第二单元 混合运算和数量关系（三）（易错专项讲义）数学苏教版六年级上册（新教材）

该小学数学讲义聚焦混合运算和数量关系单元，通过梳理7个易错题型构建知识体系，以框架图呈现小数/分数四则运算规则、分率关系等核心要点，用对比表格归纳估算策略与工程问题效率逻辑，清晰展现重难点内在联系。 讲义亮点在于“易错点剖析-题型精讲-分层巩固”三阶设计，如用估算解决购物资金问题培养应用意识，工程问题设总工作量为单位1提升推理能力。每个题型配具体例题与反向核验方法，基础生可掌握规范步骤，优秀生能深化逻辑，助力教师实施精准复习教学。

第二单元 混合运算和数量关系（三）易错专项讲义 易错题型01 小数四则混和运算 易错题型02 分数四则混和运算 易错题型03 用估算解决问题 易错题型04 小数四则混合运算解决问题 易错题型05 已知总量及一部分分率，求另一部分量 易错题型06 求比一个数多/少几分之几的数是多少 易错题型07 工程问题 易错题型01 小数四则混和运算 1、同时满足“同级运算从左到右依次推进、不同级运算先算乘除后算加减”规则完成的运算，才是本单元认可的小数四则混合运算的标准结果，随意跳序运算、颠倒运算优先级得到的数值不能作为有效运算结论。 2、运用运算律调整小数四则混合运算的运算顺序时，要同步移动数字前附带的运算符号，不能只移动数字、遗漏对应前置符号，直接改变原式的运算逻辑得到错误结果。 3、处理包含括号的小数四则混合运算场景时，要优先计算小括号内的部分，再计算中括号内的部分，最后计算括号外的部分，不能随意跳过括号直接运算外层数值，破坏括号的优先级约束。 4、反向核验小数四则混合运算的结果时，从最终结果出发反向逆推所有运算步骤，每一步都用对应逆运算还原前序数值，最终得到的初始参与运算的数值必须和题目给出的已知数完全匹配。 5、处理整数与小数混合参与的四则混合运算场景时，要保证所有参与运算的数值的数位对齐基准完全统一，不能直接将整数和小数的末位强行对齐，引发数位错位的运算错误。 6、同一道小数四则混合运算的题目中，运算优先级规则、小数点对齐的基准必须完全统一，不能中途随意调整运算顺序、混用不同的计数精度，打乱运算的严谨性。 【题型精讲1】脱式计算。（能简算的要简算） 52.8÷2.5÷4                6.72÷（28÷2.5）        6.82÷4＋1.18÷0.4 【答案】5.28；0.6；4.655 【分析】（1）根据除法的性质，将连续除法转化成除以两个数的积，简化计算； （2）根据小数四则运算顺序，先计算括号里面的，再计算括号外面的； （3）根据运算顺序，先算除法，再算加法。 【解答】52.8÷2.5÷4 ＝52.8÷（2.5×4） ＝52.8÷10 ＝5.28 6.72÷（28÷2.5） ＝6.72÷11.2 ＝0.6 6.82÷4＋1.18÷0.4 ＝1.705＋2.95 ＝4.655 【易错巩固1】脱式计算。 74.9＋9.1÷（2.3－1.6）          30.1÷[（6.07＋2.53）×0.7] 【答案】87.9；5 【分析】①先算减法；再算除法，最后算加法； ②先算加法；再算乘法；最后算除法。 【解答】74.9＋9.1÷（2.3－1.6） ＝74.9＋9.1÷0.7 ＝74.9＋13 ＝87.9 30.1÷[（6.07＋2.53）×0.7] ＝30.1÷[8.6×0.7] ＝30.1÷6.02 ＝5 【易错巩固2】计算下面各题，怎样简便就怎样计算。 2.5×404                                20÷12.5÷0.8 3.7＋1.3×2.8                     （1.21＋7.7）÷1.1 【答案】1010；2； 7.34；8.1 【分析】（1）观察到2.5与4、400这类数相乘能得到整数，所以将404拆分为400＋4，利用乘法分配律分别相乘再相加，简化计算。 （2）根据除法的性质，连续除以两个数等于除以这两个数的积，先算12.5×0.8＝10，再算20÷10，简化计算。 （3）先算乘法，再算加法。 （4）将括号内的两个数分别除以1.1，再相加得到结果，简化计算。 【解答】（1）2.5×404 ＝2.5×（400＋4） ＝2.5×400＋2.5×4 ＝1000＋10 ＝1010 （2）20÷12.5÷0.8 ＝20÷（12.5×0.8） ＝20÷10 ＝2 （3）3.7＋1.3×2.8 ＝3.7＋3.64 ＝7.34 （4）（1.21＋7.7）÷1.1 ＝1.21÷1.1＋7.7÷1.1 ＝1.1＋7 ＝8.1 【易错巩固3】计算下列各题，要写出主要计算过程，怎样简便就怎样计算。 1.25×12×8        4×18.7＋6.3×4 9.8÷2.5÷4        31.5÷（0.3×150）＋3.5 【答案】120；100； 0.98；4.2 【分析】（1）根据乘法结合律先算1.25乘8，再乘12； （2）根据乘法分配律用4乘18.7加6.3的和即可； （3）根据除法的性质，连续除以两个数等于除以这两个数的积，依此计算； （4）先算小括号里的，再算除法求出商最后加3.5求和。 【解答】（1）1.25×12×8 ＝1.25×8×12 ＝10×12 ＝120 （2）4×18.7＋6.3×4 ＝4×（18.7＋6.3） ＝4×25 ＝100 （3）9.8÷2.5÷4 ＝9.8÷（2.5×4） ＝9.8÷10 ＝0.98 （4）31.5÷（0.3×150）＋3.5 ＝31.5÷45＋3.5 ＝0.7＋3.5 ＝4.2 【易错巩固4】计算下列各题，能简算的要简算。 0.056＋9.9×0.56                         62.5÷1.25÷8 2.9×0.45＋0.29×4.2＋0.029×13          9.6＋4.35÷（21－19.5） 【答案】5.6；6.25； 2.9；12.5 【分析】①先将0.056看作0.056×1；再根据积不变规律（两个数相乘，一个因数乘（或除以）一个数（0除外），另一个因数除以（或乘）相同的数，它们的积不变。）将0.056×1转换成0.56×0.1；最后根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c的逆运算进行简便计算； ②根据“连续除以两个数等于除以这两个数的积”进行简便计算； ③先根据积不变规律（两个数相乘，一个因数乘（或除以）一个数（0除外），另一个因数除以（或乘）相同的数，它们的积不变。）将0.29×4.2转换成2.9×0.42、将0.029×13转换成2.9×0.13；再根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c的逆运算进行简便计算； ④根据四则混合运算顺序，先算小括号内的减法，再算小括号外的除法，最后算小括号外的加法。 【解答】0.056＋9.9×0.56 ＝0.056×1＋9.9×0.56 ＝0.56×0.1＋9.9×0.56 ＝0.56×（0.1＋9.9） ＝0.56×10 ＝5.6 62.5÷1.25÷8 ＝62.5÷（1.25×8） ＝62.5÷10 ＝6.25 2.9×0.45＋0.29×4.2＋0.029×13 ＝2.9×0.45＋2.9×0.42＋2.9×0.13 ＝2.9×（0.45＋0.42＋0.13） ＝2.9×1 ＝2.9 9.6＋4.35÷（21－19.5） ＝9.6＋4.35÷1.5 ＝9.6＋2.9 ＝12.5 易错题型02 分数四则混和运算 1、同时满足“运算顺序匹配先括号内、再乘除后加减、同级从左到右规则、分数通分约分操作合规”得到的结果，才是本单元认可的分数四则混合运算标准结论，随意跳步运算、未按规则通分约分得到的数值不能作为有效运算结果。 2、处理带多层括号的分数四则混合运算时，要严格按照小括号→中括号→大括号的优先级逐层计算，不能跳过内层括号直接运算外层内容，直接打乱运算的先后逻辑得到错误结果。 3、运用整数运算定律调整分数四则混合运算的计算顺序时，要保证调整后每一步的运算逻辑和原式完全等值，不能随意套用运算定律改变原式的运算关系，破坏运算的等价性。 4、反向核验分数四则混合运算的结果时，从最终结果出发按逆运算规则逐层回溯推导，最终得到的初始参与运算的数值必须和题目给出的已知数完全匹配，不能出现数值偏差的逻辑矛盾。 5、处理分数除法参与的混合运算场景时，要先将除数的分子分母颠倒转化为乘法后再参与后续运算，不能直接用被除数和除数的分子分母直接相除，得到不符合分数除法规则的错误结果。 6、标注分数四则混合运算的最终结果时，要将结果化简为最简分数形式，避免出现未约分、假分数未按要求转换的问题，导致最终数值的表达不符合规范。 7、同一道分数四则混合运算的题目中，运算优先级规则、通分约分的基准必须完全统一，不能中途随意切换运算顺序、混用不同的通分标准，打乱运算逻辑的严谨性。 【题型精讲1】脱式计算，能简算的要简算。              【答案】0；；23； 【分析】，交换中间减法和加法的位置，将加法进行结合，根据减法的性质，将后两个数加起来再计算； ，将除法改写成乘法，逆用乘法分配律，先算，再与相乘； ，根据乘法分配律，42分别与小括号里的数相乘，再相减； ，从左往右进行计算。 【解答】 【易错巩固1】脱式计算，能简算的要简算。          【答案】；； 【分析】：观察发现与相加能凑整，利用减法的性质 进行简算； ：先将除以转化为乘，发现算式中含有相同的因数，利用乘法分配律进行简算； ：按照四则混合运算顺序，先算小括号内的减法（把化为），再算中括号内的乘法，最后算括号外的除法。 【解答】 【易错巩固2】计算下面各题，能简算的要简算。          【答案】；18；7 【分析】（1）根据分数四则混合运算顺序，先算除法，再算加法。观察到除法运算后的结果与后面的相加能凑成整数，运用加法结合律进行简算。 （2）括号内是分数加法，括号外是整数乘法，运用乘法分配律，将21分别乘括号内的每一个分数，约分后再相加进行简算。 （3）一个数连续减去两个分数，且这两个分数分母相同，运用减法的性质，减去这两个分数的和进行简算。 【解答】 【易错巩固3】下面各题，怎样算简便就怎样算。 350＋4590÷45×15                           【答案】1880；20； 6； 【分析】（1）按照运算顺序，先算除法，再算乘法，最后算加法。 （2）根据分数除法法则，除以一个分数等于乘它的倒数，所以原式转化为，再根据乘法分配律进行简便计算。 （3）利用乘法分配律去掉括号，原式变为，分别计算乘法，原式转化为5＋，先将后边的两个分数相加凑成1，再和5相加，计算出结果即可。 （4）先计算小括号内的减法，再算中括号内的乘法，最后算中括号外的除法。 除以一个分数等于乘它的倒数。 【解答】（1）350＋4590÷45×15 ＝350＋102×15 ＝350＋1530 ＝1880 （2） ＝20 （3） ＝5＋1 ＝6 （4） 【易错巩固4】下面各题，怎样算简便就怎样算。          【答案】；4.8； 【分析】利用减法的性质（连续减两个数，等于减这两个数的和），把算式转化为先算小括号里的加法，再算中括号里的减法，最后算括号外的除法； 先把除法转化为乘法（除以一个分数等于乘它的倒数），再用乘法分配律提取公因数计算； 按运算顺序先算小括号，再算中括号，最后算除法。 【解答】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝         ＝ ＝ ＝ ＝4.8 ＝ ＝ ＝ ＝ 易错题型03 用估算解决问题 1、同时满足“结合实际场景选取合理精度、估算结果贴合真实数值区间”规则得到的结果，才是本单元认可的小数估算有效结论，仅靠随意取整、完全脱离实际场景得到的估算值不能作为合规的估算依据。 2、做小数加法估算时，要先把参与运算的所有小数统一近似到指定的计数精度，不能仅对部分小数取整、其余小数保留原数，否则会直接导致估算结果和合理区间出现明显偏差。 3、做小数乘法估算时，要明确两个因数的近似取值方向会直接影响最终估算结果的偏差方向，不能随意把一个因数估大、另一个因数无规则估小，得到完全偏离真实值的估算结果。 4、反向核验小数估算结果时，将估算值还原回原始小数的精确运算场景，最终精确运算的真实结果必须落在估算值对应的合理误差区间内，不能出现真实值完全超出估算覆盖范围的逻辑矛盾情况。 5、处理购物凑钱类的小数估算实际场景时，要优先采用往大估的取值策略预留足够资金，不能随意往小估数值，导致最终预留的总金额不足以覆盖实际消费支出。 6、标注小数估算相关的最终结果时，要明确标注估算的精度基准与对应单位，避免出现精度指代模糊、单位错配的问题，导致估算结果的参考价值完全失真。 7、处理容量承载类的小数估算实际场景时，要优先采用往小估的取值策略验证承载上限，不能随意往大估数值，导致最终判定的承载量超出容器实际可容纳的最大数值。 8、解决小数估算的实际应用问题时，要先锚定“结合场景需求确定取值方向、估算结果服务实际需求”的核心规则，不能直接硬套纯小数精确运算的逻辑，忽略估算的实用属性。 【题型精讲1】妈妈带200元去超市购物。她买了2袋大米，每袋68.5元；买了一桶油，售价39.8元。请你用估算的方法，判断妈妈带200元够吗？ 【答案】够 【分析】将每袋大米的价格68.5元估算为70元， （元），那么2袋大米的价格不超过140元，油的价格39.8元估算为40元，所以一桶油的价格不超过40元。从而估算出2袋大米和一桶油的总价格，判断200元是否足够。据此解答。 【解答】68.5≈70 （元） 39.8≈40 （元） 180＜200 答：妈妈带200元够。 【易错巩固1】学校打算购置一批图书，其中儿童文学40本，科技书25本。但是价格清单受到磨损（如表所示）。你认为学校准备2500元够吗？ 类型 儿童文学 科技书 单价 30.*元/本 41.*元/本 【答案】够 【分析】根据题意，《儿童文学》的单价不超过31元，《科技书》的单价不超过42元，根据总价＝单价×数量，求出两种书最多花的钱数，再和2500比较，即可解答。 【解答】《儿童文学》按31元一本计算，《科技书》按42元一本计算。 31×40＋42×25 ＝1240＋1050 ＝2290（元） 2290＜2500，学校准备2500元够。 答：学校准备2500元够。 【易错巩固2】第19届杭州亚运会的吉祥物之一“琮琮”的设计灵感来源于良渚古城遗址出土的代表性文物玉琮。华华想用自己的300元零花钱买一些印有“琮琮”元素的纪念品（如下图），寄给在英国学习的哥哥。华华这样算的：7×4＋82＋90×2＝290（元），所以300元够。你认为这样算合理吗？说一说你的理由。 【答案】不合理；华华估算时，将书签、画册、T恤的单价都估小了，实际计算结果为303.4元，超过300元。（理由不唯一） 【分析】根据华华的计算方法：7×4＋82＋90×2＝290（元），可知华华把书签7.8元估成7元，画册82.6元估成82元，T恤94.8元估成90元，估算出的总钱数小于300元，因为都估小了，实际的结果要比估算的结果大，并不能说明300元是否够买这些纪念品。 【解答】7.8×4＋82.6＋94.8×2 ＝31.2＋82.6＋189.6 ＝303.4（元） 303.4＞300，300元不够。 答：不合理。华华估算时，将书签、画册、T恤的单价都估小了，实际计算结果为303.4元，超过300元，所以300元不够。 【易错巩固3】中国二十四节气中的“冬至”有吃汤圆的传统习俗，“圆”意味着团圆、圆满。场馆餐厅计划买14袋芝麻汤圆和4袋水果汤圆，200元够吗？（请用估算写出你的思考过程） 类别 价格 芝麻汤圆 9.6元/袋 水果汤圆 14.6元/袋 【答案】够；过程见详解 【分析】芝麻汤圆每袋9.6元按10元计算，水果汤圆每袋14.6元按15元计算，根据“总价＝单价×数量”分别求出购买芝麻汤圆和水果汤圆需要的钱数，然后相加求出总钱数，最后和200元比较大小，据此解答。 【解答】9.6元≈10元，14.6元≈15元。 10×14＋15×4 ＝140＋60 ＝200（元） 因为200元＝200元，且估算的单价大于实际单价，所以实际需要的钱数一定小于200元，那么200元够。 答：200元够。 【易错巩固4】五（1）班为开展“阳光一小时”体育锻炼活动，吴老师打算在网上体育用品店铺购买以下物品。 物品名称 篮球 跳绳 羽毛球 单价 75.90元/个 14.60元/根 32.50元/套 数量 1个 10根 2套 该店铺刚好有“满300元减20元”的优惠活动。请你估一估吴老师购买以上物品的金额（    ）【填“能”或“不能”】享受这个优惠。并写出你是怎么估的。 【答案】不能；估算见详解 【分析】把篮球的单价75.90元看作80元，跳绳的单价14.60元看作15元，羽毛球的单价32.50元看作35元，结合买的数量，估算出每种物品花的钱数，再相加，然后与300元比较。因为是估大了，所以实际付的钱数要比估计的钱数少，由此判断是否能享受“满300元减20元”的优惠活动。 【解答】75.90元≈80元，14.60元≈15元，32.50元≈35元 80＋15×10＋35×2 ＝80＋150＋70 ＝300（元） 吴老师购买以上物品的金额（不能）享受这个优惠。 因为75.90＜80，14.60＜15，32.50＜35，所以吴老师购买以上物品的金额比300元小，所以不能享受这个优惠。 易错题型04 小数四则混合运算解决问题 1、同时满足“先明确运算优先级、所有小数数位对齐后分步运算”规则得到的结果，才是本单元认可的小数四则混合运算解决问题的标准结论，仅靠跳步心算、忽略运算优先级得到的数值不能作为有效解题结果。 2、计算含不同小数位数的四则混合运算式题时，要先对齐所有小数的小数点，位数不足的小数末尾补0补足数位后再按规则运算，不能直接将所有数的末尾数字强行对齐就开始计算，打乱数位的对应关系。 3、运用运算律调整小数四则混合运算的运算顺序时，要同步移动数字前附带的运算符号，不能只移动数字、遗漏对应前置符号，直接改变原式的运算逻辑得到错误结果。 4、处理整数与小数混合参与的四则混合运算场景时，要先把整数补全对应数位的小数点和末尾0，转化为对应位数的小数后再参与运算，不能直接将整数和小数的末位强行对齐，引发数位错位的运算错误。 5、标注小数四则混合运算解决问题的最终结果时，要保证结果的小数点和参与运算的所有数的对齐基准完全一致，同时标注题目要求的对应单位，避免出现小数点错位、单位错配的问题，导致最终数值大小完全失真。 6、同一道小数四则混合运算解决问题的题目中，运算优先级规则、数位对齐的基准必须完全统一，不能中途随意调整数位的对齐位置、混用不同的运算优先级规则，打乱运算的严谨性。 7、解决小数四则混合运算的实际应用问题时，要先锚定“先梳理实际场景中的数量关系、再匹配对应运算规则”的核心要求，不能直接硬套整数四则混合运算的末位对齐逻辑，忽略小数的数位属性。 【题型精讲1】学校五年级开展“数学思维大赛”，其中“华容道”参赛人数是“数独”的1.5倍，“数独”参赛人数比“华容道”少24人。两个项目分别有多少人参赛？ 【答案】“数独”48人，“华容道”72人 【分析】将“数独”参赛人数看作单位“1”，“华容道”参赛人数是其1.5倍，人数差24人对应倍数差，先求出单位“1”的量即“数独”参赛人数，再计算“华容道”参赛人数。 【解答】24÷（1.5－1） ＝24÷0.5 ＝48（人） 24＋48＝72（人） 答：“数独”参赛人数为48人，“华容道”参赛人数为72人。 【易错巩固1】王老师到文具店买了一些等量的红色和黑色笔芯若干支（两种颜色笔芯的数量相等）。笔芯的原价都是18元20支。这天恰逢“双十二”优惠大酬宾，红色签字笔笔芯2.8元4支，黑色签字笔笔芯3元5支，这样算来王老师少花了11元。请你算一算，王老师一共买了多少支笔芯？ 【答案】44支 【分析】分析题目，先算出原来每支笔芯的价钱，再算出优惠后每支笔芯的价钱，用原来每支笔芯的价钱减去优惠后每支笔芯的价钱，算出每支笔芯便宜的价钱，用少花的钱数除以黑红两支笔芯便宜的总钱数，求出买几组这样的笔，再乘2即可算出一共买了多少支笔芯。 【解答】18÷20＝0.9（元） 2.8÷4＝0.7（元） 3÷5＝0.6（元） 0.9－0.7＝0.2（元） 0.9－0.6＝0.3（元） 11÷（0.2＋0.3） ＝11÷0.5 ＝22（支） 22×2＝44（支） 答：王老师一共买了44支笔芯。 【易错巩固2】五（1）班32名同学郊游时照相合影，每人一张照片，一共需要付多少钱？ 【答案】117.5元 【分析】32名需要32张相片，32分成两部分，第一部分6张，需要26.5元。第二部分为加洗部分，需32－6＝26张，用每张的钱数乘26，求出这26张需要的钱数，再把这两部分的钱数相加即可。 【解答】26.5＋3.5×（32－6） ＝26.5＋3.5×26 ＝26.5＋91 ＝117.5（元） 答：一共需要付117.5元。 【易错巩固3】体育用品商城购进一些羽毛球和乒乓球，周末以零售的方式卖出36个羽毛球和一些乒乓球。羽毛球每盒12个，进价24元/盒，零售价2.7元/个；乒乓球每盒5个，进价8元/盒，零售价2元/个。卖出的乒乓球比羽毛球多盈利2.8元，卖出多少个乒乓球？ 【答案】70个 【分析】根据题意可知，羽毛球每盒12个，进价24元/盒，所以每个羽毛球的进价是24÷12＝2（元），售出一个羽毛球可盈利2.7－2＝0.7（元），同理可求出售出一个乒乓球可盈利0.4元；0.7乘36等于售出36个羽毛球的盈利金额，再加2.8元，即等于售出乒乓球的盈利金额，乒乓球的盈利金额除以售出一个乒乓球可盈利金额，即等于卖出乒乓球的个数，据此即可解答。 【解答】2.7－24÷12 ＝2.7－2 ＝0.7（元） 2－8÷5 ＝2－1.6 ＝0.4（元） （0.7×36＋2.8）÷0.4 ＝（25.2＋2.8）÷0.4 ＝28÷0.4 ＝70（个） 答：卖出70个乒乓球。 【易错巩固4】甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，甲车每小时行42千米，乙车每小时行50千米，途中甲车因故障停驶48分钟，乙车开出5.3小时后两车在途中相遇。A、B两地相距多少千米？ 【答案】454千米 【分析】先根据“1小时＝60分钟”把48分钟转化为0.8小时，甲车的行驶时间为（5.3－0.8）小时，再根据“路程＝速度×时间”求出相遇时甲车行驶的路程和乙车行驶的路程，最后相加求出总路程。 【解答】1小时＝60分钟 48÷60＝0.8（小时） 42×（5.3－0.8）＋50×5.3 ＝42×4.5＋50×5.3 ＝189＋265 ＝454（千米） 答：A、B两地相距454千米。 易错题型05 已知总量及一部分分率，求另一部分量 1、同时满足“明确总量基准、找准对应部分的分率”规则推导得到的结果，才是本单元认可的“已知总量及一部分分率求另一部分量”问题的标准结论，仅靠随意用总量乘任意分率得到的数值不能作为有效运算结果。 2、计算另一部分量时，要先确认给出的分率对应的是哪一部分的占比，不能直接用总量乘已知的部分分率就当作最终结果，混淆不同部分的分率对应关系。 3、推导另一部分对应的分率时，要以总量的单位“1”为基准，用1减去已知部分的分率得到剩余部分的占比，不能直接用已知部分的分率直接当作另一部分的分率，得到完全错误的占比数值。 4、反向核验运算结果时，将求出的另一部分量加上已知部分对应的实际量，最终得到的总和必须和题目给出的原始总量完全相等，不能出现总和大于或小于给定总量的逻辑矛盾情况。 5、处理总量带有具体单位的运算场景时，要保证所有分率对应的实际量的单位和总量单位完全统一，不能直接用不同单位的数值参与运算，引发量级错配问题。 6、标注最终结果时，要明确附带和总量一致的对应单位，避免出现漏写单位、混用分率无单位属性的错配问题，导致最终结果的指代完全失真。 7、处理已知部分分率求剩余量的连减类场景时，要先确认所有分率的基准都是同一个总量单位“1”，不能中途随意切换分率的参照基准，得到不符合题意的错误结果。 8、同一道相关题目中，单位“1”的总量基准、分率的参照规则必须完全统一，不能中途随意更换总量的定义、变动分率的对应对象，打乱运算逻辑的严谨性。 9、解决这类实际应用问题时，要先锚定“先确定单位1总量、再拆分对应分率”的核心规则，不能直接硬套整数减法的运算逻辑，忽略分率的占比属性。 【题型精讲1】小新、小兰和优优三位同学都在看一本240页的科技书，小新还剩没有看，小兰已经看了，优优还剩80页没有看。他们三个谁看的页数最多？写出具体的计算过程。 【答案】小兰看的页数最多 【分析】小新已经看了，用总页数乘他看的占比求出他看的页数；用总页数乘即为小兰看的页数；用总页数减去80页即为优优看的页数；对比三人已经看的页数即可。 【解答】 （页） （页） （页） 答：小兰看的页数最多。 【易错巩固1】宣纸质地柔韧，经久耐用，被称为“千年寿纸”。五（1）班买了40张宣纸，第一次用去了，第二次用去了剩下的。还剩多少张宣纸没有用？ 【答案】24张 【分析】把40张宣纸的总数看作单位“1”，第一次用去总数的，那么剩下的数量就是总数的（1－），根据“求一个数的几分之几是多少，用乘法计算”，用总数40乘这个占比，求出第一次用完后剩下的宣纸数量。接着，把第一次用完后剩下的数量看作单位“1”，第二次用去了这个新单位“1”的，此时剩下的数量就是第一次剩余数量的（1－），再用第一次剩余的数量乘这个占比，即可求出最终剩下的宣纸数量。 【解答】40×（1－） ＝40× ＝32（张） 32×（1－） ＝32× ＝24（张） 答：还剩24张宣纸没有用。 【易错巩固2】庆元旦迎新年活动中，六（1）班用30米长的彩带做装饰花，平均每朵装饰花用彩带米。这些装饰花的用来装饰黑板，则还剩多少朵？ 【答案】72朵 【分析】先算一共有几朵装饰花，就是求30里面有几个，用30除以计算，因为这些装饰花的用来装饰黑板，把这些装饰花的总数看作单位“1”，已知单位“1”的具体量用乘法计算，求剩下的用总朵数乘（1－）即可。 【解答】 答：还剩72朵。 【点睛】此题考查了运用分数乘除法运算解决实际问题。 【易错巩固3】2024年11月16日上午，济宁市举办了第六届创客节。光明小学派出80名同学参加创客比赛活动，其中参加无人机挑战赛，参加人工智能比赛，剩下的参加AI智慧应用，参加AI智慧应用的有多少人？ 【答案】44人 【分析】将总人数看作单位“1”，参加无人机挑战赛，参加人工智能比赛，分别用总人数乘和可算出参加无人机挑战赛和参加人工智能比赛的具体人数，再用总人数减去参加无人机挑战赛的人数和参加人工智能比赛人数，就是参加AI智慧应用的人数。 【解答】 （人） 答：参加AI智慧应用的有44人。 【易错巩固4】夏至是二十四节气之一，每年公历6月21日或22日，当太阳运行至黄经90度时，太阳直射地面的位置到达一年的最北端，几乎直射北回归线，这一天是北半球的日照时间最长、黑夜最短的一天。这一天北京的黑夜时间是白昼时间的，这一天白昼和黑夜分别是多少小时？ 【答案】白昼15小时，黑夜9小时 【分析】一天有24小时，夏至这天北京的黑夜时间是白昼时间的，将白昼时间看作单位1，那么一天的时间是白昼时间的1＋＝，也就是白昼时间的是24小时，已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法，计算得到白昼时间，进而得到黑夜时间。 【解答】24÷（1＋） ＝24÷ ＝24× ＝15（小时） 24－15＝9（小时） 答：这一天白昼是15小时，黑夜是9小时。 易错题型06 求比一个数多/少几分之几的数是多少 1、同时满足“找准单位‘1’的基准量、明确多/少的分率对应的比较关系”推导得到的结果，才是本单元认可的“比一个数多/少几分之几的数是多少”的标准结论，仅随意选取局部数值直接相乘得到的结果不能作为有效解题依据。 2、判定题目中的单位“1”基准量时，要锁定“比”字后方对应的原始参照数，不能随意将比较量直接判定为单位“1”，直接颠倒两个数量的参照逻辑。 3、计算比基准量多几分之几的目标数时，要先算出目标数对应的分率为基准量的1+，再代入基准量做乘法运算，不能直接用基准量加对应分率的数值，混淆分率和具体量的属性差异。 4、反向核验解题结果时，用最终算出的目标数和原始基准量做差值运算，将差值除以基准量得到的分率，必须和题目给出的“多/少几分之几”的条件完全匹配。 5、处理基准量带单位的实际问题场景时，要先确认分率是不带单位的比例关系，区分开带单位的具体差值和不带单位的分率差值，不能直接用基准量和分率做加减运算得到错误结果。 6、处理连续两次出现“多/少几分之几”的递进场景时，要分别锁定每一步运算对应的独立单位“1”，不能全程沿用初始基准量作为统一参照，得到不符合递进逻辑的错误结果。 7、解决这类实际应用问题时，要先锚定“先找单位‘1’、再明确分率对应关系”的核心规则，不能直接硬套整数加减的算术逻辑，忽略分数比例的运算属性。 【题型精讲1】在“非遗进校园”课堂上，非遗项目张氏面塑传人教学生捏小面人。已知捏一个“孙悟空”用250克面团，捏一个“猪八戒”用的面团比捏一个“孙悟空”多，捏一个“猪八戒”用多少克的面团？ 【答案】350克 【分析】把捏一个“孙悟空”用的面团质量看作单位“1”，捏一个“猪八戒”用的面团比捏一个“孙悟空”多，则捏一个“猪八戒”用的面团质量是捏一个“孙悟空”的。根据分数乘法的意义，用乘法计算。 【解答】 （克） 答：捏一个“猪八戒”用350克的面团。 【易错巩固1】淘气的体重是36千克，笑笑的体重比淘气轻，笑笑的体重是多少千克？ 【答案】32 千克 【分析】解题关键是确定单位“1”。根据“笑笑的体重比淘气轻”，可知淘气的体重是单位“1”，笑笑的体重相当于淘气体重的。已知单位“1”的具体数量，求它的几分之几是多少，用乘法计算。 【解答】 （千克） 答：笑笑的体重是32千克。 【易错巩固2】为积极响应2026年全国推行的“中小学生每天综合体育活动不低于2小时”“课间15分钟锻炼”的政策要求，某校启动体育提质行动，扩宽晨练项目。3月份参加足球晨练的学生有64人，是参加篮球晨练人数的。4月份篮球晨练人数比3月份增加了，三月份和四月份参加篮球晨练的分别有多少人？ 【答案】72人；96人 【分析】先把3月份篮球晨练人数看作单位“1”，已知它的对应64人，用除法求出3月篮球人数；再把3月篮球人数看作单位“1”，4月篮球人数是3月的，用乘法求出4月篮球人数。 【解答】＝72（人） （人） 答：三月份参加篮球晨练的有72人，四月份有96人。 【易错巩固3】新华书店运来一批儿童读物深受小朋友喜爱，第一天卖出900本，第二天比第一天多卖出了，第二天卖出的正好是全部的，这批儿童读物一共有多少本？ 【答案】1925 本 【分析】1.首先确定第二天卖出的数量。已知第一天卖出900本，第二天比第一天多卖出，把第一天卖出的数量看作单位“1”，则第二天卖出的数量是第一天的，用乘法计算。 2.然后确定这批儿童读物的总本数。已知第二天卖出的数量正好是全部的，把这批儿童读物的总本数看作单位“1”，根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”，用除法计算。 3.将两步计算列成综合算式，按照运算顺序进行脱式计算。 【解答】 （本） 答：这批儿童读物一共有1925本。 【易错巩固4】在夏季家电补贴销售活动中，文华超市一种品牌的空调原来单价是8600元，现在降价了，这台空调现在单价是多少元？ 【答案】元 【分析】题干中将空调的原来单价看作单位。已知降价了，意味着降低的价格是原来单价的，那么现在的单价就是原来单价的。根据分数乘法的意义，求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，即用原来单价乘现在单价所占的分率。 【解答】 （元） 答：这台空调现在单价是元。 易错题型07 工程问题 1、同时满足“将总工作量预设为单位1、用分数表示单主体的工作效率”规则推导得到的结果，才是本单元认可的标准工程问题有效结论，直接跳过单位1设定、用具象总量硬套计算得到的数值不能作为合规的工程问题运算依据。 2、计算多人合作完成工程的总时长时，要先把所有参与主体的工作效率相加得到合作总效率，不能直接把单人单独完成的时长相加作为合作总时长，完全违背工程问题的效率叠加逻辑。 3、处理中途有主体退出或加入的分段工程场景时，要先按时间节点拆分不同阶段的对应工作量，再匹配对应阶段的参与主体效率计算，不能全程统一套用初始合作总效率，得到完全错误的总耗时结果。 4、反向核验工程问题的计算结果时，将最终算出的总时长代入原场景，用对应效率乘以时长累加所有完成的工作量，最终得到的总工作量必须和预设的单位1完全相等，不能出现总工作量大于或小于1的逻辑矛盾。 5、判定工程问题的效率属性时，要明确工作效率是单位时间内完成的工作量占总工程的比例，不能直接把单人单独完成的总时长直接等同于工作效率，混淆时长和效率的倒数对应关系。 6、标注工程问题的最终结果时，要明确标注对应的时间单位，避免出现漏写单位、混用工作量比例单位的错配问题，导致最终耗时的指代完全失真。 7、处理已知部分完成进度反推剩余耗时的场景时，要先算出剩余未完成的工作量占比，再除以对应阶段的工作效率，不能直接用总时长减去已耗时间的差值硬套，忽略剩余阶段参与主体的效率变化。 8、同一道工程问题的相关题目中，总工作量的单位1设定、工作效率的计数基准必须完全统一，不能中途随意切换总工作量的预设值、更改单位时间的统计维度，打乱运算逻辑的严谨性。 9、解决工程问题的实际应用场景时，要先锚定“总工作量设为单位1、效率与时间成反比”的核心规则，不能直接硬套普通行程问题的路程速度逻辑，忽略工程问题的分数效率属性。 【题型精讲1】修一条路，甲队单独修要20天，乙队单独修要30天。现在两队合修5天后，甲队调走，剩下的由乙队单独完成，还需要多少天？ 【答案】17.5天 【分析】把这条路的总工作量看成单位“1”，甲队工作效率是，乙队工作效率是。先算两队合修5天的工作量，用总工作量减去已修工作量得到剩余工作量，再用剩余工作量除以乙队的工作效率，就能求出乙队单独完成还需要的天数。 【解答】 （天） 答：还需要17.5天。 【易错巩固1】某地要修一条路，若由甲施工队单独完成，则需要4个月，若由乙施工队单独完成，需要的时间比甲施工队少，若甲、乙两个施工队合作，多少个月可以完成？ 【答案】个月 【分析】把这条路的总量看作单位“1”。根据甲队单独完成需要4个月，可知甲队的工作效率是。乙队单独完成需要的时间比甲队少，即乙队时间是甲队时间的，据此求出乙队单独完成需要的时间，进而求出乙队的工作效率。最后根据“工作时间工作总量工作效率和”求出合作完成需要的时间。 【解答】（个月） ＝ ＝ （个月） 答：个月可以完成。 【易错巩固2】一批物资，甲乙合作8小时可以搬完。实际搬运时：甲先单独搬3小时，乙再加入一起搬6小时，最后还剩没搬。已知甲每小时比乙少搬10件，求这批物资一共有多少件？ 【答案】240件 【分析】设甲每小时搬x件，乙每小时搬（x＋10）件，总数量不变。两人合作8小时搬完，总量＝8×（x＋x＋10）。实际甲一共搬了3＋6＝9小时，乙搬了6小时，只搬了总量的，据此列方程求解。 【解答】解：设甲每小时搬x件，乙每小时搬x＋10件。 乙每小时：10＋10＝20（件） 总数：8×（10＋20） ＝8×30 ＝240（件） 答：这批物资一共有240件。 【易错巩固3】沥青上面层的摊铺与碾压是高速公路路面修建的重要环节，现有一段高速公路沥青上面层的摊铺与碾压工作，甲队单机作业需要30天完成，乙队双机梯队作业需要18天完成，两队一起作业，12天能完成吗？ 【答案】12天能完成 【分析】解题关键是将工作总量看作单位“1”。甲队单独完成需要30天，乙队单独完成需要18天，则甲、乙两队的工作效率分别为和。两队合作，工作效率之和为两队效率相加，合作需要的时间＝总工作量÷工作效率之和，合作所需要的时间与12天进行比较，若所需时间小于或者等于12天，则能完成。 【解答】甲、乙两队的工作效率分别为和。 （天） 答：12天能完成。 【易错巩固4】一项工程，甲队单独做需要10天，乙队单独做需要12天，如果两队合作，需要多少天能完成整个工程的？ 【答案】天 【分析】根据题意，把这项工程看作单位“1”，根据工作总量÷工作时间＝工作效率。用1除以10、1除以12，算出甲、乙的工作效率。再相加就是两人工作效率之和。再根据工作总量÷工作效率之和＝工作时间。据此解答即可。 【解答】1÷10＝ 1÷12＝ ÷（＋） ＝÷（＋） ＝÷ ＝× ＝（天） 答：需要天能完成整个工程的。 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二单元 混合运算和数量关系（三）易错专项讲义 易错题型01 小数四则混和运算 易错题型02 分数四则混和运算 易错题型03 用估算解决问题 易错题型04 小数四则混合运算解决问题 易错题型05 已知总量及一部分分率，求另一部分量 易错题型06 求比一个数多/少几分之几的数是多少 易错题型07 工程问题 易错题型01 小数四则混和运算 1、同时满足“同级运算从左到右依次推进、不同级运算先算乘除后算加减”规则完成的运算，才是本单元认可的小数四则混合运算的标准结果，随意跳序运算、颠倒运算优先级得到的数值不能作为有效运算结论。 2、运用运算律调整小数四则混合运算的运算顺序时，要同步移动数字前附带的运算符号，不能只移动数字、遗漏对应前置符号，直接改变原式的运算逻辑得到错误结果。 3、处理包含括号的小数四则混合运算场景时，要优先计算小括号内的部分，再计算中括号内的部分，最后计算括号外的部分，不能随意跳过括号直接运算外层数值，破坏括号的优先级约束。 4、反向核验小数四则混合运算的结果时，从最终结果出发反向逆推所有运算步骤，每一步都用对应逆运算还原前序数值，最终得到的初始参与运算的数值必须和题目给出的已知数完全匹配。 5、处理整数与小数混合参与的四则混合运算场景时，要保证所有参与运算的数值的数位对齐基准完全统一，不能直接将整数和小数的末位强行对齐，引发数位错位的运算错误。 6、同一道小数四则混合运算的题目中，运算优先级规则、小数点对齐的基准必须完全统一，不能中途随意调整运算顺序、混用不同的计数精度，打乱运算的严谨性。 【题型精讲1】脱式计算。（能简算的要简算） 52.8÷2.5÷4                6.72÷（28÷2.5）        6.82÷4＋1.18÷0.4 【易错巩固1】脱式计算。 74.9＋9.1÷（2.3－1.6）          30.1÷[（6.07＋2.53）×0.7] 【易错巩固2】计算下面各题，怎样简便就怎样计算。 2.5×404                                20÷12.5÷0.8 3.7＋1.3×2.8                     （1.21＋7.7）÷1.1 【易错巩固3】计算下列各题，要写出主要计算过程，怎样简便就怎样计算。 1.25×12×8        4×18.7＋6.3×4 9.8÷2.5÷4        31.5÷（0.3×150）＋3.5 【易错巩固4】计算下列各题，能简算的要简算。 0.056＋9.9×0.56                         62.5÷1.25÷8 2.9×0.45＋0.29×4.2＋0.029×13          9.6＋4.35÷（21－19.5） 易错题型02 分数四则混和运算 1、同时满足“运算顺序匹配先括号内、再乘除后加减、同级从左到右规则、分数通分约分操作合规”得到的结果，才是本单元认可的分数四则混合运算标准结论，随意跳步运算、未按规则通分约分得到的数值不能作为有效运算结果。 2、处理带多层括号的分数四则混合运算时，要严格按照小括号→中括号→大括号的优先级逐层计算，不能跳过内层括号直接运算外层内容，直接打乱运算的先后逻辑得到错误结果。 3、运用整数运算定律调整分数四则混合运算的计算顺序时，要保证调整后每一步的运算逻辑和原式完全等值，不能随意套用运算定律改变原式的运算关系，破坏运算的等价性。 4、反向核验分数四则混合运算的结果时，从最终结果出发按逆运算规则逐层回溯推导，最终得到的初始参与运算的数值必须和题目给出的已知数完全匹配，不能出现数值偏差的逻辑矛盾。 5、处理分数除法参与的混合运算场景时，要先将除数的分子分母颠倒转化为乘法后再参与后续运算，不能直接用被除数和除数的分子分母直接相除，得到不符合分数除法规则的错误结果。 6、标注分数四则混合运算的最终结果时，要将结果化简为最简分数形式，避免出现未约分、假分数未按要求转换的问题，导致最终数值的表达不符合规范。 7、同一道分数四则混合运算的题目中，运算优先级规则、通分约分的基准必须完全统一，不能中途随意切换运算顺序、混用不同的通分标准，打乱运算逻辑的严谨性。 【题型精讲1】脱式计算，能简算的要简算。              【易错巩固1】脱式计算，能简算的要简算。          【易错巩固2】计算下面各题，能简算的要简算。          【易错巩固3】下面各题，怎样算简便就怎样算。 350＋4590÷45×15                           【易错巩固4】下面各题，怎样算简便就怎样算。          易错题型03 用估算解决问题 1、同时满足“结合实际场景选取合理精度、估算结果贴合真实数值区间”规则得到的结果，才是本单元认可的小数估算有效结论，仅靠随意取整、完全脱离实际场景得到的估算值不能作为合规的估算依据。 2、做小数加法估算时，要先把参与运算的所有小数统一近似到指定的计数精度，不能仅对部分小数取整、其余小数保留原数，否则会直接导致估算结果和合理区间出现明显偏差。 3、做小数乘法估算时，要明确两个因数的近似取值方向会直接影响最终估算结果的偏差方向，不能随意把一个因数估大、另一个因数无规则估小，得到完全偏离真实值的估算结果。 4、反向核验小数估算结果时，将估算值还原回原始小数的精确运算场景，最终精确运算的真实结果必须落在估算值对应的合理误差区间内，不能出现真实值完全超出估算覆盖范围的逻辑矛盾情况。 5、处理购物凑钱类的小数估算实际场景时，要优先采用往大估的取值策略预留足够资金，不能随意往小估数值，导致最终预留的总金额不足以覆盖实际消费支出。 6、标注小数估算相关的最终结果时，要明确标注估算的精度基准与对应单位，避免出现精度指代模糊、单位错配的问题，导致估算结果的参考价值完全失真。 7、处理容量承载类的小数估算实际场景时，要优先采用往小估的取值策略验证承载上限，不能随意往大估数值，导致最终判定的承载量超出容器实际可容纳的最大数值。 8、解决小数估算的实际应用问题时，要先锚定“结合场景需求确定取值方向、估算结果服务实际需求”的核心规则，不能直接硬套纯小数精确运算的逻辑，忽略估算的实用属性。 【题型精讲1】妈妈带200元去超市购物。她买了2袋大米，每袋68.5元；买了一桶油，售价39.8元。请你用估算的方法，判断妈妈带200元够吗？ 【易错巩固1】学校打算购置一批图书，其中儿童文学40本，科技书25本。但是价格清单受到磨损（如表所示）。你认为学校准备2500元够吗？ 类型 儿童文学 科技书 单价 30.*元/本 41.*元/本 【易错巩固2】第19届杭州亚运会的吉祥物之一“琮琮”的设计灵感来源于良渚古城遗址出土的代表性文物玉琮。华华想用自己的300元零花钱买一些印有“琮琮”元素的纪念品（如下图），寄给在英国学习的哥哥。华华这样算的：7×4＋82＋90×2＝290（元），所以300元够。你认为这样算合理吗？说一说你的理由。 【易错巩固3】中国二十四节气中的“冬至”有吃汤圆的传统习俗，“圆”意味着团圆、圆满。场馆餐厅计划买14袋芝麻汤圆和4袋水果汤圆，200元够吗？（请用估算写出你的思考过程） 类别 价格 芝麻汤圆 9.6元/袋 水果汤圆 14.6元/袋 【易错巩固4】五（1）班为开展“阳光一小时”体育锻炼活动，吴老师打算在网上体育用品店铺购买以下物品。 物品名称 篮球 跳绳 羽毛球 单价 75.90元/个 14.60元/根 32.50元/套 数量 1个 10根 2套 该店铺刚好有“满300元减20元”的优惠活动。请你估一估吴老师购买以上物品的金额（    ）【填“能”或“不能”】享受这个优惠。并写出你是怎么估的。 易错题型04 小数四则混合运算解决问题 1、同时满足“先明确运算优先级、所有小数数位对齐后分步运算”规则得到的结果，才是本单元认可的小数四则混合运算解决问题的标准结论，仅靠跳步心算、忽略运算优先级得到的数值不能作为有效解题结果。 2、计算含不同小数位数的四则混合运算式题时，要先对齐所有小数的小数点，位数不足的小数末尾补0补足数位后再按规则运算，不能直接将所有数的末尾数字强行对齐就开始计算，打乱数位的对应关系。 3、运用运算律调整小数四则混合运算的运算顺序时，要同步移动数字前附带的运算符号，不能只移动数字、遗漏对应前置符号，直接改变原式的运算逻辑得到错误结果。 4、处理整数与小数混合参与的四则混合运算场景时，要先把整数补全对应数位的小数点和末尾0，转化为对应位数的小数后再参与运算，不能直接将整数和小数的末位强行对齐，引发数位错位的运算错误。 5、标注小数四则混合运算解决问题的最终结果时，要保证结果的小数点和参与运算的所有数的对齐基准完全一致，同时标注题目要求的对应单位，避免出现小数点错位、单位错配的问题，导致最终数值大小完全失真。 6、同一道小数四则混合运算解决问题的题目中，运算优先级规则、数位对齐的基准必须完全统一，不能中途随意调整数位的对齐位置、混用不同的运算优先级规则，打乱运算的严谨性。 7、解决小数四则混合运算的实际应用问题时，要先锚定“先梳理实际场景中的数量关系、再匹配对应运算规则”的核心要求，不能直接硬套整数四则混合运算的末位对齐逻辑，忽略小数的数位属性。 【题型精讲1】学校五年级开展“数学思维大赛”，其中“华容道”参赛人数是“数独”的1.5倍，“数独”参赛人数比“华容道”少24人。两个项目分别有多少人参赛？ 【易错巩固1】王老师到文具店买了一些等量的红色和黑色笔芯若干支（两种颜色笔芯的数量相等）。笔芯的原价都是18元20支。这天恰逢“双十二”优惠大酬宾，红色签字笔笔芯2.8元4支，黑色签字笔笔芯3元5支，这样算来王老师少花了11元。请你算一算，王老师一共买了多少支笔芯？ 【易错巩固2】五（1）班32名同学郊游时照相合影，每人一张照片，一共需要付多少钱？ 【易错巩固3】体育用品商城购进一些羽毛球和乒乓球，周末以零售的方式卖出36个羽毛球和一些乒乓球。羽毛球每盒12个，进价24元/盒，零售价2.7元/个；乒乓球每盒5个，进价8元/盒，零售价2元/个。卖出的乒乓球比羽毛球多盈利2.8元，卖出多少个乒乓球？ 【易错巩固4】甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，甲车每小时行42千米，乙车每小时行50千米，途中甲车因故障停驶48分钟，乙车开出5.3小时后两车在途中相遇。A、B两地相距多少千米？ 易错题型05 已知总量及一部分分率，求另一部分量 1、同时满足“明确总量基准、找准对应部分的分率”规则推导得到的结果，才是本单元认可的“已知总量及一部分分率求另一部分量”问题的标准结论，仅靠随意用总量乘任意分率得到的数值不能作为有效运算结果。 2、计算另一部分量时，要先确认给出的分率对应的是哪一部分的占比，不能直接用总量乘已知的部分分率就当作最终结果，混淆不同部分的分率对应关系。 3、推导另一部分对应的分率时，要以总量的单位“1”为基准，用1减去已知部分的分率得到剩余部分的占比，不能直接用已知部分的分率直接当作另一部分的分率，得到完全错误的占比数值。 4、反向核验运算结果时，将求出的另一部分量加上已知部分对应的实际量，最终得到的总和必须和题目给出的原始总量完全相等，不能出现总和大于或小于给定总量的逻辑矛盾情况。 5、处理总量带有具体单位的运算场景时，要保证所有分率对应的实际量的单位和总量单位完全统一，不能直接用不同单位的数值参与运算，引发量级错配问题。 6、标注最终结果时，要明确附带和总量一致的对应单位，避免出现漏写单位、混用分率无单位属性的错配问题，导致最终结果的指代完全失真。 7、处理已知部分分率求剩余量的连减类场景时，要先确认所有分率的基准都是同一个总量单位“1”，不能中途随意切换分率的参照基准，得到不符合题意的错误结果。 8、同一道相关题目中，单位“1”的总量基准、分率的参照规则必须完全统一，不能中途随意更换总量的定义、变动分率的对应对象，打乱运算逻辑的严谨性。 9、解决这类实际应用问题时，要先锚定“先确定单位1总量、再拆分对应分率”的核心规则，不能直接硬套整数减法的运算逻辑，忽略分率的占比属性。 【题型精讲1】小新、小兰和优优三位同学都在看一本240页的科技书，小新还剩没有看，小兰已经看了，优优还剩80页没有看。他们三个谁看的页数最多？写出具体的计算过程。 【易错巩固1】宣纸质地柔韧，经久耐用，被称为“千年寿纸”。五（1）班买了40张宣纸，第一次用去了，第二次用去了剩下的。还剩多少张宣纸没有用？ 【易错巩固2】庆元旦迎新年活动中，六（1）班用30米长的彩带做装饰花，平均每朵装饰花用彩带米。这些装饰花的用来装饰黑板，则还剩多少朵？ 【易错巩固3】2024年11月16日上午，济宁市举办了第六届创客节。光明小学派出80名同学参加创客比赛活动，其中参加无人机挑战赛，参加人工智能比赛，剩下的参加AI智慧应用，参加AI智慧应用的有多少人？ 【易错巩固4】夏至是二十四节气之一，每年公历6月21日或22日，当太阳运行至黄经90度时，太阳直射地面的位置到达一年的最北端，几乎直射北回归线，这一天是北半球的日照时间最长、黑夜最短的一天。这一天北京的黑夜时间是白昼时间的，这一天白昼和黑夜分别是多少小时？ 易错题型06 求比一个数多/少几分之几的数是多少 1、同时满足“找准单位‘1’的基准量、明确多/少的分率对应的比较关系”推导得到的结果，才是本单元认可的“比一个数多/少几分之几的数是多少”的标准结论，仅随意选取局部数值直接相乘得到的结果不能作为有效解题依据。 2、判定题目中的单位“1”基准量时，要锁定“比”字后方对应的原始参照数，不能随意将比较量直接判定为单位“1”，直接颠倒两个数量的参照逻辑。 3、计算比基准量多几分之几的目标数时，要先算出目标数对应的分率为基准量的1+，再代入基准量做乘法运算，不能直接用基准量加对应分率的数值，混淆分率和具体量的属性差异。 4、反向核验解题结果时，用最终算出的目标数和原始基准量做差值运算，将差值除以基准量得到的分率，必须和题目给出的“多/少几分之几”的条件完全匹配。 5、处理基准量带单位的实际问题场景时，要先确认分率是不带单位的比例关系，区分开带单位的具体差值和不带单位的分率差值，不能直接用基准量和分率做加减运算得到错误结果。 6、处理连续两次出现“多/少几分之几”的递进场景时，要分别锁定每一步运算对应的独立单位“1”，不能全程沿用初始基准量作为统一参照，得到不符合递进逻辑的错误结果。 7、解决这类实际应用问题时，要先锚定“先找单位‘1’、再明确分率对应关系”的核心规则，不能直接硬套整数加减的算术逻辑，忽略分数比例的运算属性。 【题型精讲1】在“非遗进校园”课堂上，非遗项目张氏面塑传人教学生捏小面人。已知捏一个“孙悟空”用250克面团，捏一个“猪八戒”用的面团比捏一个“孙悟空”多，捏一个“猪八戒”用多少克的面团？ 【易错巩固1】淘气的体重是36千克，笑笑的体重比淘气轻，笑笑的体重是多少千克？ 【易错巩固2】为积极响应2026年全国推行的“中小学生每天综合体育活动不低于2小时”“课间15分钟锻炼”的政策要求，某校启动体育提质行动，扩宽晨练项目。3月份参加足球晨练的学生有64人，是参加篮球晨练人数的。4月份篮球晨练人数比3月份增加了，三月份和四月份参加篮球晨练的分别有多少人？ 【易错巩固3】新华书店运来一批儿童读物深受小朋友喜爱，第一天卖出900本，第二天比第一天多卖出了，第二天卖出的正好是全部的，这批儿童读物一共有多少本？ 【易错巩固4】在夏季家电补贴销售活动中，文华超市一种品牌的空调原来单价是8600元，现在降价了，这台空调现在单价是多少元？ 易错题型07 工程问题 1、同时满足“将总工作量预设为单位1、用分数表示单主体的工作效率”规则推导得到的结果，才是本单元认可的标准工程问题有效结论，直接跳过单位1设定、用具象总量硬套计算得到的数值不能作为合规的工程问题运算依据。 2、计算多人合作完成工程的总时长时，要先把所有参与主体的工作效率相加得到合作总效率，不能直接把单人单独完成的时长相加作为合作总时长，完全违背工程问题的效率叠加逻辑。 3、处理中途有主体退出或加入的分段工程场景时，要先按时间节点拆分不同阶段的对应工作量，再匹配对应阶段的参与主体效率计算，不能全程统一套用初始合作总效率，得到完全错误的总耗时结果。 4、反向核验工程问题的计算结果时，将最终算出的总时长代入原场景，用对应效率乘以时长累加所有完成的工作量，最终得到的总工作量必须和预设的单位1完全相等，不能出现总工作量大于或小于1的逻辑矛盾。 5、判定工程问题的效率属性时，要明确工作效率是单位时间内完成的工作量占总工程的比例，不能直接把单人单独完成的总时长直接等同于工作效率，混淆时长和效率的倒数对应关系。 6、标注工程问题的最终结果时，要明确标注对应的时间单位，避免出现漏写单位、混用工作量比例单位的错配问题，导致最终耗时的指代完全失真。 7、处理已知部分完成进度反推剩余耗时的场景时，要先算出剩余未完成的工作量占比，再除以对应阶段的工作效率，不能直接用总时长减去已耗时间的差值硬套，忽略剩余阶段参与主体的效率变化。 8、同一道工程问题的相关题目中，总工作量的单位1设定、工作效率的计数基准必须完全统一，不能中途随意切换总工作量的预设值、更改单位时间的统计维度，打乱运算逻辑的严谨性。 9、解决工程问题的实际应用场景时，要先锚定“总工作量设为单位1、效率与时间成反比”的核心规则，不能直接硬套普通行程问题的路程速度逻辑，忽略工程问题的分数效率属性。 【题型精讲1】修一条路，甲队单独修要20天，乙队单独修要30天。现在两队合修5天后，甲队调走，剩下的由乙队单独完成，还需要多少天？ 【易错巩固1】某地要修一条路，若由甲施工队单独完成，则需要4个月，若由乙施工队单独完成，需要的时间比甲施工队少，若甲、乙两个施工队合作，多少个月可以完成？ 【易错巩固2】一批物资，甲乙合作8小时可以搬完。实际搬运时：甲先单独搬3小时，乙再加入一起搬6小时，最后还剩没搬。已知甲每小时比乙少搬10件，求这批物资一共有多少件？ 【易错巩固3】沥青上面层的摊铺与碾压是高速公路路面修建的重要环节，现有一段高速公路沥青上面层的摊铺与碾压工作，甲队单机作业需要30天完成，乙队双机梯队作业需要18天完成，两队一起作业，12天能完成吗？ 【易错巩固4】一项工程，甲队单独做需要10天，乙队单独做需要12天，如果两队合作，需要多少天能完成整个工程的？ / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $