第20讲 实验：验证机械能守恒定律（高效培优讲义）2027年高考物理一轮复习高效培优系列

该高中物理高考复习讲义聚焦“验证机械能守恒定律”实验专题，覆盖教材原型与创新拓展实验，紧扣课标要求的实验原理、步骤、数据处理及创新探究能力。以“夯实基础-突破重难-分层提能”为架构，通过考情分析明确命题方向，知识导图构建体系，典例突破纸带速度计算、误差分析等核心难点，真题实战强化应用，体现复习的系统性与针对性。 讲义融合科学思维与科学探究，如用v²/2-h图像斜率验证重力加速度培养数据处理能力，创新实验（光电门、气垫导轨）训练模型迁移。分层集训设基础、能力、真题层，配合技法点拨和变式研析，助力学生掌握操作规范与误差规律，提升科学论证能力，为教师提供精准复习路径，保障高效复习效果。

第20讲 实验：验证机械能守恒定律（培优复习讲义） 参考答案 基础・知识梳理 核心梳理 知识1 教材原型实验 1．重力势能的减少量 2．竖直 靠近 接通电源 松开纸带 3．2 mm （3）小于 ＜ 摩擦阻力 知识2 验证机械能守恒定律的其他方案 1．水平 3．平均速度 重难・核心突破 重难01 教材原型实验 【典例突破】 （1）④①⑥⑤ （2）1.79 （3）通过 18.6 （4） 5.1 【变式研析】1．（1）27.90 （2）0.547 0.588 （3）B 2．（1）CD （2）0.73 0.78 （3）9.67 3．（1）AB 左 （2）mg D 重难02 创新拓展实验 【典例突破】 1．（1）1 适当向右移动光电门1 （2）1.01 3.98 （3）守恒 图像的斜率为，即可证明滑块在下滑过程中机械能守恒。 2．（1） （2）50 12 【变式研析】 1．（1）靠近 （2） （3） 2．（1） （2） （3） 不守恒 0.30 3．（1）④①⑤②③ （2）0.40 （3） （4）没有 4．（1） （2） （3）6 拔高・分层集训 基础演练 1．D 2．A 3．B 4．A 5．不是 A 6．（1）刻度尺 释放前重物未靠近打点计时器 （2） 重物下落过程中受到空气阻力 （3） 7．（1）0.576 0.588 （2）A 8．（1）B （2） （3） 9．（1）4.620 （2） （3）A （4） 10．（1）AB （2） （3） 11．（1） （2） （3） 12．（1）1.03 （2） （3）C 13．（1）B （2） （3）B （4） 14．（1）5.720/5.719/5.721/5.722 （2） （3）A （4） 15．（1） （2）1.00 3.94 3.97 （3）守恒 能力进阶 1．（1）0.515 （2） （3）> 2．（1）小物块和遮光条及弹簧所组成的系统 （2） （3） （4） 3．（1） （2） （3） （4）存在空气阻力做功 4．（1）0.05 1.62 0.526 0.576 （2） 5．（1）不可行 （2）C 5.2 A 6．（1）0.940 （2）0.19 （3） （4）释放小球时有初速度；实际杆长大于L；小球经过光电门时不是球心；实验室给出的当地重力加速度小于实际值，或者其他可能产生实际速度大于理论值的答案均可给分。 7．（1） （2）大于 8．（1）B （2） 偏小 （3）C 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第20讲 实验：验证机械能守恒定律（培优复习讲义） 内容导航 夯实基础·突破重难·分层提能 考情・分析解读（课标要求 考情解读 备考策略） 基础・知识梳理（专题线索 知识导图 知识梳理） 知识01 教材原型实验 知识02 验证机械能守恒定律的其他方案 重难・核心突破（技法点拨 典例突破 变式研析） 重难01 教材原型实验 重难02 创新拓展实验 拔高・分层集训（基础演练 能力进阶 真题实战） 考情·分析解读 课标要求 1．熟悉验证机械能守恒定律的实验原理、实验步骤及数据处理。 2．学会在创新实验中探究机械能守恒定律。 考题统计 核心考点 2026年 2025年 2024年 实验：验证机械能守恒定律 （5年11考） 江西卷T11、甘肃卷T11、河北卷T11、江苏卷T11、河南卷T12、湖北卷T12 6月浙江卷T16 考情解读 1．考查频次：力学核心必考实验，多以实验填空大题呈现，偶尔结合选择题考查器材辨析，原型与创新拓展题型轮换考查，考频稳定。 2．考查要点：掌握自由落体原型实验操作、纸带瞬时速度计算、势能与动能变化量比对，会用图像法验证守恒，辨析阻力带来的系统误差，能迁移光电门、气垫导轨等创新装置解题。 3．命题情境：以教材重物自由下落装置为基础，拓展光电门、单摆、斜面滑块、系统连接体等改良实验情境，围绕纸带数据计算、误差分析、装置改进设问。 备考策略 1．熟记操作规范：牢记先通电后释放纸带、重物选高密度重锤、纸带竖直无摩擦等操作要点。 2．精通纸带运算：熟练运用中间时刻瞬时速度公式计算速度，掌握差值对比、图像两种验证方法，规范数值计算步骤。 3．吃透误差与创新：梳理空气阻力、纸带摩擦的误差规律，灵活迁移各类改良实验装置，套用守恒核心公式完成变式推导。 基础・知识梳理 知识导图 核心梳理 知识1 教材原型实验 1．实验原理 通过实验，求出做自由落体运动物体的　重力势能的减少量　和对应过程动能的增加量，在实验误差允许范围内，若二者相等，说明机械能守恒，从而验证机械能守恒定律。 2．实验过程 （1）安装器材：打点计时器竖直安装，纸带沿　竖直　方向拉直。 （2）重物：选密度大、质量大的金属块，且在　靠近　打点计时器处释放。 （3）打纸带：用手竖直提起纸带，使重物停靠在打点计时器下方附近，先__接通电源__，再__松开纸带__，让重物自由下落，打点计时器就在纸带上打出一系列的点，取下纸带，换上新的纸带重打几条（3～5条）纸带。 （4）选纸带：点迹清晰，且第1个点、第2个点间距离接近2 mm。 3．数据处理 （1）求瞬时速度：由公式可以计算出重物下落h1、h2、h3…的高度时对应的瞬时速度v1、v2、v3…。 （2）验证守恒 【方案一：利用起始点和第n点计算】 代入mghn和，如果在实验误差允许的范围内，mghn和相等，则验证了机械能守恒定律。 注意：应选取最初第1、2两点距离接近_2 mm_的纸带（电源频率为50 Hz）。 【方案二：任取两点计算】 ①任取两点A、B，测出hAB，算出mghAB； ②算出的值； ③在实验误差允许的范围内，若，则验证了机械能守恒定律。 【方案三：图像法】 测量从第一点到其余各点的下落高度h，并计算对应速度v，然后以为纵轴，以h为横轴，根据实验数据作出图像。若在实验误差允许的范围内图像是一条过原点且斜率为　g　的直线，则验证了机械能守恒定律。 （3）误差分析 ①系统误差：本实验中因重物和纸带在下落过程中要克服各种阻力（空气阻力、打点计时器阻力）做功，故动能的增加量ΔEk稍　小于　重力势能的减少量，即ΔEk　＜　ΔEp。改进的办法是调整器材的安装，尽可能地减小阻力。 ②偶然误差：本实验在长度测量时产生的误差。减小误差的办法是测下落距离时都从O点量起，一次将各点对应的下落高度测量完，或者多次测量取平均值。 注意事项 1．打点计时器要竖直：安装打点计时器时要竖直架稳，使其两限位孔在同一竖直线上，以减小摩擦阻力。 2．测长度，算速度：某时刻的瞬时速度的计算应用，不能用或来计算。 3．此实验中不需要测量重物的质量。 知识2 验证机械能守恒定律的其他方案 1．重物牵引滑块在导轨上运动 （1）研究对象：滑块及遮光条（总质量为m1）、托盘及砝码（总质量为m2）。 （2）实验条件：气垫导轨　水平　放置。 （3）重力势能的减少量：。 （4）动能的增加量：。 （5）若，即，则可验证机械能守恒。 2．摆球通过光电门 （1）研究对象：用细线悬挂的金属球（直径为d）。 （2）金属球自距最低点A高度h处静止释放后摆动，记录金属球到达最低点A时的挡光时间t。 （3）重力势能的减少量：。 （4）动能的增加量：。 （5）若，则可验证机械能守恒。 3．小球沿光滑斜面运动的频闪照片 （1）研究对象：质量为m、可看作质点的小球。 （2）实验条件：将小球自某点由静止释放，采取频闪照相的方式获取频闪照片。 （3）测速度：据中间时刻的瞬时速度等于　平均速度　的方法求瞬时速度v。 （4）重力势能的减少量：。 （5）动能的增加量：。 （6）若，则可验证机械能守恒。 重难・核心突破 重难01 教材原型实验 【典例突破】（2025·河南·高考真题）实验小组利用图1所示装置验证机械能守恒定律。可选用的器材有：交流电源（频率）、铁架台、电子天平、重锤、打点计时器、纸带、刻度尺等。 （1）下列所给实验步骤中，有4个是完成实验必需且正确的，把它们选择出来并按实验顺序排列：________（填步骤前面的序号） ①先接通电源，打点计时器开始打点，然后再释放纸带 ②先释放纸带，然后再接通电源，打点计时器开始打点 ③用电子天平称量重锤的质量 ④将纸带下端固定在重锤上，穿过打点计时器的限位孔，用手捏住纸带上端 ⑤在纸带上选取一段，用刻度尺测量该段内各点到起点的距离，记录分析数据 ⑥关闭电源，取下纸带 （2）图2所示是纸带上连续打出的五个点A、B、C、D、E到起点的距离。则打出B点时重锤下落的速度大小为________ （保留3位有效数字）。 （3）纸带上各点与起点间的距离即为重锤下落高度h，计算相应的重锤下落速度v，并绘制图3所示的关系图像。理论上，若机械能守恒，图中直线应________（填“通过”或“不通过”）原点且斜率为________（用重力加速度大小g表示）。由图3得直线的斜率________（保留3位有效数字）。 （4）定义单次测量的相对误差，其中是重锤重力势能的减小量，是其动能增加量，则实验相对误差为________（用字母k和g表示）；当地重力加速度大小取，则________（保留2位有效数字），若，可认为在实验误差允许的范围内机械能守恒。 【答案】（1）④①⑥⑤ （2）1.79 （3）通过 18.6 （4） 5.1 【解析】（1）实验步骤为：将纸带下端固定在重锤上，穿过打点计时器的限位孔，用手捏住纸带上端，先接通电源，打点计时器开始打点，然后再释放纸带，关闭电源，取下纸带，在纸带上选取一段，用刻度尺测量该段内各点到起点的距离，记录分析数据，根据原理可知质量可以约掉，不需要用电子天平称量重锤的质量。 故选择正确且正确排序为④①⑥⑤。 （2）根据题意可知纸带上相邻计数点时间间隔 根据匀变速直线运动中间时刻瞬时速度等于该过程平均速度可得 代入数据可得 （3）[1][2]根据 整理可得 可知理论上，若机械能守恒，图中直线应通过原点，且斜率 [3]由图3得直线的斜率 （4）[1]根据题意有，可得 [2]当地重力加速度大小取，代入数据可得。 【变式研析】 1．（2026·贵州黔西南·二模）某实验小组用图甲所示的实验装置来做“验证机械能守恒定律”的实验，重物由静止竖直释放，重复操作后，获取的一条清晰纸带如图乙所示，O点是打下的第一个点，A、B、C和D为另外4个连续打下的点。已知打点计时器所接交流电的频率为50Hz，重物质量为200g，当地重力加速度g大小取，请回答下列问题： （1）O、C两点间的距离为_________cm。 （2）重物从O点运动到C点，重力势能的减少量为_________J，在C点的动能_________J。（结果均保留3位有效数字） （3）比较与的大小，出现这一结果的原因可能是_________（选填“A”或“B”）。 A．存在空气阻力和摩擦力 B．接通电源前释放了纸带 【答案】（1）27.90 （2）0.547 0.588 （3）B 【解析】（1）由图中可知OC之间的距离为 （2）[1]重力势能的减少量 [2]匀变速运动中间时刻的速度等于这段时间的平均速度，因此 动能为 （3）A．存在摩擦力会使重力势能的减少量大于动能的增加量，故A错误； B．提前释放了纸带，纸带的初速度不为零，下落到同一位置的速度偏大才会导致动能的增加量大于重力势能的减少量，故B正确。故选B。 2．（2026·湖南岳阳·三模）某实验小组的同学在验证机械能守恒定律时，设计了如图甲所示的实验，图中的打点计时器为电火花打点计时器，回答下列问题： （1）除了图中的实验器材外，还需要________（填字母）。 A．天平 B．8 V的交流电源 C．220 V的交流电源 D．毫米刻度尺 （2）某次实验时，打出的纸带如图乙所示，已知交流电源的频率为50 Hz，图中的点均为计时点，计时点3、4、5到0点的距离分别为35.28 cm、40.02 cm、46.08 cm，0点为起始点，若重锤的质量为200 g，重力加速度g取9.8 m/s2，则打下第4点时重锤的动能为________J，该过程重锤减小的重力势能为________J。（以上结果均保留两位小数） （3）实验小组利用图像处理实验数据，通过得到的实验数据，描绘了图像如图丙所示，则由图线得到的重力加速度g=________m/s2（结果保留三位有效数字）。 【答案】（1）CD （2）0.73 0.78 （3）9.67 【解析】（1）除了图中的实验器材外，电火花打点计时器需要220V的交流电；测量纸带需要毫米刻度尺；要验证的关系两边都有质量m，不需要天平。故选CD。 （2）[1]打下第4点时重锤的速度 动能为 [2]该过程重锤减小的重力势能为 （3）重物下落过程中机械能守恒，有 整理可得 则图像的斜率为 可得重力加速度为 3．（2026·北京丰台·二模）（1）某实验小组利用如图甲所示的装置做“验证机械能守恒定律”的实验。 ①除带夹子的重锤、纸带、铁架台（含铁夹）、打点计时器、导线及开关外，在下列器材中，还必须使用的器材是( ) A．交流电源    B．刻度尺    C．天平（含砝码） ②实验时，由静止释放重锤，得到如图乙所示的一条纸带，其中O为打点计时器打下的第一个点，由此可知纸带________（填“左”或“右”）端连接重锤；在纸带上选取三个连续打出的点A、B、C，测得它们到起始点O的距离分别为h1、h2、h3，已知打点计时器打点的周期为T，重力加速度为g。从打O点到打B点的过程中，若满足________，则重锤在上述过程中机械能守恒。 （2）某同学发现利用如图丙所示的装置也可以完成“验证机械能守恒定律”的实验，其操作步骤如下： ①在铁架台的O点固定一个力传感器，将一根长为L且不可伸长的细线一端与力传感器相连，另一端系一个质量为m的小球； ②将小球向右拉至某一高度由静止释放（细线一直保持紧绷状态，小球始终在竖直平面内运动）； ③记录释放点小球球心与最低点小球球心的高度差h以及小球在运动过程中力传感器示数的最大值F；. ④改变h，重复②③步骤，绘制F与h的图像。 该同学理论分析认为，如果小球运动的过程中机械能守恒，F-h图线应如图丁中的虚线所示，其与纵轴的交点坐标为（0，b）。已知重力加速度为g，则b=________。若空气阻力对小球运动的影响不可忽略，实验得到的图线（实线）与理论图线（虚线）之间的关系可能正确的是( ) A．    B．  C．    D． 【答案】（1）AB 左 （2）mg D 【解析】（1）[1] A．打点计时器需要接交流电源，故A正确； B．需要刻度尺来测量点与点间距，故B正确； C．通过单个物体验证机械能守恒时，公式两侧质量可消掉，不需要测量质量，故C错误。故选AB。 [2]重锤下落做加速运动，纸带上打出的点间距应越来越大，靠近重锤的点先打出，所以纸带左端连接重锤。 [3] 从打O点到打B点的过程中，重力势能的变化量 在B点的瞬时速度 动能的变化量 机械能守恒定律得 联立得 （2）[1] 传感器示数最大时，小球位于最低点，此时重力与拉力的合力充当向心力，列式得 从最高点到最低点，根据机械能守恒定律得 联立得 对比一次函数解析式 可得截距 [2] 若空气阻力对小球运动的影响不可忽略，则空气阻力做负功，机械能减少，重力势能的减少量大于动能的增加量，即 又 联立得 即实际值小于理论值。 又空气阻力做负功与位移正相关，即与正相关，所以随着增大，误差也增大。故选D。 重难02 创新拓展实验 【典例突破】 1．（2025·江西·高考真题）某小组利用气垫导轨、两个光电门、滑块、遮光片等，组成具有一定倾角的导轨装置，研究机械能守恒定律。重力加速度g取。 （1）实验前，应合理安装实验器材。图（a）中光电门______的位置安装不合理，应如何调整_______： （2）实验时，导轨倾斜角的正弦值，光电门1、2相距L。将宽度的遮光片固定于滑块上，从导轨最左端静止释放滑块，分别记录遮光片通过光电门1、2的时间和。移动光电门2的位置改变L，重复实验，所测数据见下表。 … 滑块经过光电门1、2的速度分别为和。当时，_____，滑块通过两光电门下降的高度_____。（结果保留2位小数） （3）处理上表数据，并绘制关系曲线（其中），如图（b）所示。根据图（b）中的信息，分析滑块在下滑过程中机械能是否守恒：_____，并给出理由：________。 【答案】（1）1 适当向右移动光电门1 （2）1.01 3.98 （3）守恒 图像的斜率为，即可证明滑块在下滑过程中机械能守恒。 【解析】（1）[1]光电门1安装不合理； [2]由图可知，光电门1靠近释放点，滑块到光电门1的距离较短，速度较小，导致滑块通过光电门1的速度测量误差较大。 （2）[1]当时，由表格可知通过光电门2的时间为 故通过光电门2的速度 [2]根据几何关系可得滑块通过两光电门下降的高度 （3）[1]守恒； [2]根据图（b）可知其斜率约为 故在误差范围内成立，说明下滑过程中滑块的动能增加量等于重力势能的减少量，即机械能守恒。 2．（2025·甘肃·高考真题）某学习小组使用如图所示的实验装置验证机械能守恒定律。 把一个直径为d的小球用不可伸长的细线悬挂，光电门置于小球平衡位置处，其光线恰好通过小球球心，计时器与光电门相连。 将小球拉离平衡位置并记录其高度h，然后由静止释放（运动平面与光电门光线垂直），记录小球经过光电门的挡光时间。改变h，测量多组数据。已知重力加速度为g，忽略阻力。 （1）以h为横坐标、________（填“”、“”、“”或“”）为纵坐标作直线图。若所得图像过原点，且斜率为________（用d和g表示），即可证明小球在运动过程中机械能守恒。 （2）实验中，用游标卡尺测得小球直径。 ①由结果可知，所用的是________分度的游标卡尺（填“10”、“20”或“50”）； ②小组设计了一把25分度的游标卡尺，未测量时的状态如图所示。如果用此游标卡尺测量该小球直径、则游标尺上第________条刻度线与主尺上的刻度线对齐。 【答案】（1） （2）50 12 【解析】（1）[1][2]小球经过光电门的挡光时间，可得小球到达平衡位置 为验证机械能守恒定律，此过程中重力势能转化为动能有 联立解得 可得纵坐标为 图像的斜率为。 （2）[1]10分度、20分度、50分度的游标卡尺的精确度分别为 此游标卡尺测得小球直径 可以判断所用的是50分度的游标卡尺。 [2]若为25分度的游标卡尺，其精确度为0.04mm，用此游标卡尺测量该小球直径，可得 则游标尺上第12条刻度线与主尺上的刻度线对齐。 【变式研析】 1．（2026·山东潍坊·模拟预测）某实验小组为验证机械能守恒定律，设计了如图甲所示的实验装置。重力加速度为g，实验时，该同学进行了如下操作： ①用天平测出两物块A、B的质量分别为m和2m； ②将打点计时器固定在铁架台上，物块A、B用轻绳按图甲所示连接，跨放在轻质滑轮上，一个同学用手托住物块B。纸带一端通过限位孔后与物块A固定。接通电源后释放物块B使其由静止开始匀加速下落； ③选取点迹清晰的纸带如图乙所示，相邻两点之间的距离用x1、x2、x3、x4表示，相邻两点之间的时间为T。 （1）在释放B之前，A应该___________打点计时器（选填“靠近”或“远离”）。 （2）在纸带上打下D点时，A的速度为___________。 （3）要验证系统在D点到F点之间是否机械能守恒，应满足的关系式为：___________。 【答案】（1）靠近 （2） （3） 【解析】（1）为了让纸带上能获得更多数据点，从而减小实验误差，所以在释放B之前，A应该靠近打点计时器； （2）由匀变速直线运动，中间时刻的瞬时速度等于这一过程的平均速度，得在纸带上打下D点时，A的速度 （3）设从D点到F点，物块A上升的位移，在D点和F点的速度分别为和，其中 由图甲可知，物块A上连接动滑轮，根据动滑轮的性质，得物块B下降的位移，在D点和F点的速度分别为和 由机械能守恒定律，有 得 2．（2026·浙江绍兴·三模）某同学用图甲所示装置探究机械能守恒定律。实验时将小钢球在斜槽上A点由静止释放，通过斜槽水平末端O点抛出，落在水平地面上的P点。实验使用的小钢球质量为m，测量AO间的高度h、O点的离地高度H和O点在水平地面上的投影O’到P的距离x，以O点所在的平面为重力势能零参考面。 （1）小钢球在O点的速度v＝_________，下滑到O时的动能Ek＝_________，在A点的重力势能Ep＝_________（用g和测量的物理量m、x、h、H表示）； （2）探究小钢球沿斜槽下滑过程中机械能守恒，需使式子__________________成立（用测量的物理量x、h、H表示）； （3）以Ep为横轴，Ek为纵轴建立直角坐标系，根据实验数据作出图乙中的实验图线。 ①若假设小钢球下滑过程中机械能守恒，在图乙中用虚线作出该假设图线_________； ②比较图乙中的实验图线与假设图线可知，小球沿斜槽下滑过程中，机械能_________（选填“守恒”或“不守恒”），损失的机械能（Ep−Ek）与总机械能Ep之比＝_________（保留2位有效数字） 【答案】（1） （2） （3） 不守恒 0.30 【解析】（1）[1]根据平抛运动规律有， 解得 [2] 下滑到O时的动能为 [3] 以O点所在的平面为重力势能零参考面，在A点的重力势能为 （2）根据机械能守恒定律有 解得 （3）①[1]若假设小钢球下滑过程中机械能守恒，根据 可知图像斜率为1，如图 ②[2] 比较图乙中的实验图线与假设图线可知，小球沿斜槽下滑过程中，机械能不守恒； [3]从题图中取得，，表示从释放到该点，动能增加，重力势能减小 可知 3．（2026·湖南衡阳·模拟预测）小明利用图甲所示的实验装置验证机械能守恒定律，所用器材包括：智能手机、铁球、刻度尺、钢尺等。 （1）下列实验操作步骤，正确的顺序是________。 ①将质量为的铁球放在钢尺末端 ②迅速敲击钢尺侧面，铁球自由下落 ③传感器记录下声音振幅随时间变化的曲线 ④将钢尺伸出水平桌面少许，用刻度尺测出钢尺上表面与地板间的高度差h ⑤将手机置于桌面上方，运行手机中的声音“振幅”（声音传感器）项目 （2）声音振幅随时间变化曲线如图乙所示，第一、第二个尖峰的横坐标分别对应铁球开始下落和落地时刻，对应的时间间隔t=________s。 （3）若铁球下落过程中机械能守恒，则应满足等式：______（用、、表示）。 （4）若敲击钢尺侧面时铁球获得一个较小的水平速度，对实验测量结果_____（填“有”或“没有”）影响。 【答案】（1）④①⑤②③ （2）0.40 （3） （4）没有 【解析】（1）该实验先安装器材并测量高度，再放置铁球、释放并记录声音振幅曲线。正确顺序为： ④将钢尺伸出水平桌面少许，用刻度尺测出钢尺上表面与地板间的高度差； ①将质量为的铁球放在钢尺末端； ⑤将手机置于桌面上方，运行手机中的声音“振幅”（声音传感器）项目； ②迅速敲击钢尺侧面，铁球自由下落； ③传感器记录下声音振幅随时间变化的曲线。 （2）由图乙可知，第一、第二个尖峰的时间间隔为 （3）铁球从静止开始下落，若为自由落体，下落高度与时间满足，落地时竖直方向的速度 联立有 根据机械能守恒，重力势能减少量等于动能增加量 （4）若铁球获得较小的水平速度，其运动变为平抛。竖直方向仍为自由落体，下落时间仅由高度决定，与水平速度无关。重力势能转化为竖直方向动能的关系仍为，与自由落体情形完全相同。因此水平速度不影响机械能守恒的验证。 4．（2026·河南驻马店·模拟预测）某同学在验证机械能守恒定律的实验时，设计了如图所示的实验装置。光滑斜面体倾角为，轻绳与拉力传感器相连接并固定在点，另一端拴接一小钢球，绳长为，实验时进行了如下操作： a、使小钢球在斜面内做圆周运动，在圆轨道的最低点和最高点分别固定一个光电门； b、用游标卡尺测量小钢球的直径为； c、小钢球静止在点时，拉力传感器的示数为； d、给小钢球一初速度，使小钢球在斜面内做圆周运动，小钢球依次经过、两点时的挡光时间分别为、，拉力传感器的示数分别为、。 请回答下列问题： （1）已知重力加速度为，则小钢球的质量为________（用、、表示）； （2）小钢球经过光电门的速度大小为_________；若运动过程中小钢球的机械能守恒，则关系式________（用、、、、、表示）成立； （3）若小钢球的机械能守恒，则_____。 【答案】（1） （2） （3）6 【解析】（1）小钢球静止在点时，根据平衡条件可得 解得 （2）[1]小钢球经过光电门a的速度大小为 [2]小钢球经过光电门b的速度大小为 若运动过程中小钢球的机械能守恒，则 整理可得 （3）小钢球经过光电门a时，根据牛顿第二定律可得 小钢球经过光电门b时，根据牛顿第二定律可得 又因为 联立，解得 拔高・分层集训 基础演练 1．某同学利用智能手机验证机械能守恒定律。先测出手机由静止下落高度，并利用手机自带软件测出其下落高度时速度。当地重力加速度为，以下说法正确的是（　　） A．实验中必须测出手机的质量 B．实验中也可用算出 C．手机下落过程中减少的重力势能应小于增加的动能 D．如果，可能是因为手机释放时具有初速度 【答案】D 【解析】A．验证机械能守恒定律的表达式为 等式两边都有质量 m，可以约去，故不需要测量手机的质量，故A错误； B．本实验是验证机械能守恒定律，速度 v 必须通过实验仪器（手机传感器）直接测量。若用计算，则是利用机械能守恒定律的结论来验证机械能守恒定律，属于循环论证，失去了验证的意义，故B错误； C．手机下落过程中受到空气阻力作用，部分重力势能转化为内能，根据能量守恒定律可知，减少的重力势能应大于增加的动能，故C错误； D．若手机释放时具有向下的初速度 ，根据动能定理有 即 此时 ，故D正确。 故选D。 2．用图示气垫导轨装置验证沿斜面下滑的滑块机械能守恒，气垫导轨放在水平桌面上，导轨上安装了两个光电门，滑块上安装了遮光条。实验中不需要的是（     ） A．测量滑块的宽度 B．将导轨调成倾斜状态 C．查阅当地的重力加速度 D．测量两光电门的高度差 【答案】A 【解析】A．光电门测量滑块瞬时速度的原理是，其中为遮光条的宽度，为遮光时间。实验需要测量的是遮光条的宽度，而不是滑块的宽度，滑块宽度与速度计算及能量变化无关，故A错误，符合题意； B．实验目的是验证滑块沿斜面下滑过程中的机械能守恒，只有将导轨调成倾斜状态，滑块下滑时重力势能才会减小并转化为动能，故B正确，不符合题意； C．验证机械能守恒的表达式为 化简得 为了定量验证等式是否成立，必须知道当地的重力加速度，故C正确，不符合题意； D．重力势能的变化量，其中为两光电门之间的高度差，必须测量该高度差才能计算重力势能的减少量，故D正确，不符合题意。 故选A。 3．如图所示，某小组验证机械能守恒定律实验操作如下：将量角器竖直固定在铁架台上，使直径边水平，将小球通过细线悬挂于量角器的圆心处。在圆心正下方安装光电门，调整其高度使小球静止在最低点时，光电门的探测光束刚好被球心遮住。实验时，利用电磁铁吸住小球，断开电源，小球在紧贴量角器的竖直平面内运动。验证小球从释放到最低点过程的机械能守恒，不是必须测量的物理量是（     ） A．细线的长度 B．小球的质量 C．小球的直径 D．释放时细线与竖直方向的夹角 【答案】B 【解析】设细线长度为，小球的直径为，质量为，细线偏离竖直方向的夹角为，经过光电门的时间为，若小球摆动过程机械能守恒则有 由运动学规律可知 整理可得 本实验必须测量的物理量有细线长、小球直径d, 释放时细线与竖直方向的夹角（小球经过光电门的时间可以通过毫秒计时器进行读数），不需要测量小球的质量。 故选B。 4．用如图所示的装置验证机械能守恒定律，绳两端系着质量均为的物块、，上放一质量为的金属片，在的正下方的架台上固定一定滑轮环。开始时金属片与圆环间的高度为，由静止释放，运动一段时间后金属片被搁置在圆环上（与轻绳间无接触），测得通过两数字计时器的时间间隔为，已知两数字计时器的竖直间距为。改变重复实验得到多组数据，为了直观反映数据关系，应绘制（　　） A．图像 B．图像 C．图像 D．图像 【答案】A 【解析】过程分析：金属片被圆环挡住后，物块、质量均为，合力为零，因此匀速通过两个计时器，可得刚被挡住时系统的速度为 根据机械能守恒列方程： 系统下落的过程中，重力势能减少量： 系统动能增加量： 若机械能守恒，则 代入 整理得： 结论：与成线性关系，绘制图像可直观验证机械能守恒。 故选A。 5．（2026·海南海口·二模）利用气垫导轨、两个光电门、滑块、遮光片等，组成具有一定倾角的导轨装置，也可以用来验证机械能守恒定律，如图所示。把气垫导轨调成倾斜状态______（选填“是”或“不是”）为了平衡滑块运动时受到的阻力。实验中记录了滑块和遮光片的总质量，遮光片宽度，两光电门之间的距离，导轨倾斜角。滑块静止释放，用数字计时器测出遮光片依次经过光电门1和2时的遮光时间、，若机械能守恒，则满足的关系式是__________________ A．    B． C．    D． 【答案】不是 A 【解析】[1]此实验中斜面倾斜是为了给小滑块提供加速度，不是为了平衡阻力。 [2]遮光片经过光电门1和2时的速度大小分别为 则该过程滑块和遮光片动能变化量 该过程系统重力势能减少量 若系统机械能守恒有 联立整理得 故选A。 6．在验证机械能守恒定律的实验中，某同学使用如下器材：电磁打点计时器、纸带、重物、夹子、铁架台、低压交流学生电源。当地重力加速度大小为g。 （1）要完成实验，还缺少的一种测量工具是________，找出图1中的不当之处________。 （2）已知打点计时器的打点周期为T，重物的质量为m。若实验时得到一条纸带如图2所示，O点为打点计时器打下的第一个点，然后从后方某处开始按打点顺序每两个点选取一个计数点，依次测得相邻三个计数点A、B、C到点O的距离分别为、、，从起点O到点B的过程中重力势能减少量是________，此过程中物体动能的增加量________（均用题目所给字母表示）。代入数据发现，原因可能是_________________________________________________________________（答出一条即可）。 （3）根据实验的纸带算出各点的速度大小v，测量出对应的下落距离h，然后作出图像，若在误差允许范围内，图线是斜率为k=________且过原点的直线，就可以证明机械能是守恒的。 【答案】（1）刻度尺 释放前重物未靠近打点计时器 （2） 重物下落过程中受到空气阻力 （3） 【解析】（1）[1]实验需要测量纸带上点迹间的距离，还缺少的测量工具是刻度尺。 [2]释放前重物未靠近打点计时器，会导致纸带有效打点长度过短。 （2）[1]O到B过程中，重物下落高度为，因此重力势能减少量 [2]打B点的瞬时速度等于AC段的平均速度：题目说明每两个点取一个计数点，因此相邻计数点的时间间隔为，AC段位移为，时间间隔为，因此 动能增加量 [3]重物下落过程中受到空气阻力、纸带与打点计时器的摩擦阻力作用，重力势能的减少量一部分转化为内能。 （3）若机械能守恒，满足 整理得，因此图像的斜率 7．学校物理兴趣小组用如图甲所示的实验装置验证、组成的系统机械能守恒。从高处由静止开始下落，拖着的纸带通过打点计时器，打出一系列的点，然后对纸带上的点迹进行测量。如图乙所示是实验中获取的一条纸带，是打下的第一个点，每相邻两个计数点间还有4个点（图中未标出），计数点间的距离已标注，打点计时器所接电源频率为50Hz。已知、的质量分别为，，当地的重力加速度为。 （1）在打下第“0”点到打下第“5”点的过程中系统动能的增加量______J，系统重力势能的减少量______J。在误差允许的范围内，，则验证了、系统机械能守恒定律；（计算结果均保留3位有效数字） （2）另一组同学利用他们实验时打出的纸带，测量出了各计数点到打点计时器打下的第一个点的距离，算出了各计数点对应的速度，以为横轴，以为纵轴画出了如图丙的图线。若、系统机械能守恒，则图线的斜率数值上近似等于______（填正确选项前字母即可）。 A．4.90 B．9.80 C．7.20 D．3.60 【答案】（1）0.576 0.588 （2）A 【解析】（1）电源频率，打点周期为0.02s，每相邻计数点间有4个点未标出，因此相邻计数点的时间间隔，根据匀变速直线运动中，中间时刻瞬时速度等于平均速度， [1]动能增加量； [2]0点到5点，B下落h，A上升h，，故总重力势能减少量为。 （2）根据机械能守恒，整理得，因此图像的斜率，故选A。 8．某实验小组采用不同的实验验证机械能守恒定律，已知当地重力加速度为。 实验一：验证重物在下落过程中机械能是否守恒。 （1）在实验操作过程中出现如图所示的三种情况，其中操作规范正确的是__________。 （2）操作正确得到如图所示的一条纸带。O点是打点计时器打下的第一个点，在纸带上选取连续打出的3个点A、B、C，测得A、B、C到O的距离分别为、。打点计时器打点的周期为，重物的质量为。则从O点到B点的过程中，重物的重力势能减少量为__________，动能增加量为__________。（用题中已知物理量的符号表示） （3）实验二：验证摆锤下摆过程机械能是否守恒。将光电门固定在点D处，使圆柱形摆锤从圆弧AD间某一位置静止释放，记录摆锤通过光电门的挡光时间和释放位置距离D点的高度，摆锤直径为。若满足__________（用题中已知物理量的符号表示），则可认为摆锤下摆过程机械能守恒。 【答案】（1）B （2） （3） 【解析】（1）释放纸带时重物要靠近计时器，且纸带保持竖直状态，故选B。 （2）[1] 从O点到B点的过程中，重物的重力势能减少量为 [2]打下B点时的速度为 故动能增加量为 （3）摆锤经过D点的速度为 释放点到D点过程中动能增加量为 从释放点到D点过程中重力势能减少量为 若机械能守恒则需满足 9．（2026·福建泉州·模拟预测）某学习小组使用如图甲所示的实验装置验证机械能守恒定律。用不可伸长的细线悬挂一个质量为m的小球，将光电门置于小球平衡位置，其光线恰好通过小球球心，计时器与光电门相连。将小球拉开一定角度，测出细线偏离竖直方向的角度，然后由静止释放（运动平面与光电门光线垂直），记录小球经过光电门的挡光时间t。当地重力加速度大小为g。 （1）用螺旋测微器测小球的直径d，如图乙所示，则小球的直径________mm。 （2）在小球从释放到经过光电门的过程中，小球的动能增加量________（用m、d、t表示）。 （3）为验证机械能守恒，还需要测量的物理量为________（填下列选项前的字母序号）。 A．细线长度L B．小球从释放至光电门过程经历的时间T （4）该过程中小球减小的重力势能________（用题中所给的、测出的及所选的物理量字母表示），在误差允许范围内，若与近似相等，则此过程小球机械能守恒。 【答案】（1）4.620 （2） （3）A （4） 【解析】（1）小球的直径 （2）小球经过光电门速度 小球动能增量 （3）为了计算重力势能的减小，还需要测量细线长度L。不需要测量小球从释放至光电门过程经历的时间T。故选A。 （4）该过程小球重心下降高度为 重力势能减小量 10．（2026·湖北荆州·模拟预测）在验证机械能守恒定律的实验中，某同学采用如图装置，绕过定滑轮的细线上悬挂质量相等的重物A和B，在B下面再挂钩码C．已知打点计时器所用交流电源的频率为50Hz。 （1）如图所示，在重物A下方固定打点计时器，用纸带连接A，测量A的运动情况，下列操作过程正确的是________。 A．安装打点计时器时工作面要竖直放置，同时让两限位孔的中心在同一竖直线上 B．接通电源前让重物A尽量靠近打点计时器 C．应选取最初第1、2两点间距离接近2mm的纸带 （2）已知重物A和B的质量均为M，钩码C的质量为m，某次实验中从纸带上测量重物A由静止上升高度为h时对应计时点的速度为v，取重力加速度为g，则验证系统机械能守恒定律的表达式是________； （3）为了测定当地的重力加速度，改变钩码C的质量m，测得多组m和对应的加速度a，作出图像如图所示，图线与纵轴截距为b，则当地的重力加速度为________。 【答案】（1）AB （2） （3） 【解析】（1）A．安装打点计时器时要竖直架稳，使其两限位孔在同一竖直线上，故A正确； B．为了能在长度有限的纸带上尽可能多地获取间距适当的数据点，接通电源前让重物A尽量靠近打点计时器，故B正确； C．本实验研究对象不是做自由落体运动，无需选取最初第1、2两点间距离接近2mm的纸带，故C错误。 故选AB。 （2）重物A由静止上升高度为h的过程中，系统动能增加量为 系统重力势能减少量为 若系统机械能守恒有 联立可得 （3）对BC，根据牛顿第二定律有 对A有，根据牛顿第二定律有 联立整理得 可知图像纵轴截距为 解得 11．某同学利用气垫导轨设计了如图所示的实验装置，来验证机械能守恒定律，其中劲度系数为k、原长为L的轻质弹簧一端与气垫导轨的底端相连，另一端与质量为m的滑块相连，测出气垫导轨的倾角为，已知弹簧的弹性势能与弹簧的形变量x以及弹簧的劲度系数k之间的关系式为，实验过程中弹簧始终在弹性限度内且与气垫导轨平行，重力加速度为g；主要实验步骤如下： A、拉伸弹簧，将滑块由静止释放，测出弹簧的总长度为1.2L； B、在斜面的底端固定一个位移传感器，释放滑块后滑块压缩弹簧至弹簧最短时，通过位移传感器测出弹簧的长度为0.5L。 重力加速度为g，回答下列问题：（均用题中字母表示） （1）初状态弹性势能_______；末状态弹性势能_______； （2）初状态到末状态重力势能的减小量_______； （3）为了验证机械能守恒定律，应验证的表达式为___________________。 【答案】（1） （2） （3） 【解析】由题意可知，弹簧原长为，初状态弹簧总长为1.2L，末状态弹簧总长为0.5L，两状态下滑块均静止，动能均为0。（1）[1]初状态弹簧伸长量为 根据弹性势能公式有 解得 [2]末状态弹簧被压缩，压缩量为 根据弹性势能公式有 解得 （2）滑块从初状态到末状态沿斜面下滑的距离为 竖直高度降低量为 重力势能的减小量为 解得 （3）由于初、末状态滑块速度均为0，若机械能守恒，则重力势能的减少量等于弹性势能的增加量，即 代入前面结果可得应验证的表达式为 整理得 12．如图甲所示，某同学在验证机械能守恒定律的实验中，绕过定滑轮的细线上悬挂重物A和B，在B下面再挂重物C。已知所用交流电源的频率为50Hz，重物A、B、C的质量均为m。 （1）某次实验结束后，打出的纸带的一部分如图乙所示，a、b、c为三个相邻计时点。则打下b点时重物的速度大小vb=__________m/s（结果保留三位有效数字）。 （2）某次实验测得重物A由静止上升高度为h时，对应的速度大小为v，重力加速度为g，则验证系统机械能守恒定律的表达式是__________（用g、h、m、v表示）。 （3）为尽可能减少实验误差，下列说法错误的是 。 A．重物的质量可以不测量 B．打点计时器应竖直放置安装在铁架台上 C．打下b点时的速度大小可用来计算 【答案】（1）1.03 （2） （3）C 【解析】（1）由图乙可知，打b点时重物的瞬时速度等于打a、c两点间的平均速度，所以 （2）A上升高度为h，则B、C下降高度也为h，系统重力势能减少量 系统动能增加量 若系统机械能守恒，则 即 （3）A．由可知，两边m可约去，所以重物质量可以不测量，A正确，不符合题意； B．打点计时器竖直放置安装在铁架台上，可减小纸带与限位孔间的摩擦，从而减少实验误差，故B正确，不符合题意； C．是根据机械能守恒定律计算的结果，不能默认机械能守恒，否则失去验证的意义，即不能用该式计算b点速度，应该用平均速度法计算，故C错误，符合题意。 故选C。 13．某同学用如图所示的装置验证机械能守恒定律：直径为d（不可忽略）的小球通过不可伸长的长为L的细线悬挂于铁架台O处；在O点正下方安装一光电门，实验时小球在竖直平面内运动，到最低点时小球刚好挡住光电门的光束。现将小球拉到与竖直方向夹角为处由静止释放，通过光电门的时间为t，当地重力加速度为g。 （1）对于该实验，应选用________； A．塑料球 B．钢球 C．木球 （2）小球通过光电门时的瞬时速度________； （3）计算从释放点到最低点过程中重力势能变化时，小球高度的变化为________； A． B． C． （4）若要验证小球从释放点到最低点过程中机械能守恒，其表达式应为________（用g、L、、d、t表示）。 【答案】（1）B （2） （3）B （4） 【解析】（1）为了减小空气阻力的影响，小球应选用密度较大的钢球。 故选B。 （2）小球通过光电门的时间为t，则小球通过光电门时的瞬时速度为 （3）计算从释放点到最低点过程中重力势能变化时，小球高度的变化为 故选B。 （4）从释放点到最低点过程中，重力势能的减少量为 动能增加量为 根据机械能守恒可得 若要验证小球从释放点到最低点过程中机械能守恒，其表达式应为 14．某物理兴趣小组A、B两组的同学都采用如图甲所示装置分别验证机械能守恒定律，轻绳一端固定在光滑固定转轴O处，另一端系一小球，已知当地重力加速度为g。 （1）A组同学在小球运动的最低点放置了一组光电门（未画出），用螺旋测微器测出了小球的直径，如图乙所示，则小球的直径d=________mm，将小球从O点水平位置向左拉直由静止释放，测出小球经过最低点的挡光时间为，轻绳的长度为L； （2）A组同学验证小球由静止释放到最低点的过程机械能守恒的表达式：________（用A组同学测量的物理量及题干所给物理量表示）； （3）B组同学在光滑转轴O处安装了一个拉力传感器，现使小球在竖直平面内做圆周运动，通过拉力传感器读出小球在最低点时绳上的拉力大小是，在最高点时绳上的拉力大小是，要验证机械能守恒定律该组同学还需要测量的物理量有________； A．小球的质量m B．轻绳的长度L C．小球运行一周的时间T （4）B组同学验证小球从最低点到最高点的过程机械能守恒的表达式：________（用B组同学测量的物理量及题干所给物理量表示）。 【答案】（1）5.720/5.719/5.721/5.722 （2） （3）A （4） 【解析】（1）螺旋测微器固定刻度读数为，可动刻度读数为，因此小球直径为 （2）小球从水平位置运动到最低点时，球心下降的高度为 小球经过最低点时的速度为 若机械能守恒，则有 整理得 （3）A．验证机械能守恒的关系式中含有小球质量，需要测量小球的质量，故A正确； B．轻绳长度在推导过程中会约去，不需要测量，故B错误； C．验证过程只需最低点和最高点的拉力，不需要测量小球运动一周的时间，故C错误。 故选A。 （4）设小球在最低点和最高点的速度大小分别为、，圆周运动半径为。根据牛顿第二定律，在最低点和最高点分别有， 小球从最低点运动到最高点时，若机械能守恒，则有 整理得 联立两点的动力学方程解得 即 15．学校物理兴趣小组用如图所示的装置验证机械能守恒定律。图中是固定的光滑斜面，斜面的倾角为，1和2是固定在斜面上适当位置的两个光电门，与它们连接的光电计时器都没有画出，滑块上沿斜面方向的固定挡光板也未画出。 （1）若挡光板的宽度为，挡光板通过光电门所用的时间为，则滑块通过光电门时的速度大小为___________（用、表示）。 （2）让滑块从斜面顶端由静止滑下，光电门1、2各自连接的光电计时器显示的挡光时间分别为和。已知滑块的质量为，滑块上的挡光板宽度为，光电门1和2之间的距离为，当地的重力加速度大小为。（结果均保留三位有效数字） ①滑块通过光电门1时的速度大小___________； ②滑块在光电门1、2之间运动的过程中动能的增加量为_________，重力势能的减少量为_______。 （3）通过以上数据可知，在误差允许的范围内，该过程滑块的机械能___________（填“守恒”或“不守恒”）。 【答案】（1） （2）1.00 3.94 3.97 （3）守恒 【解析】（1）滑块通过光电门时的速度大小为； （2）①[1]滑块通过光电门1时的速度大小 ②[2][3]滑块通过光电门2时的速度大小 滑块在光电门1、2之间运动的过程中动能的增加量为 重力势能的减少量为 （3）通过以上数据可知，在误差允许的范围内，则该过程滑块的机械能守恒。 能力进阶 1．为探究系统机械能守恒规律，实验人员搭建如图甲实验装置，不计轻绳质量、滑轮质量及一切摩擦阻力。 （1）实验时，该实验员进行了如下操作： ①测得上方物块B质量为，下方带有遮光条的物块A质量为（含遮光条）。 ②用20分度游标卡尺测得遮光条的宽度，如图乙所示，则遮光条的宽度_______cm。 ③如图甲所示装置，将重物A与重物B通过轻绳连接，跨过于轻质滑轮组上。实验时用手托住重物B，使系统保持静止，测量遮光条中心与光电门中心的竖直间距为H；随后释放重物B，使其自由下落，带动重物A上升。测得遮光条通过光电门的时间为，此时重物B的速度_______（用、表示）。 （2）从图甲情形至遮光条刚通过光电门过程中，系统（重物A、B）重力势能的减少量___________（用、重力加速度、表示）；系统动能增加量为_______（用、、表示）。 （3）遮光条宽度偏大易引发实验误差。若不计其他实验误差，仅考虑遮光条宽度带来的影响，则在“A上升，B下降”过程中系统重力势能的减少量和动能的增加量的关系为_______（选填“>”“<”或“=”）。 【答案】（1）0.515 （2） （3）> 【解析】（1）[1] 20分度游标卡尺的精度为，游标零刻度在主尺后，游标第条刻度线与主尺刻度线对齐，遮光条宽度 [2] 光电门测得的可看作遮光条中心通过光电门时物体的速度，由绳长约束可知物体的速度 （2）[3] 从图甲状态到遮光条中心通过光电门，物体上升，物体下降，系统重力势能减少量 [4] 此时，由关系式 系统动能增加量为 整理得 （3）[5] 设遮光条挡光开始和结束时物体速度分别为、，匀变速直线运动在挡光时间中点的速度为 由 可知，挡光位移中点的速度满足 由于，所以 光电门测得的等于挡光过程的平均速度，即，小于遮光条中心到达光电门中心时的速度，因此用计算的偏小，关系为 2．某兴趣小组利用如图1所示的装置验证机械能守恒定律。轻绳跨过轻质定滑轮，左端连结轻质弹簧，右端连结小物块，初始时两结点分别在A、B位置，A、B在同一水平线上，弹簧下端固定且处于原长，光电门中心到遮光条中心的竖直距离为l，从静止释放小物块，遮光条经过光电门的挡光时间为t。已知小物块和遮光条总质量为m，弹簧的劲度系数为k，弹性势能（x为弹簧形变量），重力加速度为g，遮光条的宽度为d（d远远小于l）。 （1）为了验证机械能守恒，该实验研究对象应为______（选填“小物块和遮光条所组成的系统”或“小物块和遮光条及弹簧所组成的系统”）。 （2）改变光电门的位置，重复实验，每次小物块均从B点由静止释放，记录多组l和对应的时间t，若要验证机械能守恒，则在误差允许的范围内，需要验证的关系式是______。 （3）作出图像如图2所示，当和时，小物块通过光电门时弹簧具有的弹性势能分别为和，则______（用l1、m、l2、g表示）。 （4）当l取某个值时，可以使小物块通过光电门时的速度最大，则此时l为______，速度最大值为______（以上两空均用m、g、k表示）。 【答案】（1）小物块和遮光条及弹簧所组成的系统 （2） （3） （4） 【解析】（1）从静止释放小物块，小物块和遮光条的重力势能减少，动能增加、弹簧弹性势能增加，为了验证机械能守恒，研究对象应为物块和遮光条及弹簧所组成的系统。 （2）遮光条经过光电门的挡光时间为t，则遮光条经过光电门时的速度为 根据系统机械能守恒可得 联立可得需要验证的关系式是 （3）由图2可知，和时相等，说明小物块动能相等，根据系统机械能守恒可得， 则有 （4）[1][2]物块速度最大时，加速度为0，合力为零，即重力等于弹簧弹力，则有 解得 根据系统机械能守恒可得 解得速度最大值为 3．（2026·河北邢台·二模）某实验小组想验证机械能守恒定律，于是设计了如图（a）所示的装置。一轻绳绕过定滑轮连接物块A、B，物块A质量为m，物块B质量为M（M>m），物块B的右侧有一竖直感光皮革，物块B上安装有激光发射器，可以水平向右发出激光，感光皮革上被激光射到的部位会变色留下痕迹，激光器每隔时间T发射一次激光，每次发射时间也为T，在刚发出激光的同时释放物块，在皮革上留下的部分痕迹如图（b）所示，由于B点被污染，无法测量BC的长度，只测得OA、DE的长度分别为、，重力加速度为g。 （1）通过分析可知，BC的长度： ___________ （用x1、x3表示） （2）F点对应的速度___________。（用题中物理量的符号表示） （3）若满足关系式___________（用题中物理量的符号表示），则可验证两物块组成的系统机械能守恒。 （4）实验中系统重力势能的减少量总是略大于动能的增加量，原因可能是___________（写出一条即可）。 【答案】（1） （2） （3） （4）存在空气阻力做功 【解析】（1）由题意可知，OA、AB、BC、CD、DE、EF所用时间均为，根据匀变速直线运动推论可得， 联立可得 （2）根据匀变速直线运动推论可得 解得加速度大小为 DE过程的中间时刻速度大小为 根据匀变速直线运动速度时间公式可得F点对应的速度为 （3）根据运动学公式可得， 若系统满足机械能守恒，则有 联立整理可得若满足关系式 则可验证两物块组成的系统机械能守恒。 （4）实验中系统重力势能的减少量总是略大于动能的增加量，原因可能是存在空气阻力做功，使得系统减少的重力势能有一部分转化为内能。 4．某同学用如图（a）所示的装置验证机械能守恒定律。不可伸长的轻绳绕过轻质定滑轮，轻绳两端分别连接物块P与较长感光细钢柱K，两者质量均为m＝100g。钢柱K下端与质量为M＝200g的物块Q相连。铁架台下部固定一个电动机，电动机竖直转轴上装一支激光笔，电动机带动激光笔绕转轴在水平面内匀速转动，每转一周激光照射在细钢柱表面时就会使细钢柱感光并留下痕迹。初始时P、K、Q系统在外力作用下保持静止，轻绳与细钢柱均竖直（重力加速度g取9.8m/s²）。 （1）开启电动机，待电动机以角速度ω＝40πrad/s匀速转动后，将P、K、Q系统由静止释放，Q落地前，激光在细钢柱K上留下感光痕迹，取下K，测出感光痕迹间的距离如图（b）所示：hA＝21.80cm，hB＝29.40cm，hC＝38.02cm。感光痕迹间的时间间隔T＝________s，激光束照射到B点时，细钢柱速度大小为vB＝________m/s。经判断系统由静止释放时激光笔光束恰好经过O点，在OB段，系统动能的增加量ΔEk＝________J，重力势能的减少量ΔEp＝________J，比较两者关系可判断系统机械能是否守恒。（该小问除第一空外，其余计算结果均保留3位有效数字） （2）选取相同的另一感光细钢柱K，若初始时激光笔对准K上某点，开启电动机的同时系统由静止释放，电动机的角速度按如图（c）所示的规律变化，图像斜率为k，记录下如图（d）所示的感光痕迹，其中两相邻感光痕迹间距均为d。当满足________即可证明系统在运动过程中机械能守恒。（用含字母d、k、g、π的表达式表示） 【答案】（1）0.05 1.62 0.526 0.576 （2） 【解析】（1）[1][2][3][4]感光痕迹间的时间间隔 激光束照射到B点时，细钢柱速度大小为 在OB段，系统动能的增加量 重力势能的减少量 （2）从初始时激光笔对准K上某点开始选取连续的n段，根据时间关系有 根据运动学公式有 根据机械能守恒定律有 联立解得 5．（2025·浙江·一模）某班同学分组设计验证机械能守恒实验，设计的装置如图甲、乙所示。 （1）甲组同学认为图甲装置在平衡摩擦力后即可验证机械能守恒定律，此方案______（选填“可行”或“不可行”） （2）乙组同学实验主要步骤有 A．将气垫导轨放在水平桌面上，将导轨调至水平； B．测出遮光片的宽度； C．用天平称出托盘和砝码的总质量；称出滑块和遮光片的总质量； D．将滑块移至图示位置，测出遮光片到光电门的距离； E．由静止释放滑块，读出遮光片通过光电门的遮光时间； F.改变，多次重复实验，记录数据。 ①本实验的研究对象为_________ A．滑块和遮光片    B．托盘和砝码    C．滑块和遮光片及托盘和砝码 ②如图丙所示，用游标卡尺测得遮光片的宽度______； ③作出图像，如图丁所示，根据机械能守恒定律，图线斜率的理论值为______（用题中所给物理量的字母表示）。 ④实验中有不可忽略的阻力影响，实际采集数据后作出了如图戊所示的图线______（选填“A”或“B”） 【答案】（1）不可行 （2）C 5.2 A 【解析】（1）用重力分力平衡摩擦力后，摩擦力仍做功，故机械能不守恒，即此方案不可行。 （2）[1]验证系统机械能守恒，故对象为滑块和遮光片及托盘和砝码； [2]图丙可知游标卡尺精度为0.1mm，故读数 [3]由能量守恒得 整理得 可知斜率 [4]若考虑阻力，由能量守恒得 整理得 可知斜率更大，故图线为A。 6．某同学用如图甲所示的装置验证机械能守恒定律。大小相同、质量不同的两小球A、B分别固定在轻杆两端，轻杆可绕固定于杆上三等分点的光滑水平轴O在竖直面内转动，转轴正下方有一光电门计时器，小球通过计时器时其球心恰好与光电门等高。已知当地的重力加速度为g。现将轻杆拉至如图甲所示的水平位置并由静止释放，当A球第一次通过光电门时，计时器显示的遮光时间为。 回答下列问题： （1）用游标卡尺测量小球的直径时如图乙所示，则小球的直径d=______cm； （2）小球A经过光电门时速度v=______m/s；（保留两位有效数字） （3）若两小球A、B球心间的距离为L（），小球A的质量是小球B质量的n倍（n>1），当改变L，则得到不同的，根据数据做出如图丙所示的图像。只要该图像斜率k满足：k=______，即可说明此过程中A、B构成的系统机械能守恒（用含有g、d、n的表达式表示）。 （4）若实际实验中根据数据图像获得的k值总是比理论值偏小，请写出至少一条可能原因：______。 【答案】（1）0.940 （2）0.19 （3） （4）释放小球时有初速度；实际杆长大于L；小球经过光电门时不是球心；实验室给出的当地重力加速度小于实际值，或者其他可能产生实际速度大于理论值的答案均可给分。 【解析】（1）小球的直径d=0.9cm+0.05mm×8=0.940cm （2）小球A经过光电门时速度 （3）若机械能守恒，则满足 其中 解得 则 （4）若实际实验中根据数据图像获得的k值总是比理论值偏小，可能原因：释放小球时有初速度；实际杆长大于L；小球经过光电门时不是球心；实验室给出的当地重力加速度小于实际值，或者其他可能产生实际速度大于理论值的答案均可给分。 7．“辘轳”是中国古代取水的重要设施，通过转动手柄将轻绳缠绕到转筒上，把水桶从井中提起。研究表明转动的物体也具有动能，称为转动动能，它属于机械能。某同学使用如图（a）所示装置探究“匀质转筒的转动动能与角速度的关系”。模拟小桶边缘固定一遮光片，光电门位于遮光片正下方。每次实验，细线保持竖直，将小桶上的遮光片与O点等高对齐，由静止释放，小桶下落带动转筒转动，细线与转筒之间不打滑，实验中测出了小桶（含重物和遮光片）质量m、转筒的直径D（不计细线对转筒直径的影响）、光电门距O点竖直方向距离h，遮光片宽度d（很窄）和遮光片通过光电门的时间t。已知重力加速度为g，忽略空气阻力。 （1）遮光片通过光电门的速度________，此时转筒的转动动能_______，角速度_______。（用题干中所给的字母表示） （2）调节光电门的位置，多次实验，记录多组E和的值，描绘出图像如图（b）所示。该同学查阅资料得知匀质圆筒的转动动能与角速度的平方成正比，即，其中I为比例系数。若考虑水桶下落过程中受到的空气阻力，并将其简化为恒力，则利用图像得到的I的测量值_______（填“大于”“等于”或“小于”）真实值。 【答案】（1） （2）大于 【解析】（1）[1]极短时间内的平均速度等于瞬时速度，由于遮光片宽度极窄，则遮光片通过光电门的速度为 [2]在小桶下落过程中，假设系统机械能守恒，根据机械能守恒定律有 将速度公式代入解得此时转筒的转动动能为 [3]细线与转筒之间不打滑，则转筒边缘的线速度大小等于小桶下落的速度大小，根据线速度与角速度的关系式有 解得角速度为 （2）若考虑小桶下落过程中受到的空气阻力，设空气阻力大小为，根据动能定理有 解得真实的转动动能为 实验中计算得到的转动动能表达式为，对比可知在相同状态下有，根据题意及真实情况可知转动动能与角速度的关系分别有， 可知在相同的角速度下，由于，最终推得比例系数的测量值大于真实值。 8．某同学用如图甲所示的装置验证机械能守恒定律，其操作步骤如下： ①在铁架台的O点固定一个力传感器，将一根细线一端与力传感器相连，另一端系住一个小球； ②小球保持静止时，球心的位置记为A点，测得力传感器的最下端到A点的距离为L，此时力传感器的示数为F0； ③将小球向右拉至不同的高度由静止释放（绳子一直保持紧绷状态）； ④记录释放点小球球心与A点的高度差∆h以及小球在运动过程中力传感器示数F随时间t变化的规律； ⑤改变∆h，记录小球每次经过A点时力传感器的示数FA，通过分析FA与∆h之间的关系，来验证机械能是否守恒。 （1）该实验中小球应选择（　　） A．塑料球 B．钢球 C．木球 （2）某次实验中，小球在运动过程中传感器示数F随时间t变化的规律如图乙所示，图中c点为图像最高点，c点对应的力传感器示数为Fm，则： ①本次实验中小球经过A点时对应图乙中的________（填“a”“b”“c”“d”或“e”）点； ②本次实验中，小球经过A点时的动能为________（用字母Fm、F0、L表示）； ③由于空气阻力，实际测得的力传感器的示数FA和理论值相比会________（填“偏大”、“偏小”或“相等”）。 （3）若小球运动过程中机械能守恒，则FA-∆h图像应为（　　） A．B． C． D． 【答案】（1）B （2） 偏小 （3）C 【解析】（1）由于本实验验证机械能守恒定律，所以为减小阻力的影响，应选择体积小、密度大的钢球。 故选B。 （2）[1]小球运动到A点，根据牛顿第二定律可得 由于小球运动到A点时速度达到最大，则小球所受绳的拉力最大，力传感器示数最大，所以本次实验小钢球经过A点时对应图乙中的c； [2]当小钢球在A点保持静止时，有 小钢球在A点，有 小钢球的动能为 联立解得 [3]由于存在空气阻力，根据动能定理可得， 由于摩擦力做负功，比理论值偏小，FA比理论值偏小。 （3）小钢球在A点，有 根据机械能守恒定律可得 联立解得 故选C。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第20讲 实验：验证机械能守恒定律（培优复习讲义） 内容导航 夯实基础·突破重难·分层提能 考情・分析解读（课标要求 考情解读 备考策略） 基础・知识梳理（专题线索 知识导图 知识梳理） 知识01 教材原型实验 知识02 验证机械能守恒定律的其他方案 重难・核心突破（技法点拨 典例突破 变式研析） 重难01 教材原型实验 重难02 创新拓展实验 拔高・分层集训（基础演练 能力进阶 真题实战） 考情·分析解读 课标要求 1．熟悉验证机械能守恒定律的实验原理、实验步骤及数据处理。 2．学会在创新实验中探究机械能守恒定律。 考题统计 核心考点 2026年 2025年 2024年 实验：验证机械能守恒定律 （5年11考） 江西卷T11、甘肃卷T11、河北卷T11、江苏卷T11、河南卷T12、湖北卷T12 6月浙江卷T16 考情解读 1．考查频次：力学核心必考实验，多以实验填空大题呈现，偶尔结合选择题考查器材辨析，原型与创新拓展题型轮换考查，考频稳定。 2．考查要点：掌握自由落体原型实验操作、纸带瞬时速度计算、势能与动能变化量比对，会用图像法验证守恒，辨析阻力带来的系统误差，能迁移光电门、气垫导轨等创新装置解题。 3．命题情境：以教材重物自由下落装置为基础，拓展光电门、单摆、斜面滑块、系统连接体等改良实验情境，围绕纸带数据计算、误差分析、装置改进设问。 备考策略 1．熟记操作规范：牢记先通电后释放纸带、重物选高密度重锤、纸带竖直无摩擦等操作要点。 2．精通纸带运算：熟练运用中间时刻瞬时速度公式计算速度，掌握差值对比、图像两种验证方法，规范数值计算步骤。 3．吃透误差与创新：梳理空气阻力、纸带摩擦的误差规律，灵活迁移各类改良实验装置，套用守恒核心公式完成变式推导。 基础・知识梳理 知识导图 核心梳理 知识1 教材原型实验 1．实验原理 通过实验，求出做自由落体运动物体的　 和对应过程动能的增加量，在实验误差允许范围内，若二者相等，说明机械能守恒，从而验证机械能守恒定律。 2．实验过程 （1）安装器材：打点计时器竖直安装，纸带沿 　方向拉直。 （2）重物：选密度大、质量大的金属块，且在 　打点计时器处释放。 （3）打纸带：用手竖直提起纸带，使重物停靠在打点计时器下方附近，先__ __，再__ _，让重物自由下落，打点计时器就在纸带上打出一系列的点，取下纸带，换上新的纸带重打几条（3～5条）纸带。 （4）选纸带：点迹清晰，且第1个点、第2个点间距离接近2 mm。 3．数据处理 （1）求瞬时速度：由公式可以计算出重物下落h1、h2、h3…的高度时对应的瞬时速度v1、v2、v3…。 （2）验证守恒 【方案一：利用起始点和第n点计算】 代入mghn和，如果在实验误差允许的范围内，mghn和相等，则验证了机械能守恒定律。 注意：应选取最初第1、2两点距离接近 _的纸带（电源频率为50 Hz）。 【方案二：任取两点计算】 ①任取两点A、B，测出hAB，算出mghAB； ②算出的值； ③在实验误差允许的范围内，若，则验证了机械能守恒定律。 【方案三：图像法】 测量从第一点到其余各点的下落高度h，并计算对应速度v，然后以为纵轴，以h为横轴，根据实验数据作出图像。若在实验误差允许的范围内图像是一条过原点且斜率为　 　的直线，则验证了机械能守恒定律。 （3）误差分析 ①系统误差：本实验中因重物和纸带在下落过程中要克服各种阻力（空气阻力、打点计时器阻力）做功，故动能的增加量ΔEk稍　 重力势能的减少量，即ΔEk　 ΔEp。改进的办法是调整器材的安装，尽可能地减小阻力。 ②偶然误差：本实验在长度测量时产生的误差。减小误差的办法是测下落距离时都从O点量起，一次将各点对应的下落高度测量完，或者多次测量取平均值。 注意事项 1．打点计时器要竖直：安装打点计时器时要竖直架稳，使其两限位孔在同一竖直线上，以减小 。 2．测长度，算速度：某时刻的瞬时速度的计算应用，不能用或来计算。 3．此实验中不需要测量重物的质量。 知识2 验证机械能守恒定律的其他方案 1．重物牵引滑块在导轨上运动 （1）研究对象：滑块及遮光条（总质量为m1）、托盘及砝码（总质量为m2）。 （2）实验条件：气垫导轨 放置。 （3）重力势能的减少量：。 （4）动能的增加量：。 （5）若，即，则可验证机械能守恒。 2．摆球通过光电门 （1）研究对象：用细线悬挂的金属球（直径为d）。 （2）金属球自距最低点A高度h处静止释放后摆动，记录金属球到达最低点A时的挡光时间t。 （3）重力势能的减少量：。 （4）动能的增加量：。 （5）若，则可验证机械能守恒。 3．小球沿光滑斜面运动的频闪照片 （1）研究对象：质量为m、可看作质点的小球。 （2）实验条件：将小球自某点由静止释放，采取频闪照相的方式获取频闪照片。 （3）测速度：据中间时刻的瞬时速度等于 　的方法求瞬时速度v。 （4）重力势能的减少量：。 （5）动能的增加量：。 （6）若，则可验证机械能守恒。 重难・核心突破 重难01 教材原型实验 【典例突破】（2025·河南·高考真题）实验小组利用图1所示装置验证机械能守恒定律。可选用的器材有：交流电源（频率）、铁架台、电子天平、重锤、打点计时器、纸带、刻度尺等。 （1）下列所给实验步骤中，有4个是完成实验必需且正确的，把它们选择出来并按实验顺序排列：________（填步骤前面的序号） ①先接通电源，打点计时器开始打点，然后再释放纸带 ②先释放纸带，然后再接通电源，打点计时器开始打点 ③用电子天平称量重锤的质量 ④将纸带下端固定在重锤上，穿过打点计时器的限位孔，用手捏住纸带上端 ⑤在纸带上选取一段，用刻度尺测量该段内各点到起点的距离，记录分析数据 ⑥关闭电源，取下纸带 （2）图2所示是纸带上连续打出的五个点A、B、C、D、E到起点的距离。则打出B点时重锤下落的速度大小为________ （保留3位有效数字）。 （3）纸带上各点与起点间的距离即为重锤下落高度h，计算相应的重锤下落速度v，并绘制图3所示的关系图像。理论上，若机械能守恒，图中直线应________（填“通过”或“不通过”）原点且斜率为________（用重力加速度大小g表示）。由图3得直线的斜率________（保留3位有效数字）。 （4）定义单次测量的相对误差，其中是重锤重力势能的减小量，是其动能增加量，则实验相对误差为________（用字母k和g表示）；当地重力加速度大小取，则________（保留2位有效数字），若，可认为在实验误差允许的范围内机械能守恒。 【变式研析】 1．（2026·贵州黔西南·二模）某实验小组用图甲所示的实验装置来做“验证机械能守恒定律”的实验，重物由静止竖直释放，重复操作后，获取的一条清晰纸带如图乙所示，O点是打下的第一个点，A、B、C和D为另外4个连续打下的点。已知打点计时器所接交流电的频率为50Hz，重物质量为200g，当地重力加速度g大小取，请回答下列问题： （1）O、C两点间的距离为_________cm。 （2）重物从O点运动到C点，重力势能的减少量为_________J，在C点的动能_________J。（结果均保留3位有效数字） （3）比较与的大小，出现这一结果的原因可能是_________（选填“A”或“B”）。 A．存在空气阻力和摩擦力 B．接通电源前释放了纸带 2．（2026·湖南岳阳·三模）某实验小组的同学在验证机械能守恒定律时，设计了如图甲所示的实验，图中的打点计时器为电火花打点计时器，回答下列问题： （1）除了图中的实验器材外，还需要________（填字母）。 A．天平 B．8 V的交流电源 C．220 V的交流电源 D．毫米刻度尺 （2）某次实验时，打出的纸带如图乙所示，已知交流电源的频率为50 Hz，图中的点均为计时点，计时点3、4、5到0点的距离分别为35.28 cm、40.02 cm、46.08 cm，0点为起始点，若重锤的质量为200 g，重力加速度g取9.8 m/s2，则打下第4点时重锤的动能为________J，该过程重锤减小的重力势能为________J。（以上结果均保留两位小数） （3）实验小组利用图像处理实验数据，通过得到的实验数据，描绘了图像如图丙所示，则由图线得到的重力加速度g=________m/s2（结果保留三位有效数字）。 3．（2026·北京丰台·二模）（1）某实验小组利用如图甲所示的装置做“验证机械能守恒定律”的实验。 ①除带夹子的重锤、纸带、铁架台（含铁夹）、打点计时器、导线及开关外，在下列器材中，还必须使用的器材是( ) A．交流电源    B．刻度尺    C．天平（含砝码） ②实验时，由静止释放重锤，得到如图乙所示的一条纸带，其中O为打点计时器打下的第一个点，由此可知纸带________（填“左”或“右”）端连接重锤；在纸带上选取三个连续打出的点A、B、C，测得它们到起始点O的距离分别为h1、h2、h3，已知打点计时器打点的周期为T，重力加速度为g。从打O点到打B点的过程中，若满足________，则重锤在上述过程中机械能守恒。 （2）某同学发现利用如图丙所示的装置也可以完成“验证机械能守恒定律”的实验，其操作步骤如下： ①在铁架台的O点固定一个力传感器，将一根长为L且不可伸长的细线一端与力传感器相连，另一端系一个质量为m的小球； ②将小球向右拉至某一高度由静止释放（细线一直保持紧绷状态，小球始终在竖直平面内运动）； ③记录释放点小球球心与最低点小球球心的高度差h以及小球在运动过程中力传感器示数的最大值F；. ④改变h，重复②③步骤，绘制F与h的图像。 该同学理论分析认为，如果小球运动的过程中机械能守恒，F-h图线应如图丁中的虚线所示，其与纵轴的交点坐标为（0，b）。已知重力加速度为g，则b=________。若空气阻力对小球运动的影响不可忽略，实验得到的图线（实线）与理论图线（虚线）之间的关系可能正确的是( ) A．    B．  C．    D． 重难02 创新拓展实验 【典例突破】 1．（2025·江西·高考真题）某小组利用气垫导轨、两个光电门、滑块、遮光片等，组成具有一定倾角的导轨装置，研究机械能守恒定律。重力加速度g取。 （1）实验前，应合理安装实验器材。图（a）中光电门______的位置安装不合理，应如何调整_______： （2）实验时，导轨倾斜角的正弦值，光电门1、2相距L。将宽度的遮光片固定于滑块上，从导轨最左端静止释放滑块，分别记录遮光片通过光电门1、2的时间和。移动光电门2的位置改变L，重复实验，所测数据见下表。 … 滑块经过光电门1、2的速度分别为和。当时，_____，滑块通过两光电门下降的高度_____。（结果保留2位小数） （3）处理上表数据，并绘制关系曲线（其中），如图（b）所示。根据图（b）中的信息，分析滑块在下滑过程中机械能是否守恒：_____，并给出理由：________。 2．（2025·甘肃·高考真题）某学习小组使用如图所示的实验装置验证机械能守恒定律。 把一个直径为d的小球用不可伸长的细线悬挂，光电门置于小球平衡位置处，其光线恰好通过小球球心，计时器与光电门相连。 将小球拉离平衡位置并记录其高度h，然后由静止释放（运动平面与光电门光线垂直），记录小球经过光电门的挡光时间。改变h，测量多组数据。已知重力加速度为g，忽略阻力。 （1）以h为横坐标、________（填“”、“”、“”或“”）为纵坐标作直线图。若所得图像过原点，且斜率为________（用d和g表示），即可证明小球在运动过程中机械能守恒。 （2）实验中，用游标卡尺测得小球直径。 ①由结果可知，所用的是________分度的游标卡尺（填“10”、“20”或“50”）； ②小组设计了一把25分度的游标卡尺，未测量时的状态如图所示。如果用此游标卡尺测量该小球直径、则游标尺上第________条刻度线与主尺上的刻度线对齐。 【变式研析】 1．（2026·山东潍坊·模拟预测）某实验小组为验证机械能守恒定律，设计了如图甲所示的实验装置。重力加速度为g，实验时，该同学进行了如下操作： ①用天平测出两物块A、B的质量分别为m和2m； ②将打点计时器固定在铁架台上，物块A、B用轻绳按图甲所示连接，跨放在轻质滑轮上，一个同学用手托住物块B。纸带一端通过限位孔后与物块A固定。接通电源后释放物块B使其由静止开始匀加速下落； ③选取点迹清晰的纸带如图乙所示，相邻两点之间的距离用x1、x2、x3、x4表示，相邻两点之间的时间为T。 （1）在释放B之前，A应该___________打点计时器（选填“靠近”或“远离”）。 （2）在纸带上打下D点时，A的速度为___________。 （3）要验证系统在D点到F点之间是否机械能守恒，应满足的关系式为：___________。 2．（2026·浙江绍兴·三模）某同学用图甲所示装置探究机械能守恒定律。实验时将小钢球在斜槽上A点由静止释放，通过斜槽水平末端O点抛出，落在水平地面上的P点。实验使用的小钢球质量为m，测量AO间的高度h、O点的离地高度H和O点在水平地面上的投影O’到P的距离x，以O点所在的平面为重力势能零参考面。 （1）小钢球在O点的速度v＝_________，下滑到O时的动能Ek＝_________，在A点的重力势能Ep＝_________（用g和测量的物理量m、x、h、H表示）； （2）探究小钢球沿斜槽下滑过程中机械能守恒，需使式子__________________成立（用测量的物理量x、h、H表示）； （3）以Ep为横轴，Ek为纵轴建立直角坐标系，根据实验数据作出图乙中的实验图线。 ①若假设小钢球下滑过程中机械能守恒，在图乙中用虚线作出该假设图线_________； ②比较图乙中的实验图线与假设图线可知，小球沿斜槽下滑过程中，机械能_________（选填“守恒”或“不守恒”），损失的机械能（Ep−Ek）与总机械能Ep之比＝_________（保留2位有效数字） 3．（2026·湖南衡阳·模拟预测）小明利用图甲所示的实验装置验证机械能守恒定律，所用器材包括：智能手机、铁球、刻度尺、钢尺等。 （1）下列实验操作步骤，正确的顺序是________。 ①将质量为的铁球放在钢尺末端 ②迅速敲击钢尺侧面，铁球自由下落 ③传感器记录下声音振幅随时间变化的曲线 ④将钢尺伸出水平桌面少许，用刻度尺测出钢尺上表面与地板间的高度差h ⑤将手机置于桌面上方，运行手机中的声音“振幅”（声音传感器）项目 （2）声音振幅随时间变化曲线如图乙所示，第一、第二个尖峰的横坐标分别对应铁球开始下落和落地时刻，对应的时间间隔t=________s。 （3）若铁球下落过程中机械能守恒，则应满足等式：______（用、、表示）。 （4）若敲击钢尺侧面时铁球获得一个较小的水平速度，对实验测量结果_____（填“有”或“没有”）影响。 4．（2026·河南驻马店·模拟预测）某同学在验证机械能守恒定律的实验时，设计了如图所示的实验装置。光滑斜面体倾角为，轻绳与拉力传感器相连接并固定在点，另一端拴接一小钢球，绳长为，实验时进行了如下操作： a、使小钢球在斜面内做圆周运动，在圆轨道的最低点和最高点分别固定一个光电门； b、用游标卡尺测量小钢球的直径为； c、小钢球静止在点时，拉力传感器的示数为； d、给小钢球一初速度，使小钢球在斜面内做圆周运动，小钢球依次经过、两点时的挡光时间分别为、，拉力传感器的示数分别为、。 请回答下列问题： （1）已知重力加速度为，则小钢球的质量为________（用、、表示）； （2）小钢球经过光电门的速度大小为_________；若运动过程中小钢球的机械能守恒，则关系式________（用、、、、、表示）成立； （3）若小钢球的机械能守恒，则_____。 拔高・分层集训 基础演练 1．某同学利用智能手机验证机械能守恒定律。先测出手机由静止下落高度，并利用手机自带软件测出其下落高度时速度。当地重力加速度为，以下说法正确的是（　　） A．实验中必须测出手机的质量 B．实验中也可用算出 C．手机下落过程中减少的重力势能应小于增加的动能 D．如果，可能是因为手机释放时具有初速度 2．用图示气垫导轨装置验证沿斜面下滑的滑块机械能守恒，气垫导轨放在水平桌面上，导轨上安装了两个光电门，滑块上安装了遮光条。实验中不需要的是（     ） A．测量滑块的宽度 B．将导轨调成倾斜状态 C．查阅当地的重力加速度 D．测量两光电门的高度差 3．如图所示，某小组验证机械能守恒定律实验操作如下：将量角器竖直固定在铁架台上，使直径边水平，将小球通过细线悬挂于量角器的圆心处。在圆心正下方安装光电门，调整其高度使小球静止在最低点时，光电门的探测光束刚好被球心遮住。实验时，利用电磁铁吸住小球，断开电源，小球在紧贴量角器的竖直平面内运动。验证小球从释放到最低点过程的机械能守恒，不是必须测量的物理量是（     ） A．细线的长度 B．小球的质量 C．小球的直径 D．释放时细线与竖直方向的夹角 4．用如图所示的装置验证机械能守恒定律，绳两端系着质量均为的物块、，上放一质量为的金属片，在的正下方的架台上固定一定滑轮环。开始时金属片与圆环间的高度为，由静止释放，运动一段时间后金属片被搁置在圆环上（与轻绳间无接触），测得通过两数字计时器的时间间隔为，已知两数字计时器的竖直间距为。改变重复实验得到多组数据，为了直观反映数据关系，应绘制（　　） A．图像 B．图像 C．图像 D．图像 5．（2026·海南海口·二模）利用气垫导轨、两个光电门、滑块、遮光片等，组成具有一定倾角的导轨装置，也可以用来验证机械能守恒定律，如图所示。把气垫导轨调成倾斜状态______（选填“是”或“不是”）为了平衡滑块运动时受到的阻力。实验中记录了滑块和遮光片的总质量，遮光片宽度，两光电门之间的距离，导轨倾斜角。滑块静止释放，用数字计时器测出遮光片依次经过光电门1和2时的遮光时间、，若机械能守恒，则满足的关系式是__________________ A．    B． C．    D． 6．在验证机械能守恒定律的实验中，某同学使用如下器材：电磁打点计时器、纸带、重物、夹子、铁架台、低压交流学生电源。当地重力加速度大小为g。 （1）要完成实验，还缺少的一种测量工具是________，找出图1中的不当之处________。 （2）已知打点计时器的打点周期为T，重物的质量为m。若实验时得到一条纸带如图2所示，O点为打点计时器打下的第一个点，然后从后方某处开始按打点顺序每两个点选取一个计数点，依次测得相邻三个计数点A、B、C到点O的距离分别为、、，从起点O到点B的过程中重力势能减少量是________，此过程中物体动能的增加量________（均用题目所给字母表示）。代入数据发现，原因可能是_________________________________________________________________（答出一条即可）。 （3）根据实验的纸带算出各点的速度大小v，测量出对应的下落距离h，然后作出图像，若在误差允许范围内，图线是斜率为k=________且过原点的直线，就可以证明机械能是守恒的。 7．学校物理兴趣小组用如图甲所示的实验装置验证、组成的系统机械能守恒。从高处由静止开始下落，拖着的纸带通过打点计时器，打出一系列的点，然后对纸带上的点迹进行测量。如图乙所示是实验中获取的一条纸带，是打下的第一个点，每相邻两个计数点间还有4个点（图中未标出），计数点间的距离已标注，打点计时器所接电源频率为50Hz。已知、的质量分别为，，当地的重力加速度为。 （1）在打下第“0”点到打下第“5”点的过程中系统动能的增加量______J，系统重力势能的减少量______J。在误差允许的范围内，，则验证了、系统机械能守恒定律；（计算结果均保留3位有效数字） （2）另一组同学利用他们实验时打出的纸带，测量出了各计数点到打点计时器打下的第一个点的距离，算出了各计数点对应的速度，以为横轴，以为纵轴画出了如图丙的图线。若、系统机械能守恒，则图线的斜率数值上近似等于______（填正确选项前字母即可）。 A．4.90 B．9.80 C．7.20 D．3.60 8．某实验小组采用不同的实验验证机械能守恒定律，已知当地重力加速度为。 实验一：验证重物在下落过程中机械能是否守恒。 （1）在实验操作过程中出现如图所示的三种情况，其中操作规范正确的是__________。 （2）操作正确得到如图所示的一条纸带。O点是打点计时器打下的第一个点，在纸带上选取连续打出的3个点A、B、C，测得A、B、C到O的距离分别为、。打点计时器打点的周期为，重物的质量为。则从O点到B点的过程中，重物的重力势能减少量为__________，动能增加量为__________。（用题中已知物理量的符号表示） （3）实验二：验证摆锤下摆过程机械能是否守恒。将光电门固定在点D处，使圆柱形摆锤从圆弧AD间某一位置静止释放，记录摆锤通过光电门的挡光时间和释放位置距离D点的高度，摆锤直径为。若满足__________（用题中已知物理量的符号表示），则可认为摆锤下摆过程机械能守恒。 9．（2026·福建泉州·模拟预测）某学习小组使用如图甲所示的实验装置验证机械能守恒定律。用不可伸长的细线悬挂一个质量为m的小球，将光电门置于小球平衡位置，其光线恰好通过小球球心，计时器与光电门相连。将小球拉开一定角度，测出细线偏离竖直方向的角度，然后由静止释放（运动平面与光电门光线垂直），记录小球经过光电门的挡光时间t。当地重力加速度大小为g。 （1）用螺旋测微器测小球的直径d，如图乙所示，则小球的直径________mm。 （2）在小球从释放到经过光电门的过程中，小球的动能增加量________（用m、d、t表示）。 （3）为验证机械能守恒，还需要测量的物理量为________（填下列选项前的字母序号）。 A．细线长度L B．小球从释放至光电门过程经历的时间T （4）该过程中小球减小的重力势能________（用题中所给的、测出的及所选的物理量字母表示），在误差允许范围内，若与近似相等，则此过程小球机械能守恒。 10．（2026·湖北荆州·模拟预测）在验证机械能守恒定律的实验中，某同学采用如图装置，绕过定滑轮的细线上悬挂质量相等的重物A和B，在B下面再挂钩码C．已知打点计时器所用交流电源的频率为50Hz。 （1）如图所示，在重物A下方固定打点计时器，用纸带连接A，测量A的运动情况，下列操作过程正确的是________。 A．安装打点计时器时工作面要竖直放置，同时让两限位孔的中心在同一竖直线上 B．接通电源前让重物A尽量靠近打点计时器 C．应选取最初第1、2两点间距离接近2mm的纸带 （2）已知重物A和B的质量均为M，钩码C的质量为m，某次实验中从纸带上测量重物A由静止上升高度为h时对应计时点的速度为v，取重力加速度为g，则验证系统机械能守恒定律的表达式是________； （3）为了测定当地的重力加速度，改变钩码C的质量m，测得多组m和对应的加速度a，作出图像如图所示，图线与纵轴截距为b，则当地的重力加速度为________。 11．某同学利用气垫导轨设计了如图所示的实验装置，来验证机械能守恒定律，其中劲度系数为k、原长为L的轻质弹簧一端与气垫导轨的底端相连，另一端与质量为m的滑块相连，测出气垫导轨的倾角为，已知弹簧的弹性势能与弹簧的形变量x以及弹簧的劲度系数k之间的关系式为，实验过程中弹簧始终在弹性限度内且与气垫导轨平行，重力加速度为g；主要实验步骤如下： A、拉伸弹簧，将滑块由静止释放，测出弹簧的总长度为1.2L； B、在斜面的底端固定一个位移传感器，释放滑块后滑块压缩弹簧至弹簧最短时，通过位移传感器测出弹簧的长度为0.5L。 重力加速度为g，回答下列问题：（均用题中字母表示） （1）初状态弹性势能_______；末状态弹性势能_______； （2）初状态到末状态重力势能的减小量_______； （3）为了验证机械能守恒定律，应验证的表达式为___________________。 12．如图甲所示，某同学在验证机械能守恒定律的实验中，绕过定滑轮的细线上悬挂重物A和B，在B下面再挂重物C。已知所用交流电源的频率为50Hz，重物A、B、C的质量均为m。 （1）某次实验结束后，打出的纸带的一部分如图乙所示，a、b、c为三个相邻计时点。则打下b点时重物的速度大小vb=__________m/s（结果保留三位有效数字）。 （2）某次实验测得重物A由静止上升高度为h时，对应的速度大小为v，重力加速度为g，则验证系统机械能守恒定律的表达式是__________（用g、h、m、v表示）。 （3）为尽可能减少实验误差，下列说法错误的是 。 A．重物的质量可以不测量 B．打点计时器应竖直放置安装在铁架台上 C．打下b点时的速度大小可用来计算 13．某同学用如图所示的装置验证机械能守恒定律：直径为d（不可忽略）的小球通过不可伸长的长为L的细线悬挂于铁架台O处；在O点正下方安装一光电门，实验时小球在竖直平面内运动，到最低点时小球刚好挡住光电门的光束。现将小球拉到与竖直方向夹角为处由静止释放，通过光电门的时间为t，当地重力加速度为g。 （1）对于该实验，应选用________； A．塑料球 B．钢球 C．木球 （2）小球通过光电门时的瞬时速度________； （3）计算从释放点到最低点过程中重力势能变化时，小球高度的变化为________； A． B． C． （4）若要验证小球从释放点到最低点过程中机械能守恒，其表达式应为________（用g、L、、d、t表示）。 14．某物理兴趣小组A、B两组的同学都采用如图甲所示装置分别验证机械能守恒定律，轻绳一端固定在光滑固定转轴O处，另一端系一小球，已知当地重力加速度为g。 （1）A组同学在小球运动的最低点放置了一组光电门（未画出），用螺旋测微器测出了小球的直径，如图乙所示，则小球的直径d=________mm，将小球从O点水平位置向左拉直由静止释放，测出小球经过最低点的挡光时间为，轻绳的长度为L； （2）A组同学验证小球由静止释放到最低点的过程机械能守恒的表达式：________（用A组同学测量的物理量及题干所给物理量表示）； （3）B组同学在光滑转轴O处安装了一个拉力传感器，现使小球在竖直平面内做圆周运动，通过拉力传感器读出小球在最低点时绳上的拉力大小是，在最高点时绳上的拉力大小是，要验证机械能守恒定律该组同学还需要测量的物理量有________； A．小球的质量m B．轻绳的长度L C．小球运行一周的时间T （4）B组同学验证小球从最低点到最高点的过程机械能守恒的表达式：________（用B组同学测量的物理量及题干所给物理量表示）。 15．学校物理兴趣小组用如图所示的装置验证机械能守恒定律。图中是固定的光滑斜面，斜面的倾角为，1和2是固定在斜面上适当位置的两个光电门，与它们连接的光电计时器都没有画出，滑块上沿斜面方向的固定挡光板也未画出。 （1）若挡光板的宽度为，挡光板通过光电门所用的时间为，则滑块通过光电门时的速度大小为___________（用、表示）。 （2）让滑块从斜面顶端由静止滑下，光电门1、2各自连接的光电计时器显示的挡光时间分别为和。已知滑块的质量为，滑块上的挡光板宽度为，光电门1和2之间的距离为，当地的重力加速度大小为。（结果均保留三位有效数字） ①滑块通过光电门1时的速度大小___________； ②滑块在光电门1、2之间运动的过程中动能的增加量为_________，重力势能的减少量为_______。 （3）通过以上数据可知，在误差允许的范围内，该过程滑块的机械能___________（填“守恒”或“不守恒”）。 能力进阶 1．为探究系统机械能守恒规律，实验人员搭建如图甲实验装置，不计轻绳质量、滑轮质量及一切摩擦阻力。 （1）实验时，该实验员进行了如下操作： ①测得上方物块B质量为，下方带有遮光条的物块A质量为（含遮光条）。 ②用20分度游标卡尺测得遮光条的宽度，如图乙所示，则遮光条的宽度_______cm。 ③如图甲所示装置，将重物A与重物B通过轻绳连接，跨过于轻质滑轮组上。实验时用手托住重物B，使系统保持静止，测量遮光条中心与光电门中心的竖直间距为H；随后释放重物B，使其自由下落，带动重物A上升。测得遮光条通过光电门的时间为，此时重物B的速度_______（用、表示）。 （2）从图甲情形至遮光条刚通过光电门过程中，系统（重物A、B）重力势能的减少量___________（用、重力加速度、表示）；系统动能增加量为_______（用、、表示）。 （3）遮光条宽度偏大易引发实验误差。若不计其他实验误差，仅考虑遮光条宽度带来的影响，则在“A上升，B下降”过程中系统重力势能的减少量和动能的增加量的关系为_______（选填“>”“<”或“=”）。 2．某兴趣小组利用如图1所示的装置验证机械能守恒定律。轻绳跨过轻质定滑轮，左端连结轻质弹簧，右端连结小物块，初始时两结点分别在A、B位置，A、B在同一水平线上，弹簧下端固定且处于原长，光电门中心到遮光条中心的竖直距离为l，从静止释放小物块，遮光条经过光电门的挡光时间为t。已知小物块和遮光条总质量为m，弹簧的劲度系数为k，弹性势能（x为弹簧形变量），重力加速度为g，遮光条的宽度为d（d远远小于l）。 （1）为了验证机械能守恒，该实验研究对象应为______（选填“小物块和遮光条所组成的系统”或“小物块和遮光条及弹簧所组成的系统”）。 （2）改变光电门的位置，重复实验，每次小物块均从B点由静止释放，记录多组l和对应的时间t，若要验证机械能守恒，则在误差允许的范围内，需要验证的关系式是______。 （3）作出图像如图2所示，当和时，小物块通过光电门时弹簧具有的弹性势能分别为和，则______（用l1、m、l2、g表示）。 （4）当l取某个值时，可以使小物块通过光电门时的速度最大，则此时l为______，速度最大值为______（以上两空均用m、g、k表示）。 3．（2026·河北邢台·二模）某实验小组想验证机械能守恒定律，于是设计了如图（a）所示的装置。一轻绳绕过定滑轮连接物块A、B，物块A质量为m，物块B质量为M（M>m），物块B的右侧有一竖直感光皮革，物块B上安装有激光发射器，可以水平向右发出激光，感光皮革上被激光射到的部位会变色留下痕迹，激光器每隔时间T发射一次激光，每次发射时间也为T，在刚发出激光的同时释放物块，在皮革上留下的部分痕迹如图（b）所示，由于B点被污染，无法测量BC的长度，只测得OA、DE的长度分别为、，重力加速度为g。 （1）通过分析可知，BC的长度： ___________ （用x1、x3表示） （2）F点对应的速度___________。（用题中物理量的符号表示） （3）若满足关系式___________（用题中物理量的符号表示），则可验证两物块组成的系统机械能守恒。 （4）实验中系统重力势能的减少量总是略大于动能的增加量，原因可能是___________（写出一条即可）。 4．某同学用如图（a）所示的装置验证机械能守恒定律。不可伸长的轻绳绕过轻质定滑轮，轻绳两端分别连接物块P与较长感光细钢柱K，两者质量均为m＝100g。钢柱K下端与质量为M＝200g的物块Q相连。铁架台下部固定一个电动机，电动机竖直转轴上装一支激光笔，电动机带动激光笔绕转轴在水平面内匀速转动，每转一周激光照射在细钢柱表面时就会使细钢柱感光并留下痕迹。初始时P、K、Q系统在外力作用下保持静止，轻绳与细钢柱均竖直（重力加速度g取9.8m/s²）。 （1）开启电动机，待电动机以角速度ω＝40πrad/s匀速转动后，将P、K、Q系统由静止释放，Q落地前，激光在细钢柱K上留下感光痕迹，取下K，测出感光痕迹间的距离如图（b）所示：hA＝21.80cm，hB＝29.40cm，hC＝38.02cm。感光痕迹间的时间间隔T＝________s，激光束照射到B点时，细钢柱速度大小为vB＝________m/s。经判断系统由静止释放时激光笔光束恰好经过O点，在OB段，系统动能的增加量ΔEk＝________J，重力势能的减少量ΔEp＝________J，比较两者关系可判断系统机械能是否守恒。（该小问除第一空外，其余计算结果均保留3位有效数字） （2）选取相同的另一感光细钢柱K，若初始时激光笔对准K上某点，开启电动机的同时系统由静止释放，电动机的角速度按如图（c）所示的规律变化，图像斜率为k，记录下如图（d）所示的感光痕迹，其中两相邻感光痕迹间距均为d。当满足________即可证明系统在运动过程中机械能守恒。（用含字母d、k、g、π的表达式表示） 5．（2025·浙江·一模）某班同学分组设计验证机械能守恒实验，设计的装置如图甲、乙所示。 （1）甲组同学认为图甲装置在平衡摩擦力后即可验证机械能守恒定律，此方案______（选填“可行”或“不可行”） （2）乙组同学实验主要步骤有 A．将气垫导轨放在水平桌面上，将导轨调至水平； B．测出遮光片的宽度； C．用天平称出托盘和砝码的总质量；称出滑块和遮光片的总质量； D．将滑块移至图示位置，测出遮光片到光电门的距离； E．由静止释放滑块，读出遮光片通过光电门的遮光时间； F.改变，多次重复实验，记录数据。 ①本实验的研究对象为_________ A．滑块和遮光片    B．托盘和砝码    C．滑块和遮光片及托盘和砝码 ②如图丙所示，用游标卡尺测得遮光片的宽度______； ③作出图像，如图丁所示，根据机械能守恒定律，图线斜率的理论值为______（用题中所给物理量的字母表示）。 ④实验中有不可忽略的阻力影响，实际采集数据后作出了如图戊所示的图线______（选填“A”或“B”） 6．某同学用如图甲所示的装置验证机械能守恒定律。大小相同、质量不同的两小球A、B分别固定在轻杆两端，轻杆可绕固定于杆上三等分点的光滑水平轴O在竖直面内转动，转轴正下方有一光电门计时器，小球通过计时器时其球心恰好与光电门等高。已知当地的重力加速度为g。现将轻杆拉至如图甲所示的水平位置并由静止释放，当A球第一次通过光电门时，计时器显示的遮光时间为。 回答下列问题： （1）用游标卡尺测量小球的直径时如图乙所示，则小球的直径d=______cm； （2）小球A经过光电门时速度v=______m/s；（保留两位有效数字） （3）若两小球A、B球心间的距离为L（），小球A的质量是小球B质量的n倍（n>1），当改变L，则得到不同的，根据数据做出如图丙所示的图像。只要该图像斜率k满足：k=______，即可说明此过程中A、B构成的系统机械能守恒（用含有g、d、n的表达式表示）。 （4）若实际实验中根据数据图像获得的k值总是比理论值偏小，请写出至少一条可能原因：______。 7．“辘轳”是中国古代取水的重要设施，通过转动手柄将轻绳缠绕到转筒上，把水桶从井中提起。研究表明转动的物体也具有动能，称为转动动能，它属于机械能。某同学使用如图（a）所示装置探究“匀质转筒的转动动能与角速度的关系”。模拟小桶边缘固定一遮光片，光电门位于遮光片正下方。每次实验，细线保持竖直，将小桶上的遮光片与O点等高对齐，由静止释放，小桶下落带动转筒转动，细线与转筒之间不打滑，实验中测出了小桶（含重物和遮光片）质量m、转筒的直径D（不计细线对转筒直径的影响）、光电门距O点竖直方向距离h，遮光片宽度d（很窄）和遮光片通过光电门的时间t。已知重力加速度为g，忽略空气阻力。 （1）遮光片通过光电门的速度________，此时转筒的转动动能_______，角速度_______。（用题干中所给的字母表示） （2）调节光电门的位置，多次实验，记录多组E和的值，描绘出图像如图（b）所示。该同学查阅资料得知匀质圆筒的转动动能与角速度的平方成正比，即，其中I为比例系数。若考虑水桶下落过程中受到的空气阻力，并将其简化为恒力，则利用图像得到的I的测量值_______（填“大于”“等于”或“小于”）真实值。 8．某同学用如图甲所示的装置验证机械能守恒定律，其操作步骤如下： ①在铁架台的O点固定一个力传感器，将一根细线一端与力传感器相连，另一端系住一个小球； ②小球保持静止时，球心的位置记为A点，测得力传感器的最下端到A点的距离为L，此时力传感器的示数为F0； ③将小球向右拉至不同的高度由静止释放（绳子一直保持紧绷状态）； ④记录释放点小球球心与A点的高度差∆h以及小球在运动过程中力传感器示数F随时间t变化的规律； ⑤改变∆h，记录小球每次经过A点时力传感器的示数FA，通过分析FA与∆h之间的关系，来验证机械能是否守恒。 （1）该实验中小球应选择（　　） A．塑料球 B．钢球 C．木球 （2）某次实验中，小球在运动过程中传感器示数F随时间t变化的规律如图乙所示，图中c点为图像最高点，c点对应的力传感器示数为Fm，则： ①本次实验中小球经过A点时对应图乙中的________（填“a”“b”“c”“d”或“e”）点； ②本次实验中，小球经过A点时的动能为________（用字母Fm、F0、L表示）； ③由于空气阻力，实际测得的力传感器的示数FA和理论值相比会________（填“偏大”、“偏小”或“相等”）。 （3）若小球运动过程中机械能守恒，则FA-∆h图像应为（　　） A． B． C． D． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $