专题09比的基本性质核心考点分类精练（九大类）-2026-2027学年六年级上册数学重难考点举一反三（苏教版 新教材）

该小学数学讲义以“比的基本性质”为核心，通过考点目录构建九大类知识体系，用表格对比比与分数、除法的联系与区别，以核心考点精讲突出“同时、相同数、0除外、比值不变”四大关键，清晰呈现知识脉络与重难点分布。 讲义亮点在于分类精练的梯度设计，如“比与行程类融合”题型，引导学生用速度公式分析甲、乙两车速度比，培养运算能力与推理意识。每个考点配典例与变式，基础学生可掌握化简比步骤，优秀学生能探究图形周长面积比的特殊规律，助力教师精准分层教学，支持学生自主复习。

专题09比的基本性质核心考点分类精练（九大类） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 考点目录 核心考点精讲 1 核心考点分类精练 2 一、比的基本性质的理解。（两相同，不为0） 2 二、比的基本性质的提升：加上某个数与同某个数的融合 2 三、化成最简整数比：不含单位 3 四、化成最简整数比：含有单位，先要统一，才能化简 4 五、化简比与求比值辨析：关注结果与方法的不同 5 六、高频考点：比与除法、分数、小数的完美融合与统一。 5 七、比与行程类的融合：路程、时间与速度，三个要素要对应。 6 八、比与工程类的融合：效率、时间与总量，灵活表示要分清。 7 九、超级易错考点：图形周长与面积的比，代入公式，再化简，记住特殊比。 8 核心考点精讲 一、比的基本性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数(0除外)，比值不变 运用时要抓住四个关键： 1.“同时”：乘或除以的操作必须对前项、后项同步执行，只变其中一项，比值一定会改变。 例：2:3，若只把前项乘 2 变成4:3，比值从变成，发生了变化。 2.“相同的数”：前后项乘或除以的数必须完全一致，不能前项乘 2、后项乘 3。 例：2:3，前后项同时乘 2，得到4:6，比值仍为，保持不变。 3.“0 除外”：比的后项相当于除法中的除数、分数中的分母，不能为 0。如果前后项同时乘 0，后项就变成 0，比就失去了意义，因此必须把 0 排除在外。 4.“比值不变”：性质保证的是比值的大小不变，但比的前项、后项本身的数值会变化，比的形式也会变化。 二、化简比：比的前项和后项都是整数，并且是互质数，这样的比就是最简整数比。 三、比与分数、除法的关系 关系：比与分数相比，比的前项相当于分子，比的后项相当于分母，比值相当于分数值，比号相当于分数线;比与除法比较，比的前项相当于除法中的被除数，比的后项相当于除法中的除数，比值相当于商，比号相当于除号。 （1）比、分数和除法之间的联系与区别如下表所示: 名称 比 分数 除法 联系 前项 分子 被除法 ：（比号） 一（分数线） ÷（除号） 后项 分母 除数 比值 分数值 商 区别 同类量的比表示两个数的倍比关系； 不同类量的比表示一个新的量。 分数是一种数 除法是一种运算 核心考点分类精练 一、比的基本性质的理解。（两相同，不为0） 【典例分析】 比的前项缩小到原来的，要使比值不变，比的后项应（    ）。 A．缩小到原来的 B．扩大到原来的5倍 C．不变 【答案】A 【思路引导】根据比的性质，比的前项和后项同时乘或除以同一个不为0的数，比的大小不变，据此解答即可。 【详解】由分析可得：比的前项缩小到原来的，要使比值不变，比的后项应缩小到原来的。 故答案为：A 【变式1】一个比的比值是，它的前项和后项都扩大到原来的3倍，这时比值是（    ）。 A． B． C． D． 【变式2】将的后项乘，若使原来的比值不变，则前项应（    ）。 A．乘 B．乘 C．乘 D．乘 【变式3】12∶5的比值是( )。如果前项乘2，要使比值不变，后项应( )。 二、比的基本性质的提升：加上某个数与同某个数的融合 【典例分析】 在2∶7中，如果后项加上14，要使比值不变，那么前项应乘( )。 【答案】3 【思路引导】先求出变化后的后项数值，再计算后项乘几，最后根据比的基本性质确定前项应乘的数。 【详解】7＋14＝21，因为7×3＝21，要使比值不变，那么前项应乘3。 【变式1】4∶7的前项乘4，要使比值不变，后项应（    ）。 A．乘7 B．加28 C．加21 D．加12 【变式2】在3∶4中，若前项加上18，要使比值不变，后项应该加（    ）。 A．12 B．16 C．20 D．24 【变式3】把8∶5的后项加上15，要使比值不变，前项应该（    ）。 A．加上15 B．乘4 C．乘3 D．加上12 三、化成最简整数比：不含单位 【典例分析】 化简下面各比。 （1）0.8∶    （2）0.45∶25    （3）∶ 【答案】 （1）5∶1；（2）9∶500；（3）2∶3 【思路引导】根据比的基本性质，比的前项和后项同时乘或除以同一个不为0的数，比值不变，化简比的结果是一个最简整数比； （1）把前项和后项同时乘25化成整数比，再化简； （2）先把前项和后项同时乘100化成整数比，再化简； （3）把前项和后项同时乘分母的最小公倍数16化成整数比，再化简； 【详解】0.8∶ ＝（0.8×25）∶（×25） ＝20∶4 ＝（20÷4）∶（4÷4） ＝5∶1 0.45∶25 ＝（0.45×100）∶（25×100） ＝45∶2500 ＝（45÷5）∶（2500÷5） ＝9∶500 ∶ ＝（×16）∶（×16） ＝6∶9 ＝（6÷3）∶（9÷3） ＝2∶3 【变式1】化简。                          【变式2】把下面各比化成最简单的整数比。          【变式3】化成最简整数比。 （1）    （2）    （3） 四、化成最简整数比：含有单位，先要统一，才能化简 【典例分析】 把下面的比化成最简整数比。        16克∶0.32千克           120分∶时 【答案】1∶20；4∶3 【思路引导】先把单位化相同，再根据化简比根据比的基本性质，化简比的结果还是一个比，据此化简比即可。 【详解】 16克∶0.32千克＝16克∶320克＝1∶20 120分∶时＝120分∶90分＝（120÷30）∶（90÷30）＝4∶3 【变式1】化简下列各比         20分钟∶小时       0.5吨∶300千克 【变式2】把下面的比化成最简单的整数比。     2.4吨∶800千克 【变式3】化简下列各比并求比值。    1.2米∶135厘米      小时∶50分钟 五、化简比与求比值辨析：关注结果与方法的不同 【典例分析】 化成最简整数比是( )，它的比值是( )。 【答案】 4∶1 4 【思路引导】根据比的基本性质，即比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数（0除外）比值不变，进而把比化成最简比；用最简比的前项除以后项求比值，据此解答。 【详解】∶ ＝（×6）∶（×6） ＝4∶1 比值：4÷1＝4 【变式1】∶化成最简单的整数比是( )，4∶1.5的比值是( )。 【变式2】0.4千克∶500克的比值是( )，化简成最简单的整数比是( )。 【变式3】化成最简单的整数比是( )；24公顷∶6平方千米的比值是( )。 六、高频考点：比与除法、分数、小数的完美融合与统一。 【典例分析】 （填小数）。 【答案】96；12；9；0.375 【思路引导】根据分数与除法的关系，，再根据商不变的规律，被除数和除数同时乘12，就可以得到。 根据分数的基本性质，分子和分母同时乘4，就可以得到。 根据分数与比的关系，，再根据比的基本性质，比的前项和后项同时乘3，就可以得到。分数化小数，用分数的分子除以分母。 【详解】 所以，。 【变式1】18÷( )＝( )∶50＝0.72。 【变式2】＝＝＝18÷（    ）＝（    ）∶40＝（    ）（填小数）。 【变式3】（    ）∶24＝＝36÷（    ）＝＝（    ）（填小数）。 七、比与行程类的融合：路程、时间与速度，三个要素要对应。 【典例分析】 甲车从A城到B城要行驶3小时，乙车沿同一路线从B城到A城要行驶2小时，则甲车和乙车的速度之比是( )。如果两车同时分别从A城和B城出发，沿同一路线行驶，( )小时相遇。 【答案】 2∶3 1.2 【思路引导】已知两车行驶同一段路程所用的时间，可将A城到B城的路程看作单位“1”。根据“速度＝路程÷时间”，分别表示出甲车和乙车的速度，进而求出速度之比。再根据“相遇时间＝总路程÷速度和”，求出两车相遇所需的时间。 【详解】甲：1÷3＝ 乙：1÷2＝ ∶＝（×6）∶（×6）＝2∶3 1÷（＋） ＝1÷（＋） ＝1÷ ＝1× ＝1.2（小时） 【变式1】A、B两地相距90千米，从A地到B地，甲车需要小时，乙车需要1.25小时。甲、乙两车所用时间的最简比是( )，速度的最简比是( )。 【变式2】甲、乙两个同学跑完同一段路，甲同学用了小时，乙同学用了小时，甲、乙两个同学的速度比是( )。 【变式3】徒步上山要6小时，沿原路返回要4小时，上山时间和下山时间的最简整数比是多少？速度的最简整数比是多少？ 八、比与工程类的融合：效率、时间与总量，灵活表示要分清。 【典例分析】 非遗竹编传承人收到一批订单，师傅单独做要6天完成，徒弟单独做要8天完成，师、徒所用工作时间的比是( )，师、徒工作效率的比是( )。 【答案】 3∶4 4∶3 【思路引导】已知师傅单独做要6天完成，徒弟单独做要8天完成，直接用师傅的工作时间比徒弟的工作时间，求出工作时间的比。把工作总量看作单位“1”，根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”，分别求师傅和徒弟的工作效率，再用师傅的工作效率比徒弟的工作效率，求出工作效率的比。 【详解】6∶8 ＝（6÷2）∶（8÷2） ＝3∶4 1÷6＝ 1÷8＝ ∶ ＝（×24）∶（×24） ＝4∶3 所以师、徒所用工作时间的比是3∶4，师、徒工作效率的比是4∶3。 【变式1】做一批玩具，甲单独做8天完成，乙单独做12天完成，甲、乙两人工作时间的比是( )，甲乙两人每天完成的工作量的比是( )。 【变式2】一项工程，甲单独完成要18天，乙单独完成要12天，甲、乙两人工作效率的比是( )，工作时间的比是( )。 【变式3】完成一份稿件，甲用小时，乙用小时，甲乙工作时间最简整数比是( )，甲乙工作效率最简整数比是( )。 【典例分析】 九、超级易错考点：图形周长与面积的比，代入公式，再化简，记住特殊比。 如图，大圆和其中一个小圆的直径比为( )，周长比为( )，面积比为( )。 【答案】 2∶1 2∶1 4∶1 【思路引导】观察可知，大圆的直径等于两个小圆的直径之和。设小圆直径为1份，则大圆直径为2份。 直径比：大圆直径比小圆直径等于2比1； 周长比：圆的周长＝π×直径，周长比等于直径比； 面积比：圆的面积＝π×半径2，半径比等于直径比也是2比1。面积比等于半径比的平方，即（2×2）比（1×1）。 【详解】设小圆直径为1份，大圆直径为2份。 直径比：2∶1 周长比：（π×2）∶（π×1）＝2∶1； 面积比：（π×1×1）∶（π×0.5×0.5） ＝π∶0.25π ＝1∶0.25 ＝4∶1 【变式1】如下图，将左边的三角形按( )的比放大，可以得到右边的三角形，放大后的三角形与原来三角形的面积比是( )。 【变式2】两个圆的直径分别是3dm和4dm，它们的周长比是( )，面积比是( )。 【变式3】乐乐向妈妈学习绣挂画，她们绣的挂画都是长方形，且妈妈的挂画与乐乐的挂画各对应边长的比为，那么妈妈绣的挂画与乐乐绣的挂画的面积比是（    ）。 A． B． C． 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09比的基本性质核心考点分类精练（九大类） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 考点目录 核心考点精讲 1 核心考点分类精练 2 一、比的基本性质的理解。（两相同，不为0） 2 二、比的基本性质的提升：加上某个数与同某个数的融合 3 三、化成最简整数比：不含单位 5 四、化成最简整数比：含有单位，先要统一，才能化简 8 五、化简比与求比值辨析：关注结果与方法的不同 9 六、高频考点：比与除法、分数、小数的完美融合与统一。 11 七、比与行程类的融合：路程、时间与速度，三个要素要对应。 13 八、比与工程类的融合：效率、时间与总量，灵活表示要分清。 15 九、超级易错考点：图形周长与面积的比，代入公式，再化简，记住特殊比。 17 核心考点精讲 一、比的基本性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数(0除外)，比值不变 运用时要抓住四个关键： 1.“同时”：乘或除以的操作必须对前项、后项同步执行，只变其中一项，比值一定会改变。 例：2:3，若只把前项乘 2 变成4:3，比值从变成，发生了变化。 2.“相同的数”：前后项乘或除以的数必须完全一致，不能前项乘 2、后项乘 3。 例：2:3，前后项同时乘 2，得到4:6，比值仍为，保持不变。 3.“0 除外”：比的后项相当于除法中的除数、分数中的分母，不能为 0。如果前后项同时乘 0，后项就变成 0，比就失去了意义，因此必须把 0 排除在外。 4.“比值不变”：性质保证的是比值的大小不变，但比的前项、后项本身的数值会变化，比的形式也会变化。 易错警示：比的基本性质只适用于乘除运算，前后项同时加或减同一个数，比值通常会改变，这是最常见的易错点。 例如：2:5，前后项同时加 1 变成1:2，比值明显变大。 二、化简比：比的前项和后项都是整数，并且是互质数，这样的比就是最简整数比。 把两个数的比化成最简整数比的，称为化简比或比的化简。 三、比与分数、除法的关系 关系：比与分数相比，比的前项相当于分子，比的后项相当于分母，比值相当于分数值，比号相当于分数线;比与除法比较，比的前项相当于除法中的被除数，比的后项相当于除法中的除数，比值相当于商，比号相当于除号。 （1）比、分数和除法之间的联系与区别如下表所示: 名称 比 分数 除法 联系 前项 分子 被除法 ：（比号） 一（分数线） ÷（除号） 后项 分母 除数 比值 分数值 商 区别 同类量的比表示两个数的倍比关系； 不同类量的比表示一个新的量。 分数是一种数 除法是一种运算 核心考点分类精练 一、比的基本性质的理解。（两相同，不为0） 【典例分析】 比的前项缩小到原来的，要使比值不变，比的后项应（    ）。 A．缩小到原来的 B．扩大到原来的5倍 C．不变 【答案】A 【思路引导】根据比的性质，比的前项和后项同时乘或除以同一个不为0的数，比的大小不变，据此解答即可。 【详解】由分析可得：比的前项缩小到原来的，要使比值不变，比的后项应缩小到原来的。 故答案为：A 【变式1】一个比的比值是，它的前项和后项都扩大到原来的3倍，这时比值是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】根据比的基本性质，比的前项和后项，同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变，进行分析。 【详解】一个比的比值是，它的前项和后项都扩大到原来的3倍，比值不变，这时比值是。 故答案为：A 【变式2】将的后项乘，若使原来的比值不变，则前项应（    ）。 A．乘 B．乘 C．乘 D．乘 【答案】D 【思路引导】比的性质：比的前项和后项乘同一个不为0的数，比值不变，据此解答即可。 【详解】的后项乘，使原来的比值不变，则前项也应乘。 故答案为：D 【变式3】12∶5的比值是( )。如果前项乘2，要使比值不变，后项应( )。 【答案】 /2.4/ 乘2 【思路引导】比的前项除以后项所得商是比值。 比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。根据比的基本性质，12∶5的前项乘2，要使比值不变，后项应乘2。 【详解】12∶5＝12÷5＝。 12∶5的比值是。如果前项乘2，要使比值不变，后项应乘2。 二、比的基本性质的提升：加上某个数与同某个数的融合 【典例分析】 在2∶7中，如果后项加上14，要使比值不变，那么前项应乘( )。 【答案】3 【思路引导】先求出变化后的后项数值，再计算后项乘几，最后根据比的基本性质确定前项应乘的数。 【详解】7＋14＝21，因为7×3＝21，要使比值不变，那么前项应乘3。 【变式1】4∶7的前项乘4，要使比值不变，后项应（    ）。 A．乘7 B．加28 C．加21 D．加12 【答案】C 【思路引导】根据比的基本性质，比的前项和后项同时乘一个数或除以一个数（0除外）比值不变。前项乘4，后项7也要乘4，计算出结果，再根据逐项的计算结果进行比较即可。 【详解】 A．，，不符合题意。 B．，，不符合题意。 C．，，符合题意。 D．，，不符合题意。 4∶7的前项乘4，要使比值不变，后项应加21。 故答案为：C 【变式2】在3∶4中，若前项加上18，要使比值不变，后项应该加（    ）。 A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】D 【思路引导】3∶4的前项加上18，变成21，由3变为21，相当于乘7，要是比值不变，根据比的基本性质，比的后项也要乘7，4×7＝28，后项由4变成28，也就是加上24。 【详解】（3＋18）÷3 ＝21÷3 ＝7 4×7－2 ＝28－4 ＝24 则要使比值不变，后项应该加24。 故答案为：D 【变式3】把8∶5的后项加上15，要使比值不变，前项应该（    ）。 A．加上15 B．乘4 C．乘3 D．加上12 【答案】B 【思路引导】根据比的基本性质，比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变，把8∶5的后项5加上15变为20，相当于后项乘4，因此前项也应乘4。用原来的前项乘4后，再减去原来的前项，即是前项应该加上的数。 【详解】5＋15＝20 20÷5＝4 8×4－8 ＝32－8 ＝24 所以要使比值不变，前项应该乘4或加上24。 故答案为：B 三、化成最简整数比：不含单位 【典例分析】 化简下面各比。 （1）0.8∶    （2）0.45∶25    （3）∶ 【答案】 （1）5∶1；（2）9∶500；（3）2∶3 【思路引导】根据比的基本性质，比的前项和后项同时乘或除以同一个不为0的数，比值不变，化简比的结果是一个最简整数比； （1）把前项和后项同时乘25化成整数比，再化简； （2）先把前项和后项同时乘100化成整数比，再化简； （3）把前项和后项同时乘分母的最小公倍数16化成整数比，再化简； 【详解】0.8∶ ＝（0.8×25）∶（×25） ＝20∶4 ＝（20÷4）∶（4÷4） ＝5∶1 0.45∶25 ＝（0.45×100）∶（25×100） ＝45∶2500 ＝（45÷5）∶（2500÷5） ＝9∶500 ∶ ＝（×16）∶（×16） ＝6∶9 ＝（6÷3）∶（9÷3） ＝2∶3 【变式1】化简。                          【答案】 ；；； 【思路引导】依据比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0 除外），比值不变。 整数比：前项和后项同时除以它们的最大公因数。 分数比：前项和后项同时乘分母的最小公倍数，转化为整数比后再化简。 小数比：前项和后项同时乘10、100等，转化为整数比后再化简。 分数与整数比：前项和后项同时乘分母或除以公因数，转化为整数比后再化简。 【详解】（1） （2） （3） （4） 【变式2】把下面各比化成最简单的整数比。          【答案】7∶1；6∶5；3∶5 【思路引导】比的前项和后项同时乘以49得出最简单的整数比； 把比的前项和后项同时乘以10后，再继续把比的前项和后项同时除以7，即可得到最简单的整数比； 第三个把0.375化成分数 ，再乘以分母的最小公倍数8，得到最简单的整数比。 【详解】＝（）∶（）＝7∶1 ＝（4.2×10）∶（）＝42∶35＝（42÷7）∶（35÷7）＝6∶5 ＝＝（）∶（）＝3∶5 【变式3】化成最简整数比。 （1）    （2）    （3） 【答案】 （1）4∶5；（2）5∶6；（3）1∶15 【思路引导】根据比的基本性质（比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变）化简。 【详解】（1） （2） （3） 四、化成最简整数比：含有单位，先要统一，才能化简 【典例分析】 把下面的比化成最简整数比。        16克∶0.32千克           120分∶时 【答案】1∶20；4∶3 【思路引导】先把单位化相同，再根据化简比根据比的基本性质，化简比的结果还是一个比，据此化简比即可。 【详解】 16克∶0.32千克＝16克∶320克＝1∶20 120分∶时＝120分∶90分＝（120÷30）∶（90÷30）＝4∶3 【变式1】化简下列各比         20分钟∶小时       0.5吨∶300千克 【答案】1∶2；5∶3； 【思路引导】比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。 如果比的前项和后项的单位不统一，先根据进率换算单位，再利用“比的基本性质”把比化简成最简单的整数比。 【详解】 20分钟∶小时 ＝20分钟∶（×60）分钟 ＝20∶40 ＝（20÷20）∶（40÷20） ＝1∶2 0.5吨∶300千克 ＝（0.5×1000）千克∶300千克 ＝500∶300 ＝（500÷100）∶（300÷100） ＝5∶3 【变式2】把下面的比化成最简单的整数比。     2.4吨∶800千克 【答案】3∶1 【思路引导】1：统一单位：当比的前后项单位不同时，必须先统一单位。 2：化简本质：利用比的基本性质（前项和后项同时乘或除以相同的非0数），将比化为互质的整数比。 【详解】 2.4吨∶800千克 1吨＝1000千克；2.4×1000＝2400（千克） 2.4吨∶800千克 ＝2400千克∶800千克 ＝（2400÷800）∶（800÷800） ＝3∶1 【变式3】化简下列各比并求比值。    1.2米∶135厘米      小时∶50分钟 【答案】8∶9， 4∶5 【思路引导】根据比的基本性质，比的前项和后项同时乘以或除以同一个不为0的数，比值不变； 【详解】 1.2米∶135厘米＝120厘米∶135厘米 ＝120∶135＝（120÷15）∶（135÷15） ＝8∶9 小时∶50分钟 ＝40分钟∶50分钟 ＝40∶50＝（40÷10）∶（50÷10） ＝4∶5 五、化简比与求比值辨析：关注结果与方法的不同 【典例分析】 化成最简整数比是( )，它的比值是( )。 【答案】 4∶1 4 【思路引导】根据比的基本性质，即比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数（0除外）比值不变，进而把比化成最简比；用最简比的前项除以后项求比值，据此解答。 【详解】∶ ＝（×6）∶（×6） ＝4∶1 比值：4÷1＝4 【变式1】∶化成最简单的整数比是( )，4∶1.5的比值是( )。 【答案】 7∶6/ / 【思路引导】根据比的基本性质，即比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数（0除外），比值不变，进而把比化成最简比；用比的前项除以后项求比值，据此解答。 【详解】∶ ＝（×8）∶（×8） ＝7∶6 4∶1.5＝4÷1.5＝ 【变式2】0.4千克∶500克的比值是( )，化简成最简单的整数比是( )。 【答案】 0.8/ 4∶5 【思路引导】根据1千克＝1000克，先统一单位，根据比的基本性质（比的前项和后项同时乘或除以一个不为0的数，比值不变），将其化简成最简单的整数比即可。再用最简单的整数比的前项除以后项，即可求出比值。 【详解】0.4千克∶500克 ＝400克∶500克 ＝400∶500 ＝（400÷100）∶（500÷100） ＝4∶5 4∶5＝0.8 即0.4千克∶500克的比值是0.8，化简成最简单的整数比是4∶5。 【变式3】化成最简单的整数比是( )；24公顷∶6平方千米的比值是( )。 【答案】 9∶5/ /0.04 【思路引导】（1）化简小数与分数的比，通常先统一形式（都化成分数或小数），再利用比的基本性质（比的前项和后项同时乘或除以同一个不为0的数，比值不变）化简。 （2）求带单位的比的比值，先统一单位，再用前项除以后项得到比值，面积单位换算：1平方千米＝100公顷。 【详解】 ＝9∶5 6平方千米＝600公顷 24公顷∶6平方千米 ＝24公顷∶600公顷 ＝24÷600 ＝ 故化成最简单的整数比是9∶5；24公顷∶6平方千米的比值是。 六、高频考点：比与除法、分数、小数的完美融合与统一。 【典例分析】 （填小数）。 【答案】96；12；9；0.375 【思路引导】根据分数与除法的关系，，再根据商不变的规律，被除数和除数同时乘12，就可以得到。 根据分数的基本性质，分子和分母同时乘4，就可以得到。 根据分数与比的关系，，再根据比的基本性质，比的前项和后项同时乘3，就可以得到。分数化小数，用分数的分子除以分母。 【详解】 所以，。 【变式1】18÷( )＝( )∶50＝0.72。 【答案】 【思路引导】（1）在除法中，被除数÷除数＝商。已知被除数是18，商是0.72，所以除数＝被除数÷商； （2）在比中，比的前项÷比的后项＝比值。已知比的后项是50，比值是0.72，所以比的前项＝比值×比的后项。 【详解】18÷0.72＝25 50×0.72＝36 因此，18÷25＝36∶50＝0.72。 【变式2】＝＝＝18÷（    ）＝（    ）∶40＝（    ）（填小数）。 【答案】10；15；30；24； 0.6 【思路引导】第①空：填分母，根据“分母＝分子÷分数值”，即6÷； 第②空：填分子，根据“分子＝分数值×分母”，即； 第③空：填除数，根据“除数＝被除数÷商”，即； 第④空：填比的前项，根据“前项＝后项×比值”，即； 第⑤空：用小数表示3÷5的商即可； 【详解】第①空： 第②空： 第③空： 第④空： 第⑤空：3÷5＝0.6， 综上：＝＝＝18÷（ 30 ）＝（ 24 ）∶40＝（ 60 ）%＝（ 0.6 ）（填小数）。 【变式3】（    ）∶24＝＝36÷（    ）＝＝（    ）（填小数）。 【答案】9；96；48； 0.375 【思路引导】从已知的入手，根据分数与比的关系，分子相当于比的前项，分母相当于比的后项，根据比的基本性质，比的前项和后项同时乘3，即可求出后项为24时前项的值； 根据分数与除法的关系，分子相当于被除数，分母相当于除数，根据商不变规律，被除数和除数同时乘12，即可求出被除数为36时除数的值； 根据分数的基本性质，分子和分母同时乘6，即可求出分子为18时分母的值； 把化为小数，用分子除以分母，即3÷8＝0.375； 【详解】＝3∶8＝（3×3）∶（8×3）＝9∶24； ＝3÷8＝（3×12）÷（8×12）＝36÷96； ＝＝； ＝3÷8＝0.375； 即9∶24＝＝36÷96＝＝0.375（填小数）。 七、比与行程类的融合：路程、时间与速度，三个要素要对应。 【典例分析】 甲车从A城到B城要行驶3小时，乙车沿同一路线从B城到A城要行驶2小时，则甲车和乙车的速度之比是( )。如果两车同时分别从A城和B城出发，沿同一路线行驶，( )小时相遇。 【答案】 2∶3 1.2 【思路引导】已知两车行驶同一段路程所用的时间，可将A城到B城的路程看作单位“1”。根据“速度＝路程÷时间”，分别表示出甲车和乙车的速度，进而求出速度之比。再根据“相遇时间＝总路程÷速度和”，求出两车相遇所需的时间。 【详解】甲：1÷3＝ 乙：1÷2＝ ∶＝（×6）∶（×6）＝2∶3 1÷（＋） ＝1÷（＋） ＝1÷ ＝1× ＝1.2（小时） 【变式1】A、B两地相距90千米，从A地到B地，甲车需要小时，乙车需要1.25小时。甲、乙两车所用时间的最简比是( )，速度的最简比是( )。 【答案】 24∶35 35∶24 【思路引导】路程÷时间＝速度。两数相除又叫两个数的比，根据比的意义，分别写出甲、乙两车的时间比和速度比，化简即可。 【详解】时间比：∶1.25 ＝∶ ＝（×28）∶（×28） ＝24∶35 速度比：（90÷）∶（90÷1.25） ＝（90÷）∶（90÷） ＝（90×）∶（90×） ＝105∶72 ＝（105÷3）∶（72÷3） ＝35∶24 【变式2】甲、乙两个同学跑完同一段路，甲同学用了小时，乙同学用了小时，甲、乙两个同学的速度比是( )。 【答案】8∶9 【思路引导】把这段路的路程看作单位“1”，根据“路程÷时间＝速度”，分别求出甲和乙的速度，再根据比的意义写出甲、乙两个同学的速度比即可。 【详解】甲：1÷＝1×8＝8 乙：1÷＝1×9＝9 甲、乙两个同学的速度比8∶9。 【变式3】徒步上山要6小时，沿原路返回要4小时，上山时间和下山时间的最简整数比是多少？速度的最简整数比是多少？ 【答案】3∶2；2∶3 【思路引导】直接写出上山与下山的时间比，再化简为最简整数比。根据比的基本性质：比的前项和比的后项同时除以它们的最大公因数即可求出上山时间和下山时间的最简整数比； 因为沿原路返回，所以上山和下山路程相同。设路程为单位“1”，根据速度等于路程除以时间，分别求出上山的速度与下山的速度。根据比的基本性质，把比化简成最简整数比；据此解答。 【详解】 答：上山时间和下山时间的最简整数比是3∶2，速度的最简整数比是2∶3。 八、比与工程类的融合：效率、时间与总量，灵活表示要分清。 【典例分析】 非遗竹编传承人收到一批订单，师傅单独做要6天完成，徒弟单独做要8天完成，师、徒所用工作时间的比是( )，师、徒工作效率的比是( )。 【答案】 3∶4 4∶3 【思路引导】已知师傅单独做要6天完成，徒弟单独做要8天完成，直接用师傅的工作时间比徒弟的工作时间，求出工作时间的比。把工作总量看作单位“1”，根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”，分别求师傅和徒弟的工作效率，再用师傅的工作效率比徒弟的工作效率，求出工作效率的比。 【详解】6∶8 ＝（6÷2）∶（8÷2） ＝3∶4 1÷6＝ 1÷8＝ ∶ ＝（×24）∶（×24） ＝4∶3 所以师、徒所用工作时间的比是3∶4，师、徒工作效率的比是4∶3。 【变式1】做一批玩具，甲单独做8天完成，乙单独做12天完成，甲、乙两人工作时间的比是( )，甲乙两人每天完成的工作量的比是( )。 【答案】 2∶3 3∶2 【思路引导】把制作这批玩具的工作总量看作单位“1”，根据题意，甲每天完成的工作量为1÷8＝，乙每天完成的工作量为1÷12＝。 用甲单独完成的时间∶乙单独完成的时间，得到甲乙两人的工作时间比，再根据比的基本性质化成最简整数比即可； 用甲每天完成的工作量∶乙每天完成的工作量，得到甲乙两人每天完成的工作量比，再根据比的基本性质化成最简整数比即可。 【详解】甲乙两人的工作时间比： 8∶12＝（8÷4）∶（12÷4）＝2∶3 1÷8＝ 1÷12＝ 甲乙两人每天完成的工作量比： ∶＝（×24）∶（×24）＝3∶2 因此，做一批玩具，甲单独做8天完成，乙单独做12天完成，甲、乙两人工作时间的比是2∶3，甲乙两人每天完成的工作量的比是3∶2。 【变式2】一项工程，甲单独完成要18天，乙单独完成要12天，甲、乙两人工作效率的比是( )，工作时间的比是( )。 【答案】 2∶3 3∶2 【思路引导】已知甲单独完成要18天，乙单独完成要12天，将工作总量看作单位“1”，根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”分别求出甲、乙的工作效率，然后写出对应的比，并根据比的基本性质将其化简为最简单的整数比；工作时间比直接由各自完成天数化简得到。 【详解】1÷18＝ 1÷12＝ ∶ ＝（×36）∶（×36） ＝2∶3 所以甲、乙两人工作效率的比是2∶3。 18∶12 ＝（18÷6）∶（12÷6） ＝3∶2 所以工作时间的比是3∶2。 【变式3】完成一份稿件，甲用小时，乙用小时，甲乙工作时间最简整数比是( )，甲乙工作效率最简整数比是( )。 【答案】 3∶5 5∶3 【思路引导】根据比的意义，甲乙工作时间的比是，再根据比的基本性质，将比化简成最简整数比； 根据工作效率＝工作总量÷工作时间，分别得出甲和乙的工作效率，最后化简成最简整数比。 【详解】 ＝（6÷2）∶（10÷2） ＝3∶5 甲的工作效率：1÷＝ 乙的工作效率：1÷＝ ＝5∶3 则甲乙工作时间最简整数比是3∶5，甲乙工作效率最简整数比是5∶3 【典例分析】 九、超级易错考点：图形周长与面积的比，代入公式，再化简，记住特殊比。 如图，大圆和其中一个小圆的直径比为( )，周长比为( )，面积比为( )。 【答案】 2∶1 2∶1 4∶1 【思路引导】观察可知，大圆的直径等于两个小圆的直径之和。设小圆直径为1份，则大圆直径为2份。 直径比：大圆直径比小圆直径等于2比1； 周长比：圆的周长＝π×直径，周长比等于直径比； 面积比：圆的面积＝π×半径2，半径比等于直径比也是2比1。面积比等于半径比的平方，即（2×2）比（1×1）。 【详解】设小圆直径为1份，大圆直径为2份。 直径比：2∶1 周长比：（π×2）∶（π×1）＝2∶1； 面积比：（π×1×1）∶（π×0.5×0.5） ＝π∶0.25π ＝1∶0.25 ＝4∶1 【变式1】如下图，将左边的三角形按( )的比放大，可以得到右边的三角形，放大后的三角形与原来三角形的面积比是( )。 【答案】 3∶1 9∶1 【思路引导】根据对应边的长度关系，即用右边三角形的底边长除以左边三角形的底边长，确定放大比例；再根据三角形面积公式（三角形面积＝底×高÷2），求出放大前后的面积，再用放大后的面积比原来的面积，并将结果化成最简整数比。 【详解】因为12÷4＝3，所以将左边的三角形按3∶1的比放大，可以得到右边的三角形。 原来的面积： 4×3÷2 ＝12÷2 ＝6（cm2） 放大后的面积： 12×9÷2 ＝108÷2 ＝54（cm2） 放大后的面积∶原来的面积 ＝54∶6 ＝（54÷6）∶（6÷6） ＝9∶1 【变式2】两个圆的直径分别是3dm和4dm，它们的周长比是( )，面积比是( )。 【答案】 3∶4 9∶16 【思路引导】根据圆的周长公式C＝πd可知圆周长的比等于直径的比；根据圆的面积公式可知两个圆的面积比等于半径平方的比。 【详解】两个圆的直径比是3∶4，所以它们的周长比是3∶4； 3÷2＝1.5（dm） 4÷2＝2（dm） 1.5∶2＝（1.5×2）∶（2×2）＝3∶4 两个圆的半径比是3∶4，所以它们的面积比是32∶42＝9∶16。 【变式3】乐乐向妈妈学习绣挂画，她们绣的挂画都是长方形，且妈妈的挂画与乐乐的挂画各对应边长的比为，那么妈妈绣的挂画与乐乐绣的挂画的面积比是（    ）。 A． B． C． 【答案】B 【思路引导】已知两个长方形的边长的比为3∶1，求这两个长方形的面积比。可以根据长方形的面积＝长×宽，结合两个长方形边长的比，求出两个长方形的面积比。 【详解】（1）假如乐乐的挂画的长为m，宽为n，面积为S1： S1＝mn （2）妈妈的挂画的长为3m，宽为3n，面积S2： S2 ＝3m×3n ＝9mn （3）求面积比： S2∶S1 ＝9mn∶mn ＝（9mn÷mn）∶（mn÷mn）（因为mn是边长，不为0，所以根据比的基本性质前、后项同时除以mn） ＝9∶1 所以如果长方形的边长比为3∶1，那么它的面积比为9∶1。 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $