3.1一元二次方程的概念 同步练习题 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程概念，通过基础辨析-概念应用-综合拓展三层设计，实现从定义理解到符号运算再到模型建构的知识巩固路径，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|一元二次方程定义、一般形式及系数确定|以选择题为主（如第1题判断方程类型），强化概念辨析，发展抽象能力| |提升|根的意义、参数取值范围及简单变形|结合填空题（如12题根的代入），培养符号运算与推理意识| |拓展|新定义（波浪方程、倒方程）及综合应用|通过解答题（如20题倒方程定义应用），发展模型意识与创新思维|

2026-2027湘教版数学九年级上册第三章3.1一元二次方程的概念同步练习题 一．选择题。 1.下列方程中，关于 x 的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 2．一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3.若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·江西赣州·期末）将一元二次方程化成一般形式正确的是（   ） A． B． C． D． 5.关于x的一元二次方程的常数项为0，则m的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 6．下列一元二次方程中有一个解为的是（    ） A． B． C． D． 7．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D． 8.已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 9.已知是方程的一个根，则代数式的值等于(    ) A. B. C. D. 10、已知 m 是方程的根，则的值为（ ） A. B. C. D. 二．填空题。 11.已知是关于的一元二次方程，则的值为__________。 12.已知 x=2 是方程的一个根，则__________ . 13.已知 a 是方程的解，则代数式的值为_________。 14.若a是方程x2+x﹣1＝0的根，则代数式值是__________。 15.若a是方程的一个根，求的值__________。 三．解答题。 16．某中学数学兴趣小组对关于的方程提出了下列问题： (1)是否存在的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出的值，并解此方程； (2)是否存在的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出的值． 17．将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数及常数项． (1)； (2)； (3)； (4) 18.已知实数 a 是一元二次方程的一个根，求代数式的值。 19.已知关于的一元二次方程，如果，，满足，我们就称这个一元二次方程为波浪方程． 方程          波浪方程填“是”或“不是” 已知关于的波浪方程的一个根是，求这个波浪方程 请任意写一个新的波浪方程． 20．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是______； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为_____． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027湘教版数学九年级上册第三章3.1一元二次方程的概念同步练习题答案 一．选择题。 1.下列方程中，关于 x 的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 答案：C A 选项：方程中含有，是分式方程，不满足整式方程的要求，错误； B 选项：未说明，当时，方程退化为一元一次方程，错误； C 选项：满足一元二次方程的所有条件，正确； D 选项：方程中含有、两个未知数，是二元方程，错误。 2．一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 解：将原方程移项整理为一般形式：原方程为 移项得 ， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 3.若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 解：方程是关于的一元二次方程， ∴， 故选：． 4．（24-25九年级上·江西赣州·期末）将一元二次方程化成一般形式正确的是（   ） A． B． C． D． 解：， ， ， ∴将一元二次方程化成一般形式为， 故选：． 5.关于x的一元二次方程的常数项为0，则m的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 解：由题意得： ， 解得， 故选：B． 6．下列一元二次方程中有一个解为的是（    ） A． B． C． D． 解：当时， 对于方程，方程左边方程右边，故不是方程的解； 对于方程，方程左边方程右边，故是方程的一个解； 对于方程，方程左边方程右边，故不是方程的解； 对于方程，方程左边方程右边，故不是方程的解； 故选：B． 7．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D． 解：根据题意得：a2﹣1＝0且a﹣1≠0， 解得：a＝﹣1． 故选：B． 8.已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， 解得． 9.已知是方程的一个根，则代数式的值等于(    ) A. B. C. D. 解：将代入方程，得：， 解得：， 故选A． 10、已知 m 是方程的根，则的值为（ ） A. B. C. D. 解：因为是方程的根，因此。 对高次项降次： 代入代数式： 二．填空题。 11.已知是关于的一元二次方程，则的值为__________． 解：方程是关于的一元二次方程， 且， 由得， 解得或， 又， 故。 12.已知 x=2 是方程的一个根，则 . 解：将代入方程，得： ，即，解得。 13.已知 a 是方程的解，则代数式的值为 。 解：因为是方程的解，因此，整理得。 对代数式变形： 代入，得： 14.若a是方程x2+x﹣1＝0的根，则代数式值是　 　 ． 解：由题意可得：a2+a﹣1＝0，则a2+a＝1， 当a＝0时，﹣1＝0不成立， ∴a≠0， ∴a+10，即a1． ∴ ＝1+a2026 ＝﹣2025+a ＝﹣2025﹣1 ＝﹣2026． 故答案为：﹣2026． 15.若a是方程的一个根，求的值 ． 解：由题意，得：， ∴，， ∴． 三．解答题。 16．某中学数学兴趣小组对关于的方程提出了下列问题： (1)是否存在的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出的值，并解此方程； (2)是否存在的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出的值． （1）解：存在，由题可知或或时方程能为一元一次方程， 当时，解得，此时程为，解得； 当时，解得，此时方程为，解得． 当时，方程无解； （2）存在．根据一元二次方程的定义可得，解得． 17．将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数及常数项． (1)； (2)； (3)； (4) （1）解：方程化为一般形式为，二次项系数是3，一次项系数是，常数项是； （2）解：方程化为一般形式为，二次项系数是9，一次项系数是0，常数项是； （3）解：方程化为一般形式为，二次项系数是6，一次项系数是2，常数项是； （4）解：方程化为一般形式为，二次项系数是3，一次项系数是，常数项是． 18.已知实数 a 是一元二次方程的一个根，求代数式的值。 解:因为是方程的根，因此，由此可得： ，因此； ，且，因此； 将方程两边除以，得，即。 代入代数式： 19.已知关于的一元二次方程，如果，，满足，我们就称这个一元二次方程为波浪方程． 方程          波浪方程填“是”或“不是” 已知关于的波浪方程的一个根是，求这个波浪方程 请任意写一个新的波浪方程． 解：【】是，因为a=2,b=-1,c=-4 所以3a+2b+c=6+(-2)+(-4)=0 【】将代入原方程，得．此方程为波浪方程，由得这个波浪方程为． 【】答案不唯一，如． 20．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是______； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为_____． （1）解：根据新定义，方程的倒方程是：； （2）解：由题知，方程的倒方程为， 将代入此方程得，， 解得； （3）解：由题知，一元二次方程的倒方程是， ∵m是此方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $