第5章 计数原理单元测试卷-2025-2026学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

第5章  计数原理

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.计算+…+的值为(　　)

A.2 048 B.1 024 C.1 023 D.512

2.(x-y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为(　　)

A.20 B.-20 C.28 D.-28

3.在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各数位之和为偶数的共有(　　)

A.36个 B.24个 C.18个 D.6个

4.方程x1+x2+x3+x4+x5=9的非负整数解的个数为(　　)

A. B. C. D.

5.(x+1)10=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a10(x+2)10,则a2等于(　　)

A.180 B.-180 C.45 D.-45

6.设(2-x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,那么的值为(　　)

A.- B.- C.- D.-1

7.高一某班有5名同学报名参加学校组织的三个不同社区服务小组,每个小组至多可接收该班2名同学,每名同学只能报一个小组,则不同的报名方案有(　　)

A.15种 B.90种 C.120种 D.180种

8.如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着的一个圆柱,圆柱内有一个内切球,这个球的直径恰好与圆柱的高相等,相传这个图形表达了阿基米德最引以为荣的发现.设圆柱的体积与球的体积之比为m,圆柱的表面积与球的表面积之比为n,则x2-6的展开式中的常数项是(　　)

A.15 B.-15 C. D.-

二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.

9.已知+0!=4,则m的值可以是(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

10.若m,n为正整数且n>m>1,则(　　)

A.

B.

C.m=(n-1)

D.+m

11.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数,则下列说法正确的是(　　)

A.可组成360个不重复的四位数

B.可组成156个不重复的四位偶数

C.可组成96个能被3整除的不重复的四位数

D.若将组成的不重复的四位数按从小到大的顺序排成一个数列,则第85个数字为2 310

三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.

12.计划在学校公园小路的一侧种植丹桂、金桂、银桂、四季桂4棵桂花树,垂乳银杏、金带银杏2棵银杏树,要求2棵银杏树必须相邻,则不同的种植方法共有　　　　　种.

13.n的展开式中只有第六项的系数最大,则n=　　　　　. 

14.已知,相当于从两个不同的角度考查组合数:①从n个不同的元素中选出m个元素并成一组的选法种数是;②对n个元素中的某个元素A,若A必选,有种选法,若A不选,有种选法,两者结果相同,从而得到上述等式,试根据上述思想化简下列式子:+…+=　　　　　(1≤k<m≤n,m,n∈N).

四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)从5名男生和4名女生中选出4人去参加座谈会,问:

(1)如果4人中男生和女生各选2人,有多少种选法?

(2)如果男生甲与女生乙至少要有1人在内,有多少种选法?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16.(15分)在①只有第6项的二项式系数最大,②第4项与第8项的二项式系数相等,③所有二项式系数的和为210这三个条件中任选一个,补充在下面横线处,解决下面两个问题.

已知(2x-1)n=a0+a1x1+a2x2+a3x3+…+anxn(n∈N*),若(2x-1)n的展开式中,　　　　　. 

(1)求n的值及展开式中所有项的系数和;

(2)求展开式中含x3的项.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17.(15分)把n个正整数全排列后得到的数叫做“再生数”,“再生数”中最大的数叫做最大再生数,最小的数叫做最小再生数.

(1)求1,2,3,4的再生数的个数,以及其中的最大再生数和最小再生数;

(2)试求任意5个正整数(可相同)的再生数的个数.