第二章 一元二次函数、方程和不等式（能力提升卷）-2025-2026学年高一数学人教A版2019必修第一册

第二章 一元二次函数、方程和不等式（能力提升卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（24-25高二·全国·课后作业）若，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一·全国·课后作业）已知实数a，b，c，则下列命题中正确的是（     ） A．若，，则 B．若且，则 C．若，则 D．若，则 3．（24-25高一上·江苏苏州·期中）“，”为真命题，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一·全国·课后作业）关于的不等式的解集是,则关于的不等式的解集是 A．或 B． C． D．或 5．（24-25高二下·云南文山·阶段练习）设，，且，则当取最小值时，（    ） A．8 B．12 C．16 D． 6．（2025·四川泸州·二模）若正实数满足，则的最小值为　　 A． B． C． D． 7．（24-25高三上·河南南阳·期中）设，则取得最小值时，的值为（    ） A． B．2 C．4 D． 8．（24-25高三上·浙江杭州·期中）已知实数，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（24-25高一上·湖南郴州·期末）已知关于的不等式解集为，则（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 10．（24-25高二上·山东枣庄·期中）设，且，那么（    ） A．有最小值 B．有最大值 C．ab有最大值. D．ab有最小值. 11．（24-25高一·浙江杭州·期末）若实数m，，满足，以下选项中正确的有（    ） A．mn的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．最小值为 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（2025高一·全国·专题练习）设集合，，若，则m的值为 . 13．（24-25高二上·山东潍坊·阶段练习）已知不等式，时恒成立，则实数m的取值范围是 ． 14．（24-25高一·全国·课后作业）若当时，恒成立，则实数的取值范围为 ． 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（24-25高一上·上海·随堂练习）如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有可围网长的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少，可使每间虎笼面积最大？    16．（24-25高一上·北京·单元测试）已知，：． （1）当时成立，求实数的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 17．（24-25高二上·浙江绍兴·阶段练习）用基本不等式证明不等式 （1）已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：； （2）已知a，b，c为正实数，且，求证：． 18．（24-25高一下·陕西西安·期中）已知关于x的不等式的解集为． (1)写出a和b满足的关系； (2)解关于x的不等式． 19．（24-25高一上·全国·课后作业），若. 求证：（1）方程有实数根； （2）若，且是方程的两个实数根，则. 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 一元二次函数、方程和不等式（能力提升卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（24-25高二·全国·课后作业）若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作差法可得出、、的大小关系. 【详解】，，， ，即， ，即，因此，. 故选：A. 【点睛】本题考查利用作差法比较代数式的大小比较，考查计算能力，属于基础题. 2．（24-25高一·全国·课后作业）已知实数a，b，c，则下列命题中正确的是（     ） A．若，，则 B．若且，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】根据不等式性质判断ABC，举反例判断D. 【详解】对于A，因为，所以，又，所以，故选项A错误； 对于B，因为，所以，所以，又，所以，故选项B正确； 对于C，因为，所以，所以，又，所以， 故选项C正确； 对于D，当，时，，，则，不满足，故选项D错误. 故选：BC. 3．（24-25高一上·江苏苏州·期中）“，”为真命题，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】将分离，可得，令，只需 ，再求即可求解. 【详解】由，可得：， 令 ，只需 ， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以， 所以， 故选：A 【点睛】思路点睛：不等式恒成立问题一般采用分离参数法求参数范围 若不等式（是实参数）恒成立，将转化为或恒成立，进而转化为或，求的最值即可. 4．（24-25高一·全国·课后作业）关于的不等式的解集是,则关于的不等式的解集是 A．或 B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据一元一次不等式的解集可确定且，从而将所求不等式等价转化为，根据一元二次不等式的解法求得结果. 【详解】的解集为    且 则    ，解得：或 不等式的解集为或 故选 【点睛】本题考查一元二次不等式的求解，关键是能够根据一元一次不等式的解集确定的关系. 5．（24-25高二下·云南文山·阶段练习）设，，且，则当取最小值时，（    ） A．8 B．12 C．16 D． 【答案】B 【分析】首先利用基本不等式的性质得到时，取最小值，再计算即可. 【详解】，， 当取最小值时，取最小值， ，， ， ， ，当且仅当即时取等号， . 故选： 6．（2025·四川泸州·二模）若正实数满足，则的最小值为　　 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将变成，可得，展开后利用基本不等式求解即可． 【详解】，，，， 当且仅当，取等号，故选D． 【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于中档题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）. 7．（24-25高三上·河南南阳·期中）设，则取得最小值时，的值为（    ） A． B．2 C．4 D． 【答案】A 【解析】转化条件为原式，结合基本不等式即可得解. 【详解】 ， 当且仅当，即，，时，等号成立. 故选：A. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1） “一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 8．（24-25高三上·浙江杭州·期中）已知实数，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将化为，再利用换元法结合基本不等式即可求解 【详解】解：实数，满足 化为： 令，，则 解得：， 则： 当且仅当，即时取等号 所以的最小值为. 故选：A. 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（24-25高一上·湖南郴州·期末）已知关于的不等式解集为，则（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 【答案】BCD 【解析】根据已知条件得和是方程的两个实根，且，根据韦达定理可得，根据且,对四个选项逐个求解或判断可得解. 【详解】因为关于的不等式解集为， 所以和是方程的两个实根，且，故错误； 所以，，所以， 所以不等式可化为，因为，所以，故正确； 因为，又，所以，故正确； 不等式可化为，又， 所以，即，即，解得,故正确. 故选：BCD. 【点睛】利用一元二次不等式的解集求出参数的关系是解题关键.本题根据韦达定理可得所要求的关系，属于中档题. 10．（24-25高二上·山东枣庄·期中）设，且，那么（    ） A．有最小值 B．有最大值 C．ab有最大值. D．ab有最小值. 【答案】AD 【分析】直接利用基本不等式分别求出和ab的范围，对照四个选项进行判断. 【详解】，， ，当时取等号， ，解得， ， 有最小值； ，当时取等号， ， ， ，解得，即， 有最小值． 故选：AD 11．（24-25高一·浙江杭州·期末）若实数m，，满足，以下选项中正确的有（    ） A．mn的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．最小值为 【答案】AD 【分析】利用基本不等式解决条件的最值问题求解和为定值或乘积为定值. 【详解】解：对于A，由m，，得，又， 所以，解得，当且仅当， 即，时等号成立， 所以mn最大值为，选项A正确； 对于B，， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，选项B错误； 对于C，由，得， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立，又m，， 所以，选项C错误； 对于D，由m，，，得， 则，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，选项D正确． 故选：AD． 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（2025高一·全国·专题练习）设集合，，若，则m的值为 . 【答案】4 【分析】通过化简集合，根据m的取值情况分类讨论，再结合条件，依次进行运算化简即可. 【详解】当时，，显然，不符合题意； 当时，，因为，所以必有； 当时，，显然，不符合题意. 故答案为：. 13．（24-25高二上·山东潍坊·阶段练习）已知不等式，时恒成立，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】变换得到，计算得到答案. 【详解】不等式，恒成立，即 当即时等号成立，故 故答案为： 【点睛】本题考查了均值不等式的应用，变换得到是解题的关键. 14．（24-25高一·全国·课后作业）若当时，恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】将问题转化为函数在时的最小值恒大于等于；分别在、和三种情况下，根据二次函数单调性求得最小值，利用可求得结果. 【详解】若当时，恒成立， 则函数在时的最小值恒大于等于 二次函数图像的对称轴为直线： ①当时，函数在时取得最小值， ，解得：     ②当时，函数在时取得最小值     ，解得：     ③当时，函数在时取得最小值     ，解得：     综上所述：实数的取值范围为 故答案为 【点睛】本题考查一元二次不等式在区间内恒成立问题的求解，关键是能够将问题转化为二次函数最值的求解问题，利用最值构造不等式求得结果；涉及到分类讨论思想的应用. 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（24-25高一上·上海·随堂练习）如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有可围网长的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少，可使每间虎笼面积最大？    【答案】长，宽 【分析】设每间虎笼长，宽，根据材料建立等式，利用基本不等式得出，根据等号成立的条件得到关系，联立求解方程组即可． 【详解】设每间虎笼长，宽， 则由“有可围网长的材料”，得，即． 设面积， 由于， 所以，得， 即， 且仅当时，等号成立． 解方程组 解得 所以每间虎笼设计长，宽分别为、时，面积最大为． 16．（24-25高一上·北京·单元测试）已知，：． （1）当时成立，求实数的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由得含的不等式，解之得的取值范围； （2）把是的充分不必要条件转化为由，进而求出实数的取值范围． 【详解】解：（1）， ，， 实数的取值范围为：． （2）， 设，， 是的充分不必要条件， ①由（1）知，时，，满足题意； ②时，，满足题意； ③时，，满足题意； ④或时，设， 对称轴为，由得 或， 或， 或， 或 综上可知： 17．（24-25高二上·浙江绍兴·阶段练习）用基本不等式证明不等式 （1）已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：； （2）已知a，b，c为正实数，且，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】（1）应用基本不等式，同理有的不等式式，相加后可得； （2）每个括号内通分，并代入已知条件，然后应用基本不等式可证． 【详解】证明：（1）∵正数，∴，，， 又是不全相等的正数，上述三个等号不能同时取到， ∴，即， （2）∵a，b，c为正实数，且， ∴ ． 【点睛】本题考查用基本不等式证明不等式成立，属于基础题．解题时要注意创造出应用基本不等式的形式，条件． 18．（24-25高一下·陕西西安·期中）已知关于x的不等式的解集为． (1)写出a和b满足的关系； (2)解关于x的不等式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）化简，结合不等式的解集即可判断，得到即可得到a和b满足的关系. （2）可用或对不等式进行等价转化，化简计算即可求出不等式的解集. 【详解】（1）解：因为，所以， 因为不等式的解集为，所以，且，解得． （2）由（1）得 则不等式等价为， 即，即． 因为，所以不等式的解为． 即所求不等式的解集为．（说明：解集也可以用a表示） 19．（24-25高一上·全国·课后作业），若. 求证：（1）方程有实数根； （2）若，且是方程的两个实数根，则. 【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解. 【分析】（1）分别讨论方程不是二次方程和是二次方程情况，结合判别式判断符号； （2）利用韦达定理结合已知即可得证. 【详解】（1）若，又，则，，与已知矛盾， .方程的判别式， 又知，即， ， 故方程有实数根. （2）由题意得，， ， ，， . 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$