专题06 几何综合题（5年汇编）（江西专用）2022-2026年中考数学真题分类汇编

专题06几何综合题 5年真题 考点分类 江西考情 命题规律 考点01几何综合题 2025江西(1题)、2024江西(1题)、2022江西(1题) ·情境设置：以综合与实践为背景，从特殊四边形或直角三角形出发，融入三角板、动点等操作要素，体现从特殊到一般的探究过程。 ·考查重点：聚焦三角形旋转、放缩变换，探究线段关系、角度不变性及动点轨迹，综合考查全等、相似、四边形性质与判定。 ·命题趋势：强化过程性探究，要求经历操作、猜想、证明的完整思维链，注重几何直观与逻辑推理的深度融合，趋向开放性与综合性。 考点1几何综合题 1.(2025·江西·中考真题)综合与实践 从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究． 特例研究 在正方形中，相交于点O． （1）如图1，可以看成是绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为________，k的值为________； （2）如图2，将绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放大得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上，求的值 类比探究 （3）如图3，在菱形中，，O是的垂直平分线与的交点，将绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放缩得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上．猜想的值是否与α有关，并说明理由； （4）若（3）中，其余条件不变，探究之间的数量关系（用含β的式子表示）． [答案]（1）；； （2）； （3）的值与α无关，理由如下， 如图， 同理可证， ∴， ∵菱形中，， ∴， ∵O是的垂直平分线与的交点， ∴， ∴， 过点作于点， ∴，， ∴， ∴， ∴的值与α无关； （4）．[详解]【分析】 （1）利用正方形的性质结合旋转的性质求解即可； （2）由题意得，推出，，再得到，推出，根据正方形的性质求解即可； （3）同理可证，得到，根据线段垂直平分线的性质求得，再根据余弦函数的定义求解即可； （4）同理可证，，，根据，求解即可． 【详解】 解：（1）∵正方形， ∴，， ∴旋转角为，， 故答案为：；； （2）如图， 根据题意得， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）略 （4）同理可证，，， ∴，， ∵， ∴ ， 即． 【点睛】 本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，线段垂直平分线的性质，正方形和菱形的性质．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 2.(2024·江西·中考真题)综合与实践 如图，在中，点D是斜边上的动点（点D与点A不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，． 特例感知 （1）如图1，当时，与之间的位置关系是______，数量关系是______； 类比迁移 （2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 拓展应用 （3）在（1）的条件下，点F与点C关于对称，连接，，，如图3．已知，设，四边形的面积为y． ①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值； ②当时，请直接写出的长度． [答案]（1），（2）与之间的位置关系是，数量关系是；（3）①y与x的函数表达式，当时，的最小值为；②当时，为或.[详解]【分析】 （1）先证明，，，可得；再结合全等三角形的性质可得结论； （2）先证明，，结合，可得；再结合相似三角形的性质可得结论； （3）①先证明四边形为正方形，如图，过作于，可得，，再分情况结合勾股定理可得函数解析式，结合函数性质可得最小值；②如图，连接，，，证明，可得在上，且为直径，则，过作于，过作于，求解正方形面积为,结合，再解方程可得答案. 【详解】 解：（1）∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴； ∴，， ∴， ∴， ∴与之间的位置关系是，数量关系是； （2）与之间的位置关系是，数量关系是；理由如下： ∵， ∴，， ∵， ∴； ∴，， ∴， ∴， ∴与之间的位置关系是，数量关系是； （3）由（1）得：，，， ∴，都为等腰直角三角形； ∵点F与点C关于对称， ∴为等腰直角三角形；， ∴四边形为正方形， 如图，过作于， ∵，， ∴，， 当时， ∴， ∴， 如图，当时， 此时， 同理可得：， ∴y与x的函数表达式为， 当时，的最小值为； ②如图，∵，正方形，记正方形的中心为， ∴， 连接，，， ∴， ∴在上，且为直径， ∴， 过作于，过作于， ∴，， ∴， ∴， ∴正方形面积为, ∴， 解得：，，经检验都符合题意， 如图， 综上：当时，为或. 【点睛】 本题考查的是全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，二次函数的性质，圆的确定及圆周角定理的应用，本题难度大，作出合适的辅助线是解本题的关键. 3.(2022·江西·中考真题)问题提出：某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板的一个顶点放在正方形中心O处，并绕点O逆时针旋转，探究直角三角板与正方形重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2）． （1）操作发现：如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当与重合时，重叠部分的面积为__________；当与垂直时，重叠部分的面积为__________；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积与S的关系为__________； （2）类比探究：若将三角板的顶点F放在点O处，在旋转过程中，分别与正方形的边相交于点M，N． ①如图2，当时，试判断重叠部分的形状，并说明理由； ②如图3，当时，求重叠部分四边形的面积（结果保留根号）； （3）拓展应用：若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O处，该锐角记为（设），将绕点O逆时针旋转，在旋转过程中，的两边与正方形的边所围成的图形的面积为，请直接写出的最小值与最大值（分别用含的式子表示）， （参考数据：） [答案]（1）1，1，     （2） ①如图2中，结论：是等边三角形． 理由：过点O作， ∵O是正方形的中心， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； ②     （3），     [详解]【分析】 （1）若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当与重合时，与重合，此时重叠部分的面积的面积=正方形的面积=1；当与垂直时，，重叠部分的面积=正方形的面积=1；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积与S的关系为．利用全等三角形的性质证明即可； （2）①结论：是等边三角形．证明，可得结论； ②如图3中，连接，过点O作于点J．证明，推出，解直角三角形求出，即可解决问题； （3）当点都在上时，过点作于点，作的外接圆，记为，连接，过点作于点，则，设为，由于，而为定值，故最小，则最小，在中，，则当最小，最小，因为，则，故当点三点共线时，取得最小值，此时在中，，则；当点M在上，点在上时，过点作于点，过点交于点，同上可得，则，由于，故当最小，则最大，因为，故最小，则最大，同上，垂直平分，此时，，，则，则． (1)小问详解： 解：当与重合时，与重合，如图所示， 重叠部分的面积； 当与垂直时，，如图所示， 重叠部分的面积； 一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积与S的关系为． 理由：设交于点J，交于点K，过点O作于点M，于点N．如图所示， ∵O是正方形的中心， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：1，1，． (2)小问详解： 解：①略 ②如图3中，连接，过点O作于点J． ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． (3)小问详解： 解：当点都在上时，过点作于点，作的外接圆，记为，连接，过点作于点， 则， ∵， ∴， 设为， ∵，而为定值， ∴最小，则最小， 在中，， ∴， ∴当最小，最小， ∵， ∴， ∴， 当点三点共线时，取得最小值，如图 此时垂直平分， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∴； 当点M在上，点在上时，过点作于点，过点交于点，如图 同上可得， ∴， ∵， ∴当最小，则最大， ∵， ∴最小，则最大， 同上，垂直平分，如图 此时， ∴， ∵，， ∴， ∴，, ∴， ∴， ∴， ∴ 综上所述，的最小值为，的最大值为． 【点睛】 本题属于四边形综合题，考查了圆周角定理，正方形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 试卷第1页，共3页 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06几何综合题 5年真题 考点分类 江西考情 命题规律 考点01几何综合题 2025江西(1题)、2024江西(1题)、2022江西(1题) · 情境设置：以综合与实践为背景，从特殊四边形或直角三角形出发，融入三角板、动点等操作要素，体现从特殊到一般的探究过程。 · 考查重点：聚焦三角形旋转、放缩变换，探究线段关系、角度不变性及动点轨迹，综合考查全等、相似、四边形性质与判定。 · 命题趋势：强化过程性探究，要求经历操作、猜想、证明的完整思维链，注重几何直观与逻辑推理的深度融合，趋向开放性与综合性。 考点1 几何综合题 1.(2025·江西·中考真题)综合与实践 从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究． 特例研究 在正方形中，相交于点O． （1）如图1，可以看成是绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为________，k的值为________； （2）如图2，将绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放大得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上，求的值 类比探究 （3）如图3，在菱形中，，O是的垂直平分线与的交点，将绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放缩得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上．猜想的值是否与α有关，并说明理由； （4）若（3）中，其余条件不变，探究之间的数量关系（用含β的式子表示）． 2.(2024·江西·中考真题)综合与实践 如图，在中，点D是斜边上的动点（点D与点A不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，． 特例感知 （1）如图1，当时，与之间的位置关系是______，数量关系是______； 类比迁移 （2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 拓展应用 （3）在（1）的条件下，点F与点C关于对称，连接，，，如图3．已知，设，四边形的面积为y． ①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值； ②当时，请直接写出的长度． 3.(2022·江西·中考真题)问题提出：某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板的一个顶点放在正方形中心O处，并绕点O逆时针旋转，探究直角三角板与正方形重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2）． （1）操作发现：如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当与重合时，重叠部分的面积为__________；当与垂直时，重叠部分的面积为__________；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积与S的关系为__________； （2）类比探究：若将三角板的顶点F放在点O处，在旋转过程中，分别与正方形的边相交于点M，N． ①如图2，当时，试判断重叠部分的形状，并说明理由； ②如图3，当时，求重叠部分四边形的面积（结果保留根号）； （3）拓展应用：若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O处，该锐角记为（设），将绕点O逆时针旋转，在旋转过程中，的两边与正方形的边所围成的图形的面积为，请直接写出的最小值与最大值（分别用含的式子表示）， （参考数据：） 试卷第1页，共3页 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $