专题09 三角形（5年汇编）（安徽专用）2022-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 聚焦三角形三大高频考点，汇编2022-2026年安徽中考真题及模拟题，结合考情分析与命题规律，适配中考复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|约18题|三角形计算（内角和、勾股定理）、全等（SSS/SAS）、相似（AA判定）|2023真题融入梅文鼎证明考查几何计算，2026模拟题结合动态图形探究最值| |解答题|5题|几何综合（折叠、旋转）、函数与相似结合|2026合肥二模题融合中线、垂直条件，2025阜阳三模题关联正方形与全等证明，体现真题命题趋势|

专题09 三角形 5年真题1年模拟 考点分类 安徽考情（2022-2026） 命题规律 考点01三角形相关计算 2026 2025 2024 2023 2022 2022 高频必考。常结合三角形内角和、三边关系、勾股定理、等腰 / 直角三角形性质出题；选择、填空均会出现，常作为几何综合题基础载体，注重线段长度、角度计算。 考点02 全等三角形 2026 2025 2024 2023 以证明线段相等、角相等为主，熟练考查 SSS、SAS、ASA、AAS、HL；常搭配平行线、角平分线、垂直条件，2022 年未独立考查。 考点03 相似三角形 2026 2024 2023 2022 重难点，间隔考查。侧重相似判定（AA 为主）、相似比、周长与面积比；经常和直角三角形、函数、实际应用题结合。 考点01 三角形相关计算 1．（2026·安徽·中考真题）两个直角三角板如图摆放，其中，，，，边分别与，相交于点，．若，则（     ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽·中考真题）如图，在中，，，边的中点为D，边上的点E满足．若，则的长是（   ） A． B．6 C． D．3 3．（2024·安徽·中考真题）如图，在中，，点在的延长线上，且，则的长是（    ）    A． B． C． D． 4．（2023·安徽·中考真题）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，是锐角的高，则．当，时，____．    5．（2022·安徽·中考真题）两个矩形的位置如图所示，若，则（    ） A． B． C． D． 6．（2022·安徽·中考真题）已知点O是边长为6的等边△ABC的中心，点P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面积分别记为，，，．若，则线段OP长的最小值是（    ） A． B． C． D． 考点02 全等三角形 1．（2026·安徽·中考真题）如图，点，分别为等腰直角与等腰直角的直角顶点，且点在边上．，垂足为．边的中点为，线段，分别交于点，，连接，．若，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽·中考真题）如图，在四边形中，，，，，点为边上的动点．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，，则下列结论错误的是（   ） A．的最大值是 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最大值是 3．（2024·安徽·中考真题）在凸五边形中，，，F是的中点．下列条件中，不能推出与一定垂直的是（    ） A． B． C． D． 4．（2023·安徽·中考真题）如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点分别是的中点．若，则下列结论错误的是（   ）    A．的最小值为 B．的最小值为 C．周长的最小值为6 D．四边形面积的最小值为 考点03相似三角形 1．（2026·安徽·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数（）的图象分别与轴和轴交于点和，与反比例函数（）在第一象限内的图象交于点．若，，则（     ） A． B． C． D． 2．（2024·安徽·中考真题）如图，在中，，，，是边上的高．点E，F分别在边，上（不与端点重合），且．设，四边形的面积为y，则y关于x的函数图象为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·安徽·中考真题）如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（   ）    A． B． C． D． 4．（2022·安徽·中考真题）如图，四边形ABCD是正方形，点E在边AD上，△BEF是以E为直角顶点的等腰直角三角形，EF，BF分别交CD于点M，N，过点F作AD的垂线交AD的延长线于点G．连接DF，请完成下列问题： （1）________°； （2）若，，则________． 一、单选题 1．（2026·安徽芜湖·三模）如图，在中，，，中点为D，上点E满足，若，则的长为（     ） A． B．12 C． D．4 2．（2026·安徽安庆·一模）如图，在中，，平分交于点D，，垂足为E．若，，则的周长为（     ） A．12 B．10 C．9 D．8 3．（2026·安徽阜阳·三模）一副直角三角板如图摆放，其中，，，若点是上一点，且，则的大小为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·安徽马鞍山·三模）如图，在等边中，是边上的一点，且满足，于点，于点．若，则的长是（     ） A． B． C．3 D． 5．（2026·安徽合肥·二模）如图，在中，平分交于点D，交于点E ．若，，则的长为（   ） A． B．4 C． D．5 6．（2026·安徽滁州·三模）如图，在中，由尺规作图得射线，与边相交于点，过作， ，垂足分别是点，，其中，，则的长为（     ） A． B． C． D． 7．（2026·安徽合肥·三模）如图，在中，若，的平分线与边的垂直平分线相交于点，交的延长线于点，于点．下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 8．（2025·安徽阜阳·三模）如图，在中，与相交于点Q，点Q是的重心，D是的中点，与相交于点P．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 9．（2025·安徽阜阳·二模）的两条角平分线相交于交于F．则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 10．（2026·安徽蚌埠·三模）将和按如图所示的位置摆放，，，则下列说法一定正确的是（     ） A． B． C． D． 11．（2026·安徽马鞍山·三模）如图，在中，，，过点作交于点，取的中点，连接，则的长为（     ） A． B． C． D． 12．（2026·安徽·二模）如图，在中，点D在边上，，，，边，的中点分别为，，则的长为（     ） A． B． C． D． 13．（2026·安徽·二模）如图的等边中，点，分别在边，上移动，且满足与外心三点共线，将沿直线折叠，与交于点，，连接，，则下列为定值的是（     ） A．与的比值 B．四边形的周长 C．四边形的面积 D．与的角度和 14．（2026·安徽合肥·二模）已知，在△中，是边上的点（不与点，重合）．过点作交于点，过点作交于点，是线段上的点，，是线段上的点，．若△的面积为定值，则下列三角形的面积也为定值的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 15．（2026·安徽宣城·二模）如图，D，E分别是边，的中点，连接，．若，则的长为_______． 16．（2026·安徽阜阳·三模）如图，在中，，，点O为的中点，点E为射线上一点，连接，若， （1）的长是______； （2）是的角平分线，射线与射线交于点F，则的长是______． 17．（2026·安徽·二模）有一组角互补，另一组角相等，且相等的两个角的对边也相等的两个三角形称为“和合”三角形．例如，在与中，若，，，则与是“和合”三角形．如图所示，D是等边三角形的边上的一动点，E在的延长线上，，连接交于点F，连接． （1）若，则_________； （2）若与是“和合”三角形，则的值为_________． 18．（2026·安徽淮南·一模）三个整数的和是17，那么这三个整数能够构成三角形的情况分析．设这三个整数分别为，，，且满足，显然，，所以，当时，，，为整数，所以 （1）①，②； （2）满足条件的，，共有③对． ①______，②______，③______． 三、解答题 19．（2026·安徽合肥·二模）如图1，在中，，是的中线，在上取点E，连接，，且． (1)若． ①求的长； ②求的面积； (2)如图2，延长交于点F，求的值． 20．（2026·安徽阜阳·三模）正方形和正方形的位置如图所示，点E在上，交于点M，延长交于点P，于点N，连接． (1)求证：； (2)求的度数； (3)若，求的值． 21．（2026·安徽·二模）如图1，在矩形中，点M在上，连接，垂直平分分别交，于点E，F，点A与点N关于对称，连接交于点G，连接． (1)求证：； (2)若，，求的值； (3)如图2，在（2）的条件下，，求的值． 22．（2026·安徽·二模）在中，，平分，作，垂足为点． (1)如图1，若点为中点，连接，求证：； (2)如图2，若点为的中点，连接，求证：； (3)如图3，在第（2）问的条件下，过点作，交延长线于点，连接，求证：． 23．（2026·安徽阜阳·三模）【问题提出】 (1)如图①，在中，D为边上一点，已知，，则________； 【深入探究】 (2)如图②，在中，，点D，E分别为边上的点，连接相交于点P，且，连接，若平分，求证：D为的中点； 【问题解决】 (3)在一片农田里，有一个由灌溉管道围成的区域．如图③，已知是一个面积为的等边三角形，管道相交于点P，，且，已知每平方米的浇灌费用为2元，请计算浇灌区域的农田所需的总费用．（参考数据：） 试卷第1页，共3页 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 三角形 5年真题1年模拟 考点分类 安徽考情（2022-2026） 命题规律 考点01三角形相关计算 2026 2025 2024 2023 2022 2022 高频必考。常结合三角形内角和、三边关系、勾股定理、等腰 / 直角三角形性质出题；选择、填空均会出现，常作为几何综合题基础载体，注重线段长度、角度计算。 考点02 全等三角形 2026 2025 2024 2023 以证明线段相等、角相等为主，熟练考查 SSS、SAS、ASA、AAS、HL；常搭配平行线、角平分线、垂直条件，2022 年未独立考查。 考点03 相似三角形 2026 2024 2023 2022 重难点，间隔考查。侧重相似判定（AA 为主）、相似比、周长与面积比；经常和直角三角形、函数、实际应用题结合。 考点01 三角形相关计算 1．（2026·安徽·中考真题）两个直角三角板如图摆放，其中，，，，边分别与，相交于点，．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、斜边的中线等于斜边的一半、用勾股定理解三角形 【分析】根据等腰直角三角形的性质求出的长，根据直角三角形两锐角互余求出的度数，最后在中利用勾股定理和含角的直角三角形性质求解 ． 【详解】解：， ， 是等腰直角三角形， 于点 ， 是斜边上的高，也是中线， ， 在中，， ， 即 ， 在中， ， ， 根据勾股定理得 ， ∴， 解得． 2．（2025·安徽·中考真题）如图，在中，，，边的中点为D，边上的点E满足．若，则的长是（   ） A． B．6 C． D．3 【答案】B 【知识点】等边对等角、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了等腰三角形性质、含角的直角三角形性质及勾股定理，熟练掌握这些性质定理，通过设未知数，利用勾股定理建立方程求解是解题的关键．先根据等腰三角形性质求出的度数，再利用中点得到线段关系，最后在中，结合含角的直角三角形性质及勾股定理求出的长 ． 【详解】解：∵在中，，， ． 是中点， ∴设，则． ∵， 是直角三角形，且， ， ∵，则．在中，根据勾股定理， ∴， ， ， 解得（）． ， ． 故选：． 3．（2024·安徽·中考真题）如图，在中，，点在的延长线上，且，则的长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等腰三角形的性质和判定、对顶角相等、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，对顶角的性质，勾股定理，过点作的延长线于点，则，由，，可得，，进而得到，，即得为等腰直角三角形，得到，设，由勾股定理得，求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作的延长线于点，则， ∵，， ∴，， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴， 故选：．    4．（2023·安徽·中考真题）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，是锐角的高，则．当，时，____．    【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】根据公式求得，根据，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∴, 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的高的定义，正确的使用公式是解题的关键． 5．（2022·安徽·中考真题）两个矩形的位置如图所示，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】与余角、补角有关的计算、三角形的外角的定义及性质、利用矩形的性质求角度 【分析】用三角形外角性质得到∠3=∠1-90°=α-90°，用余角的定义得到∠2=90°-∠3=180°-α． 【详解】解：如图，∠3=∠1-90°=α-90°， ∠2=90°-∠3=180°-α． 故选：C． 【点睛】 本题主要考查了矩形，三角形外角，余角，解决问题的关键是熟练掌握矩形的角的性质，三角形的外角性质，互为余角的定义． 6．（2022·安徽·中考真题）已知点O是边长为6的等边△ABC的中心，点P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面积分别记为，，，．若，则线段OP长的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求正多边形的中心角、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形 【分析】根据，可得，根据等边三角形的性质可求得△ABC中AB边上的高和△PAB中AB边上的高的值，当P在CO的延长线时，OP取得最小值，OP=CP-OC，过O作OE⊥BC，求得OC=，则可求解． 【详解】解：如图， ，， ∴ = = = ==， ∴， 设△ABC中AB边上的高为，△PAB中AB边上的高为， 则， ， ∴， ∴， ∵△ABC是等边三角形， ∴， ， ∴点P在平行于AB，且到AB的距离等于的线段上， ∴当点P在CO的延长线上时，OP取得最小值， 过O作OE⊥BC于E， ∴， ∵O是等边△ABC的中心，OE⊥BC ∴∠OCE=30°，CE= ∴OC=2OE ∵， ∴， 解得OE=， ∴OC=， ∴OP=CP-OC=． 故选B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识，弄清题意，找到P点的位置是解题的关键． 考点02 全等三角形 1．（2026·安徽·中考真题）如图，点，分别为等腰直角与等腰直角的直角顶点，且点在边上．，垂足为．边的中点为，线段，分别交于点，，连接，．若，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等腰三角形的性质和判定、三角形的外角的定义及性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的性质、全等三角形综合问题 【分析】对于A，证明即可判断；对于C，根据角度关系，可得，得到；对于D，证明为等腰直角三角形即可得到；对于B，由为等腰直角三角形，可得，再结合即可判断． 【详解】解：对于A，由题可知， ， ， 在和中， ， ， ，又， ，即， ，故A正确，不符合题意； 对于B，， ，， ，， ， ，又， ， ， ， 边的中点为， ，则， ， ，故C正确，不符合题意； ， ， 垂直平分， ， ， ，即为等腰直角三角形， ，即，故D正确，不符合题意； 为等腰直角三角形， ，即， 又，且， ，即，故B错误，符合题意． 2．（2025·安徽·中考真题）如图，在四边形中，，，，，点为边上的动点．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，，则下列结论错误的是（   ） A．的最大值是 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最大值是 【答案】A 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、根据旋转的性质求解、全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要围绕四边形中的动点问题展开，解题思路是先通过旋转的性质得到相关线段和角的关系，再利用勾股定理建立线段之间的联系，最后根据点与点之间的位置关系以及几何性质来分别判断各个结论的正确性． 【详解】解：∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，． 又∵，，，， 过点作于点，在上取一点，使得延长交于点，则四边形是矩形， ∴． ∴， ∴（）， ∴ ∴，即点在上运动， ∴四边形和四边形是矩形， ∴，，， ∵，，，， ∴ ∴， ∴最大时，最大， 当点与点重合时，与重合时，最小此时，，故错误，符合题意；故B正确，不符合题意； 作点关于的对称点，连接则，，过作于点，此时当、、三点共线时，最小， ∵ ∴四边形是矩形， ∴，， ∴的最小值故正确，不符合题意； 当与重合时， 当与重合时，过作，则四边形是矩形，如下图， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴， 综上，最大值为．故项正确，不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定及性质，勾股定理以及几何最值问题，熟练掌握旋转的性质和勾股定理，并能根据几何图形的特点准确分析线段之间的关系是解题的关键． 3．（2024·安徽·中考真题）在凸五边形中，，，F是的中点．下列条件中，不能推出与一定垂直的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形“三线合一”性质的应用，熟练掌握全等三角形的判定的方法是解题的关键． 利用全等三角形的判定及性质对各选项进行判定，结合根据等腰三角形“三线合一”的性质即可证得结论． 【详解】解：A、连接，    ∵，，， ∴， ∴     又∵点F为的中点 ∴，故不符合题意； B、连接，    ∵，，， ∴， ∴， 又∵点F为的中点， ∴， ∵, ∴， ∴， ∴， ∴，故不符合题意； C、连接，    ∵点F为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，故不符合题意； D、，无法得出题干结论，符合题意； 故选：D． 4．（2023·安徽·中考真题）如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点分别是的中点．若，则下列结论错误的是（   ）    A．的最小值为 B．的最小值为 C．周长的最小值为6 D．四边形面积的最小值为 【答案】A 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形 【分析】延长，则是等边三角形，观察选项都是求最小时，进而得出当点与重合时，则三点共线，各项都取得最小值，得出B，C，D选项正确，即可求解． 【详解】解：如图所示，    延长， 依题意 ∴是等边三角形， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形， 则为的中点 如图所示，    设的中点分别为， 则 ∴当点在上运动时，在上运动， 当点与重合时，即， 则三点共线，取得最小值，此时， 则， ∴到的距离相等， 则， 此时 此时和的边长都为2，则最小， ∴， ∴ ∴， 或者如图所示，作点关于对称点，则，则当三点共线时，    此时 故A选项错误， 根据题意可得三点共线时，最小，此时，则，故B选项正确； 周长等于， 即当最小时，周长最小， 如图所示，作平行四边形，连接，    ∵，则 如图，延长,，交于点， 则， ∴是等边三角形， ∴， 在与中， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴，则， ∴是直角三角形，    在中， ∴当时，最短， ∵ ∴周长的最小值为，故C选项正确； ∵ ∴四边形面积等于    ∴当的面积为0时，取得最小值，此时，重合，重合 ∴四边形面积的最小值为，故D选项正确， 故选：A． 【点睛】本题考查了解直角三角形，等边三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质，得出当点与重合时得出最小值是解题的关键． 考点03相似三角形 1．（2026·安徽·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数（）的图象分别与轴和轴交于点和，与反比例函数（）在第一象限内的图象交于点．若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求反比例函数解析式、用勾股定理解三角形、由平行截线求相关线段的长或比值、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】先求出点的坐标，然后结合已知可求出，过点作轴于，则，根据平行线分线段成比例求出，根据勾股定理求出，从而求出点的坐标，即可得解． 【详解】对于一次函数，当时，， ， ， ， ， 过点作轴于， ， ，即， ， ， ， ． 2．（2024·安徽·中考真题）如图，在中，，，，是边上的高．点E，F分别在边，上（不与端点重合），且．设，四边形的面积为y，则y关于x的函数图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、动点问题的函数图象、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了函数图象的识别，相似三角形的判定以及性质，勾股定理的应用，过点E作于点H，由勾股定理求出，根据等面积法求出，先证明，由相似三角形的性质可得出，即可求出，再证明，由相似三角形的性质可得出，即可得出，根据，代入可得出一次函数的解析式，最后根据自变量的大小求出对应的函数值． 【详解】解：过点E作于点H，如下图： ∵，，， ∴， ∵是边上的高． ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴当时， ， 当时，． 故选：A． 3．（2023·安徽·中考真题）如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】根据平行线分线段成比例得出，根据，得出，则，进而可得，根据，得出，根据相似三角形的性质得出，进而在中，勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，，， ∴，，， ∵， ∴ ∴，， ∴， 则， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 在中，， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 4．（2022·安徽·中考真题）如图，四边形ABCD是正方形，点E在边AD上，△BEF是以E为直角顶点的等腰直角三角形，EF，BF分别交CD于点M，N，过点F作AD的垂线交AD的延长线于点G．连接DF，请完成下列问题： （1）________°； （2）若，，则________． 【答案】 45 【知识点】全等三角形综合问题、根据正方形的性质与判定证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）先证△ABE≌△GEF，得FG=AE=DG，可知△DFG是等腰直角三角形即可知度数． （2）先作FH⊥CD于H，利用平行线分线段成比例求得MH；再作MP⊥DF于P，证△MPF∽△NHF,即可求得NH的长度，MN=MH+NH即可得解． 【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A=90°，AB=AD， ∴∠ABE+∠AEB=90°， ∵FG⊥AG， ∴∠G=∠A=90°， ∵△BEF是等腰直角三角形， ∴BE=FE，∠BEF=90°， ∴∠AEB+∠FEG=90°， ∴∠FEG=∠EBA， 在△ABE和△GEF中， ， ∴△ABE≌△GEF（AAS）， ∴AE=FG，AB=GE， 在正方形ABCD中，AB=AD ∵AD=AE+DE，EG=DE+DG， ∴AE=DG=FG， ∴∠FDG=∠DFG=45°． 故填：45°． （2）如图，作FH⊥CD于H， ∴∠FHD=90° 又∵∠G=∠GDH=90°， ∴四边形DGFH是矩形， 又∵DG=FG， ∴四边形DGFH是正方形， ∴DH=FH=DG=2， ∴ ∴， ∴DM=，MH=， 作MP⊥DF于P， ∵∠MDP=∠DMP=45°， ∴DP=MP， ∵DP2+MP2=DM2， ∴DP=MP=， ∴PF= ∵∠MFP+∠MFH=∠MFH+∠NFH=45°， ∴∠MFP=∠NFH， ∵∠MPF=∠NHF=90°， ∴△MPF∽△NHF, ∴，即， ∴NH=， ∴MN=MH+NH=+=． 故填： ． 【点睛】本题主要考查正方形的性质及判定以及相似三角形的性质和判定，熟知相关知识点并能熟练运用，正确添加辅助线是解题的关键． 一、单选题 1．（2026·安徽芜湖·三模）如图，在中，，，中点为D，上点E满足，若，则的长为（     ） A． B．12 C． D．4 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质，得到，利用正切函数的定义，求解即可． 【详解】解：，，得， ， ， 中，， 点D为中点， 故． 2．（2026·安徽安庆·一模）如图，在中，，平分交于点D，，垂足为E．若，，则的周长为（     ） A．12 B．10 C．9 D．8 【答案】A 【分析】先根据角平分线的性质得出，从而求出的长，再在中利用勾股定理求出的长，最后计算三角形周长即可． 【详解】解：平分，，， ， ， ， 在中，， 的周长为． 3．（2026·安徽阜阳·三模）一副直角三角板如图摆放，其中，，，若点是上一点，且，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴ 4．（2026·安徽马鞍山·三模）如图，在等边中，是边上的一点，且满足，于点，于点．若，则的长是（     ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】根据等边三角形的性质求出边长和角度，利用含角的直角三角形性质，依次求出、、的长，最后在中求出即可． 【详解】解：是等边三角形，， ，， ，， ，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， 在中，， ， ． 5．（2026·安徽合肥·二模）如图，在中，平分交于点D，交于点E ．若，，则的长为（   ） A． B．4 C． D．5 【答案】A 【分析】证明，求出，根据平行线的性质和等边对等角得出，根据等角对等边得出，结合求出，即可求解. 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴. 6．（2026·安徽滁州·三模）如图，在中，由尺规作图得射线，与边相交于点，过作， ，垂足分别是点，，其中，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先证明四边形是正方形，可得，然后证明，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：，， ∴四边形是矩形， 由作图可知，平分， ， ∴四边形是正方形， ， ， ， ， ． 7．（2026·安徽合肥·三模）如图，在中，若，的平分线与边的垂直平分线相交于点，交的延长线于点，于点．下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接、，由角平分线的性质可得，证明，即可得到，，即可判断A；得到平分，即可判断B；求出，由直角三角形的性质可得，即可判断C；证明，得到，利用勾股定理得到，即可判断D． 【详解】解：如图所示，连接、． 平分，，， ，，， ∴， ∴，，故A正确； ∴平分 ∴不平分 ∴，故B错误； ，平分， ， ， ， ， 同理可得，， ，故C正确； 垂直平分， ， 在和中， ， ， ， ∵， ∴ ∴ ，故D正确． 8．（2025·安徽阜阳·三模）如图，在中，与相交于点Q，点Q是的重心，D是的中点，与相交于点P．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要查了三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质．连接，根据重心的定义可得为的中位线，从而得到，进而得到，再由D是的中点，可得为的中位线，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵点Q是的重心， ∴为的中线， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴， 即， ∵D是的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ． 故选：C 9．（2025·安徽阜阳·二模）的两条角平分线相交于交于F．则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质以及线段长度关系分析．熟练掌握角平分线的性质，通过构造等腰三角形和利用角度关系进行线段等量代换是解题的关键，根据角平分线定义及三角形外角性质得出即可证明D；取中点M，连接，证明即可证明C；在上截取，连接，证明从而证明即可证明B正确 ． 【详解】解：如图，平分，平分， ，， ， ， ， ， 即D正确； 如图，取中点M，连接，在直角中， 即C正确； 如图，在上截取，连接， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 即B正确； 故选：A． 10．（2026·安徽蚌埠·三模）将和按如图所示的位置摆放，，，则下列说法一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，等腰三角形的判定，解答即可； 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴．故A正确． 由题意可知，，， ∴不一定等于． ∴不一定等于．故B错误． ∵无法判断和是否相等， ∴无法判断与是否相似，故C错误． ，，但的大小无法判断， ∴与不一定相等，故D错误． 11．（2026·安徽马鞍山·三模）如图，在中，，，过点作交于点，取的中点，连接，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作于点F，根据等腰三角形的性质可得，设，则，根据勾股定理求出，求出，得出，，然后根据求解即可． 【详解】解：如图，作于点F， ，， ， ， ， ∴， ∴． 设，则， 根据勾股定理，可得， 解得或（舍去）， ∴， ∵点E是的中点， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 12．（2026·安徽·二模）如图，在中，点D在边上，，，，边，的中点分别为，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，利用等腰三角形“三线合一”的性质可得， 在中利用勾股定理求出的长，进而求出的长，再在中利用勾股定理求出的长，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】如图，连接． ，为的中点， ，． 在中，由勾股定理得． ， ． 在中，由勾股定理得． 为的中点，， ． 13．（2026·安徽·二模）如图的等边中，点，分别在边，上移动，且满足与外心三点共线，将沿直线折叠，与交于点，，连接，，则下列为定值的是（     ） A．与的比值 B．四边形的周长 C．四边形的面积 D．与的角度和 【答案】D 【分析】多次利用三角形的外心的性质与轴对称图形的性质以及角度的等量代换，转化出，，等数量关系，再对每一项逐步验证即可． 【详解】解：A、如图所示，连接，，，，延长交于点，过点分别作，，的垂线，垂足分别为，，， ∴， ∵点是等边的外心， ∴，，，， ∵沿直线折叠得到， ∴，，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴平分， ∴； 在和中，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴； 同理可证得，平分，， ∴，； ∵在中，， ∴， 又∵，，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴； 过点作的平行线交的延长线于点， ∵， ∴，，， ∴，， ∴，， ∵点是的外心， ∴垂直平分，垂直平分， ∴， ∴， ∵与均非定值， ∴不是定值； B、∵四边形的周长，所有线段无法转化到某一固定的线段上， ∴其周长不为定值； C、∵点是等边的外心，沿直线折叠， ∴， 可证，， 此时四边形的面积， ∵非定值， ∴四边形的面积非定值； D、∵，，平分， ∴， ∵， ∴与的角度和为定值． 14．（2026·安徽合肥·二模）已知，在△中，是边上的点（不与点，重合）．过点作交于点，过点作交于点，是线段上的点，，是线段上的点，．若△的面积为定值，则下列三角形的面积也为定值的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，由平行线的性质推出，，判定△△，推出，得到，由平行线的性质推出，判定△△，得到，得到，推出，得到△的面积△的面积，而△的面积△面积的一半，得到△的面积为定值． 【详解】解：连接， ，， ，， △△， ， ，， ，， ， ，， ，， ， △△， ， ， ， ， ， △的面积△的面积， ， △的面积△面积的一半， △的面积△面积的一半， △的面积为定值， △的面积为定值． 故选：B． 二、填空题 15．（2026·安徽宣城·二模）如图，D，E分别是边，的中点，连接，．若，则的长为_______． 【答案】2 【分析】由题意可知，根据等角对等边得到，根据三角形中位线定理求解即可． 【详解】解：∵D是边的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵D，E分别是边，的中点， ∴是的中位线， ∴． 16．（2026·安徽阜阳·三模）如图，在中，，，点O为的中点，点E为射线上一点，连接，若， （1）的长是______； （2）是的角平分线，射线与射线交于点F，则的长是______． 【答案】 2 【分析】（1）根据等腰三角形的性质及勾股定理求解即可； （2）连接，根据勾股定理得出，确定，再由角平分线得出，利用全等三角形的判定和性质得出，．利用勾股定理建立方程得出，，再由相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】解：（1）∵，点O为的中点， ∴，，， ∴． （2）如图，连接． ∵，， ∴． ∵平分， ∴． 又∵， ∴， ∴． 设，则． 在中， ∵， ∴ 解得， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴，即， 解得． 17．（2026·安徽·二模）有一组角互补，另一组角相等，且相等的两个角的对边也相等的两个三角形称为“和合”三角形．例如，在与中，若，，，则与是“和合”三角形．如图所示，D是等边三角形的边上的一动点，E在的延长线上，，连接交于点F，连接． （1）若，则_________； （2）若与是“和合”三角形，则的值为_________． 【答案】 /90度 【分析】（1）过点D作的平行线交于点G，因为是等边三角形，所以可证是等边三角形，得到．结合，可证，所以．由推出线段关系，得到，，再结合，推导所求角度． （2）根据和是“和合”三角形，有公共角，得，可证明，得，得，推出，得，推出，即得​． 【详解】解：（1）是等边三角形，故，， 过作交于， 则， ∴是等边三角形， ∴， 又， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，且， ∴，∴， ∴， ∴．​ （2）∵和是“和合”三角形，， ∴． 过作交于，连接， 由（1）知，，是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴​． 18．（2026·安徽淮南·一模）三个整数的和是17，那么这三个整数能够构成三角形的情况分析．设这三个整数分别为，，，且满足，显然，，所以，当时，，，为整数，所以 （1）①，②； （2）满足条件的，，共有③对． ①______，②______，③______． 【答案】 【分析】按照，，，，进行分类讨论，结合三角形三边之间的关系，即可求解． 【详解】解：（1）当时，，，为整数， ∴， （2）当时，，，，为整数， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，，，，为整数， ∴，或， ∴，或， ∴，或， ∴，或，， 当时，，，，为整数， ∴，或， ∴，或， ∴，或， ∴，，或，， 当时，，，，为整数， ∴，或，或， ∴，或，或， ∴，或，或， ∴，或，，或（与“”矛盾，舍去） ∴，，或，，，或，，或，，，或，，，或，，，或，，或，，， ∴满足条件的，，共有对． 三、解答题 19．（2026·安徽合肥·二模）如图1，在中，，是的中线，在上取点E，连接，，且． (1)若． ①求的长； ②求的面积； (2)如图2，延长交于点F，求的值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①先由中线和直角三角形斜边中线性质，得出；再在中用勾股定理求；最后用求出线段长．②利用等面积法，由两种面积表达式求出点到的垂线段高；再以为底、所求高为高，代入面积公式计算面积． （2）先利用同角余角相等推出角相等，结合公共角证明两个三角形相似；再设参数表示各线段，由相似三角形对应边成比例列等式，求出；最后代入化简得到的值． 【详解】（1）解：①是的中线， 为边的中点， ，， ， 在中，， ， ． ②过点作于， ， ， ， ． （2）解：是的中线， 为边的中点， 又， ， ， ， 又， ． 又， ， ，即． 设，则， 在中， ， ∴，， ，， ． 20．（2026·安徽阜阳·三模）正方形和正方形的位置如图所示，点E在上，交于点M，延长交于点P，于点N，连接． (1)求证：； (2)求的度数； (3)若，求的值． 【答案】(1)∵四边形，均为正方形， ，，，， ∴, ∴, ∴, ∴, ∴， ∴； (2) (3)2 【分析】（1）由四边形，均为正方形可得，，再证明即可得出结论； （2）根据证明，得，．证出，可得； （3）由可证明，，设，，则，得，．再求出，求出，从而得． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， 又四边形是正方形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴ 又 ∴， ∴， ∴ 又， ∴四边形是矩形， ∴ ∴， ， ， ，． ， ， ， ； （3）解：由（2）可知，． ， ， ． ， ． 设，，则， ， ， ． ，， ， ． ． 21．（2026·安徽·二模）如图1，在矩形中，点M在上，连接，垂直平分分别交，于点E，F，点A与点N关于对称，连接交于点G，连接． (1)求证：； (2)若，，求的值； (3)如图2，在（2）的条件下，，求的值． 【答案】(1)证明：四边形是矩形， ， ∴， 垂直平分， 关于对称， 关于对称， 四边形与四边形关于对称， ， ， ， ∵， ． (2) (3) 【分析】（1）先证四边形与四边形关于对称，得到，，又因为，所以，结合，即可证明； （2）过点F作于点H，根据垂直平分，可得，再根据，可得，得到，证明，即可求解； （3）过点N作交于点I，设，在中求出，再利用，得出；由，得到，由，求出，在，根据勾股定理，即可求出． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点F作于点H， 四边形是矩形， ，，， ∵ ∴四边形为矩形，， ∴，， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ． （3）解：如图，过点N作交于点I， 设，则， 垂直平分 ， ， 在中，， ， ，即． ， 由（1）可知，， ． ， ∴， ∴， ， 与关于对称， ， ， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴在中，． 22．（2026·安徽·二模）在中，，平分，作，垂足为点． (1)如图1，若点为中点，连接，求证：； (2)如图2，若点为的中点，连接，求证：； (3)如图3，在第（2）问的条件下，过点作，交延长线于点，连接，求证：． 【答案】(1)证明：平分， ， ， ， 点是的中点， ， ， ， ； (2)证明：如图，延长交于点， 由（1）知， ， ， 在与中， ， ， ，， 又点是线段的中点， ， ； (3)证明：如图，取边的中点，以为圆心，为半径画圆，连接， ∵， ， ∴点在以为直径的圆上， 平分， ， ∴， ， 又点是线段的中点， ． 【分析】（1）根据直角三角形斜边中线的性质得到，再进行角度的推导证明即可； （2）延长交于点，，再根据三角形的中位线证明即可； （3）取边的中点，以为圆心，为半径画圆，则点在以为直径的圆上，再由圆周角定理结合三线合一证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】本题考查平行线的判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，中位线定理，隐圆，解题关键是通过作辅助线构造中位线及四点共圆． 23．（2026·安徽阜阳·三模）【问题提出】 (1)如图①，在中，D为边上一点，已知，，则________； 【深入探究】 (2)如图②，在中，，点D，E分别为边上的点，连接相交于点P，且，连接，若平分，求证：D为的中点； 【问题解决】 (3)在一片农田里，有一个由灌溉管道围成的区域．如图③，已知是一个面积为的等边三角形，管道相交于点P，，且，已知每平方米的浇灌费用为2元，请计算浇灌区域的农田所需的总费用．（参考数据：） 【答案】(1)16 (2)证明：∵，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即D为的中点； (3)618元 【分析】（1）根据同高三角形的面积比等于底边比即可得出结果； （2）证明，得到，证明，得到，进而得到，即可得证； （3）过点A作交的延长线于点F，得到，，进而推出，证明，得到，设为x，为单位“1”，根据，得，求出，进而得到，进而求出的面积，再乘以单价，即可得出结果. 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）略 （3）解：如解图，过点A作交的延长线于点F． ∵， ∴P为的中点， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 在等边中，，， ∵， ∴， ∴， 设为x，为单位“1”， ∴，， 由，得， 解得，（舍去）， ∴， ∴， （元）， 即浇灌区域的农田所需的总费用约为618元. 试卷第1页，共3页 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $