1.1探索勾股定理分层作业2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 聚焦勾股定理分层设计，融合自动感应门、圆柱最短路径等生活情境与“生长”正方形等创新问题，强化几何直观与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|勾股数判定、直角三角形高、折叠问题|第5题“生长”正方形面积规律，体现创新意识| |填空题|5题|角平分线最值、正方形面积关系、长方体最长木棒|第9题角平分线与垂线段最短结合，培养推理能力| |解答题|5题|实际应用（感应门高度）、动点综合（角平分线与勾股定理）|第18题动点问题融合角平分线性质，强化数学思维|

1.1 探索勾股定理 分层作业 一、单选题 1．下列给出的四组数中，是勾股数的是（   ） A．2，3，4 B．3，4， C．，， D．，， 2．直角三角形的两条直角边的长分别为6，8，则其斜边上的高为（    ） A．6 B．8 C．12 D． 3．已知，中，，，，的平分线交于点，则的长度为（  ） A． B． C． D． 4．如图，分别以等腰直角的边，，为直径画半圆，若当时，则所得两个月形图案和的面积之和（图中阴影部分）为（    ） A．2 B．3 C． D． 5．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（   ） A．1 B．2026 C．2025 D．2024 6．如图，若圆柱的底面周长是14cm，高是48cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处，则这条丝线的最小长度是（    ） A．49cm B．50cm C．54cm D．64cm 7．如图，某自动感应门的正上方装着一个感应器A，离地距离，当人体进入感应范围内时，感应门就会自动打开，一个身高的学生刚走到离门间距的地方时，感应门自动打开，则该感应器感应长度为（   ）    A． B． C． D． 8．如图，在中，，分别以，为边作正方形．若，则正方形和正方形的面积和为（   ） A．64 B．36 C．12 D．6 二、填空题 9．如图，中，，，，平分．M、N分别是上的点，则的最小值是______． 10．如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为___________． 11．如图，是长为，宽为，高为的长方体纸箱，这个纸箱能容纳的木棒最长为______． 12．如图，阴影部分是两个正方形，其它部分是两个直角三角形和一个正方形，若右边的直角三角形中，，，则阴影部分的面积是______． 13．如图，在中，，，，以为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是______． 三、解答题 14．如图，某自动感应门的正上方处装着一个感应器，离地面的高度为2.5米，一名学生站在处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离为1.2米，头顶离感应器的距离为1.5米，求这名学生的身高为多少米？ 15．如图，在四边形中，，连接，，，以为边向外做正方形，求正方形的面积． 16．如图，在四边形中，，点在边上，连接． (1)求证：； (2)当，时，求的长． 17．如图，在中，，、、是的三边长． (1)已知，，求的值； (2)若，，求，的值． 18．【综合实践】如图，在Rt中，，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线运动，运动到点时停止．设点的运动时间为秒． 【尝试运用】 （1）求的长； （2）求斜边上的高； 【拓展运用】 （3）①当点在上时，求的长；（用含的代数式表示）②若点在的角平分线上，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《1.1 探索勾股定理 分层作业》参考答案 1．D 【分析】本题考查了勾股数的定义，准确理解其定义是解题的关键． 根据勾股数的定义，需满足三个正整数且满足（为最大数）． 【详解】解：A：，，不满足勾股数的定义，故该选项不合题意； B：三个数必须为正整数，不符合要求，故该选项不合题意； C：，，均为小数，非正整数，不满足勾股数的定义，故该选项不合题意； D：，，满足勾股数的定义，故该选项符合题意． 故选：D． 2．D 【分析】根据等面积法计算即可； 【详解】设斜边为c，斜边上的高为h， ∵直角三角形两条直角边的长分别为6，8， ∴， ∴， ∴； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，结合等面积法计算是解题的关键． 3．B 【分析】作，根据角平分线的性质定理可证，利用勾股定理求得AB后，用等面积法即可求得CD. 【详解】解：作，如图所示 在中，由勾股定理得： ， ∵是角平分线，，， ∴， 设cm， ， 即， 解得：，即cm， 故选：B. 【点睛】本题考查勾股定理，角平分线的性质定理.本题解题的关键是通过角平分线的性质定理得出，从而用等面积法求解. 4．A 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理得到，进而得到半圆面积即可得到答案． 【详解】解：是直角三角形， ， 以等腰的边，，为直径画半圆， 故，，， ， 两个月形图案和的面积之和的面积， 等腰，的长为， ， ， ， 故选：A． 5．B 【分析】此题考查了勾股定理，找出规律是解题的关键．根据题意可知“生长”1次后，所有正方形的面积和是；“生长”2次后，所有的正方形的面积和是；可求出“生长”2025次后形成图形中所有正方形的面积之和． 【详解】解：由勾股定理可知，“生长”1次，“生长”出的两个正方形面积和=原来正方形的面积，所有正方形面积和为； “生长”2次，“生长”出的四个正方形面积和=第一次“生长”出的两个正方形的面积，所有正方形的面积之和为； ……； ∴经过n次“生长”后形成的图形中所有正方形的面积和是； ∴经过2025次“生长”后形成的图形中所有正方形的面积和是2026； 故选：B． 6．B 【分析】要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据两点之间线段最短得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理． 【详解】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形ACBD， 则从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处，这条丝线的最小长度是长方形的对角线AB的长． ∵圆柱的底面周长是14cm，高是48cm， ∴AB2=142+482=196+2304=2500， ∴AB=50（cm）． 故选B． 【点睛】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，解题关键是把圆柱的侧面展开成矩形，化曲面为平面，用勾股定理解决． 7．C 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，过点D作于点H，分别根据题意求出的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】如图，过点D作于点H， 依题意得，，， ∴， ∴． 故选C．    8．B 【分析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，斜边长为，那么． 根据勾股定理、正方形的面积公式计算即可． 【详解】解：在中，， 由勾股定理得：， ∴正方形和正方形的面积和为 36 ， 故选：B． 9． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，垂线段最短，勾股定理等等，在上截取，连接，易证明，得到，则，故当三点共线，且时，最小， 即此时最小，最小值即为的长，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：在上截取，连接， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线，且时，最小， 即此时最小，最小值即为的长， ∴此时， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 10．5 【分析】本题考查了勾股定理、正方形的性质以及三角形面积，解题的关键是根据勾股定理得到． 由勾股定理得，再由正方形面积公式得，求出，即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：是以为斜边的直角三角形， ， ， ， ， 如图所示， ∴， ∵阴影部分的面积为，与正方形等底等高， 阴影部分的面积为， 故答案为：． 11．130 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理求出的长，再由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图， ， 在中，，，， ∴， 在中，，，， ∴， 即这个纸箱能容纳的木棒最长为， 故答案为：． 12．25 【分析】本题主要考查的是勾股定理、正方形的性质，掌握如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么是解题的关键．根据勾股定理求出，根据正方形的性质得到，根据勾股定理、正方形的面积公式计算即可． 【详解】解：由勾股定理得，， 四边形为正方形， ， 阴影部分的面积， 故答案为：25． 13．52 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用， 先根据勾股定理求出，再根据正方形的面积公式得出答案． 【详解】解：在中，， 根据勾股定理，得， 所以正方形的面积. 故答案为：52． 14．这名学生的身高为1.6米 【分析】本题考查了勾股定理的应用．过点D作于E，得到，米，由勾股定理得出，进而得到米，即可得出答案． 【详解】解：过点D作于E，如图所示： 则四边形是矩形， ∴，米， 在中，米， 由勾股定理得 （米）， ∴（米）， ∴米． 故这名学生的身高为1.6米． 15．正方形的面积为12.5． 【分析】本题考查的是勾股定理、正方形面积公式.熟记勾股定理是解题的关键． 由已知条件的和均为直角三角形，由两次勾股定理得出，得正方形面积． 【详解】解：∵，， 和均为直角三角形， ， ， ∴正方形的面积为12.5． 16．(1) ∵， ； (2)5 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）根据条件由即可证明全等； （2）根据全等三角形得到，再由勾股定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）∵， 17．(1) (2)， 【分析】本题考查了勾股定理； （1）直接利用勾股定理计算即可； （2）设，，然后利用勾股定理列式求出，进而可得答案． 【详解】（1）解：在中，； （2）∵， ∴设，， 在中，， ∴（负值已舍去）， ∴，． 18．（1）8（2）斜边上的高为（3）①② 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的性质和判定，列代数式，勾股定理在动点问题中的应用，数形结合并熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理求出的值， （2）设斜边高为h，由面积法可求得答案； （3）①根据P在上时，P的运动长度为可得； ②当点P在的角平分线上，过点P作，可证，再在中由勾股定理得到关于t的方程，进而可以求解． 【详解】解：（1）在中，，，， ∴， （2）设边上的高为h， 则， ∴， ∴，即斜边上的高为； （3）①当点P在上时，点P的运动长度为， ∴， 故答案为：； ②若点P在的角平分线上时，过点P作， 如图： ∵平分，，， ∴， 由①知：，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $