第一章 直线与圆 单元训练-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

北师大版（选择性必修第一册） 第一章 直线与圆 单元训练 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知两点，直线的斜率等于，那么的值为（    ） A． B．0 C．4 D．10 2．已知点，，若是直线l的方向向量，则直线l的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 3．直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 4．若圆C：x2+y2﹣4x﹣4y﹣10＝0上至少有三个不同的点到直线l：x﹣y+m＝0的距离为，则m的取值范围是（　　） A． B． C．[﹣2，2] D．（﹣2，2） 5．已知直线与动圆，下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．当时，若直线与圆相切，则 C．若存在一条直线与圆相交截得弦长为定值，则 D．当时，直线截圆的最短弦长为 6．已知抛物线：与圆：交于，，，四点.若轴，且线段恰为圆的一条直径，则点的横坐标为 A． B．3 C． D．6 7．若M、N为圆上任意两点，P为直线上一个动点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 8．已知圆D是以圆上任意一点为圆心，半径为1的圆，圆与圆D交于A，B两点，则当最大时，的面积为（    ） A．2 B． C． D．1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知直线与圆有两个交点，则实数的值可能是（    ） A． B．1 C． D．2 10．以下四个命题中为真命题的是（    ） A．圆关于直线对称的圆方程为 B．圆上有且仅有2个点到直线：的距离都等于1 C．曲线：与曲线：恰有三条公切线，则 D．已知圆：，点为直线上一动点，过点向圆引切线，为切点，则的最小值为1. 11．下列结论正确的是（    ） A．若、、三点共线，则的值为 B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C．直线：恒过定点 D．经过：和：的交点，且和原点相距为的直线只有一条 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知圆与圆，若圆关于一条直线对称的圆是圆，则 . 13．已知直线过点，且点到的距离为，则符合条件的直线的方程为 . 14．已知圆，是圆C上的两个动点，且，则线段AB的中点M的轨迹方程为 ，设则的最大值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知直线，，. (1)若这三条直线交于一点，求实数m的值； (2)若三条直线能构成三角形，求m满足的条件. 16．（1）若圆经过点，，，求这个圆的方程. （2）求与圆：同圆心，且与直线相切的圆的方程. 17．已知点、，若直线过点且总与线段有交点，求直线的斜率的取值范围． 18．已知圆经过，，三点. (1)求圆的方程. (2)若点满足直线斜率是直线斜率的2倍， （i）求证：点在定直线上； （ii），是直线上两个不同动点，且轴，记以，为圆心的圆半径分别为，，若圆、圆、圆均两两外切，求的取值范围. 19．圆. （1）若圆与轴相切，求圆的方程； （2）已知，圆与轴相交于两点（点在点的左侧）.过点任作一条与轴不重合的直线与圆相交于两点.问：是否存在实数，使得？若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由. 1．A 【知识点】已知斜率求参数 【分析】根据斜率公式运算求解即可. 【详解】因为，显然， 由题意可得，解得. 故选：A. 2．A 【知识点】直线的倾斜角、已知两点求斜率、求直线的方向向量（平面中） 【分析】根据两点坐标得到向量坐标，即可求得该直线的倾斜角. 【详解】已知点，，则， 斜率，又直线l的倾斜角， 则直线l的倾斜角. 故选：A. 3．B 【知识点】直线的倾斜角 【分析】根据直线方程写出倾斜角即可. 【详解】因为直线， 所以直线垂直轴，故直线的倾斜角是. 故选：B 4．C 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 【分析】根据题意可得圆心到直线距离不大于，再根据点到直线距离公式列不等式解得结果. 【详解】因为圆，所以， 因为圆上至少有三个不同点到直线的距离为，所以圆心到直线距离不大于，即，选C. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系．判断出圆心到直线的距离满足的条件，列出不等式是解题的关键. 5．C 【知识点】直线过定点问题、求点到直线的距离、由直线与圆的位置关系求参数、圆的弦长与中点弦 【分析】对A，对于直线方程，可通过变形找到定点；对B，C，D，将圆的方程化为标准方程可得到圆心和半径，然后根据直线与圆的位置关系，如相切时圆心到直线距离等于半径，相交时弦长公式等进行判断. 【详解】对于A，将直线整理为， 令，解得， 所以直线过定点，故A错误； 对于B，当时，直线的方程为， 圆的方程可化为，则圆心，半径， 因为直线与圆相切，则圆心到直线距离等于半径，即，解得或， 故B错误； 对于C，设圆心到直线的距离为， 则弦长，若弦长为定值，则为定值， 又圆心在直线上， 所以直线与直线平行或直线过圆心， 当直线与直线平行时，可得，解得， 此时，，则是定值，故C正确； 对于D，当时，圆，圆心，半径为， 直线过定点，圆心到点的距离为， 当直线垂直于时，弦长最短， 直线截圆的最短弦长为，故D错误. 故选：C. 6．A 【知识点】向量垂直的坐标表示、圆的一般方程与标准方程之间的互化、根据抛物线上的点求标准方程 【分析】求出圆心和半径，根据轴和线段恰为圆的一条直径得到的坐标，代入抛物线方程求得的值，设出点的坐标，利用是圆的直径，所对圆周角为直角，即，由此求得点的横坐标. 【详解】圆：可化为，故圆心为，半径为，由于轴和线段恰为圆的一条直径，故.将点坐标代入抛物线方程得，故，抛物线方程为.设，由于是圆的直径，所对圆周角为直角，即,也即，所以，化简得，解得，故点横坐标为.故选A. 【点睛】本小题主要考查圆和抛物线的位置关系，考查抛物线的对称性，考查抛物线方程的求法，考查圆的几何性质，考查圆一般方程化为标准方程，考查圆的直径所对的圆周为直角，考查向量的数量积运算，运算量较大，属于中档题. 7．B 【知识点】判断直线与圆的位置关系、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】先判断直线与圆的位置关系，再过点P作圆的两条切线，由图形可得，从而利用直线上的动点到圆心的最小距离求得的最大值，由此得解. 【详解】因为圆的圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相离， 设PA、PB是过点P圆的两切线，且A、B为切点，如图， 显然，当PM，PN为两切线时取等号； 因为PA、PB是过点P圆的两切线，所以，， 由圆的对称性易得，显然是锐角， 在中，， 又，所以， 所以，∴． 故选：B． . 【点睛】关键点睛：本题解题的突破口是通过过点作圆的切线，化三动点问题为一动点问题，从而利用直线上的动点到圆心的最小距离求得的最大值，由此得解. 8．A 【知识点】基本不等式求和的最小值、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】设，写出圆的方程，求得直线的方程，利用点到直线的最小值来求得最大时的面积. 【详解】设，则， 设 ，， 圆的方程为①， 圆：的圆心为，半径为， 圆的方程可化为②， 由①②得直线的方程为，即， 是等腰三角形，为顶角，则当到直线的距离最小时，最大， 当到直线的距离为 ， 当且仅当时等号成立. 当当到直线的距离取最小值时，， 所以. 故选：A    【点睛】在利用基本不等式求最值的过程中，要注意一正、二定、三相等.求解圆与圆位置关系有关问题，首先考虑数形结合的数学思想方法，画出图象，然后根据图象、圆的几何性质来对问题进行分析和求解. 9．ABC 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 【分析】由圆心到直线的距离小于半径可得的范围． 【详解】圆的圆心为，半径为，依题意得，解得． 故选：ABC． 10．CD 【知识点】求点到直线的距离、求点关于直线的对称点、已知切线求参数、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】对于A，可知圆的圆心坐标为，半径为，根据圆关于直线对称，求出对称后的圆的方程，即可判断A选项；对于B，可知圆的圆心坐标为，半径为，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，从而可判断B选项；对于C，根据圆的方程，分别求出两个圆的圆心和半径，进而求出两个圆的圆心距，再根据圆与恰有三条公切线，从而可求出的值，即可判断C选项；对于D，由圆：的圆心坐标为，半径为，由于，可知当垂直于直线时，再利用点到直线的距离公式求出，从而得出的最小值，即可判断D选项. 【详解】解：对于A，由圆，可得圆心坐标为，半径为， 则圆关于直线对称的圆的圆心坐标为， 所以圆关于直线对称的圆方程为，所以A不正确； 对于B，由圆，可得圆心坐标为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 所以圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1，所以B不正确； 对于C，由圆，可得圆心坐标为，半径为， 由圆，可得圆心坐标为，半径为， 可得圆心距，要使得圆与恰有三条公切线， 则且，解得：，所以C正确； 对于D，由圆：，可得圆心坐标为，半径为， 因为， 当垂直于直线时，， 所以，故D正确. 故选：CD. 11．AC 【知识点】已知直线垂直求参数、直线过定点问题、求直线交点坐标、求点到直线的距离 【分析】对于选项A，根据三点共线的直线斜率关系即可列方程求解；对于选项B，根据直线一般方程垂直的系数关系列方程求解，结合充分必要条件，求解即可；对于选项C，根据含参直线的一般方程，按照参数无数个解列方程组求解，的值，即可确定直线的定点；对于选项D，根据直线与直线相交得交点坐标，再根据点到直线的距离公式列方程求解直线方程即可得结论. 【详解】对于A，由，，三点共线，可知所在的直线与所在的直线斜率相等， 而，，则，解得，故A正确； 对于B，由两直线互相垂直得，，解得或， 可知“”是两直线互相垂直的充分不必要条件，选项B错误； 对于C，由：，则， 令，解得，则直线恒过定点，故C正确； 对于D，联立，解得，可知直线与的交点坐标为， 即所求直线过点，若所求直线斜率不存在，则直线方程为，符合题意， 若所求直线斜率存在，设直线方程为，即， 则原点到该直线的距离，解得，此时方程为， 综上所述：所求直线方程为或，故D错误． 故选：AC． 12． 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围 【解析】先将两圆的方程整理，得到标准方程，求出两圆的圆心和半径，再由两圆对称，得到半径相等，列出等式求解，即可得出结果. 【详解】由得， 所以圆的圆心为，半径为； 由得， 所以圆的圆心为，半径为； 又圆关于一条直线对称的圆是圆，所以两圆半径相等， 即，解得. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查两圆对称的问题，属于基础题型. 13．或 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、已知点到直线距离求参数 【分析】分直线的斜率存在与不存在两种情况，结合点到直线的距离公式求解可得直线的方程. 【详解】当直线的斜率不存在时，因为直线过点，故直线的方程为， 此时点到直线的距离为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 因为点到的距离为，所以，整理得， 两边平方得，解得，所以直线的方程； 综上所述：直线的方程或. 故答案为：或. 14． 【知识点】轨迹问题——圆、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】①根据垂径定理求出，得出其轨迹为圆，结合圆心半径写出标准方程即可； ②根据点到直线的距离公式，所求式子可以看作点M到直线距离的倍，利用圆心到直线的距离加半径即可求得最值. 【详解】由垂径定理可得，， 则点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，其标准方程为； 设直线，过点分别作的垂线，垂足分别为， 则， 由于C到的距离，则， ， 其最大值为. 故答案为：①；②. 15．(1)2； (2)当m≠2且m≠－2且m≠. 【知识点】求直线交点坐标、三线能围成三角形的问题 【分析】(1)联立和的方程求得交点坐标，将此交点坐标代入的方程即可求出m的值； (2)由题意得到三条直线不能构成三角形的情况，求出每一种情况下的值，则答案可求． 【详解】（1）由解得，代入的方程，得m＝2. （2）当三条直线相交于一点或其中两直线平行时三条直线不能构成三角形． ①联立，解得，代入，得； ②当与平行时，， 当与平行时，． 综上所述，当且时，三条直线能构成三角形． 16．（1）；（2）. 【知识点】求过已知三点的圆的标准方程、由直线与圆的位置关系求参数、由圆的一般方程确定圆心和半径 【解析】（1）设所求圆的方程为，然后将点的坐标代入求解. （2）由圆：求得圆心，再根据与直线相切求得半径即可. 【详解】（1）设所求圆的方程为， 则， 解得， 所以圆的方程为. （2）因为圆：的圆心为， 点到直线的距离为 ， ∴所求圆的方程为. 17． 【知识点】直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】 设过点且垂直于轴的直线交线段于点，当直线绕着点旋转时，观察直线的斜率的变化，即可得出直线的斜率的取值范围. 【详解】 解：设过点且垂直于轴的直线交线段于点，如下图所示：    当直线由位置绕点转动到位置时，的斜率从逐渐变大， 此时，； 当直线由位置绕点转动到位置时，的斜率为负值，且逐渐增大至， 此时，. 综上所述，直线的斜率的取值范围是. 18．(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【知识点】斜率公式的应用、求圆的一般方程、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】（1）代入点的坐标，求解方程组得到圆的方程； （2）（i）由斜率关系得点坐标满足关系，确定其所在直线；（ii）将，代入圆的方程，求出，，化简得到的范围. 【详解】（1）由已知可得     所以圆. （2）（i）设，则，     解得或，即点在定直线或定直线上. （ii）由题意可知，，是直线上两个不同动点， 不妨设点在点上方，记圆与圆切点纵坐标为，     则，， 因为，，所以，         化简得， 当时，； 当时，，， 令，对函数,， 所以函数在单调递减，所以， 所以； 综上 所以取值范围为. 19．（1）或；（2）存在， 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、直线与圆相交的性质——韦达定理及应用 【分析】（1）先将圆转化为标准方程，由圆与轴相切，可知圆心的横坐标的绝对值与半径与相等，列出方程求解即可； （2）先求出两点坐标，假设存在实数，当直线与轴不垂直时，设直线的 方程为，代入，用韦达定理根据，斜率之和为0，求得实数的值，在检验成立即可. 【详解】解：（1）由圆与轴相切，可知圆心的横坐标的绝对值与半径与相等.故先将圆的方程化成标准方程为：， ∵恒成立，∴求得或， 即可得到所求圆的方程为：或； （2）令，得，即所以， 假设存在实数，当直线与轴不垂直时，设直线的方程为， 代入得，， 设，从而，， 因为 而 因为，所以，即，得. 当直线与轴垂直时，也成立. 故存在，使得. 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，以及直线与圆，圆与圆的综合性问题. 学科网（北京）股份有限公司 $