专题27.5 二次函数的实际应用（高效培优讲义）数学新教材沪教版五四制九年级上册

本讲义聚焦二次函数的实际应用这一核心知识点，系统梳理从分析实际问题中变量关系、建立二次函数模型，到利用配方法或公式法解决面积、利润、抛物线轨迹等最值问题的学习脉络，为学生提供清晰的应用思路支架。 资料以典例带动变式训练，涵盖图形面积、销售利润等六大题型，通过真实情境问题培养学生用数学眼光观察现实世界的能力，在建模与最值求解中发展数学思维，课中辅助教师高效教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

专题27.5 二次函数的实际应用 教学目标 1. 能分析实际问题中的变量关系，建立二次函数模型解决问题； 2. 能利用配方法或公式法求二次函数的最大值解决最值问题； 3. 能利用二次函数的图像与性质解决诸如面积、利润、运动轨迹等实际问题。 教学重难点 重点： 能分析实际问题中的变量关系，建立二次函数模型解决问题； 难点： 二次函数模型的选择与应用； 知识点01 根据实际问题建立二次函数模型 1. 面积模型 根据面积公式建立二次函数模型，利用配方法结合自变量取值范围求面积最值进而解决实际问题。 2. 利润最值模型 根据利润与单价、销售量之间的数量关系建立二次函数模型，利用配方法结合自变量取值范围求面积最值进而解决实际问题。 3. 抛物线模型 （1）抛物线造型 建立合理的直角坐标系，求出抛物线的表达式，计算高度、宽度进一步解决实际问题。 （2）抛物线轨迹 建立合理的直角坐标系，求出抛物线的表达式，计算最高点和落点坐标进一步解决实际问题。 知识点02 利用二次函数的性质解决实际问题 1. 建立二次函数模型解决实际问题的一般步骤： ①审题，找准变量及变量之间的数量关系； ②建模，设比变量x、函数y,列出二次函数表达式； ③求表达式； ④用表达式。 2. 二次函数的最值问题 ① 当二次函数图像的顶点在区间内时，最值就是顶点纵坐标； ② 当二次函数图像的顶点不在区间内时，结合自变量取值范围，最值就是最高（低）点纵坐标； 题型01 图形面积问题 【典例1】某养殖户为扩大养殖规模，拟一边利用墙建一个矩形的养鸡场地，如图，已知可利用的墙长不超过，另外三边由长的栅栏围成，设矩形养鸡场地中，垂直于墙的边为，面积为． (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)当x为何值时，y有最大值?最大值是多少? 【变式1】如图所示的是一个用长的铝合金条制成的矩形窗框．若要使窗户的透光面积最大，则AD的长为_______m． 【变式2】如图，某校用长的隔离网沿着院墙围成一个矩形形状的劳动实践基地，中间有隔离网，已知，可利用的院墙长为．当基地长度为多少时，该劳动实践基地的面积最大？请求出其最大值（不考虑隔离网的宽度）． 【变式3】如图，利用一面墙（墙长20米），用总长43米的篱笆（图中实线部分）围成一个矩形鸡舍，且中间共留两个1米的小门．设篱笆长为x米． (1)______米（用含x的代数式表示）； (2)矩形鸡舍的面积的最大值是多少？说明理由． 【变式4】有这样一个例题：有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为，如何设计这个窗户，使透光面积最大？ 这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为时，透光面积最大值约为．我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料总长仍为，利用图3，解答下列问题： (1)若为，求此时窗户的透光面积？ (2)与上一个例题比较，改变窗户形状后，若设的长度为，请问当x的值为多少时窗户透光面积最大？与例题相比透光的最大面积是否变大？通过计算说明． 题型02 图形运动问题 【典例1】如图，在矩形中，，P，Q分别是边上的动点，，设，则y关于x的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图，点和点同时从正方形的顶点出发，点沿着运动，点沿着运动，速度都为，终点都是点．若，则的面积S（cm2）与运动时间之间的函数关系的大致图象是（    ） A． B．C． D． 【变式2】如图，在边长为的正方形中，点，，，分别从点，，，同时出发，均以的速度向点，，，匀速运动，当点到达点时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为________时，四边形，的面积最小，其最小值是________． 【变式3】．在平面直角坐标系中，，，．直线轴，从轴出发，以每秒1个单位长度的速度沿着轴向右平移，运动时间为秒．当经过点时，停止运动．    (1)如图1，当时，将四边形分割成左右两部分，在左侧部分的面积记为，请用含的式子表示； (2)如图2，在平移过程中，与线段交于点，当最小时，此时是否在上存在点，在平面上存在点，使得是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请求出的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式4】如图1，在正方形中，以A为原点，所在的直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，正方形的边长为4，点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点D运动，同时点Q从点A出发，仍以每秒2个单位长度的速度沿向点C运动，当点P运动到点D时，P、Q两点同时停止运动，设点P运动的时间t秒，的面积为S． (1)通过取点、画图、测量，得到了S与t的几组值，如下表： t 1 2 3 4 s m 8 n 8 请直接写出m=________，n=________； (2)直接写出S关于t的函数关系式；并写出相应t的取值范围． __________________________________________； (3)如图2，在平面直角坐标系中，描出已补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；根据图象填空： ①当_____________________，S随t的增大而增大． ②已知的图象如图所示，请直接写出当时，t的取值范围_________． 题型03 销售利润问题 【典例1】某商店经销一种玩具，每个进价60元，每个玩具不得低于80元出售．玩具的单价m（元/个）与销售数量n（个）之间的函数关系如图所示． (1)写出该店当一次销售个时，所获利润w（元）与销售数量n（个）之间的函数关系式： (2)店长经过一段时间的销售发现：卖26个赚的钱反而比卖30个赚的钱多，你能用数学知识解释这一现象吗？为了不出现这种现象，在其他条件不变的情况下，店长应把最低价每个80元至少提高到多少？ 【变式1】一部名为《南京照相馆》的电影于2025年7月25日上映，取材于南京大屠杀期间日军真实罪证影像，一经上映票房一路狂飙，掀起爱国热潮．某兴趣小组开展以“爱国为主题”项目式学习： 素材1：某影院7月28日的票房收入为10万元，随着观影人数的不断增多，7月30日的票房收入达到16.9万元． 素材2：某商家生产了一批以爱国为主题的图册，一册成本为14元，当售价定为每本28元时，平均每天售出200本．经市场调研，每降1元出售，平均每天多售出40本． 解决问题： (1)求从7月28日到7月30日票房收入的平均增长率？ (2)根据素材2，商家每天固定成本为300元（如房租、水电、人工等），在进价、成本、售价与销量关系不变的情况下，求售价为多少元时，每天最大利润为多少？ 【变式2】垃圾分类作为一个公共管理的综合系统工程，需要社会各个层面共同发力，洛阳市某超市计划定制一款家用分类垃圾桶，独家经销．生产厂家给出如下定制方案：不收设计费，定制不超过200套时，每套费用60元；超过200套后，超出的部分8折优惠．已知该超市定制这款垃圾桶的平均费用为56元1套． （1）该超市定制了这款垃圾桶多少套？ （2）超市经过市场调研发现：当此款垃圾桶售价定为80元套时，平均每天可售出20套；售价每降低1元，平均每天可多售出2套．当售价下降多少元时，可使该超市平均每天销售此款垃圾桶的利润最大？ 【变式3】服装店购进一批秋衣，价格为每件30元．物价部门规定其销售单价不高于每件70元，经市场调查发现：日销售量（件是销售单价（元的一次函数，且当时，；时，．在销售过程中，每天还要支付其他费用450元． （1）求出与的函数关系式． （2）求该服装店要想销售这批秋衣日获利750元，售价应定多少元？ （3）请销售单价为多少元时，该服装店日获利最大？最大获利是多少元？ 【变式4】某厂家生产销售一种儿童电动玩具，3月份前4天该儿童电动玩具售价y（元/个）和销量t（个）的数据如下表所示： 第x天 1 2 3 4 售价 y（元/个） 30 32 34 36 销量 t/个 100 120 140 160 从第5天开始工厂对外调整价格为28元一个，据统计第5天以后儿童电动玩具销量t（个）和第x天的关系为（，且x为整数）． (1)写出销量t（个）与第x天（前4天）满足的关系式，并且求出第5天以后的最大销量． (2)若成本价为20元/个，求该工厂这些天（按20天计）销售该儿童电动玩具得到的利润W（元）与第x天满足的关系式，并写出第几天的利润最大，最大利润为多少． 题型04 增长率问题 【典例1】某农机厂四月份生产零件60万个，设该厂第二季度平均每月的增长率为，如果第二季度共生产零件万个，那么与满足的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 【变式1】最新报告显示，2023年全球金属增材制造市场的总收入达到了亿美元．若2025年的市场规模为y亿美元，平均每年的增长率为x，则y关于x的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式2】某工厂1月份的产值为200万元，若平均每月产值的增长率为，该工厂3月份的产值为y，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】某印刷厂10月份印书20万册，如果第四季度从11月份起，每月的印书量的增长率都为，如果设12月份比10月份多印了万册，那么关于的函数解析式是_____．（不写定义域） 【变式4】某种药品售价为每盒300元，经过医保局连续两次“灵魂砍价”，药品企业同意降价若干进入国家医保用药目录．如果每次降价的百分率都是，则两次降价后的价格（元）与每次降价的百分率之间的函数关系式是（  ） A． B． C． D． 题型05 抛物线造型问题 【典例1】 远离喧嚣、拥抱自然，露营已然成为人们青睐的假期休闲选择，各式帐篷是户外露营的核心装备．其中抛物线型帐篷支架简约、携带便捷，格外适合日常休闲旅行场景． (1)【建立模型】 小亮发现某款帐篷（如图1所示）的正面支架可以看作是一条抛物线，搭建时支架底端张开的宽度，顶部高度，若以所在直线为x轴，抛物线对称轴为y轴建立平面直角坐标系（如图2所示），求帐篷支架对应的抛物线的函数解析式； (2)【运用模型】 此帐篷张开时的宽度和高度会影响容纳的拉杆箱数量，图3为一个拉杆箱摆入这款帐篷后的简易视图，拉杆箱高度，宽度，若在帐篷内沿方向摆放一排此款拉杆箱，求最多可摆放多少个拉杆箱． 【变式1】有一座拱桥的截面图是抛物线形状，在正常水位时，桥下水面宽20米，拱桥的最高点距离水面为3米，如图建立直角坐标平面，那么此抛物线的表达式为 　 　． 【变式2】已知抛物线形拱桥的横截面示意图，当拱顶离水面4米时，水面宽8米．如图建立平面直角坐标系，如果水面上升3米，那么水面宽度减少　 　 米． 【变式3】图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2，已知其底部宽度为，高度为，则离地面处的水平宽度（即的长）为___________． 【变式4】综合与实践 问题情境： 如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，其中矩形的长，宽．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用表示，且抛物线上的C点到墙面的水平距离为时，到地面的距离为．为了安全起见，隧道正中间有宽为的隔离带． 问题解决： (1)求b、c的值，并计算出拱顶D到地面的距离； (2)在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，且它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过，那么两排灯的水平距离最小是多少米？ (3)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为，宽为，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？ 题型06 抛物线轨迹问题 【典例1】 为迎接体育考试，小明同学在体育课上练习投掷实心球，实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图，在某次练习中，小明投掷时出手点距水平地面的高度为，实心球到达最高点时，距出手点的水平距离是，距水平地面的高度是，记落地点为，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求实心球运动路线所在抛物线的表达式； (2)若实心球投掷成绩（出手点与落地点的水平距离）达到为满分，请通过计算判断该次练习小明同学能否得满分； (3)小明投掷实心球时，有一位身高的同学正好闯入实心球场地且在线段上跑动，若闯入的同学是安全的，求此时该同学所在位置的横坐标的取值范围． 【变式1】在校运动会上，小华在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处距离地面的高度是米，当铅球运行的水平距离为4米时，达到最大高度3米的处，小华此次投掷的成绩是　 　 米． 【变式2】广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度（米关于水珠和喷头的水平距离（米的函数解析式是，那么水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是（　　） A．1米 B．2米 C．5米 D．6米 【变式3】某广场上有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管喷出，的长为，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点到点的距离为．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度（单位：）与水平距离（单位：）之间近似满足函数关系式（），则水流喷出的最大高度为_____________． 【变式4】某学校有一喷水池，如果以喷水口（点）所在的铅垂线为轴，相应的地面水平线为轴，1米为单位长度建立直角坐标系，喷出的抛物线形水柱在最高处（点）距离轴1米，水柱落地处（点）距离y轴4米，喷水口距离地面为2米，求抛物线形水柱的最高处距离地面的高度． 1．把一根长为的铅丝折成一个矩形，当矩形的一边长为时，它的面积为，则y关于x的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 2．设边长为的正方形的面积为，则关于的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 3．某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元．经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 售价x（元/千克） 50 60 70 销售量y（千克） 100 80 60 设每天的总利润为W（元），则W与x之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 4．赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为，当水面离桥拱顶的高度是2m时，这时水面宽度为（　　） A．﹣10m B．m C．m D．m 5．用一根长的绳子围成一个矩形，该矩形的面积最大是__________． 6．小明以二次函数的图象为灵感为“2017北京房山国际葡萄酒大赛”设计了一款杯子，如图为杯子设计稿，若，，则杯子的高的长为 _____． 7．已知某快餐店卖出盒饭的数量x（单位：盒）与所获利润y（单位：元）满足函数解析式，则当卖出盒饭的数量为______时，获得的利润最大，最大利润为______元． 8．某公园要在小广场建造一个喷泉景观．在小广场中央处垂直于地面安装一个高为1.25米的花形柱子，安置在柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过的任一平面上抛物线路径如图所示．为使水流形状较为美观，设计成水流在距的水平距离为1米时达到最大高度，此时离地面2.25米．张师傅在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子的距离为米，则的取值范围是______．    9．如图，公园的花坛正中间有一个喷灌嘴，将开关开至最大时，喷出的水流形状接近于抛物线．当水流距离地面时，距喷灌嘴的水平距离为，水流落地点距喷灌嘴的水平距离． (1)求水流所在抛物线的函数表达式； (2)为了给公园增添艺术氛围，园林部门计划在水流下方放置一些雕塑． ①若雕塑的高度为，求与喷灌嘴的水平距离在多大范围内时，雕塑不会被水流直接喷到； ②若在距喷灌嘴水平距离为处有一高度为的雕塑，请判断该雕塑是否会被水流直接喷到？ 10．某网店销售某种文具，每个售价10元，每天可卖30个，为了增加利润，该网店采取了薄利多销的方式，决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每天可多卖10个．已知该种文具每个成本价5元，设该种文具每个降价x元，每天的销售量为y个． (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)当每个文具降价多少元时，每天的销售利润最大，最大利润为多少元？ 1．正方形的面积与边长的函数图像大致为（    ） A．B．C．D． 2．某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度与水平距离的关系可以表示为，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（     ） A． B． C． D． 3．篮球自动发球机是用于日常投篮、传球等技术训练的一种辅助设备，篮球从发球机发出后，把球看成点，其飞行路线可以看成抛物线的一部分．一位教练为了获得篮球飞行过程中离地高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系，测得一些数据如下表： 0 0.8 1.6 2.4 3.2 4.0 … 0.500 1.268 1.652 1.652 1.268 0.500 … 根据以上数据，下列结论： ①发球机出球口离地面竖直高度为；②当篮球飞行水平距离为和时，达到最大高度；③当篮球飞行水平距离为时，篮球落地；④若球离地高度满足时，接球较为舒适，则小明站在距发球机水平距离处，能舒适地接到球． 其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．某汽车的紧急刹车距离（米）与车速（千米/小时）的关系是．如果前方25米处发生了事故，司机驾驶该车紧急刹车避免了碰撞，那么可以推测该车车速不超过_______千米/小时． 5．如图，某建筑物的截面可以视作由两条线段，和一条曲线围成的封闭的平面图形．已知 ，曲线是以点为顶点的抛物线的一部分， ，点到、的距离分别为 和 ，则的长为________________． 6．如图，左侧是一把撑开的雨伞，右侧是其直截面示意图，伞面的轮廓可以看作是一条抛物线，在图示的坐标系中，其表达式为，点、在抛物线上，且关于轴对称，若顶点到的距离是1.08分米，那么、两点之间的距离是_________分米．    7．2026年6月11日晚，“吴越杯”足球赛决赛，金华队对阵温州队．金华队在第83分钟时一记大力抽射，扳平比分．最终点球以战胜温州队，获得冠军．如图，据球迷目测，该球员在距离球门24米处射门，当球飞出14米远处，达到最高点，最终在球门离地面1.2米高处入网．这条抛物线的表达式为_________． 8．端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同，在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒，设猪肉粽每盒售价元，表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元）． (1)猪肉粽每盒的进价为__________元； (2)若每盒利润率不超过，问猪肉粽每盒售价为多少元时，商家每天获利1350元？ (3)若满足，求商家每天的最大利润． 9．某地一商场为减少能源消耗，计划为商场外墙与屋顶加建隔热层，加建成本（万元）与隔热层厚度（厘米）满足关系式．加建后该商场预计每年的能源消耗费用（万元）与隔热层厚度（厘米）满足关系式．如果设该商场加建隔热层的成本与未来年的能源消耗费用之和为（万元）． (1)求与的关系式； (2)已知该商场未来年的相关计划费用（万元）满足，那么当时，求隔热层厚度（厘米）的取值范围． 10．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为轴，过跳台终点作水平线的垂线为轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点正上方米处的点滑出，滑出后沿一段抛物线运动． (1)当运动员运动到离处的水平距离为米时，离水平线的高度为米，求抛物线的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)在（1）的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为米； (3)当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过米时，求的取值范围． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题27.5 二次函数的实际应用 教学目标 1. 能分析实际问题中的变量关系，建立二次函数模型解决问题； 2. 能利用配方法或公式法求二次函数的最大值解决最值问题； 3. 能利用二次函数的图像与性质解决诸如面积、利润、运动轨迹等实际问题。 教学重难点 重点： 能分析实际问题中的变量关系，建立二次函数模型解决问题； 难点： 二次函数模型的选择与应用； 知识点01 根据实际问题建立二次函数模型 1. 面积模型 根据面积公式建立二次函数模型，利用配方法结合自变量取值范围求面积最值进而解决实际问题。 2. 利润最值模型 根据利润与单价、销售量之间的数量关系建立二次函数模型，利用配方法结合自变量取值范围求面积最值进而解决实际问题。 3. 抛物线模型 （1）抛物线造型 建立合理的直角坐标系，求出抛物线的表达式，计算高度、宽度进一步解决实际问题。 （2）抛物线轨迹 建立合理的直角坐标系，求出抛物线的表达式，计算最高点和落点坐标进一步解决实际问题。 知识点02 利用二次函数的性质解决实际问题 1. 建立二次函数模型解决实际问题的一般步骤： ①审题，找准变量及变量之间的数量关系； ②建模，设比变量x、函数y,列出二次函数表达式； ③求表达式； ④用表达式。 2. 二次函数的最值问题 ① 当二次函数图像的顶点在区间内时，最值就是顶点纵坐标； ② 当二次函数图像的顶点不在区间内时，结合自变量取值范围，最值就是最高（低）点纵坐标； 题型01 图形面积问题 【典例1】某养殖户为扩大养殖规模，拟一边利用墙建一个矩形的养鸡场地，如图，已知可利用的墙长不超过，另外三边由长的栅栏围成，设矩形养鸡场地中，垂直于墙的边为，面积为． (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)当x为何值时，y有最大值?最大值是多少? 【答案】(1) (2)当时，y有最大值，最大值为， 【分析】本题考查了二次函数的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据矩形的面积公式列出y与x之间的函数关系式，并由求出自变量x的取值范围即可； （2）把（1）中所得的二次函数解析式写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∵， ∴， ∴y与x之间的函数关系式为； （2）解：由（1）知， 化成顶点式：， ∵开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y有最大值，最大值为， 【变式1】如图所示的是一个用长的铝合金条制成的矩形窗框．若要使窗户的透光面积最大，则AD的长为_______m． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，设，则，则根据矩形面积公式列出二次函数求函数值的最大值即可． 【详解】解：设透光面积为，，则， 窗户的透光面积． ， 当时，y取得最大值， 当的长为时，窗户的透光面积最大． 故答案为：． 【变式2】如图，某校用长的隔离网沿着院墙围成一个矩形形状的劳动实践基地，中间有隔离网，已知，可利用的院墙长为．当基地长度为多少时，该劳动实践基地的面积最大？请求出其最大值（不考虑隔离网的宽度）． 【答案】当基地长度为时，该劳动实践基地的面积最大，最大值为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的图象与性质，二次函数的最值问题，读懂题意找准等量关系，正确列出一元二次方程，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 设劳动实践基地的面积为，，可得关于的函数关系式，配方得到顶点式即可得到最值解题即可． 【详解】解：设劳动实践基地的面积为，，则， ． ， 当时，． 答：当基地长度为时，该劳动实践基地的面积最大，最大值为． 【变式3】如图，利用一面墙（墙长20米），用总长43米的篱笆（图中实线部分）围成一个矩形鸡舍，且中间共留两个1米的小门．设篱笆长为x米． (1)______米（用含x的代数式表示）； (2)矩形鸡舍的面积的最大值是多少？说明理由． 【答案】(1) (2)最大值为，理由见解析 【分析】（1）设篱笆长为x米，根据篱笆的全长结合中间共留2个1米的小门，即可用含x的代数式表示出的长； （2）把二次函数表达式化成顶点式，再根据二次函数的性质求得结果． 【详解】（1）设篱笆长为x米， ∵篱笆的全长为43米，且中间共留两个1米的小门， ∴米． 故答案为：； （2）由题意得 ∴对称轴是直线 由题意得 ∵，即 ∴         ∵抛物线的开口向下，x的取值在抛物线对称轴的右侧，在对称轴右侧S随x的增大而减小 ∴当x取最小值时，S取最大值 ∴时， 【点睛】本题考查了二次函数的应用、列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出AB的长；（2）找准数量量关系，正确列出函数解析式，利用二次函数的性质求解． 【变式4】有这样一个例题：有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为，如何设计这个窗户，使透光面积最大？ 这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为时，透光面积最大值约为．我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料总长仍为，利用图3，解答下列问题： (1)若为，求此时窗户的透光面积？ (2)与上一个例题比较，改变窗户形状后，若设的长度为，请问当x的值为多少时窗户透光面积最大？与例题相比透光的最大面积是否变大？通过计算说明． 【答案】(1) (2)当时，窗户透光面积最大，与例题相比透光的最大面积变大 【分析】本题考查二次函数的应用，涉及矩形和正方形的性质，二次函数的性质，正确列出函数关系式是解答的关键． （1）根据矩形和正方形的性质求解即可； （2）设，则，根据矩形性质得窗户的透光面积，利用二次函数的性质求得最大面积为，进而通过比较可得结论． 【详解】（1）解：由题意，，， ∴， ∴此时窗户的透光面积为； （2）解：设，则， ∵， ∴， 则窗户的透光面积， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为，即当时，窗户透光面积最大； ∵， ∴与例题相比透光的最大面积变大． 题型02 图形运动问题 【典例1】如图，在矩形中，，P，Q分别是边上的动点，，设，则y关于x的函数图象大致是（　　） A． B． B． C． D． 【答案】C 【分析】过作的垂线，根据矩形的性质以及勾股定理，写出关于的表达式从而可以得到图象的形状． 【详解】解：过作于， 四边形为矩形， ， ， ∴， 四边形也是矩形， ，， ， ， 在上，在上， ，， ， 关于的函数图象是开口向上，对称轴为的抛物线． 【变式1】如图，点和点同时从正方形的顶点出发，点沿着运动，点沿着运动，速度都为，终点都是点．若，则的面积S（cm2）与运动时间之间的函数关系的大致图象是（    ） A． B． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了动点问题的函数图象．当时，；当时，，结合图形，即可求解． 【详解】解：当时，如图， ∴，， ∴，此时抛物线开口向上． 当时，如图， ∴，， ∵，四边形是正方形， ∴， ∴，， ∴， ∴ ，此时抛物线的开口向下． 综上，选项A符合题意， 故选：A． 【变式2】如图，在边长为的正方形中，点，，，分别从点，，，同时出发，均以的速度向点，，，匀速运动，当点到达点时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为________时，四边形，的面积最小，其最小值是________． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数与实际问题的运用，理解并掌握配方法求二次函数最值的方法是解题的关键． 根据题意，设运动时间为，可得，，，可得，根据数量关系列式，可得关于的二次函数的解析式，运用配方法求最值即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 点，，，分别从点，，，同时出发，均以的速度向点，，，匀速运动，设运动时间为， ∴，， ∴， ∴， ∴ ， ∵，即关于的二次函数图像开口线上，则有最小值， ∴当时，有最小值，且最小值为， 故答案为：，． 【变式3】．在平面直角坐标系中，，，．直线轴，从轴出发，以每秒1个单位长度的速度沿着轴向右平移，运动时间为秒．当经过点时，停止运动．    (1)如图1，当时，将四边形分割成左右两部分，在左侧部分的面积记为，请用含的式子表示； (2)如图2，在平移过程中，与线段交于点，当最小时，此时是否在上存在点，在平面上存在点，使得是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请求出的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】（1）当时，直线l左侧部分为矩形，当时，直线l左侧部分为矩形和梯形，分别计算即可； （2）当 时最小，可设的坐标，根据是以为斜边的等腰直角三角形可列方程解答． 【详解】（1）解：由题意可知： 直线l是：， 当时，直线l左侧部分为矩形， ， ， ， 过点B作于点D，直线l与交于点Q，    当时，直线l左侧部分为矩形和梯形， 设直线的解析式为：， ，， ， 解得：， 直线的解析式为：， 当时， ， ， ， ； （2）解：由题意可知：当 时最小， 此时直线l是， 设的坐标， ，， ， ， ， 是以为斜边的等腰直角三角形， , , ， 解得：， 的坐标． 【点睛】本题考查了点的坐标与图形，求函数解析式，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解决问题的关键． 【变式4】如图1，在正方形中，以A为原点，所在的直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，正方形的边长为4，点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点D运动，同时点Q从点A出发，仍以每秒2个单位长度的速度沿向点C运动，当点P运动到点D时，P、Q两点同时停止运动，设点P运动的时间t秒，的面积为S． (1)通过取点、画图、测量，得到了S与t的几组值，如下表： t 1 2 3 4 s m 8 n 8 请直接写出m=________，n=________； (2)直接写出S关于t的函数关系式；并写出相应t的取值范围． __________________________________________； (3)如图2，在平面直角坐标系中，描出已补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；根据图象填空： ①当_____________________，S随t的增大而增大． ②已知的图象如图所示，请直接写出当时，t的取值范围_________． 【答案】(1)， (2) (3)①当或S随t的增大而增大，②当时，t的取值范围 【分析】本题考查了正方形的性质，画二次函数的图象，审清题意正确列出函数解析式是解题的关键． （1）当时，时，求出 即可； （2）分，两种情况讨论即可； （3）描出（2）中表格的各对对应值为坐标的点，然后用平滑的曲线连线即可；． 【详解】（1）当时，, ∴ 即 当时，, 故答案为：， （2）当时，，， ； 当时，，， ； 综上，； （3）如图， ①当或S随t的增大而增大． ②当时，t的取值范围． 题型03 销售利润问题 【典例1】某商店经销一种玩具，每个进价60元，每个玩具不得低于80元出售．玩具的单价m（元/个）与销售数量n（个）之间的函数关系如图所示． (1)写出该店当一次销售个时，所获利润w（元）与销售数量n（个）之间的函数关系式： (2)店长经过一段时间的销售发现：卖26个赚的钱反而比卖30个赚的钱多，你能用数学知识解释这一现象吗？为了不出现这种现象，在其他条件不变的情况下，店长应把最低价每个80元至少提高到多少？ 【答案】(1)当时，， 当时， (2)解释见详解，至少提高到85元 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的增减性及利用待定系数法求函数的解析式． （1）先利用待定系数法求线段的函数的解析式，设，把和代入上式得到关于k，b的方程组，解方程组即可，然后再分类讨论：当时，；当时，； （2）配方得到，根据二次函数的性质讨论增减性，可得卖26个赚的钱反而比卖30个赚的钱多，为了不出现这种现象，在其他条件不变的情况下，店长应把最低价每个80元至少提高到85元． 【详解】（1）解：设， 将和代入上式，得， 解得， ∴线段的函数解析式为， 当时，， 当时，． （2）解：， ①当时，w随n的增大而增大，即卖的越多，利润越大； ②当时，w随n的增大而减小，即卖的越多，利润越小， ∴卖26个赚的钱反而比卖30个赚的钱多， ∴当时，， ∴当每个玩具不得低于85元时，n的范围为，函数图象都在对称轴左侧，w随n的增大而增大，即卖的越多，利润越大， ∴为了不出现这种现象，在其他条件不变的情况下，店长应把最低价每个80元至少提高到85元 【变式1】一部名为《南京照相馆》的电影于2025年7月25日上映，取材于南京大屠杀期间日军真实罪证影像，一经上映票房一路狂飙，掀起爱国热潮．某兴趣小组开展以“爱国为主题”项目式学习： 素材1：某影院7月28日的票房收入为10万元，随着观影人数的不断增多，7月30日的票房收入达到16.9万元． 素材2：某商家生产了一批以爱国为主题的图册，一册成本为14元，当售价定为每本28元时，平均每天售出200本．经市场调研，每降1元出售，平均每天多售出40本． 解决问题： (1)求从7月28日到7月30日票房收入的平均增长率？ (2)根据素材2，商家每天固定成本为300元（如房租、水电、人工等），在进价、成本、售价与销量关系不变的情况下，求售价为多少元时，每天最大利润为多少？ 【答案】(1) (2)售价为元时，每天最大利润为元 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用(平均增长率问题)和二次函数的实际应用(利润最值问题)． （1）平均增长率问题的核心公式为：，设平均增长率为，根据7月日和7月日的票房数据列一元二次方程求解，舍去不符合实际的负根即可得到结果． （2）利润最值问题需先建立利润与售价的函数关系式：利润=单件利润×销售量-固定成本．设售价为元，分别表示出单件利润和销售量，进而得到二次函数表达式，利用二次函数“开口向下时，顶点处取得最大值”的性质计算最大利润及对应售价． 【详解】（1）解：设从7月日到7月日票房收入的平均增长率为， ∴根据素材1列方程：， 解得：，(增长率不能为负数，舍去)， 答：从7月日到7月日票房收入的平均增长率为； （2）解：设售价为元，每天的利润为元， 根据素材2，当售价为元时，每天的销售量为本， ∴， ∵二次项系数， ∴该二次函数图象开口向下， ∴当时，有最大值． 答：售价为元时，每天最大利润为元． 【变式2】垃圾分类作为一个公共管理的综合系统工程，需要社会各个层面共同发力，洛阳市某超市计划定制一款家用分类垃圾桶，独家经销．生产厂家给出如下定制方案：不收设计费，定制不超过200套时，每套费用60元；超过200套后，超出的部分8折优惠．已知该超市定制这款垃圾桶的平均费用为56元1套． （1）该超市定制了这款垃圾桶多少套？ （2）超市经过市场调研发现：当此款垃圾桶售价定为80元套时，平均每天可售出20套；售价每降低1元，平均每天可多售出2套．当售价下降多少元时，可使该超市平均每天销售此款垃圾桶的利润最大？ 【答案】（1）该超市定制这款垃圾桶300套．（2）售价下降7元时，平均每天销售此款垃圾桶的利润最大． 【分析】（1）设该超市定制了这款垃圾桶套，根据定制不超过200套时，每套费用60元；超过200套后，超出的部分8折优惠，且已知该超市定制这款垃圾桶的平均费用为56元1套，可得的范围，从而可得关于的方程，求解即可． （2）设售价下降元，平均每天销售此款垃圾桶的利润为元，根据题意得关于的二次函数，将其写成顶点式，按照二次函数的性质可得答案． 【详解】解：（1）设该超市定制了这款垃圾桶套， ， ． 根据题意，得， 解得． 答：该超市定制这款垃圾桶300套． （2）设售价下降元，平均每天销售此款垃圾桶的利润为元， 根据题意，得， 整理，得 ． ，且， 当时，有最大值． 答：售价下降7元时，平均每天销售此款垃圾桶的利润最大． 【点评】本题主要考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【变式3】服装店购进一批秋衣，价格为每件30元．物价部门规定其销售单价不高于每件70元，经市场调查发现：日销售量（件是销售单价（元的一次函数，且当时，；时，．在销售过程中，每天还要支付其他费用450元． （1）求出与的函数关系式． （2）求该服装店要想销售这批秋衣日获利750元，售价应定多少元？ （3）请销售单价为多少元时，该服装店日获利最大？最大获利是多少元？ 【分析】（1）根据与成一次函数解析式，设为，把与的两对值代入求出与的值，即可确定出与的解析式，并求出的范围即可； （2）根据利润单价销售量其它费用列出关于的一元二次方程，解之即可； （3）利用二次函数的性质求出的最大值，以及此时的值即可． 【详解】解：（1）设，根据题意得： ， 解得：，， ； （2）； 解得：，， 物价不超过每件70元， 舍去； 答：销售单价为40元时，获利750元． （3）设日获利为， 则， 时，有最大值为2000元 当销售单价为65元时，该服装店日获利最大，为2000元． 【点评】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键． 【变式4】某厂家生产销售一种儿童电动玩具，3月份前4天该儿童电动玩具售价y（元/个）和销量t（个）的数据如下表所示： 第x天 1 2 3 4 售价 y（元/个） 30 32 34 36 销量 t/个 100 120 140 160 从第5天开始工厂对外调整价格为28元一个，据统计第5天以后儿童电动玩具销量t（个）和第x天的关系为（，且x为整数）． (1)写出销量t（个）与第x天（前4天）满足的关系式，并且求出第5天以后的最大销量． (2)若成本价为20元/个，求该工厂这些天（按20天计）销售该儿童电动玩具得到的利润W（元）与第x天满足的关系式，并写出第几天的利润最大，最大利润为多少． 【答案】(1)销量t（个）与第x天（前4天）满足的关系式为，第5天以后第20天的销量最大，最大值为500 (2)，第20天时工厂利润最大，最大利润为4000元 【分析】本题考查二次函数的应用，待定系数法求函数解析式，解题的关键是找到等量关系求分段函数的解析式． （1）根据表格中数据，用待定系数法求出销量t与第x天满足的关系式，并根据第5天以后儿童电动玩具销量t（个）和第x天的关系式，由函数性质求出最值； （2）根据单件利润×销售量＝总利润分段列出函数解析式，即可由函数性质得到答案． 【详解】（1）解：由表格可知，前4天销量t与第x天满足一次函数关系， 设，把代入得： ， 解得， ∴销量t与第x天满足的关系式为； ∵第5天以后儿童电动玩具销量t（个）和第x天的关系为， ∵， ∴当时，t随x的增大而增大， ∵， ∴当时，t有最大值，最大值为， ∴销量t（个）与第x天（前4天）满足的关系式为，第5天以后第20天的销量最大，最大值为500； （2）解：设y与x的函数解析式为， 把代入得： ， 解得， ∴y与x的函数解析式为， ①当时，， 当时，W有最大值，最大值为； ②当时，， ∵， ∴当时，W有最大值，最大值为， ∴第20天时W的最大值为4000元． ∴W（元）与x的函数关系式为；第20天时工厂利润最大，最大利润为4000元． 题型04 增长率问题 【典例1】某农机厂四月份生产零件60万个，设该厂第二季度平均每月的增长率为，如果第二季度共生产零件万个，那么与满足的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】设该厂第二季度平均每月的增长率为，则五月份生产零件万个，六月份生产零件万个，根据第二季度共生产零件万个，即可找出与之间的函数关系式． 【详解】解：设该厂第二季度平均每月的增长率为，则五月份生产零件万个，六月份生产零件万个， 依题意得：． 故选：． 【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出与之间的函数关系式是解题的关键． 【变式1】最新报告显示，2023年全球金属增材制造市场的总收入达到了亿美元．若2025年的市场规模为y亿美元，平均每年的增长率为x，则y关于x的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数的关系式，解题的关键是掌握增长率的公式． 已知初始值、年均增长率和增长年数、最终量，利用增长率模型公式即可求解． 【详解】解：由题意，年的市场规模为亿美元，年均增长率为，经过2024年和2025年共两年的增长． 第一年（年）：市场规模增长到． 第二年（年）：在第一年的基础上再增长，即． 因此，年的市场规模与年均增长率的函数关系为， 对应选项C． 其他选项中，A未包含初始值，B和D的表达式不符合增长率模型公式，故排除． 故选：C． 【变式2】某工厂1月份的产值为200万元，若平均每月产值的增长率为，该工厂3月份的产值为y，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的实际应用．根据该工厂3月份的产值该工厂1月份的产值平均每月产值的增长率)，列出二次函数关系式即可得出答案． 【详解】解：某工厂1月份的产值为200万元，平均每月产值的增长率为，该工厂3月份的产值为， ， 故选：C． 【变式3】某印刷厂10月份印书20万册，如果第四季度从11月份起，每月的印书量的增长率都为，如果设12月份比10月份多印了万册，那么关于的函数解析式是_____．（不写定义域） 【答案】 【分析】本题主要考查了平均增长率的问题．根据10月份的印数表示出12月份的印数即可表示出答案． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为：． 【变式4】某种药品售价为每盒300元，经过医保局连续两次“灵魂砍价”，药品企业同意降价若干进入国家医保用药目录．如果每次降价的百分率都是，则两次降价后的价格（元）与每次降价的百分率之间的函数关系式是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键； 根据连续两次降价，每次降价的百分率为，则两次降价后的价格等于原价乘以的平方． 【详解】解：∵每次降价的百分率都是， ∴第一次降价后价格为， 第二次降价后价格为， ∴， 故选：B． 题型05 抛物线造型问题 【典例1】 远离喧嚣、拥抱自然，露营已然成为人们青睐的假期休闲选择，各式帐篷是户外露营的核心装备．其中抛物线型帐篷支架简约、携带便捷，格外适合日常休闲旅行场景． (1)【建立模型】 小亮发现某款帐篷（如图1所示）的正面支架可以看作是一条抛物线，搭建时支架底端张开的宽度，顶部高度，若以所在直线为x轴，抛物线对称轴为y轴建立平面直角坐标系（如图2所示），求帐篷支架对应的抛物线的函数解析式； (2)【运用模型】 此帐篷张开时的宽度和高度会影响容纳的拉杆箱数量，图3为一个拉杆箱摆入这款帐篷后的简易视图，拉杆箱高度，宽度，若在帐篷内沿方向摆放一排此款拉杆箱，求最多可摆放多少个拉杆箱． 【答案】(1)抛物线的函数解析式为 (2)最多可摆放6个拉杆箱 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）先求出，顶点坐标为，设抛物线的函数表达式为，然后用待定系数法求解即可； （2）将代入，解出的值，然后用两根之差除以拉杆箱的宽度即可作答． 【详解】（1）解：帐篷搭建时张开的宽度，顶部高度， ，，顶点 设抛物线函数解析式为 把代入得：， 解得： 抛物线的函数解析式为； （2）解：，且拉杆箱高度， 把代入得， 解得，， ， 拉杆箱宽度， ， 又拉杆箱数量为正整数， 最多可摆放的拉杆箱数量为6个． 答：若在帐篷内沿方向摆放一排此款拉杆箱，最多可摆放6个拉杆箱． 【变式1】有一座拱桥的截面图是抛物线形状，在正常水位时，桥下水面宽20米，拱桥的最高点距离水面为3米，如图建立直角坐标平面，那么此抛物线的表达式为 　 　． 【答案】． 【分析】由函数图象可设该抛物线的解析式是，再结合图象，只需把代入求出的值即可． 【详解】解：该抛物线的解析式是， 由图象知，点在函数图象上，代入得： ， ． 该抛物线的解析式是； 故答案为：． 【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，能够熟练运用待定系数法求得二次函数的解析式是此题的考查点． 【变式2】已知抛物线形拱桥的横截面示意图，当拱顶离水面4米时，水面宽8米．如图建立平面直角坐标系，如果水面上升3米，那么水面宽度减少　 　 米． 【答案】4． 【分析】依据题意，从图象看，抛物线的顶点为，设抛物线的表达式为，将点的坐标代入上式，可得解析式，然后根据当水面上升3米时，令，求出的值即可判断得解． 【详解】解：由题意，从图象看，抛物线的顶点为， 设抛物线的表达式为， 抛物线过原点，故当时，， ， ． 当水面上升时，令，则． 或． 此时水面宽为（米， 水面宽度减少（米． 故答案为：4． 【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，根据题意确定关键点坐标求出函数表达式，是解题的关键． 【变式3】图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2，已知其底部宽度为，高度为，则离地面处的水平宽度（即的长）为___________． 【答案】40 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，正确地求出函数解析式是解题的关键．先建立直角坐标系，再根据题意设抛物线的解析式，然后根据点在抛物线上，可求出抛物线的解析式，最后将代入求出x的值，即可得的长． 【详解】解：以底部所在的直线为x轴，以线段的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系， ， 设抛物线的解析式为， 将代入， 得， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ， 故答案为：40． 【变式4】综合与实践 问题情境： 如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，其中矩形的长，宽．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用表示，且抛物线上的C点到墙面的水平距离为时，到地面的距离为．为了安全起见，隧道正中间有宽为的隔离带． 问题解决： (1)求b、c的值，并计算出拱顶D到地面的距离； (2)在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，且它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过，那么两排灯的水平距离最小是多少米？ (3)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为，宽为，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？ 【答案】(1)，． (2)． (3)这辆货车能安全通过． 【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，正确求得函数表达式是解答的关键． （1）利用待定系数法求得函数表达式，进而可求解； （2）令，解方程求得x值，进而可求解； （3）求解当或时，，进而可得结论． 【详解】（1）解：根据题意得， 将的坐标代入， 得，解得 抛物线的表达式为， 拱顶D到地面的距离为； （2）解：令，则， 解得，则， 所以两排灯的水平距离最小是； （3）解：由题意得货车最外侧与地面的交点为或， 当或时，， 所以这辆货车能安全通过． 题型06 抛物线轨迹问题 【典例1】 为迎接体育考试，小明同学在体育课上练习投掷实心球，实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图，在某次练习中，小明投掷时出手点距水平地面的高度为，实心球到达最高点时，距出手点的水平距离是，距水平地面的高度是，记落地点为，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求实心球运动路线所在抛物线的表达式； (2)若实心球投掷成绩（出手点与落地点的水平距离）达到为满分，请通过计算判断该次练习小明同学能否得满分； (3)小明投掷实心球时，有一位身高的同学正好闯入实心球场地且在线段上跑动，若闯入的同学是安全的，求此时该同学所在位置的横坐标的取值范围． 【答案】(1) (2)由（1）知抛物线表达式为，出手点与落地点的水平距离，即点和点之间距离， 当时，， 解得，， 点坐标为或， ∵点在轴正半轴， ∴（不符合题意，舍去）， ， ， ， ， 小明此次练习能得满分． (3) 【分析】（1）根据题意写出坐标，待定系数法计算抛物线表达式． （2）根据（1）中的抛物线表达式求出轴交点坐标，对比交点到原点的距离和大小关系即可． （3）利用抛物线对称轴求出点关于对称轴对称点坐标，为了保证安全，即可求出横坐标范围， 【详解】（1）解：根据题意可知，抛物线的顶点为，点坐标为 设抛物线的顶点式为：， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为：． （2）略 （3）由题意可知，抛物线的对称轴为直线， ， 点P关于抛物线对称轴对称的点的坐标为， ∵同学身高，为了保证安全，此时， 此时该同学所在位置的横坐标的取值范围为． 【变式1】在校运动会上，小华在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处距离地面的高度是米，当铅球运行的水平距离为4米时，达到最大高度3米的处，小华此次投掷的成绩是　 　 米． 【答案】10． 【分析】根据题意可知点的坐标为，顶点为，设抛物线的表达式为，将点和点的坐标代入即可求出该抛物线的表达式，最后令，求出此时的值即可． 【详解】解：由题意得：点的坐标为，顶点为． 设抛物线的表达式为，将点的坐标代入得： ， 解得， 抛物线的表达式为， 令，则， 解得或（不合题意，舍去）． 答：小华此次投掷的成绩是10米． 故答案为：10． 【点评】本题主要考查了二次函数的实际应用，解答本题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式． 【变式2】广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度（米关于水珠和喷头的水平距离（米的函数解析式是，那么水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是（　　） A．1米 B．2米 C．5米 D．6米 【答案】 【分析】根据二次函数的顶点式即可求解． 【详解】解：， 时，取最大值6， 即水珠的高度达到最大6米时，水珠与喷头的水平距离是2米， 故选：． 【点评】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握把二次函数的解析式化为顶点式． 【变式3】某广场上有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管喷出，的长为，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点到点的距离为．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度（单位：）与水平距离（单位：）之间近似满足函数关系式（），则水流喷出的最大高度为_____________． 【答案】/米 【分析】由题意可得，抛物线经过点和，把上述两个点的坐标代入二次函数表达式，可求出a和c的值，则抛物线的解析式可求出，再把抛物线解析式化为顶点式即可求出水流喷出的最大高度． 【详解】解：由题意可得，抛物线经过点和， 把上述两个点坐标代入二次函数表达式得： ， 解得：， ∴函数表达式为：， ∵，故函数有最大值， ∴当时，y取得最大值，此时， 答：水流喷出的最大高度为． 【变式4】某学校有一喷水池，如果以喷水口（点）所在的铅垂线为轴，相应的地面水平线为轴，1米为单位长度建立直角坐标系，喷出的抛物线形水柱在最高处（点）距离轴1米，水柱落地处（点）距离y轴4米，喷水口距离地面为2米，求抛物线形水柱的最高处距离地面的高度． 【答案】米 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，利用待定系数法解得抛物线解析式是解题关键．设该抛物线的解析式为，结合题意，将点，代入并求解，即可确定该抛物线解析式，即可获得答案． 【详解】解：设该抛物线的解析式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴该抛物线的解析式为，其顶点坐标为， ∴抛物线形水柱的最高处距离地面的高度为米． 1．把一根长为的铅丝折成一个矩形，当矩形的一边长为时，它的面积为，则y关于x的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的周长可计算出矩形的另一边长为，再根据矩形的面积计算方法进行列式计算即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得，矩形的另一边长为：， 则． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确理解题意列出函数关系式是解决本题的关键． 2．设边长为的正方形的面积为，则关于的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象的知识，解题的关键是掌握二次函数图象的实际运用，根据题意，则且，即可． 【详解】根据题意，， ∴对称轴为轴； ∵为正方形的边长， ∴， 故选：C． 3．某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元．经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 售价x（元/千克） 50 60 70 销售量y（千克） 100 80 60 设每天的总利润为W（元），则W与x之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的应用和一次函数的应用，根据题意可以设出y与x之间的函数表达式，然后根据表格中的数据即可求得y与x之间的函数表达式，根据题意可以写出W与x之间的函数表达式． 【详解】解：设y与x之间的函数解析式为， ， 得， 即y与x之间的函数表达式是； 由题意可得，， 即W与x之间的函数表达式是． 故选：B． 4．赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为，当水面离桥拱顶的高度是2m时，这时水面宽度为（　　） A．﹣10m B．m C．m D．m 【答案】D 【分析】把代入解析式即可求解． 【详解】根据题意，当时，有， 解得：， ∴，， ∴这时水面宽度m． 故选：D． 【点睛】本题考查了点的坐标的求法及二次函数的实际应用，熟练借助二次函数解决实际问题是解题关键． 5．用一根长的绳子围成一个矩形，该矩形的面积最大是__________． 【答案】/4平方米 【分析】本题考查了二次函数的性质，先根据题意列出函数关系式，再求其最值即可．求最值得问题常用的思路是转化为函数问题，利用函数的性质求解． 【详解】解：设矩形的一边长为，所以另一边长为， 其面积为， ∴当时，的最大值为4， ∴该矩形的面积最大是． 故答案为：． 6．小明以二次函数的图象为灵感为“2017北京房山国际葡萄酒大赛”设计了一款杯子，如图为杯子设计稿，若，，则杯子的高的长为 _____． 【答案】 11 【分析】首先由求出D点的坐标为，然后根据，可知B点的横坐标为，代入，得到，所以，又，所以可知杯子高度． 【详解】解：， 抛物线顶点的坐标为， ， 点的横坐标为， 把代入，得到， ， ． 7．已知某快餐店卖出盒饭的数量x（单位：盒）与所获利润y（单位：元）满足函数解析式，则当卖出盒饭的数量为______时，获得的利润最大，最大利润为______元． 【答案】 600 2400 【分析】将函数解析式化成顶点式，即可得到利润最大时卖出的盒饭数量和最大利润。 【详解】解：函数解析式的二次项系数为 开口向下，有最大值； 当卖出盒饭的数量为600时，获得的利润最大，最大利润为2400元． 故答案为. 【点睛】本题考查的知识点为二次函数的图像与性质以及二次函数的顶点解析式，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题关键。 8．某公园要在小广场建造一个喷泉景观．在小广场中央处垂直于地面安装一个高为1.25米的花形柱子，安置在柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过的任一平面上抛物线路径如图所示．为使水流形状较为美观，设计成水流在距的水平距离为1米时达到最大高度，此时离地面2.25米．张师傅在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子的距离为米，则的取值范围是______．    【答案】 【分析】本题考查二次函数的应用．根据题意建立直角坐标系，将抛物线设成顶点式，用待定系数法即可求出第一象限内的抛物线解析式，再令，解方程求出的值，再根据函数的图象和性质，求出时的取值范围即可． 【详解】解：以点为原点建立如图所示的平面直角坐标系，水流到水平距离为米，水流喷出的高度为米， 根据题意第一象限内的抛物线的顶点坐标为，， 设第一象限内的抛物线解析式为， 将点代入抛物线解析式得： ， 解得， 第一象限内的抛物线解析式为； 令得， 解得，， ，抛物线开口向下， 当时，， 的取值范围为； 故答案为：． 9．如图，公园的花坛正中间有一个喷灌嘴，将开关开至最大时，喷出的水流形状接近于抛物线．当水流距离地面时，距喷灌嘴的水平距离为，水流落地点距喷灌嘴的水平距离． (1)求水流所在抛物线的函数表达式； (2)为了给公园增添艺术氛围，园林部门计划在水流下方放置一些雕塑． ①若雕塑的高度为，求与喷灌嘴的水平距离在多大范围内时，雕塑不会被水流直接喷到； ②若在距喷灌嘴水平距离为处有一高度为的雕塑，请判断该雕塑是否会被水流直接喷到？ 【答案】(1) (2)①高度为的雕塑，其与喷灌嘴的水平距离在时，才不会被水流直接喷到；②不会． 【分析】本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数的图象和性质是解题关键． （1）利用待定系数法，将点，代入抛物线解析式求解即可； （2）①令，求出对应的自变量取值，即可求解；②令，求出对应的函数值，再进行比较即可． 【详解】（1）解：由题意可知，水流所在抛物线经过点，， 将其分别代入得： ，解得， 水流所在抛物线的函数表达式为：； （2）解：①令，则， 解得，， 高度为的雕塑，其与喷灌嘴的水平距离在时，才不会被水流直接喷到； ②令，则， ， 不会被水流直接喷到． 10．某网店销售某种文具，每个售价10元，每天可卖30个，为了增加利润，该网店采取了薄利多销的方式，决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每天可多卖10个．已知该种文具每个成本价5元，设该种文具每个降价x元，每天的销售量为y个． (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)当每个文具降价多少元时，每天的销售利润最大，最大利润为多少元？ 【答案】(1) (2)每盒降1元时，每星期的销售利润最大，最大利润160元 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是构建二次函数解决最值问题． （1）根据每降价1元，每天可多卖10个，列出函数关系式即可； （2）设每天利润为W元，构建二次函数利用二次函数性质解决问题． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∵该种文具每个成本价5元，每个售价10元， ∴； 即y与x之间的函数关系式为； （2）解：设每天利润为W元，根据题意得： ， ∵， ∴当时，W取得最大值，最大值为160， 答：每盒文具降1元时，每天的销售利润最大，最大利润160元． 1．正方形的面积与边长的函数图像大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形的面积公式可得：，这是一个二次函数，根据实际意义，图象应该在第一象限，即可得出答案． 【详解】解：由正方形的面积公式可得：， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限． 2．某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度与水平距离的关系可以表示为，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把解析式化为顶点式即可得到答案． 【详解】解：， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为90， ∴这条鱼此次射出的水流的最大高度是． 3．篮球自动发球机是用于日常投篮、传球等技术训练的一种辅助设备，篮球从发球机发出后，把球看成点，其飞行路线可以看成抛物线的一部分．一位教练为了获得篮球飞行过程中离地高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系，测得一些数据如下表： 0 0.8 1.6 2.4 3.2 4.0 … 0.500 1.268 1.652 1.652 1.268 0.500 … 根据以上数据，下列结论： ①发球机出球口离地面竖直高度为；②当篮球飞行水平距离为和时，达到最大高度；③当篮球飞行水平距离为时，篮球落地；④若球离地高度满足时，接球较为舒适，则小明站在距发球机水平距离处，能舒适地接到球． 其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据表格数据和二次函数的性质逐项判断可得答案． 【详解】解：①根据表格数据，当时，，即发球机出球口离地面竖直高度为，故①正确； ②根据表格数据，当和时，， ∴该抛物线的对称轴为直线， 由题意，该抛物线的开口向下， ∴当时，y取得最大值， 即当篮球飞行水平距离为时，达到最大高度，故②错误； ③根据表格数据，当时，， 故当篮球飞行水平距离为时，篮球离地面竖直高度为，未落地，故③错误； ④设该抛物线的解析式为， 将时，，时，代入， 得，解得， ∴该抛物线的解析式为， ∴当时，，满足， 小明站在距发球机水平距离处，能舒适地接到球，故④正确， 综上，正确的是①④，共2个． 4．某汽车的紧急刹车距离（米）与车速（千米/小时）的关系是．如果前方25米处发生了事故，司机驾驶该车紧急刹车避免了碰撞，那么可以推测该车车速不超过_______千米/小时． 【答案】50 【分析】本题考查二次函数的实际应用，求出时的自变量的值即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴当时，解得（负值舍去）； 故该车车速不超过50千米/小时． 故答案为：50 5．如图，某建筑物的截面可以视作由两条线段，和一条曲线围成的封闭的平面图形．已知 ，曲线是以点为顶点的抛物线的一部分， ，点到、的距离分别为 和 ，则的长为________________． 【答案】 【分析】利用顶点式求出二次函数解析式，进而得出答案，利用时，求出y的值即可得出的长． 【详解】解：由题意知， ∵点是抛物线的顶点，可设抛物线的解析式为：， 点在抛物线上，可得，， 解得：， 因此，； 当时，， 所以，． 6．如图，左侧是一把撑开的雨伞，右侧是其直截面示意图，伞面的轮廓可以看作是一条抛物线，在图示的坐标系中，其表达式为，点、在抛物线上，且关于轴对称，若顶点到的距离是1.08分米，那么、两点之间的距离是_________分米．    【答案】6 【分析】本题考查二次函数的应用，根据顶点到的距离是1.08分米，进而求出点的纵坐标为，代入函数解析式进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴， ∵顶点到的距离是1.08分米， ∴点的纵坐标为， 当时，， ∴、两点之间的距离是（分米）； 故答案为：6． 7．2026年6月11日晚，“吴越杯”足球赛决赛，金华队对阵温州队．金华队在第83分钟时一记大力抽射，扳平比分．最终点球以战胜温州队，获得冠军．如图，据球迷目测，该球员在距离球门24米处射门，当球飞出14米远处，达到最高点，最终在球门离地面1.2米高处入网．这条抛物线的表达式为_________． 【答案】 【分析】先求出点的横坐标为，设这条抛物线的表达式为，再利用待定系数法计算即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：点的横坐标为， 设这条抛物线的表达式为， 将，代入解析式得， 解得， ∴． 8．端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同，在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒，设猪肉粽每盒售价元，表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元）． (1)猪肉粽每盒的进价为__________元； (2)若每盒利润率不超过，问猪肉粽每盒售价为多少元时，商家每天获利1350元？ (3)若满足，求商家每天的最大利润． 【答案】(1)40 (2)55元 (3)1750元 【分析】（1）设猪肉粽每盒进价元，则豆沙粽每盒进价元，根据商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同列出方程，解方程即可； （2）根据利润率得到x的取值范围，再根据每盒利润销乘以销售量列出方程，解方程即可； （3）列出每天销售猪肉粽的利润与猪肉粽每盒售价x元的函数关系式，根据二次函数的性质及x的取值范围求利润的最大值． 【详解】（1）解：设猪肉粽每盒进价元，则豆沙粽每盒进价元， ，解得， 检验：当时，分式方程分母， ，所以是方程的解， 答猪肉粽每盒的进价为40元． （2）解：每盒利润率不超过，即， 解得， 由题意，得 ， 解得：（舍去），， 答：猪肉粽价格为55元时，商家每天获利1350元． （3）解：设猪肉粽每盒售价元，表示该商家每天销售猪肉粽的利润， 则：， 配方得：， ∴当时， 随着的增大而增大， ∴当时， （元）， 答：商家每天的最大利润是1750元． 9．某地一商场为减少能源消耗，计划为商场外墙与屋顶加建隔热层，加建成本（万元）与隔热层厚度（厘米）满足关系式．加建后该商场预计每年的能源消耗费用（万元）与隔热层厚度（厘米）满足关系式．如果设该商场加建隔热层的成本与未来年的能源消耗费用之和为（万元）． (1)求与的关系式； (2)已知该商场未来年的相关计划费用（万元）满足，那么当时，求隔热层厚度（厘米）的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得：，把，代入即可得到与的关系式； （2）把代入，可得，根据，可得关于的不等式组，解不等式组即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：根据题意可得：， ，， ， 整理可得：； （2）解：， ， ， ， 解得：． 10．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为轴，过跳台终点作水平线的垂线为轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点正上方米处的点滑出，滑出后沿一段抛物线运动． (1)当运动员运动到离处的水平距离为米时，离水平线的高度为米，求抛物线的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)在（1）的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为米； (3)当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过米时，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)运动员运动的水平距离为米时，运动员与小山坡的竖直距离为米； (3)． 【分析】本题考查二次函数的基本性质及其应用，熟练掌握二次函数的基本性质，并能将实际问题与二次函数模型相结合是解决本题的关键． （1）将和代入即可求解； （2）设运动员运动的水平距离为米时，运动员与小山坡的竖直距离为米，依题意得：，解出即可； （3）求出山坡的顶点坐标为，根据题意得，再解出的取值范围即可． 【详解】（1）解：由题意，可知抛物线过点和， 将其代入，得， 解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解：设运动员运动的水平距离为米时，运动员与小山坡的竖直距离为米，依题意得： ， 解得：，（舍去）， 故运动员运动的水平距离为米时，运动员与小山坡的竖直距离为米； （3）解：把代入得：， ， 当时，运动员到达坡顶，即，解得． ∵开口向下， ∴， ∴． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 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