精品解析：四川省双流棠湖中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷

四川省棠湖中学2025-2026学年度高2025级高一上期中考试 数学学科试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 命题团队：刘元信 李毅梅 王秀从 一.单选题.（40分） 1. 集合，集合，下面说法正确的是（ ） A. 两个集合的交集是 B. 两个集合没有并集 C. B集合的元素无法用这种形式表示出来 D. 集合A有6个子集 2. 努力学习不一定能够成功，不努力学习一定不会成功，在这句话中，努力学习是成功的什么条件？（ ） A. 充分必要 B. 充分不必要 C. 必要不充分 D. 既不充分也不必要 3. 已知命题：，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 若，且则的最小值为（ ） A. 20 B. 12 C. 16 D. 25 6. 设函数，．用表示，中的较大者，记为，则的最小值是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 7. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 8. 已知若，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二.多选题.（共18分）（全选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分） 9. 下列属于集合专用数学符号的是（ ） A. ∈ B. ∪ C. ∩ D. > 10. 已知实数a，b满足，，下面说法正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 定义域为的函数满足，且为偶函数，当时，，函数 且的图象与的图象有个交点，记为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在内单调递减 C. D. 三.填空题.（15分） 12. 请写出集合的一个特性：_____ 13. 请描述什么是奇函数：___________________________；并判断：是奇函数吗？_____________（直接写‘是”或者“否”） 14. 数学的一些概念我们往往可以用生活中发生的故事来理解： 近期，某校校园论坛发生了一起网暴事件，请根据下面五个事实来完成以下题目： p： 蔡宇杰在朋友圈发了“独来独往的生活也很舒服”. q： 宋某将该朋友圈截图发至校园论坛. r： 宋某在帖子中附带蔡宇杰的照片并用特别恶毒的语言辱骂蔡宇杰. s： 论坛出现针对蔡宇杰的网络暴力. t： 宋某称自己“只是转发内容，没有鼓励网暴”. 经警方调查，确认 p、q、r、s 均为事实，t 是宋某的单方面辩解.在对应空格中填上“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”或“既不充分也不必要条件”： （i）q 是 s 的________. （ii）r 是 s 的________. （iii）“宋某未直接辱骂”是“宋某无需承担责任”的________. 四．解答题.（77分） 15. 在集合问题中，韦恩图（Venn图）是一种直观表示集合之间关系的工具．通常用矩形表示全集，用圆或封闭曲线表示集合，重叠部分表示交集．现在请用韦恩图解决以下问题： （1）（i）假设有两个集合和，用韦恩图表示和两个部分； （ii）某班50人中，喜欢数学的有30人，喜欢物理的有25人，两科都喜欢的有10人．请画出韦恩图并求出两科都不喜欢的人数； （2）用韦恩图说明这个结论成立：，并思考韦恩图能不能用于严格证明这个结论．如果能，说明理由；如果不能，请用其他方法严格证明，并说明韦恩图用于证明这个的局限性． 16. 讨论关于的不等式的解集 17. 已知下面五个函数： （1）请分别写出 的定义域 （2）请判断下列各组是否表示同一个函数，请说明理由：（如果只有结论没有理由的将作0分处理） （i）和 （ii）和 （iii）和 （iv）和 18. 已知定义在R上的函数，满足以下三个条件： （i）对于任意； （ii）对于任意； （iii）. （1）判断关于哪条直线对称？ （2）证明：是以8为周期的周期函数 （3）（i）能否计算出？如果能计算出，请计算出对应的值；否则请说明理由. （ii）由前两个条件，能否推出关于对称? 19. 在高中数学中，我们学习了区间，集合，函数定义域等概念．下面介绍几个在高等数学中常用的概念，它们可以帮助我们更精细地描述集合的性质． 定义1（上确界）：设是一个非空实数集合，如果存在一个实数，使得： ·对于任意，都有 ·对任意，都存在，使得，则称为集合的上确界，记作 定义2（邻域）：对于实数和，则称开区间为点的一个邻域 定义3（孤立点）：设是一个实数集合，，如果存在一个，使得：，即点的某个邻域除了本身以外不含的其它点，则称是集合的一个孤立点． （1）求集合的上确界，请写出理由． （2）根据孤立点的定义，求出集合的所有孤立点，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省棠湖中学2025-2026学年度高2025级高一上期中考试 数学学科试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 命题团队：刘元信 李毅梅 王秀从 一.单选题.（40分） 1. 集合，集合，下面说法正确的是（ ） A. 两个集合的交集是 B. 两个集合没有并集 C. B集合的元素无法用这种形式表示出来 D. 集合A有6个子集 【答案】A 【解析】 【详解】，故A正确； ，故B错误； 集合可以表示为，其中， 即集合可描述为形式，故C错误； 集合A有6个元素，子集总数为，故D错误． 2. 努力学习不一定能够成功，不努力学习一定不会成功，在这句话中，努力学习是成功的什么条件？（ ） A. 充分必要 B. 充分不必要 C. 必要不充分 D. 既不充分也不必要 【答案】C 【解析】 【详解】“努力学习不一定能够成功”，则“努力学习”不能推出“成功”，不满足充分性， “不努力学习一定不会成功”则“不努力学习”能推出“不成功”， 其逆否命题“成功”能推出“努力学习”，满足必要性， 故“努力学习”是“成功”的必要不充分条件． 3. 已知命题：，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】全称量词命题的否定是特称量词命题，把任意改为存在，把结论否定. 【详解】命题的否定为，. 故选：A 4. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，取判断A；对于B，D取特殊值进行验证判断BD；对于C，利用不等式性质进行判断. 【详解】对于A，若，当时，，此时，故A错误； 对于B，若，取，此时，则，故B错误； 对于C，若，不等式两边同时乘以，则， 对，不等式两边同时乘以，则，所以，故C正确； 对于D，若，取，此时，则，故D错误， 故选：C. 5. 若，且则的最小值为（ ） A. 20 B. 12 C. 16 D. 25 【答案】D 【解析】 【分析】由乘“1”法即可求解. 【详解】由条件可知： 所以， 当且仅当，即取得等号， 所以的最小值为25， 故选：D 6. 设函数，．用表示，中的较大者，记为，则的最小值是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数的性质，结合图象即可求解. 【详解】解：令，解得或， 则， 当或时，， 当时，函数没有最小值， 综上：函数的最小值为1， 故选：B． 7. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抽象函数和具体函数定义域的求法，列不等式求解可得. 【详解】因为函数的定义域为， 所以，解得， 根据解析式有意义可知，即， 综上，. 所以函数的定义域为. 故选：A． 8. 已知若，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画出函数图象，结合对称性，数形结合得到，，，求出，得到答案. 【详解】画出的图象，如下， 设，则， 令，解得或0， 因为的对称轴为，由对称性可得， 且， 其中， 因为，所以， 故， 又，故， . 故选：A 二.多选题.（共18分）（全选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分） 9. 下列属于集合专用数学符号的是（ ） A. ∈ B. ∪ C. ∩ D. > 【答案】ABC 【解析】 【详解】对于A，∈是属于符号，代表元素与集合的关系，集合专用符号，故A正确； 对于B，∪是并集符号，集合运算专用符号，故B正确； 对于C，∩是交集符号，集合运算专用符号，故C正确； 对于D，>是大于号，是不等式符号，不属于集合符号，故D错误. 10. 已知实数a，b满足，，下面说法正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用不等式的性质即可判断. 【详解】对于A， ，即 ，故A正确； 对于B，由 ，得 ， 所以，即 ，故B正确； 对于C，当 时，得 ， 所以 ，即 ， 所以 ；当 时， ； 当 时，得 ，所以 . 综上可得， ，故C错误； 对于D，当 时，得 ，所以 ， 即 ，所以 ；当 时， ； 当 时，得 ，所以 . 综上可得， ，故D正确. 11. 定义域为的函数满足，且为偶函数，当时，，函数 且的图象与的图象有个交点，记为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在内单调递减 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意知，可得函数关于点对称，又为偶函数可得函数为周期是的周期函数，于是可求，并验证关于直线对称，即可判断A,C;对于C，利用的解析式，可直接判断其单调性；对于D，通过分析判断与均关于点对称，结合两函数的单调性和对称性推出两者在区间上有2020个交点，利用对称性即可求和验证. 【详解】 由得的图象关于点对称， 由为偶函数得的图象关于直线对称， 则为周期函数，周期为，如图作出在上的图象. 对于A， ，故A正确； 对于B，，因函数在内单调递增， 则在内单调递增，故B错误； 对于C，由图知关于直线对称，则，故C正确； 对于D，由，可得的图象关于点对称， 而的图象也关于点对称， 计算得与在区间上有个交点， 从左向右依次为，， 则， 故，故D正确． 故选：ACD． 三.填空题.（15分） 12. 请写出集合的一个特性：_____ 【答案】确定性，互异性，无序性（三个中任填一个） 【解析】 【分析】根据集合的性质求解. 【详解】集合中元素具有确定性，互异性，无序性. 故答案为：确定性，互异性，无序性（三个中任填一个） 13. 请描述什么是奇函数：___________________________；并判断：是奇函数吗？_____________（直接写‘是”或者“否”） 【答案】 ①. 若函数的定义域关于原点对称，且对定义域内任意的都有，则为奇函数. ②. 是 【解析】 【分析】利用奇函数的定义可得结果. 【详解】若函数的定义域关于原点对称，且对定义域内任意的都有，则为奇函数. 因为，表示奇数集，故函数的定义域关于原点对称. 对任意定义域内的，都有， 所以是奇函数. 14. 数学的一些概念我们往往可以用生活中发生的故事来理解： 近期，某校校园论坛发生了一起网暴事件，请根据下面五个事实来完成以下题目： p： 蔡宇杰在朋友圈发了“独来独往的生活也很舒服”. q： 宋某将该朋友圈截图发至校园论坛. r： 宋某在帖子中附带蔡宇杰的照片并用特别恶毒的语言辱骂蔡宇杰. s： 论坛出现针对蔡宇杰的网络暴力. t： 宋某称自己“只是转发内容，没有鼓励网暴”. 经警方调查，确认 p、q、r、s 均为事实，t 是宋某的单方面辩解.在对应空格中填上“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”或“既不充分也不必要条件”： （i）q 是 s 的________. （ii）r 是 s 的________. （iii）“宋某未直接辱骂”是“宋某无需承担责任”的________. 【答案】 ①. 必要不充分条件 ②. 充分不必要条件 ③. 必要不充分条件 【解析】 【分析】利用充分条件和必要条件的定义逐项判断即可. 【详解】（i）在本题的情境中，网络暴力是截图加上恶毒的语言辱骂共同作用的结果，因此q 是 s 的不充分条件； 网络暴力是在校园论坛上发生的，其起因是宋某将蔡宇杰的朋友圈内容截图和转发行为，如果没有宋某的这一行为，该事件就不会发生，故q 是 s 的必要条件， 故q 是 s 的必要不充分条件； （ii）宋某在帖子中附带蔡宇杰的照片并用特别恶毒的语言辱骂蔡宇杰，这必然导致论坛出现针对蔡宇杰的网络暴力，所以r 是 s 的充分条件， 但网络暴力的产生不一定是由宋某的这一行为发生的，可能是其他人的行为发生的，所以r 是 s 的不必要条件， 故r 是 s 的充分不必要条件； （iii）宋某不直接辱骂，他有其他违法行为仍需承担责任，所以“宋某未直接辱骂”是“宋某无需承担责任”的不充分条件， 若宋某直接辱骂了，他显然是需承担责任的，所以“宋某未直接辱骂”是“宋某无需承担责任”的必要条件， 故“宋某未直接辱骂”是“宋某无需承担责任”的必要不充分条件. 四．解答题.（77分） 15. 在集合问题中，韦恩图（Venn图）是一种直观表示集合之间关系的工具．通常用矩形表示全集，用圆或封闭曲线表示集合，重叠部分表示交集．现在请用韦恩图解决以下问题： （1）（i）假设有两个集合和，用韦恩图表示和两个部分； （ii）某班50人中，喜欢数学的有30人，喜欢物理的有25人，两科都喜欢的有10人．请画出韦恩图并求出两科都不喜欢的人数； （2）用韦恩图说明这个结论成立：，并思考韦恩图能不能用于严格证明这个结论．如果能，说明理由；如果不能，请用其他方法严格证明，并说明韦恩图用于证明这个的局限性． 【答案】（1）（i） （ii） ，两科都不喜欢的人数为5人 （2） 显然，根据以上和的韦恩图可得到结论成立． 但韦恩图不能用于严格证明这个结论． 先证：， 任取，则，且， 由，得，或， 若，且，则，所以； 若，且，则，所以， 因此． 再证：， 任取，则，或， 若，则，且，所以，且，故； 若，则，且，所以，且，故， 因此． 综上，． 韦恩图用于证明这个的局限性：韦恩图只能展示有限集合位置的情况（比如以上和的韦恩图只是展示了，，两两相交的情况），无法覆盖所有可能的集合关系（比如，，或，，两两不相交的情况等情况），直接观察不能用于严格证明． 16. 讨论关于的不等式的解集 【答案】1.当时，不等式化为. （1）当时，不等式解集为：； （2）当时，不等式解集为：； 2.当时，不等式化为：. （1）当时，不等式解集为; （2）当时，不等式解集为; 3.当时，设不等式对应方程两根. （1）当时，，不等式解集为：或； （2）当时，，不等式解集为：； 4.当时，不等式对应方程的根为. （1）当时，不等式解集为：或； （2）当时，不等式解集为：； 5.当时，不等式对应方程无解. （1）当时，不等式解集为：R； （2）当时，不等式解集为：. 17. 已知下面五个函数： （1）请分别写出 的定义域 （2）请判断下列各组是否表示同一个函数，请说明理由：（如果只有结论没有理由的将作0分处理） （i）和 （ii）和 （iii）和 （iv）和 【答案】（1）的定义域为；的定义域为；的定义域为且；的定义域为；的定义域为. （2）（i）和不是同一个函数，理由：因为的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不同，所以和不是同一个函数； （ii）和是同一个函数，理由：因为的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域相同，且对应法则均为，所以和是同一个函数； （iii）和不是同一个函数，理由：因为的定义域为且，的定义域为，两个函数的定义域不同，所以和不是同一个函数；； （iv）和是同一个函数，理由：因为的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域相同，且对应法则均为，所以和是同一个函数. 【解析】 【分析】（1）根据分式分母不为0、二次根式被开方数非负的限制条件，逐个求出每个函数自变量的范围，对多个式子成立的取范围的交集即为定义域. （2）判断两个函数是否为同一个函数，需同时对比定义域和对应法则，二者完全一致才是同一函数，任一不同则不是，逐项进行判断即可. 【小问1详解】 对于函数，因为分式函数的定义域需满足分母不为0， 则，解得，故的定义域为； 对于函数，一次函数的定义域为全体实数，的定义域为； 对于函数，根号下的表达式需非负，且中分母不为0，则中， 中分母，解得， 综上得且，故的定义域为且； 对于函数，故的定义域为； 对于函数，一次函数的定义域为全体实数，故的定义域为. 【小问2详解】 略 18. 已知定义在R上的函数，满足以下三个条件： （i）对于任意； （ii）对于任意； （iii）. （1）判断关于哪条直线对称？ （2）证明：是以8为周期的周期函数 （3）（i）能否计算出？如果能计算出，请计算出对应的值；否则请说明理由. （ii）由前两个条件，能否推出关于对称? 【答案】（1）关于对称； （2）因，则，即对任意，， 故是以为周期的周期函数； （3）（i）由可得，又，故， 由可得，故， 由可得，故， （ii）可以. 【解析】 【分析】（1）由函数对称性定义结合题设可完成判断； （2）由题可得，据此可完成证明； （3）（i）由函数轴对称性，周期性结合题设可得答案； （ii）由函数轴对称性，中心对称性，周期性三者关系结合题设可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 （i）对于，由，令，得; 对于，由，令，得； 对于，由，令，得； （ii）可以，理由如下： 对于任意，可得对于任意，. 由对于任意，可得对于任意，. 从而，即关于对称. 19. 在高中数学中，我们学习了区间，集合，函数定义域等概念．下面介绍几个在高等数学中常用的概念，它们可以帮助我们更精细地描述集合的性质． 定义1（上确界）：设是一个非空实数集合，如果存在一个实数，使得： ·对于任意，都有 ·对任意，都存在，使得，则称为集合的上确界，记作 定义2（邻域）：对于实数和，则称开区间为点的一个邻域 定义3（孤立点）：设是一个实数集合，，如果存在一个，使得：，即点的某个邻域除了本身以外不含的其它点，则称是集合的一个孤立点． （1）求集合的上确界，请写出理由． （2）根据孤立点的定义，求出集合的所有孤立点，并说明理由． 【答案】（1）对任意，都有，即， 又对任意，取，则，且， 所以是集合的上确界． （2）对于点， 由，取，则的邻域是， 又， 即的邻域除了本身以外不含的其它点，即是集合的孤立点； 对于点， 由，对任意，则的邻域是， 令，显然， 又，则， 所以，且， 即的一个邻域除了本身以外还含中的，即不是集合的孤立点； 对于点， 由，对任意，则的邻域是， 令，显然， 又，则， 所以，且， 即的一个邻域除了本身以外还含中的，即不是集合的孤立点； 对于， 由，对任意，则的邻域是， 取，显然， 令，则，则， 又，则， 所以，且， 即的一个邻域除了本身以外还含中，即不是集合的孤立点． 综上，只有是集合的孤立点． 【解析】 【分析】（1）先找出集合的上确界，根据上确界的定义证明即可； （2）分点，点，点及区间中的点四种情况，再结合邻域，孤立点的定义逐一判断是否为孤立点即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $