1.1 《探索勾股定理》课堂分层训练 2026-2027学年 北师大版八年级上册数学

**基本信息** 聚焦勾股定理，通过基础夯实、能力提升、综合应用三层设计，实现从概念理解到综合应用的进阶，培养抽象能力、推理意识与几何直观。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础夯实|勾股定理概念、赵爽弦图识别、简单计算与证明辨析|结合历史情境（赵爽弦图），以选择、填空、基础证明题为主，巩固核心概念，培养几何直观| |能力提升|赵爽弦图综合计算、面积法证明变式、公式推导应用|通过图形面积关系构建等量关系，设置多步骤计算题与证明题，发展推理意识与运算能力| |综合应用|拼图验证、跨情境公式推导与实际问题解决|多图形组合验证定理，融入过程性证明与探究题，提升创新意识与综合应用能力|

1.1 《探索勾股定理》课堂分层训练 一、基础夯实 1．我国汉代的赵爽在注释《周髀算经》时给出了勾股定理的无字证明，人们称它为“赵爽弦图”，“赵爽弦图”指的是（　　） A． B． C． D． 2．如图所示，一棵大树在离地面米处断裂，断裂后树的顶部落在离底部米处．这棵大树在折断之前是　 　米． 3．在学习勾股定理时，小明利用如图验证了勾股定理.若图中，，则阴影部分直角三角形的面积为（　　） A．5 B．25 C． D． 4．勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中不能证明勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 5．利用图1或图2两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为　 　，该定理的结论其数学表达式是　 　． 6．人们很早就发现直角三角形的三边满足的关系，我国汉代“赵爽弦图”（如图）就巧妙的利用图形面积证明了这一关系．下列几何图形中，可以正确的解释直角三角形三边这一关系的图有　 　．（直接填写图序号） 7．做4个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a，b，斜边为c，再做一个边长为c的正方形，把它们按如图的方式拼成正方形，请用这个图证明勾股定理． 8．如图，用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，直角边的长分别为a和b，斜边长为c.可选取若干直角三角形纸板拼图，并根据拼图验证勾股定理. 请画出一种示意图并写出验证过程. 二、能力提升 9．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．若图中的直角三角形的一条直角边长为5，大正方形的边长为13，则中间小正方形的面积是（　　） A．144 B．49 C．64 D．25 10．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为则小正方形的边长为（　　） A． B． C． D． 11．如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在 中， ， ， ，若图中大正方形的面积为48，小正方形的面积为6，则 的值为（　　） A．60 B．79 C．84 D．90 12．历史上对勾股定理的一种证法采用了下列图形：其中两个全等的直角三角形边AE、EB在一条直线上．证明中用到的面积相等关系是（　　） A．S△EDA=S△CEB B．S△EDA+S△CEB=S△CDB C．S四边形CDAE=S四边形CDEB D．S△EDA+S△CDE+S△CEB=S四边形ABCD 13．如图是“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形．如果AB=10，EF=2，那么AH等于　 　 14．阅读下面的材料 勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样，下面是教材中介绍的一种拼图证明勾股定理的方法．先做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a，b，斜边为c，然后按图1的方法将它们摆成正方形． 由图1可以得到（a+b）2=4×ab+c2， 整理，得a2+2ab+b2=2ab+c2． 所以a2+b2=c2． 如果把图1中的四个全等的直角三角形摆成图2所示的正方形，请 你参照上述证明勾股定理的方法，完成下面的填空： 由图2可以得到　 　 整理，得　 　 ， 所以　 　 15．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现；当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程： 将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2 证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF， 则DF=EC=b﹣a． ∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=b2+ab． 又∵S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=c2+a（b﹣a） ∴b2+ab=c2+a（b﹣a） ∴a2+b2=c2 请参照上述证法，利用图2完成下面的证明： 将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB=90°． 求证：a2+b2=c2． 证明：连结　 　， ∵S多边形ACBED=　 　， 又∵S多边形ACBED=　 　， ∴　 　， ∴a2+b2=c2． 16．数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”类似的，我们可以用两种不同的方法来表示同一个图形的面积，从而得到一个等式． （1）如图，大正方形是由两个小正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成，请用两种不同的方法表示图中大正方形的面积． 方法：　 　；方法：　 　；根据以上信息，可以得到的等式是　 　； （2）如图，大正方形是由四个边长分别为的直角三角形（为斜边）和一个小正方形拼成，请用两种不同的方法分别表示小正方形的面积，并推导得到之间的数量关系； （3）在（）的条件下，若，求斜边的值． 三、综合应用 17．数形结合是数学学习的一种重要思想方法，我们学习平方差公式、完全平方公式等公式时，课本上用图形面积法验证了公式的正确性。观察下列4个全等的Rt△。 （1）用4个全等的Rt△拼成如图1所示的大正方形，大正方形的面积可以表示为 ，还可以表示为　 　，所以 　 　，将 展开整理后，可进一步的得到等式：　 　. （2）用4个全等的Rt△还可以拼成如图2所示的大正方形，请利用图2证明（1）中等式成立. （3）若已知Rt△中， ，利用你得到的等式求 的值. 18．我们运用图（Ⅰ）中大正方形的面积可表示为（a+b）2，也可表示为c3+4（ab），即（a+b）2=c2+4（ab）由此推导出一个重要的结论a2+b2=c2，这个重要的结论就是著名的“勾股定理”．这种根据图形可以极简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”． （1）请你用图（Ⅱ）的面积表达式验证勾股定理（其中四个直角三角形的较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c）． （2）请你用（Ⅲ）提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证：（x+2y）2=x2+4xy+4y2． 答案解析部分 1．【答案】C 【解析】【解答】解：四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”． 故答案为：A． 【分析】根据赵爽弦图的概念直接得出答案。 2．【答案】24 【解析】【解答】解：如图所示： 根据题意可知米，米， 根据勾股定理得． 解得AB=15（米） 所以树折断前有（米）． 故答案为：． 【分析】根据勾股定理可得AB，再根据边之间的关系即可求出答案. 3．【答案】D 【解析】【解答】根据勾股定理可得：c=， ∴阴影部分的面积=×c×c=， 故答案为：D. 【分析】先利用勾股定理求出c的值，再利用三角形的面积公式求解即可. 4．【答案】D 【解析】【解答】解： A、两个以a和b为直角边三角形面积与一个直角边为c的等腰直角三角形面积和等于上底为a，下第为b，高为(a+b)的梯形面积，故 ，整理得： ，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； B、以a与b为两直角边四个全等三角形面积与边长为c的小正方形面积和等于以a+b的和为边正方形面积，故 ，整理得： ，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； C、以a与（a+b）为两直角边四个全等三角形面积与边长为b的小正方形面积和等于以c为边正方形面积， ，整理得： ，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； D、四个小图形面积和等于大正方形面积， ，根据图形证明完全平方公式，不能证明勾股定理，故本选项符合题意； 故答案为：D． 【分析】先表示出各部分的面积，再判断即可。 5．【答案】勾股定理；c2=a2+b2 【解析】【解答】解：如图2，正方形的面积=（a+b）2， 用三角形的面积与边长为c的正方形的面积表示为4×ab+c2， 即（a+b）2=4×ab+c2化简得a2+b2=c2． 这个定理称为：勾股定理． 故答案为：勾股定理，a2+b2=c2 【分析】根据边长为a+b正方形的面积=四个直角三角形的面积+边长为c的正方形的面积，可求出a2+b2=c2． 6．【答案】③④ 【解析】【解答】解：①长方形的面积：， ②， ③， 整理，得， ④， 整理，得， 故答案为：③④． 【分析】根据勾股定理的证明方法求解。分别求出①②③④的面积，化简比较即可得． 7．【答案】证明：如图， ， ， ， ∵ ，即 ∴ ， ∴ ． 【解析】【分析】对图形进行点标注，根据全等三角形的性质可得AE=BF=CG=DH=a，AH=DG=CF=BE=b，HE=EF=FG=GH=c，根据面积间的和差关系可得S正方形ABCD=4S△AEB+S正方形EFGH，然后结合正方形、三角形的面积公式进行证明. 8．【答案】解：拼图如下： 由图形可得，大正方形的边长为，面积为. 四个直角三角形的面积为：. 小正方形的边长为c，面积为. 由题意可得：. 化简可得. （方法不唯一，合理即可） 【解析】【分析】拼成一个边长为（a+b）的正方形，根据正方形的面积=边长的×边长=边长为c的小正方形的面积+四个全等的直角三角形的面积，建立等式，整理即可. 9．【答案】B 【解析】【解答】解：根据勾股定理得：直角三角形的另一个直角边==12， ∴ 小正方形的边长=12-5=7， ∴ 中间小正方形的面积=72=49. 故答案为：49. 【分析】根据勾股定理求出直角三角形的另一个直角边推出小正方形的边长，即可求得小正方形的面积. 10．【答案】C 【解析】【解答】解：∵直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为， ∴小正方的边长a-b，a>b， ∵大正方的面积为129， ∴大正方形的面积=4×ab+（a-b)2=129， 解得：（a-b)2=81， ∵a>b， ∴a-b=9， 即小正方形的边长为9. 故答案为：C. 【分析】根据大正方形的面积=四个直角三角形的面积+小正方形的面积；由图可知小正方形的边长=a-b，则小正方形的面积为（a-b)2.即大正方形的面积=4×ab+（a-b)2=129，结合ab=24即可求解。 11．【答案】D 【解析】【解答】由图可知 ， ， ∴ ， ∴ . 故答案为：D. 【分析】根据图形表示出小正方形的边长为（b-a），可得（b-a）2=6，再根据四个直角三角形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积求出2ab，然后利用完全平方公式整理即可求解. 12．【答案】D 【解析】【解答】解：∵由S△EDA+S△CDE+S△CEB=S四边形ABCD． 可知 ab+ c2+ ab= （a+b）2， ∴c2+2ab=a2+2ab+b2，整理得a2+b2=c2， ∴证明中用到的面积相等关系是：S△EDA+S△CDE+S△CEB=S四边形ABCD． 故答案为：D 【分析】由图形的构成可知：直角三角形AED的面积+直角三角形BCE的面积+等腰直角三角形CED的面积=直角梯形ABCD的面积。 13．【答案】6 【解析】【解答】解：∵AB=10，EF=2， ∴大正方形的面积是100，小正方形的面积是4， ∴四个直角三角形面积和为100﹣4=96，设AE为a，DE为b，即4× ab=96， ∴2ab=96，a2+b2=100， ∴（a+b）2=a2+b2+2ab=100+96=196， ∴a+b=14， ∵a﹣b=2， 解得：a=8，b=6， ∴AE=8，DE=6， ∴AH=8﹣2=6． 故答案为：6． 【分析】根据面积的差得出a+b的值，再利用a﹣b=2，解得a，b的值代入即可． 14．【答案】4xab+(b-a)2=c2；2ab+b2﹣2ab+a2=c2；a2+b2=c2 【解析】【解答】 证明：∵S大正方形=c2，S大正方形=4S△+S小正方形=4×ab+（b﹣a）2， ∴c2=4×ab+（b﹣a）2， 整理，得 2ab+b2﹣2ab+a2=c2， ∴c2=a2+b2． 故答案是：4xab+(b-a)2=c2；2ab+b2﹣2ab+a2=c2；a2+b2=c2． 【分析】通过两个组合正方形的面积之间相等的关系即可证明勾股定理 15．【答案】BD，过点B作DE边上的高BF；S△ACB+S△ABE+S△ADE=ab+b2+ab；S△ACB+S△ABD+S△BDE=ab+c2+a（b﹣a）；ab+b2+ab=ab+c2+a（b﹣a） 【解析】【解答】证明：如图2，连结BD，过点B作DE边上的高BF ∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABE+S△ADE=ab+b2+ab 又∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE=ab+c2+a（b﹣a） ∴ab+b2+ab=ab+c2+a（b﹣a） ∴a2+b2=c2． 故答案为：BD，过点B作DE边上的高BF，S△ACB+S△ABE+S△ADE=ab+b2+ab，S△ACB+S△ABD+S△BDE=ab+c2+a（b﹣a）， ab+b2+ab=ab+c2+a（b﹣a）． 【分析】首先连结BD，过点B作DE边上的高BF，则BF=b﹣a，两种方法表示出S五边形ACBED，两者相等，整理即可得证． 16．【答案】（1）；； （2）解：方法：， 方法：， ∴， ∴； （3）解：把代入得， ， ∴． 【解析】【解答】解：（1）用方法一得到大正方形面积为： 用方法二得到大正方形面积为： 得到的等式为：， 故答案为：，，； 【分析】（1）从整体看得到大正方形的边长，进而得到其面积；然后从组成来看即可得到大正方形的面积为四部分面积之和，进而即可得到等式； （2）分别从整体看和从组成来看得到大正方形的面积的两种表示方法，整理后即可求解； （3）把相关数值代入（2）得到的等式即可求出c的值. 17．【答案】（1）；； （2）解：大正方形的面积可以表示为 ，还可以表示为 ∴ ∴ 成立. （3）解：把 代入 得： ∴ ∴ 【解析】【解答】解：（1）用4个全等的Rt△拼成如图1所示的大正方形，大正方形的面积可以表示为 ，还可以表示为 ，所以 ，将 展开整理后，可进一步的得到等式： 【分析】（1）根据大正方形的面积等于四个全等直角三角形的面积加上中间空白正方形的面积即可得解；（2）根据大正方形的面积等于四个全等直角三角形的面积加上中间空白正方形的面积即可得解；（3）将a，b的值代入得到的等式即可求解. 18．【答案】（1）解： S阴影=4×ab，S阴影=c2﹣（a﹣b）2， ∴4×ab=c2﹣（a﹣b）2，即2ab=c2﹣a2+2ab﹣b2， 则a2+b2=c2； （2）解： 如图所示， ​ 大正方形的面积为x2+4y2+4xy，也可以为（x+2y）2， 则（x+2y）2=x2+4xy+4y2． 【解析】【分析】（1）阴影部分面积由大正方形面积减去小正方形面积，也可以由四个直角三角形面积之和求出，两者相等即可得证； （2）拼成如图所示图形，根据大正方形边长为x+2y，表示出正方形面积，再由两个小正方形与两个矩形面积之和求出，即可验证． 1 学科网（北京）股份有限公司 $