第二章 圆锥曲线章末检测-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

**基本信息** 本卷为高中数学圆锥曲线单元复习检测卷，全面覆盖椭圆、双曲线、抛物线核心知识，通过基础巩固与综合应用梯度设计，适配单元复习学情，融合高考真题元素，提升备考针对性。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|双曲线焦距、椭圆方程、抛物线焦点距离|基础概念与性质直接应用，如第1题双曲线焦距计算| |多项选择|3/18|曲线类型判断、椭圆离心率与面积|多维度辨析，如第9题含参数曲线类型讨论| |填空题|3/15|椭圆上点的距离、双曲线与抛物线焦点综合|几何直观与代数运算结合，如第12题椭圆上距离最小点求解| |解答题|5/77|双曲线方程（三选一条件）、直线与椭圆位置关系、轨迹方程、抛物线定点证明、综合垂直证明|分层设计，如第15题开放条件选择，第19题结合向量与抛物线综合证明，考察逻辑推理与运算能力|

章末检测（二）　圆锥曲线 （时间：120分钟　满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.双曲线3x2－y2＝9的焦距为（　　） A. B.2 C.2 D.4 2.设椭圆＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B.若｜BF2｜＝｜F1F2｜＝2，则该椭圆的方程为（　　） A.＋＝1 B.＋y2＝1 C.＋y2＝1 D.＋y2＝1 3.抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是（　　） A. B. C.1 D. 4.已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为（　　） A.1－ B.2－ C. D.－1 5.设F1，F2分别为双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得｜PF1｜＋｜PF2｜＝3b，｜PF1｜·｜PF2｜＝ab，则该双曲线的离心率为（　　） A. B. C. D.3 6.已知点P在抛物线y2＝4x上，那么当点P到点Q（2，－1）的距离与点P到焦点的距离之和取得最小值时，点P的坐标为（　　） A.（，－1） B.（，1） C.（1，2） D.（1，－2） 7.设O为坐标原点，F1，F2是双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的焦点，若在双曲线上存在点P，满足∠F1PF2＝60°，｜OP｜＝a，则该双曲线的渐近线方程为（　　） A.x±y＝0 B.x±y＝0 C.x±y＝0 D.x±y＝0 8.已知直线y＝k（x＋2）（k＞0）与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点，若｜FA｜＝2｜FB｜，则k＝（　　） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.已知曲线C：mx2＋ny2＝1，则下列说法正确的有（　　） A.若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B.若m＝n＞0，则C是圆，其半径为 C.若mn＜0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±x D.若m＝0，n＞0，则C是两条直线 10.设椭圆C：＋y2＝1的焦点为F1，F2，P是C上的动点，则下列结论正确的是（　　） A.离心率e＝ B.｜｜的最大值为3 C.△PF1F2面积的最大值为2 D.｜＋｜的最小值为2 11.（2022·新高考Ⅱ卷10题）已知O为坐标原点，过抛物线C：y2＝2px（p＞0）焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点M（p，0）.若｜AF｜＝｜AM｜，则（　　） A.直线AB的斜率为2 B.｜OB｜＝｜OF｜ C.｜AB｜＞4｜OF｜ D.∠OAM＋∠OBM＜180° 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12.椭圆＋y2＝1上到点C（1，0）的距离最小的点P的坐标为　　　　. 13.已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点与抛物线x＝y2的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为　　　　. 14.如图所示，已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线l与x轴的交点为K，点A在抛物线C上，且在x轴的上方，过点A作AB⊥l于B，｜AK｜＝｜AF｜，则△AFK的面积为　　　　. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分）在①m＞0，且C的左支上任意一点到右焦点的距离的最小值为3＋；②C的焦距为6；③C上一点到两个焦点的距离之差的绝对值为4.这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答. 问题：已知双曲线C：－＝1，　　　　　，求C的方程. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 16.（本小题满分15分）已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）经过点A（2，1），离心率为，过点B（3，0）的直线l与椭圆交于不同的两点M，N. （1）求椭圆的方程； （2）若｜MN｜＝，求直线MN的方程. 17.（本小题满分15分）在平面直角坐标系xOy中，已知动圆M与圆E：（x＋）2＋y2＝和圆F：（x－）2＋y2＝都外切. （1）求圆心M的轨迹方程C； （2）已知点O为原点，点A（8，0），点P是曲线C上任意一点，求·的最小值. 18.（本小题满分17分）已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）经过点P（2，）. （1）求抛物线E的方程； （2）若直线l：y＝kx＋m（km＜0）与抛物线E相交于A，B两点，且·＝4，证明：直线l过定点. 19.（本小题满分17分） 已知抛物线C：y2＝4x，A，B，其中m＞0，过B的直线l交抛物线C于M，N两点. （1）当m＝5，且直线l垂直于x轴时，求证：△AMN为直角三角形； （2）若＝＋，当点P在直线l上时，求实数m，使得AM⊥AN. 章末检测（二）　圆锥曲线 1.D　方程化为标准方程为－＝1，∴a2＝3，b2＝9.∴c2＝a2＋b2＝12，∴c＝2，∴2c＝4. 2.A　因为｜BF2｜＝｜F1F2｜＝2，所以a＝2c＝2，所以a＝2，c＝1，所以b＝.所以椭圆的方程为＋＝1. 3.B　抛物线y2＝4x的焦点为（1，0），到双曲线x2－＝1的渐近线x－y＝0的距离为＝，故选B. 4.D　由题得，｜F1F2｜＝2c，｜PF1｜＝c，｜PF2｜＝c，由椭圆定义知，｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a，则c＋c＝2a，∴e＝＝－1.故选项D正确. 5.B　因为P是双曲线－＝1（a＞0，b＞0）上一点，所以｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a，又｜PF1｜＋｜PF2｜＝3b，所以（｜PF1｜＋｜PF2｜）2－（｜PF1｜－｜PF2｜）2＝9b2－4a2，所以4｜PF1｜·｜PF2｜＝9b2－4a2，又因为｜PF1｜·｜PF2｜＝ab，所以有9ab＝9b2－4a2，即9（）2－9（）－4＝0，解得＝－（舍去）或＝.所以e2＝＝＝1＋（）2＝1＋（）2＝，所以e＝，故选B. 6.A　点P到抛物线焦点的距离等于点P到抛物线准线的距离.作QS垂直准线交准线于点S，交抛物线于点P，如图，｜PF｜＋｜PQ｜＝｜PS｜＋｜PQ｜，故最小值在S，P，Q三点共线时取得，此时P，Q的纵坐标都是－1，点P的坐标为（，－1）. 7.D　∵O为线段F1F2的中点，∴2（｜PF1｜2＋｜PF2｜2）＝4×（a）2＋（2c）2，即｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝14a2＋2c2.在△PF1F2中，由余弦定理，得｜PF1｜2＋｜PF2｜2－（2c）2＝2｜PF1｜·｜PF2｜cos 60°，即｜PF1｜·｜PF2｜＝14a2－2c2.又由双曲线的定义，得｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a，两边平方得｜PF1｜2＋｜PF2｜2－2｜PF1｜·｜PF2｜＝4a2，即（14a2＋2c2）－2（14a2－2c2）＝4a2，化简得c2＝3a2，∴b2＝2a2，故双曲线的渐近线为x±y＝0.故选项D正确. 8.D　设A（x1，y1），B（x2，y2），易知x1＞0，x2＞0，y1＞0，y2＞0.由得k2x2＋（4k2－8）x＋4k2＝0，Δ＝（4k2－8）2－16k4＝－64k2＋64＞0，所以0＜k＜1，所以x1x2＝4　①，根据抛物线的定义得，｜FA｜＝x1＋＝x1＋2，｜FB｜＝x2＋2.因为｜FA｜＝2｜FB｜，所以x1＝2x2＋2　②，由①②得x2＝1（x2＝－2舍去），所以B（1，2），代入y＝k（x＋2）得k＝. 9.ACD　对于选项A，∵m＞n＞0，∴0＜＜，方程mx2＋ny2＝1可变形为＋＝1，∴该方程表示焦点在y轴上的椭圆，正确；对于选项B，∵m＝n＞0，∴方程mx2＋ny2＝1可变形为x2＋y2＝，该方程表示半径为的圆，错误；对于选项C，∵mn＜0，∴该方程表示双曲线，令mx2＋ny2＝0⇒y＝±x，正确；对于选项D，∵m＝0，n＞0，∴方程mx2＋ny2＝1变形为ny2＝1⇒y＝±，该方程表示两条直线，正确.综上选A、C、D. 10.AD　因为椭圆C：＋y2＝1，所以a2＝4，b2＝1，所以a＝2，b＝1，c＝＝，e＝＝，故A正确；不妨令F1（－，0），F2（，0），设P（x，y），所以＝（－x，－y），所以｜｜2＝（x－）2＋y2＝（x－）2＋1－＝－2x＋4＝（x－）2，因为－2≤x≤2，所以当x＝－2时，（｜｜2）max＝7＋4，即｜｜max＝2＋，故B错误；因为＝｜y｜·2c＝｜y｜×2＝｜y｜，－1≤y≤1，所以当y＝±1，即P在短轴的端点时，△PF1F2的面积取得最大值，（）max＝×1＝，故C错误；对于D，｜＋｜＝2｜｜＝2＝2，因为－2≤x≤2，所以1≤＋1≤4，所以2≤｜＋｜≤4，故D正确.故选A、D. 11.ACD　对于A，由题意，得F.因为｜AF｜＝｜AM｜，且M（p，0），所以xA＝＝p，将其代入抛物线方程y2＝2px，得yA＝p，所以A，所以直线AB的斜率kAB＝kAF＝＝2，故A正确；对于B，由选项A的分析，知直线AB的方程为y＝2，代入y2＝2px，得12x2－13px＋3p2＝0，解得x＝p或x＝p，所以xB＝p，所以yB＝－p，所以｜OB｜＝＝p≠｜OF｜，故B不正确；对于C，由抛物线的定义及选项A、B的分析，得｜AB｜＝xA＋xB＋p＝p＋p＝p＞2p，即｜AB｜＞4｜OF｜，故C正确；对于D，易知｜OA｜＝p，｜AM｜＝p，｜OB｜＝p，｜BM｜＝p，则cos∠OAM＝＝＝＞0，cos∠OBM＝＝＝＞0，所以∠OAM＜90°，∠OBM＜90°，所以∠OAM＋∠OBM＜180°，故D正确.综上所述，故选A、C、D. 12.（，）或（，－）　解析：设点P（x，y），则｜PC｜2＝（x－1）2＋y2＝（x－1）2＋（1－）＝x2－2x＋2＝（x－）2＋.∵－2≤x≤2，∴当x＝时，｜PC｜min＝，此时点P的坐标为（，）或（，－）. 13.5x2－y2＝1　解析：抛物线x＝y2的方程化为标准形式为y2＝4x，焦点坐标为（1，0），则得a2＋b2＝1，又e＝＝，易求得a2＝，b2＝，所以该双曲线的方程为5x2－y2＝1. 14.8　解析：由题意知抛物线的焦点为F（2，0），准线l为x＝－2，∴K（－2，0），设A（x0，y0）（y0＞0），∵过点A作AB⊥l于B，∴B（－2，y0），∴｜AF｜＝｜AB｜＝x0－（－2）＝x0＋2，｜BK｜2＝｜AK｜2－｜AB｜2，∴x0＝2，∴y0＝4，即A（2，4），∴△AFK的面积为｜KF｜·｜y0｜＝×4×4＝8. 15.解：选①.因为m＞0，所以a2＝m，b2＝2m，c2＝3m，所以a＝，c＝.因为C的左支上任意一点到右焦点的距离的最小值为a＋c， 所以a＋c＝＋＝3＋，解得m＝3，故C的方程为－＝1. 选②.若m＞0，则a2＝m，b2＝2m，c2＝3m，所以a＝，c＝，所以C的焦距2c＝2＝6，解得m＝3，故C的方程为－＝1； 若m＜0，则a2＝－2m，b2＝－m，c2＝－3m，所以c＝，所以C的焦距2c＝2＝6，解得m＝－3，则C的方程为－＝1. 选③.若m＞0，则a2＝m，所以a＝， 因为C上一点到两个焦点的距离之差的绝对值为4， 所以2a＝2＝4，解得m＝4，则C的方程为－＝1； 若m＜0，则a2＝－2m，所以a＝， 因为C上一点到两个焦点的距离之差的绝对值为4， 所以2a＝2＝4，解得m＝－2. 则C的方程为－＝1. 16.解：（1）由题意有＋＝1，e＝＝，a2－b2＝c2， 解得a＝，b＝，c＝，所以椭圆方程为＋＝1. （2）由直线MN过点B且与椭圆有两交点，可设直线MN方程为y＝k（x－3）， 代入椭圆方程整理得（2k2＋1）x2－12k2x＋18k2－6＝0，Δ＝24－24k2＞0，得k2＜1. 设M（x1，y1），N（x2，y2）， 则x1＋x2＝，x1x2＝， ｜MN｜＝ ＝ ＝＝， 解得k＝±，满足k2＜1， 故所求直线方程为y＝±（x－3）. 17.解：（1）因为动圆M与圆E：（x＋）2＋y2＝和圆F：（x－）2＋y2＝都外切， 设圆M半径为r，则｜ME｜＝r＋，｜MF｜＝r＋， 所以｜ME｜－｜MF｜＝4＜｜EF｜， 所以M的轨迹是以（－，0），（，0）为焦点，2a＝4的双曲线的右支，即－＝1（x≥2）. （2）设P（x，y），A（8，0），则＝（x－8，y），＝（x，y）， 所以·＝（x－8）x＋y2， 又－＝1（x≥2）， 所以·＝x2－8x＋3＝－8x－3（x≥2），当x＝时，（·）min＝－. 18.解：（1）∵抛物线y2＝2px（p＞0）过点P（2，）， ∴（）2＝2p×2.∴p＝. ∴抛物线E的方程为y2＝3x. （2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2）， 由得k2x2＋（2km－3）x＋m2＝0， Δ＝（2km－3）2－4×k2×m2＝－12km＋9＞0. ∴x1＋x2＝，x1x2＝. ∵·＝4，∴x1x2＋y1y2＝（1＋k2）x1x2＋km（x1＋x2）＋m2＝＝4. ∴m2＋3km－4k2＝0，∴m＝k或m＝－4k. ∵km＜0，∴m＝k舍去. ∴m＝－4k，满足Δ＝－12km＋9＞0. ∴直线l的方程为y＝kx－4k＝k（x－4）. ∴直线l必经过定点（4，0）. 19.解：（1）证明：由题意l：x＝5，代入y2＝4x中， 解得y＝±2， 不妨取M（5，2），N（5，－2）， 则＝（4，2－2），＝（4，－2－2）， 所以·＝（4，2－2）·（4，－2－2） ＝16－（20－4）＝0， 所以AM⊥AN，即△AMN为直角三角形得证. （2）由题意可得四边形OAPB为平行四边形，则kBP＝kOA＝2， 设直线l：y＝2（x－m），M，N，联立得y2－2y－4m＝0， 由题意，判别式Δ＝4＋16m＞0，y1＋y2＝2，y1y2＝－4m， 因为AM⊥AN，则·＝0， 又＝，＝， 即＋（y1－2）（y2－2）＝0， 化简，得（y1＋2）（y2＋2）＋16＝0， 即y1y2＋2（y1＋y2）＋20＝0，代入解得m＝6. 故m＝6时，有AM⊥AN. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $