四边形是平行四边形，进而证明，即可证明四边形是菱形． 【详解】（1）略 （2）略 题型七 根据菱形的性质与判定求角度 19．如图，在中，与交于点，点为中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了菱形的性质和判定，等角对等边等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 根据等角对等边和中点的概念得到，然后求出，证明出是菱形，然后利用菱形的性质求解即可． 【详解】∵ ∴ ∵点为中点 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴是菱形， ∴ 故选：D． 20．按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交于点；③分别以点和点为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点；④连接．若，则的度数是____________． 【答案】70 【分析】本题考查了作线段，菱形的性质与判定，根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：根据作图可得， ∴四边形是菱形，则， 又∵， ， 故答案为70． 21．在菱形中，与相交于点O，E为的中点，且，．    (1)求的度数； (2)求菱形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据E为的中点，且，得到，结合菱形性质得到，从而得到是等边三角形，即可得到的度数； （2）根据是等边三角形结合勾股定理求出直接求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵E为的中点，且， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （2）解：∵，E为的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴． 题型八 根据菱形的性质与判定求线段长 22．如图．在平行四边形中，用直尺和圆规作出的平分线，交于点F，若，则长为（   ） A．11 B．12 C．14 D．21 【答案】C 【分析】本题考查菱形的判定和性质，勾股定理，连接，证明四边形为菱形，根据菱形的性质结合勾股定理进行求解即可． 【详解】解：连接，设交于点， ∵平行四边形， ∴， ∴， ∵用直尺和圆规作出的平分线， ∴， ∴， ∴， 由作图可知：， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴，， ∴， ∴； 故选C． 23．如图，在中，，，，、分别为和的平分线，相交于点，与边、分别交于点、，将四边形沿折叠，使点恰好与点重合，对应点为，则折痕的长为________． 【答案】 【分析】如图，过点作于点，过点作于点，连接交于点，交于点．解直角三角形求出，，，再利用相似三角形的性质求解． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，连接交于点，交于点． 四边形是平行四边形， ，，，， 平分， ， ， 同法可证， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 根据折叠可得， ， ，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 24．如图，在中，，为中点，为中点，过点作交延长线于点，连接． (1)证明：四边形为菱形； (2)与相交于点，若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）先证明和全等得，根据可判定四边形是平行四边形，再根据直角三角形斜边中线性质得，据此即可得出结论； （2）连接交于点H，根据菱形性质得，，进而得，在中，由勾股定理得，继而得，再证明是的中位线得，然后证明和相似，利用相似三角形的性质即可得出的长． 【详解】（1）证明：， ， 点为中点， ， 在和中， ， ， ， 点为中点， ， ， 又， 四边形是平行四边形， 在中，，点为中点， ， 平行四边形是菱形； （2）解：连接交于点，如图所示： 由（1）可知：四边形是菱形， ， ， ， 点为中点， ， 在中，， 由勾股定理得：， ， 点为中点，为的中点， 是的中位线， ，， ， ， ， ， 设， ， 解得：， ． 题型九 根据菱形的性质与判定求面积 25．某同学按如下步骤作四边形：（1）画；（2）以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点B，D；（3）分别以点B，D为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；（4）连接，，．若，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】该题考查了尺规作图作线段，菱形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点．连接，交于点，由作图过程可知四边形为菱形，得出，，，勾股定理求出，得出，即可求解． 【详解】解：连接，交于点， 由作图过程可知，， ∴四边形为菱形， ∴，，， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴四边形的面积为， 故选：D． 26．如图，在四边形中，、、、分别是边、、、的中点，若，且 ，则四边形的面积为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质、菱形的面积公式、三角形的中位线定理，根据中位线定理可证，根据四条边都相等的四边形是菱形可证四边形是菱形，根据菱形的面积公式即可求出四边形的面积． 【详解】解：、、、分别是边、、、的中点， 、、、分别是、、、的中位线， ，， ， ， 四边形是菱形， ， ． 故答案为：． 27．如图，在四边形中，对角线交于点O，． (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1) 证明：在和中， ∵， ∴， ∴； (2) 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质： （1）证明，即可求证； （2）先证明四边形是菱形，再根据勾股定理可得，然后根据菱形的面积公式计算，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴四边形的面积为． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2 菱形的性质与判定 题型一 利用菱形的性质求角度 1．如图1，千斤顶利用四边形的不稳定性可以达到“四两拨千斤”的效果，其基本形状是菱形（如图2），当千斤顶工作时，横杆与地面平行．若，则与地面的夹角为（     ） A． B． C． D． 2．如图，是菱形的对角线，，点在的延长线上，则___________． 3．如图，在中，分别是边，，的中点． (1)求证：四边形为菱形． (2)若，求的大小． 题型二 利用菱形的性质求线段长 4．如图，菱形对角线，相交于点O．F为的中点，E为的中点．若，，则的长为（     ） A．5 B． C． D． 5．如图，在菱形中，对角线，相交于点O，，，E是的中点，连接，则的长为_________． 6．如图，在矩形中，对角线交于点O，过点O作，交于点E，交于点F，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，求线段的长． 题型三 利用菱形的性质求面积 7．在菱形中，，则菱形的面积是（     ）． A． B． C． D． 8．如图，在菱形中，，，则菱形面积为______． 9．如图，在四边形中，是的中点，，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 题型四 利用菱形的性质证明 10．矩形具有而菱形不具有的性质是（   ） A．对边平行且相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角线相等 11．如图，菱形的对角线交于点O，点M为的中点，连接．若，则的长为_____． 12．如图，在菱形 中， ， ，垂足分别为 ， ，连接 ． (1)求证： ； (2)连接 ，求证：． 题型五 添一个条件使四边形是菱形 13．如图，在中，对角线相交于点O，，添加下列条件，能判定为菱形的是（     ） A． B． C． D． 14．如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，从①；②；③中选择一个作为条件，补充后使四边形是菱形，则应选择_____（限填序号）． 15．如图，在四边形中，，相交于点O，，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)请添加一个条件，使四边形为菱形．（不需要说明理由） 题型六 证明四边形是菱形 16．如图，这是一个由7根长度相等的木棒拼成的图形．若再将2根长度一样的木棒与已知图形拼接在一起，并使所得到的图形有且只有3个菱形，则拼接方法共有（   ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 17．如图，菱形 边长为，，将菱形 沿方向平移得到菱形， 交于点，则重叠部分的面积与菱形 的面积之比为________． 18．如图1，为的边上一点，连接，，使，过点作，交延长线于点，连接． (1)求证：； (2)如图2，连接，交于点，再连接．若，求证：四边形是菱形． 题型七 根据菱形的性质与判定求角度 19．如图，在中，与交于点，点为中点，若，则（    ） A． B． C． D． 20．按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交于点；③分别以点和点为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点；④连接．若，则的度数是____________． 21．在菱形中，与相交于点O，E为的中点，且，．    (1)求的度数； (2)求菱形的面积． 题型八 根据菱形的性质与判定求线段长 22．如图．在平行四边形中，用直尺和圆规作出的平分线，交于点F，若，则长为（   ） A．11 B．12 C．14 D．21 23．如图，在中，，，，、分别为和的平分线，相交于点，与边、分别交于点、，将四边形沿折叠，使点恰好与点重合，对应点为，则折痕的长为________． 24．如图，在中，，为中点，为中点，过点作交延长线于点，连接． (1)证明：四边形为菱形； (2)与相交于点，若，，求的长． 题型九 根据菱形的性质与判定求面积 25．某同学按如下步骤作四边形：（1）画；（2）以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点B，D；（3）分别以点B，D为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；（4）连接，，．若，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 26．如图，在四边形中，、、、分别是边、、、的中点，若，且 ，则四边形的面积为________． 27．如图，在四边形中，对角线交于点O，． (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $