第二单元 混合运算和数量关系（三） 举一反三讲义（知识梳理+考点讲练+综合训练）数学苏教版六年级上册（新教材）

本讲义聚焦分数四则混合运算、分数乘法实际问题、估算解决问题及工程问题四大核心知识点，从运算顺序与运算律基础，到单位“1”识别及基本题型应用，再到估算策略与工程问题数量关系，构建由基础到应用的学习支架。 资料以“知识梳理-考点讲练-综合训练”系统设计，典例与变式结合，如分数乘法问题强化单位“1”抽象能力（数学眼光），工程问题通过数量关系培养推理意识（数学思维），估算场景贴近生活发展应用意识（数学语言），课中辅助教学，课后助力查漏补缺。

第二单元 混合运算和数量关系（三） 举一反三讲义 目录 知识梳理 1 一、分数四则混合运算 1 二、分数乘法实际问题（数量关系核心） 2 三、用估算解决实际问题 2 四、工程问题 3 考点讲练 3 考点一：分数四则混合运算 3 考点二：用估算解决实际问题 4 考点三：求一个量的几分之几的问题 7 考点四：求比一个数多（或少）几分之几的应用题 8 考点五：工程问题 10 综合训练 12 知识梳理 一、分数四则混合运算 1. 运算顺序 分数四则混合运算的运算顺序与整数四则混合运算完全相同： 同级运算（只有加减法或只有乘除法）：从左往右依次计算； 两级运算（既有加减法又有乘除法）：先算乘除法，后算加减法； 有括号的运算：先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。 2. 运算律的推广 整数加法、乘法的运算律对分数运算同样适用，合理运用运算律可以使计算简便： 加法交换律： 加法结合律： 乘法交换律： 乘法结合律： 乘法分配律：；逆用： 3. 计算注意事项 分数乘除法计算时，能约分的先约分再计算，简化过程； 计算结果要化成最简分数； 除法可以转化为乘除数的倒数，统一为乘法后再简便计算。 二、分数乘法实际问题（数量关系核心） 1. 解题关键：找准单位 “1” 一般 “的几分之几” 前面的量是单位 “1”； “比谁多 / 少几分之几” 中，“比” 后面的量是单位 “1”； 单位 “1” 的量已知时，用乘法计算对应量。 2. 基本题型 1：求一个数的几分之几是多少 核心数量关系： 例：已知甲数是 20，求甲数的是多少，列式为 。 3. 基本题型 2：求比一个数多（或少）几分之几的数是多少 求比单位 “1” 多几分之几的量： 数量关系 1： 数量关系 2： 求比单位 “1” 少几分之几的量： 数量关系 1： 数量关系 2： 三、用估算解决实际问题 1. 适用场景 不需要精确计算结果，只需要判断 “够不够”“多不多”“能不能” 等问题时，可以用估算快速得出结论。 2. 估算策略 往大估（估多）：判断 “带的钱够不够” 时，把单价、数量往大了估。如果估大后的总花费仍小于带的钱数，说明实际钱一定够。 往小估（估少）：判断 “能不能完成任务” 时，把效率、速度往小了估。如果估小后的总量仍能超过任务量，说明实际一定能完成。 分数估算时，可以将分数估成接近的简单分数（如、、）或小数，快速比较大小。 四、工程问题 1. 解题核心 把工作总量（总工程、总任务）看作单位 “1”，用单位时间内完成的工作量占总量的几分之一表示工作效率。 2. 基本数量关系 工作效率 × 工作时间 = 工作总量 工作总量 ÷ 工作时间 = 工作效率 工作总量 ÷ 工作效率 = 工作时间 3. 合作问题公式 合作工作效率 = 各队工作效率之和 合作完成时间 = 工作总量 ÷ 合作工作效率 考点讲练 考点一：分数四则混合运算 【典例精讲】 计算： 【分析】 本题考查分数四则混合运算的简便计算。观察算式发现，括号内的两个分数的分母都能和 24 约分，因此可以运用乘法分配律，将括号内的两个数分别与 24 相乘，再相加，比先算括号内的加法更简便。 【详解】 【答案】 【变式训练 1】 计算： 【分析】 本题考查乘法分配律的逆运用。算式中两个乘法项都有相同的因数，可以提取公因数，将剩下的 7 和 11 相加后再乘，简化计算。 【详解】 【答案】 【变式训练 2】 计算： 【分析】 本题考查含中括号的分数四则混合运算。运算顺序是：先算小括号内的加法，再算中括号内的乘法，最后算括号外的除法。计算除法时，转化为乘除数的倒数计算。 【详解】 【答案】 【变式训练 3】 计算： 【分析】 本题考查分数两级混合运算，运算顺序是先算乘除法，后算减法。乘除法同时出现时，可以同步计算，最后再算减法。 【详解】 【答案】 考点二：用估算解决实际问题 【典例精讲】 妈妈带 100 元去超市购物，买食用油用去总钱数的，买水果用去总钱数的。剩下的钱够买一盒 35 元的牛奶吗？请用估算的方法解答。 【分析】 要判断剩下的钱够不够，可以先估算用去的钱占总钱数的分率，再求出剩下的分率，估算剩下的钱数，最后和 35 元比较。估算时可以把分率转化为简单的小数或分数，快速计算。 【详解】 第一步：计算用去的总分率 ， 一共用去总钱数的： 第二步：计算剩下的分率 剩下的钱占总钱数的： 第三步：计算剩下的钱数 （元） 剩下的钱正好等于牛奶的价格，因此够买。 【答案】剩下的钱够买一盒 35 元的牛奶。 【变式训练 1】 一根绳子长 20 米，第一次剪去全长的，第二次剪去全长的。估一估，两次一共剪去的长度比 10 米多还是少？ 【分析】 先估算两次剪去的总分率，再估算总长度，和 10 米比较。可以将分数转化为小数估算，也可以和比较快速判断。 【详解】 方法一：小数估算 第一次剪去的分率： 第二次剪去的分率： 两次总分率： 两次一共剪去的长度约为：（米） 方法二：分数比较 ， 因此 20 米的大于 20 米的（10 米）。 【答案】两次一共剪去的长度比 10 米多。 【变式训练 2】 李叔叔录入一份 800 字的稿件，上午录入了总数的，下午录入了总数的。估一估，剩下的稿件有 300 字吗？ 【分析】 先估算已经录入的分率，求出剩下的分率，再估算剩下的字数，和 300 字比较。 【详解】 已经录入的总分率： 剩下的分率： 剩下的字数：（字） 【答案】剩下的稿件没有 300 字。 【变式训练 3】 一袋大米重 30 千克，第一周吃了总数的，第二周吃了总数的。估一估，剩下的大米比 20 千克多还是少？ 【分析】 先估算两周一共吃了总数的几分之几，再求出剩下的分率，估算剩下的重量，和 20 千克比较。 【详解】 两周一共吃的分率： ， 总分率约为： 剩下的分率约为： 剩下的大米约重：（千克） 【答案】剩下的大米比 20 千克少。 考点三：求一个量的几分之几的问题 【典例精讲】 学校体育室有篮球 60 个，足球的个数是篮球的。足球有多少个？ 【分析】 这是典型的 “求一个数的几分之几是多少” 的分数乘法应用题。单位 “1” 是篮球的个数，已知为 60 个，求足球个数就是求 60 的是多少，用乘法计算。 【详解】 数量关系：篮球个数 × = 足球个数 （个） 【答案】足球有 45 个。 【变式训练 1】 一根钢筋长 18 米，用去了它的，用去了多少米？ 【分析】 单位 “1” 是钢筋的总长度，已知为 18 米，求用去的长度就是求 18 米的是多少，用乘法计算。 【详解】 （米） 【答案】用去了 15 米。 【变式训练 2】 六年级共有学生 144 人，其中参加兴趣小组的人数占总人数的。参加兴趣小组的有多少人？ 【分析】 单位 “1” 是六年级总人数，已知为 144 人，求参加兴趣小组的人数就是求 144 的是多少，用乘法计算。 【详解】 （人） 【答案】参加兴趣小组的有 112 人。 【变式训练 3】 水果店运来草莓 90 千克，运来的蓝莓是草莓的，运来的树莓是蓝莓的。运来树莓多少千克？ 【分析】 本题是连续求一个数的几分之几的问题。先以草莓的质量为单位 “1”，求出蓝莓的质量；再以蓝莓的质量为单位 “1”，求出树莓的质量。 【详解】 第一步：求蓝莓的质量 （千克） 第二步：求树莓的质量 （千克） 综合算式： （千克） 【答案】运来树莓 45 千克。 考点四：求比一个数多（或少）几分之几的应用题 【典例精讲】 某电器厂九月份生产电视机 2000 台，十月份的产量比九月份增加了。十月份生产电视机多少台？ 【分析】 单位 “1” 是九月份的产量，已知为 2000 台。十月份比九月份增加，说明十月份的产量是九月份的。可以先算增加的台数，再加九月份的产量；也可以先算十月份产量对应的分率，再乘单位 “1” 的量。 【详解】 方法一：先求增加的产量，再求十月份总产量 增加的台数：（台） 十月份产量：（台） 方法二：先求十月份产量的对应分率，再计算 十月份是九月份的： 十月份产量：（台） 【答案】十月份生产电视机 2400 台。 【变式训练 1】 一件衬衫原价 120 元，现在降价销售。这件衬衫现价多少元？ 【分析】 单位 “1” 是衬衫的原价，已知为 120 元。降价说明现价比原价少，现价是原价的。 【详解】 方法一：先求降价的钱数，再求现价 降价：（元） 现价：（元） 方法二：先求现价对应的分率，再计算 现价是原价的： 现价：（元） 【答案】这件衬衫现价 100 元。 【变式训练 2】 养殖场有鸡 360 只，鸭的只数比鸡少。鸭有多少只？ 【分析】 单位 “1” 是鸡的只数，已知为 360 只。鸭比鸡少，鸭的只数是鸡的，用乘法计算。 【详解】 鸭是鸡的： 鸭的只数：（只） 【答案】鸭有 280 只。 【变式训练 3】 超市运来白菜 240 千克，运来的萝卜比白菜多，运来的土豆比萝卜少。运来土豆多少千克？ 【分析】 本题是连续的 “比多比少” 分数应用题。先以白菜质量为单位 “1”，求出萝卜的质量；再以萝卜质量为单位 “1”，求出土豆的质量。 【详解】 第一步：求萝卜的质量 萝卜比白菜多，萝卜是白菜的： 萝卜质量：（千克） 第二步：求土豆的质量 土豆比萝卜少，土豆是萝卜的： 土豆质量：（千克） 综合算式： （千克） 【答案】运来土豆 200 千克。 考点五：工程问题 【典例精讲】 一项工程，甲队单独做需要 8 天完成，乙队单独做需要 12 天完成。如果两队合作，多少天可以完成这项工程？ 【分析】 工程问题的核心是把工作总量看作单位 “1”。甲队单独做 8 天完成，每天完成总量的（甲的工作效率）；乙队单独做 12 天完成，每天完成总量的（乙的工作效率）。两队合作的效率是两队效率之和，再根据 “工作时间 = 工作总量 ÷ 工作效率” 求出合作时间。 【详解】 甲队工作效率： 乙队工作效率： 两队合作效率： 合作完成时间： （天） 【答案】天（或 4.8 天）可以完成。 【变式训练 1】 加工一批零件，师傅单独加工需要 10 小时完成，徒弟单独加工需要 15 小时完成。师徒两人合作加工，需要多少小时完成？ 【分析】 把这批零件的总数看作单位 “1”，分别求出师傅和徒弟的工作效率，再求出合作效率，最后用工作总量除以合作效率得到合作时间。 【详解】 师傅效率： 徒弟效率： 合作效率： 合作时间： （小时） 【答案】需要 6 小时完成。 【变式训练 2】 修一条公路，甲队单独修要 20 天完成，乙队单独修要 30 天完成。两队合修了 6 天，还剩几分之几没有修？ 【分析】 先求出两队的合作效率，再计算 6 天完成的工作量，最后用总工作量 “1” 减去已经完成的，得到剩下的分率。 【详解】 甲队效率： 乙队效率： 合作效率： 6 天完成的工作量： 剩下的工作量： 【答案】还剩没有修。 【变式训练 3】 整理一批图书，小明单独整理需要 6 小时完成，小红单独整理需要 9 小时完成。小明先整理了 2 小时，剩下的由两人合作整理，还需要多少小时才能整理完？ 【分析】 先算出小明 2 小时完成的工作量，用总工作量减去已完成的，得到剩下的工作量；再用剩下的工作量除以两人的合作效率，得到还需要的时间。 【详解】 小明的效率： 小红的效率： 小明 2 小时完成的工作量： 剩下的工作量： 两人合作效率： 还需要的时间： （小时） 【答案】还需要小时（或 2.4 小时）才能整理完。 综合训练 1．一桶牛奶有3L，倒出后，又倒进L，这时桶里的牛奶，与原来比（    ）。 A．比原来少 B．比原来多 C．与原来相同 D．无法判断 【答案】A 【分析】解题关键是区分两个“”的不同含义：第一个“”没有单位，表示分率，即原来牛奶总量的；第二个“L”有单位，表示具体数量。先计算出倒出后剩下的牛奶量，再计算倒进后的牛奶量，最后与原来牛奶量进行比较即可。 【详解】把原来牛奶的量看作单位“1”。 倒出后剩下的牛奶量： 又倒进L后，这时桶里的牛奶量： 因为，所以这时桶里的牛奶比原来少。 2．两根4米的钢材，甲先截去它的，再截去米，乙先截去米，再截去剩下的，甲乙相比，（    ）。 A．一样长 B．甲短米 C．甲短米 D．甲长米 【答案】C 【分析】把甲钢管的长度看作单位“1”，截去它的，还剩（1－）。根据求一个数的几分之几是多少。用4乘（1－）算出这时剩下多少米。再减去米即可。 用4米减去米，算出乙钢管剩下的多少米。再把乙钢管剩下的米数看作单位“1”。截去剩下的，还剩（1－）。用（4－）乘（1－）即可。 再将甲、乙剩下的长度比较，然后再相减。最后对照选项选择即可。 【详解】（米） （米） （米） （米） ，，所以甲剩下的比乙剩下的短。 相差的长度为：（米），即甲比乙短米。 3．王叔叔在鱼塘里放养了160尾鲫鱼，放养的鳊鱼比鲫鱼多。王叔叔放养的鳊鱼比鲫鱼多（    ）尾。 A．30 B．60 C．70 D．90 【答案】B 【分析】把鲫鱼的数量看作单位“1”，鳊鱼比鲫鱼多的部分占鲫鱼的，求鳊鱼比鲫鱼多多少尾，即求 160 的是多少，求比一个数多几分之几的数是多少，用乘法计算。 【详解】160×＝60（尾） 4．一项工程，甲工程队单独修需要8天完成，乙工程队单独修需要10天完成。甲、乙两工程队合修，要完成这项工程的，需要（    ）天。 A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】把工作总量看作单位“1”，利用工作总量÷工作时间＝工作效率，完成的工作总量÷合作的工作效率＝工作时间，据此解答。 【详解】甲队工作效率：1÷8 乙队工作效率：1 ） ＝ ＝4（天） 甲、乙两工程队合修，要完成这项工程的，需要4天。 5．小明看一本120页的书，第一天看了全书的，第二天看了剩下部分的，第三天应从第（    ）页看起。 A．73 B．72 C．49 D．48 【答案】A 【分析】把这本书的页数看作单位“1”，第一天看了全书的，则还剩下全书的，根据分数乘法的意义，第二天看了全书的。根据分数乘法的意义，用这本书的页数页乘第一天和第二天看的分率之和就是两天看的页数，再加1页就是第三天开始看的页数。 【详解】 （页） 第三天应从第73页看起。 故答案为：A 6．某工厂食堂有一堆煤重吨，如果用去，还剩( )吨；如果用去吨，还剩( )吨。 【答案】 【分析】根据分数的意义，这堆煤看作单位“1”，用去，那么剩下的占总重量的（1－），根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，用×（1－）即可求出剩余煤的重量；如果用去吨，求还剩余煤的重量，根据减法的意义，用总重量减去用去的重量，即可求出。 【详解】如果用去，剩余煤的重量： ×（1－） ＝× ＝（吨） 如果用去吨，剩余煤的重量： － ＝－ ＝（吨） 7．利用数字3、3、7、7玩游戏（凑“24”）。综合算式是( )。 【答案】（3÷7＋3）×7＝24 【分析】若最后一个运算为乘7，则括号内的数应为24÷7＝。将拆分为3＋，其中可由3÷7得到，从而构造出综合算式。 【详解】7×＝24 ＝＝3＋＝3＋3÷7 所以综合算式是。 8．一套精装《红楼梦》原价若干元，如果每套降价8元出售，销量就增加，收入增加，一套精装《红楼梦》原价( )元。 【答案】200 【分析】根据题意（一套精装《红楼梦》原价－8元）×精装《红楼梦》销量×（1＋）＝一套精装《红楼梦》原价×精装《红楼梦》销量×（1＋），等量关系两边同时除以一套精装《红楼梦》销量，整理可得，（一套精装《红楼梦》原价－8元）×（1＋）＝一套精装《红楼梦》原价×（1＋），设一套精装《红楼梦》原价x元，据此列方程解答。 【详解】解：设一套精装《红楼梦》原价x元。 （x－8）×（1＋）＝（1＋）x （x－8）×＝x x－8×＝x x－10＝x x－10－x＋10＝x－x＋10 x＝10 x÷＝10÷ x＝10×20 x＝200 9．小明骑自行车从家出发去外婆家，前的路程每时行15千米，中间的路程每时行12千米，后的路程每时行10千米，小明全程的平均速度是( )千米/时。 【答案】12 【分析】把整段路程看作单位“1”，先用每段路程除以速度求出每段需要的时间，然后再用两地的距离除以总时间就是平均速度。 【详解】（小时） （小时） （小时） ＝ ＝1÷ ＝ ＝ ＝12（千米/时） 小明全程的平均速度是12千米/时。 10．小明为了增强体质，选择骑自行车锻炼。某天他在一段安全的路上骑行，当他骑行了这段路的时，发现距离这段路的中点刚好3km，这段路长( )km。 【答案】10 【分析】这段路的中点是这段路的，用减求出3千米是这段路的几分之几，最后用3除以所占的分率即可解答此题。 【详解】3÷（－） ＝3÷ ＝10（千米） 11．吨是吨的( )；( )千米的是千米，25立方分米比( )立方分米多。 【答案】 15 【分析】把吨看作单位“1”，求一个数是单位“1”的几分之几，用除法。 把括号里的千米数看作单位“1”，单位“1”未知，用对应量除以对应分率。 把括号里的立方分米数看作单位“1”，25对应的分率是（1＋），单位“1”未知用除法。 【详解】÷ ＝× ＝ ÷ ＝× ＝（千米） 25÷（1＋） ＝25÷ ＝25× ＝15（立方分米） 12．养殖场养鸡300只，养的鸭比鸡少，养的鹅比鸭多40只，鸭有( )只，鹅有( )只。 【答案】 200 240 【分析】把养鸡的只数看作单位“1”，则鸭的只数是鸡的（1），根据分数乘法的意义，即可计算出鸭有多少只。 用鸭的只数加上40只，即可计算出鹅有多少只。 【详解】鸭： ＝300 ＝200（只） 鹅：200＋40＝240（只） 13．有三筐同样重的苹果，王叔叔从这三筐苹果中都取出了一部分，称一称后，他发现从这三筐中一共取出了50千克苹果。同时，他还发现甲筐中取出的与乙筐中剩下的苹果同样重，丙筐取出的是该筐苹果的，原来每筐苹果重( )千克。 【答案】40 【分析】已知三筐苹果原本重量相同，设原来每筐苹果重x千克。丙筐取出的重量是x千克。因为甲筐中取出重量等于乙筐中剩下的重量，所以二者之和正好等于原来每筐苹果重量即x千克，根据等量关系：甲筐取出重量＋乙筐取出重量＋丙筐取出重量＝50千克，列方程解答。 【详解】解：设原来每筐苹果重x千克。 x＋x＝50 x＝50 x＝50÷ x＝50× x＝40 原来每筐苹果重40千克。 14．直接写得数。                                                                【答案】；；；； ；；； 【解析】略 15．脱式计算，能简算的要简算。               【答案】；；； 1； 【分析】根据减法运算性质去小括号后，利用带符号搬家与加法结合律把同分母分数调整到一起进行加减； 先算小括号中的减法，再算括号外的减法； 根据减法运算性质，加括号先把后面两个数相加后，再用第一个数去减； 运用乘法交换律与乘法结合律调整乘数位置，使互为倒数的两个分数先乘； 利用带符号搬家、加法结合律以及减法的运算性质，把同分母分数调整到一起进行简便计算。 【详解】                                                             16．你见过土豪金的高铁吗？它的时速达到400千米，它是专门负责对高铁线路进行检修的“黄医生”，时速比普通高铁还快，普通高铁时速是多少？（列方程解决） 【答案】350千米/时 【分析】把普通高铁时速看作单位“1”，已知土豪金高铁时速比普通高铁快，则土豪金高铁时速是普通高铁的。根据等量关系：普通高铁时速土豪金高铁时速，设普通高铁时速为x千米/时，列方程解答。 【详解】解：设普通高铁时速是x千米/时。 答：普通高铁时速是350千米/时。 17．为庆祝中国代表队在巴黎奥运会取得辉煌的成绩，新区小学童声嘹亮合唱团积极排练。合唱团总人数为40人，其中男生人数相当于女生人数的，合唱团中男、女生各有多少人？ 【答案】男生：15人；女生25人 【分析】设女生人数有x人，男生人数相当于女生人数的，把女生人数看作单位“1”，则男生人数有x人，女生人数＋男生人数＝40人，列方程：x＋x＝40，解方程，即可解答。 【详解】解：设女生人数有x人，则男生人数有x人 x＋x＝40 x＝40 x＝40÷ x＝40× x＝25 男生人数：25×＝15（人） 答：合唱团男生有15人，女生有25人。 18．妙想正在读一本科普书，第一天读120页，比第二天多读，第二天读了多少页？ (1)画图表示题中的数量关系。 (2)列方程解答。 (3)妙想还是一个特别爱思考的学生，她发现“分数”与“比”存在着联系，你知道第一天与第二天读的页数比是多少吗？ 【答案】(1) (2)90页 (3)4∶3 【分析】（1）画一条线段表示第二天读的页数，再画一条线段比第二天的线段长，表示第一天读的页数。 （2）设第二天读了x页，则：第二天读的页数＋第一天比第二天多读的页数＝第一天读的页数，据此列方程解方程即可解答。 （3）根据比的意义写出比并化简比即可解答本题。 【详解】（1）略 （2）解：设第二天读了x页。 x＋x＝120 x＝120 x÷＝120÷ x＝120× x＝90 答：第二天读了90页。 （3）120∶90＝（120÷30）∶（90÷30）＝4∶3 答：第一天与第二天读的页数比是4∶3。 19．修一段900米长的公路，甲工程队单独修需要10天完成，乙工程队单独修需要15天完成。为赶工期，现在两个工程队合作，几天能修完这段公路？ 【答案】6天 【分析】甲工程队的工作效率是，乙工程队的工作效率是，用工作总量“1”除以他们的工作效率之和即可解答此题。 【详解】1÷（＋） ＝1÷ ＝1×6 ＝6（天） 答：6天能修完这段公路。 20．修一条路，甲工程队单独修，5天修完全长的，乙工程队单独修，4天修完全长的，照这样计算，如果甲乙两队合修此路，多少天修完这条路的？ 【答案】5天 【分析】把这条路的长度看作单位“1”，根据工作总量÷工作时间＝工作效率，据此可知甲队的工作效率为，乙队的工作效率为，再根据工作总量÷工作效率之和＝工作时间，即用除以甲、乙的工作效率之和即可求解。 【详解】甲队的工作效率是：， 乙队的工作效率是：， ＝ ＝5（天） 答：5天修完这条路的。 21．某地遭遇洪水，水库水位已经超过警戒线，急需泄洪。这个水库有两个泄洪口，只打开A口，4小时可以完成任务；只打开B口，6小时可以完成任务。若两个泄洪口同时打开，几小时可以完成任务？ 【答案】2.4小时 【分析】把泄洪的工作总量看作单位“1”，根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”，分别求出 A 口、B 口各自的工作效率，将 A 口、B 口的工作效率相加即是合作工作效率；然后根据“工作时间＝工作总量÷合作工作效率”，求出两个泄洪口同时打开完成任务的时间。 【详解】 ＝2.4（小时） 答：2.4小时可以完成任务。 22．2025年4月23日是第30个世界读书日。淘气决定再读一遍《三国演义》，第一周他读了全书的，第二周读了170页，这时已读的页数与剩下页数的比是5∶3。请问还剩多少页没有读？ 【答案】150页 【分析】把这本书的总页数看作单位“1”，第一周读了全书的，第二周读了170页，两周共读了全书的，170页所对应的分率正好是全书（－），根据分数除法的意义，用170页除以对应分率（－）即可求出这本书的总页数，还剩这本书的，再根据一个数乘分数的意义用乘法计算即可得解。 【详解】170÷（－）× ＝170÷（－）× ＝170÷（－）× ＝170÷× ＝170×× ＝400× ＝150（页） 答：还剩150页没读。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二单元 混合运算和数量关系（三） 举一反三讲义 目录 知识梳理 1 一、分数四则混合运算 1 二、分数乘法实际问题（数量关系核心） 2 三、用估算解决实际问题 2 四、工程问题 3 考点讲练 3 考点一：分数四则混合运算 3 考点二：用估算解决实际问题 4 考点三：求一个量的几分之几的问题 5 考点四：求比一个数多（或少）几分之几的应用题 6 考点五：工程问题 7 综合训练 8 知识梳理 一、分数四则混合运算 1. 运算顺序 分数四则混合运算的运算顺序与整数四则混合运算完全相同： 同级运算（只有加减法或只有乘除法）：从左往右依次计算； 两级运算（既有加减法又有乘除法）：先算乘除法，后算加减法； 有括号的运算：先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。 2. 运算律的推广 整数加法、乘法的运算律对分数运算同样适用，合理运用运算律可以使计算简便： 加法交换律： 加法结合律： 乘法交换律： 乘法结合律： 乘法分配律：；逆用： 3. 计算注意事项 分数乘除法计算时，能约分的先约分再计算，简化过程； 计算结果要化成最简分数； 除法可以转化为乘除数的倒数，统一为乘法后再简便计算。 二、分数乘法实际问题（数量关系核心） 1. 解题关键：找准单位 “1” 一般 “的几分之几” 前面的量是单位 “1”； “比谁多 / 少几分之几” 中，“比” 后面的量是单位 “1”； 单位 “1” 的量已知时，用乘法计算对应量。 2. 基本题型 1：求一个数的几分之几是多少 核心数量关系： 例：已知甲数是 20，求甲数的是多少，列式为 。 3. 基本题型 2：求比一个数多（或少）几分之几的数是多少 求比单位 “1” 多几分之几的量： 数量关系 1： 数量关系 2： 求比单位 “1” 少几分之几的量： 数量关系 1： 数量关系 2： 三、用估算解决实际问题 1. 适用场景 不需要精确计算结果，只需要判断 “够不够”“多不多”“能不能” 等问题时，可以用估算快速得出结论。 2. 估算策略 往大估（估多）：判断 “带的钱够不够” 时，把单价、数量往大了估。如果估大后的总花费仍小于带的钱数，说明实际钱一定够。 往小估（估少）：判断 “能不能完成任务” 时，把效率、速度往小了估。如果估小后的总量仍能超过任务量，说明实际一定能完成。 分数估算时，可以将分数估成接近的简单分数（如、、）或小数，快速比较大小。 四、工程问题 1. 解题核心 把工作总量（总工程、总任务）看作单位 “1”，用单位时间内完成的工作量占总量的几分之一表示工作效率。 2. 基本数量关系 工作效率 × 工作时间 = 工作总量 工作总量 ÷ 工作时间 = 工作效率 工作总量 ÷ 工作效率 = 工作时间 3. 合作问题公式 合作工作效率 = 各队工作效率之和 合作完成时间 = 工作总量 ÷ 合作工作效率 考点讲练 考点一：分数四则混合运算 【典例精讲】 计算： 【变式训练 1】 计算： 【变式训练 2】 计算： 【变式训练 3】 计算： 考点二：用估算解决实际问题 【典例精讲】 妈妈带 100 元去超市购物，买食用油用去总钱数的，买水果用去总钱数的。剩下的钱够买一盒 35 元的牛奶吗？请用估算的方法解答。 【变式训练 1】 一根绳子长 20 米，第一次剪去全长的，第二次剪去全长的。估一估，两次一共剪去的长度比 10 米多还是少？ 【变式训练 2】 李叔叔录入一份 800 字的稿件，上午录入了总数的，下午录入了总数的。估一估，剩下的稿件有 300 字吗？ 【变式训练 3】 一袋大米重 30 千克，第一周吃了总数的，第二周吃了总数的。估一估，剩下的大米比 20 千克多还是少？ 【分析】 考点三：求一个量的几分之几的问题 【典例精讲】 学校体育室有篮球 60 个，足球的个数是篮球的。足球有多少个？ 【变式训练 1】 一根钢筋长 18 米，用去了它的，用去了多少米？ 【变式训练 2】 六年级共有学生 144 人，其中参加兴趣小组的人数占总人数的。参加兴趣小组的有多少人？ 【变式训练 3】 水果店运来草莓 90 千克，运来的蓝莓是草莓的，运来的树莓是蓝莓的。运来树莓多少千克？ 考点四：求比一个数多（或少）几分之几的应用题 【典例精讲】 某电器厂九月份生产电视机 2000 台，十月份的产量比九月份增加了。十月份生产电视机多少台？ 【变式训练 1】 一件衬衫原价 120 元，现在降价销售。这件衬衫现价多少元？ 【变式训练 2】 养殖场有鸡 360 只，鸭的只数比鸡少。鸭有多少只？ 【变式训练 3】 超市运来白菜 240 千克，运来的萝卜比白菜多，运来的土豆比萝卜少。运来土豆多少千克？ 考点五：工程问题 【典例精讲】 一项工程，甲队单独做需要 8 天完成，乙队单独做需要 12 天完成。如果两队合作，多少天可以完成这项工程？ 【变式训练 1】 加工一批零件，师傅单独加工需要 10 小时完成，徒弟单独加工需要 15 小时完成。师徒两人合作加工，需要多少小时完成？ 【变式训练 2】 修一条公路，甲队单独修要 20 天完成，乙队单独修要 30 天完成。两队合修了 6 天，还剩几分之几没有修？ 【变式训练 3】 整理一批图书，小明单独整理需要 6 小时完成，小红单独整理需要 9 小时完成。小明先整理了 2 小时，剩下的由两人合作整理，还需要多少小时才能整理完？ 综合训练 1．一桶牛奶有3L，倒出后，又倒进L，这时桶里的牛奶，与原来比（    ）。 A．比原来少 B．比原来多 C．与原来相同 D．无法判断 2．两根4米的钢材，甲先截去它的，再截去米，乙先截去米，再截去剩下的，甲乙相比，（    ）。 A．一样长 B．甲短米 C．甲短米 D．甲长米 3．王叔叔在鱼塘里放养了160尾鲫鱼，放养的鳊鱼比鲫鱼多。王叔叔放养的鳊鱼比鲫鱼多（    ）尾。 A．30 B．60 C．70 D．90 4．一项工程，甲工程队单独修需要8天完成，乙工程队单独修需要10天完成。甲、乙两工程队合修，要完成这项工程的，需要（    ）天。 A．2 B．4 C．5 D．6 5．小明看一本120页的书，第一天看了全书的，第二天看了剩下部分的，第三天应从第（    ）页看起。 A．73 B．72 C．49 D．48 6．某工厂食堂有一堆煤重吨，如果用去，还剩( )吨；如果用去吨，还剩( )吨。 7．利用数字3、3、7、7玩游戏（凑“24”）。综合算式是( )。 8．一套精装《红楼梦》原价若干元，如果每套降价8元出售，销量就增加，收入增加，一套精装《红楼梦》原价( )元。 9．小明骑自行车从家出发去外婆家，前的路程每时行15千米，中间的路程每时行12千米，后的路程每时行10千米，小明全程的平均速度是( )千米/时。 10．小明为了增强体质，选择骑自行车锻炼。某天他在一段安全的路上骑行，当他骑行了这段路的时，发现距离这段路的中点刚好3km，这段路长( )km。 11．吨是吨的( )；( )千米的是千米，25立方分米比( )立方分米多。 12．养殖场养鸡300只，养的鸭比鸡少，养的鹅比鸭多40只，鸭有( )只，鹅有( )只。 13．有三筐同样重的苹果，王叔叔从这三筐苹果中都取出了一部分，称一称后，他发现从这三筐中一共取出了50千克苹果。同时，他还发现甲筐中取出的与乙筐中剩下的苹果同样重，丙筐取出的是该筐苹果的，原来每筐苹果重( )千克。 14．直接写得数。                                                                15．脱式计算，能简算的要简算。               16．你见过土豪金的高铁吗？它的时速达到400千米，它是专门负责对高铁线路进行检修的“黄医生”，时速比普通高铁还快，普通高铁时速是多少？（列方程解决） 17．为庆祝中国代表队在巴黎奥运会取得辉煌的成绩，新区小学童声嘹亮合唱团积极排练。合唱团总人数为40人，其中男生人数相当于女生人数的，合唱团中男、女生各有多少人？ 18．妙想正在读一本科普书，第一天读120页，比第二天多读，第二天读了多少页？ (1)画图表示题中的数量关系。 (2)列方程解答。 (3)妙想还是一个特别爱思考的学生，她发现“分数”与“比”存在着联系，你知道第一天与第二天读的页数比是多少吗？ 19．修一段900米长的公路，甲工程队单独修需要10天完成，乙工程队单独修需要15天完成。为赶工期，现在两个工程队合作，几天能修完这段公路？ 20．修一条路，甲工程队单独修，5天修完全长的，乙工程队单独修，4天修完全长的，照这样计算，如果甲乙两队合修此路，多少天修完这条路的？ 21．某地遭遇洪水，水库水位已经超过警戒线，急需泄洪。这个水库有两个泄洪口，只打开A口，4小时可以完成任务；只打开B口，6小时可以完成任务。若两个泄洪口同时打开，几小时可以完成任务？ 22．2025年4月23日是第30个世界读书日。淘气决定再读一遍《三国演义》，第一周他读了全书的，第二周读了170页，这时已读的页数与剩下页数的比是5∶3。请问还剩多少页没有读？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $