专题02 常用逻辑用语（竞赛培优专项训练,8大题型+强基、竞赛真题）高一数学人教A版全国通用

**基本信息** 聚焦常用逻辑用语核心素养，以题型分层构建从概念理解到综合应用的逻辑训练体系，覆盖竞赛高频考点。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |充分必要条件|4考点（判断/探求/证明/求参）|结合集合、方程等载体，考查条件关系判定与参数求解|从概念辨析到逻辑推理，形成"定义→判断→证明→应用"完整链条| |量词命题|4考点（否定/真假/求参/综合）|涉及全称与存在量词的否定规则及命题真假的参数讨论|以命题否定为基础，递进至真假判断与充要性综合，强化逻辑表达|

专题02 常用逻辑用语 目 录 A组 考点专项过关练 竞赛核心题型速览 题型01 充分必要条件的判断 题型05 全称量词与存在量词命题的否定 题型02 充分、必要、充要条件的探求 题型06 含有量词的命题及其否定的真假 题型03 充分、必要、充要条件的证明 题型07 由含有量词的命题真假求参 题型04 由充分、必要条件求参 题型08 含有量词的命题与充要性的综合 B组 选拔真题冲奖练 （精选各地竞赛、强基试题15道） 考点一 充分条件与必要条件的判断 1．设，则“”是“”成立的（    ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．设是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，则（    ） A．是的充分不必要条件 B．是的充分不必要条件 C．是的必要不充分条件 D．是的必要不充分条件 3．已知集合，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 考点二 充分、必要、充要条件的探求 4．等式成立的充要条件是（    ） A． B． C． D． 5．设，则“”的一个必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 6．（多选）已知x是实数，则使得成立的一个充分不必要条件有（   ） A．，或，或 B．，或 C．，或 D．，或 考点三 充分、必要、充要条件的证明 7．证明：“是方程的实数根”的充要条件是“”． 8．已知集合． (1)求证：、、； (2)已知，证明：“”的充分非必要条件是“”． 9．已知集合． (1)判断8，9，10是否属于集合A： (2)已知集合，证明：“”的充分非必要条件是“”； (3)写出所有满足集合A的偶数． 考点四 由充分、必要条件求参 10．甲乙丙丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲乙丙共同写出三个集合：，，然后他们三人各用一句话来正确的描述“”中的数字，让丁同学找出该数字，以下是甲，乙，丙三位同学的描述，甲：此数为小于5的正整数；乙：B是A成立的必要不充分条件；丙：C是A成立的充分不必要条件.则“”中的数字可以是（    ） A．3或4 B．2或3 C．1或2 D．1或3 11．已知集合，. (1)当时，求，； (2)设p：，q：，若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围； (3)若，求m的取值范围. 12．已知集合，． (1)若，求； (2)若存在正实数m，使得“”是“”成立的充分不必要条件，求正实数m的取值范围． (3)求集合B． 考点五 全称量词命题与存在量词命题的否定 13．设命题且，则的否定为（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 14．已知命题，，则为（    ） A．， B．， C．，或 D．，或 15．十七世纪，数学家费马提出猜想：“对任意正整数，关于的方程没有正整数解”，经历三百多年，1995年数学家安德鲁•怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，若用反证法证明，第一步是假设猜想不成立，即（    ） A．对任意正整数，关于的方程都有正整数解 B．对任意正整数，关于的方程至少存在一组正整数解 C．存在正整数，关于的方程至少存在一组正整数解 D．存在正整数，关于的方程至少存在一组正整数解 考点六 全称量词命题与存在量词命题及其否定的真假 16.关于命题：“，”，下列判断正确的是（   ） A．该命题是全称量词命题，且为假命题 B．该命题是存在量词命题，且为真命题 C．：， D．：， 17．已知命题：，，命题：，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 18．取整函数表示不超过的最大整数，如，下列关于“取整函数”的命题中，为真命题的是（  ） A． B．，则 C． D． 考点七 由全称量词命题与存在量词命题真假求参 19．命题：“，”为假命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20．已知为实数，集合. (1)若命题“”是假命题，求实数的取值范围； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 21．记命题p：对任意，不等式恒成立，命题q：存在，使得不等式成立． (1)若p为真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题p与命题q一真一假，求实数m的取值范围． 考点八 含有一个量词的命题与充分必要性的综合 22．（多选）下列说法正确的是（    ） A．， B．“”是“”的必要条件 C．若，，，则是的充分不必要条件 D．命题“，”的否定是“，” 23．设全集，集合，，其中． (1)若“”是“”的必要而不充分条件，求实数a的取值范围； (2)若命题“，使得”是真命题，求实数a的取值范围． 24．已知集合． (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 一、单选题 1．（2026·陕西咸阳高一数学竞赛）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 2．（2025全国章鱼杯联赛）设为实数，则是的（   ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2024·厦门大学强基计划）对于命题p，q，以下逻辑正确的有（    ） A．如果p真，则q真 B．如果p真，则q真，那么q假，则p假 C．如果p真且q真，则p真 D．如果p真，则p或q真 4．（2024·全国章鱼杯联考）设是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，则（    ） A．是的充分不必要条件 B．是的充分不必要条件 C．是的必要不充分条件 D．是的必要不充分条件 5.（2024·第十四届全国“枫叶新希望杯”竞赛）设，则“”是“”成立的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6.（2024·第十四届全国“枫叶新希望杯”竞赛）设，则“”是“”成立的（    ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（2024·安徽省示范高中培优联盟高一上冬季联赛）若，：关于的方程有两个不相等的实数根，则是成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（2024·第十四届全国“枫叶新希望杯”竞赛）下列命题是假命题的是（    ） A．命题“若x≠1，则”的逆否命题是“若，则x=1”； B．若命题p:，则：； C．若为真命题，则p，q均为真命题； D．“x>2”是“”成立的充分不必要条件. 9.（2024·全国集英苑冬季竞赛）设，集合．则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 10．（2024·“同济大学杯”高一联赛）命题“对任意的，总存在唯一的，使得”成立的充分必要条件是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（2024·中国科大强基计划）数列，，则命题“，，”的否定是 ． 12．（2026全国数学联赛广西预赛）集合，，若“”是“”的充分条件，则实数取值范围是____________． 13．（2024·全国“枫叶希望杯”高一竞赛）方程至少有一个负实根的充要条件是 ． 14．（2024·全国“枫叶希望杯”高二竞赛）已知，，，，且，均为真，实数的取值范围为 ． 三、解答题 15．（2024·安徽阜阳高一竞赛）已知集合 (1)若，求实数的取值范围. (2)命题q：“，使得”是真命题，求实数m的取值范围. . 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 常用逻辑用语 目 录 A组 考点专项过关练 竞赛核心题型速览 题型01 充分必要条件的判断 题型05 全称量词与存在量词命题的否定 题型02 充分、必要、充要条件的探求 题型06 含有量词的命题及其否定的真假 题型03 充分、必要、充要条件的证明 题型07 由含有量词的命题真假求参 题型04 由充分、必要条件求参 题型08 含有量词的命题与充要性的综合 B组 选拔真题冲奖练 （精选各地竞赛、强基试题15道） 考点一 充分条件与必要条件的判断 1．设，则“”是“”成立的（    ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】先通过解分式不等式化简条件“”，再利用充要条件的定义判断出“”是“”成立的什么条件. 【详解】由，因为，所以. 故选:C. 2．设是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，则（    ） A．是的充分不必要条件 B．是的充分不必要条件 C．是的必要不充分条件 D．是的必要不充分条件 【答案】A 【分析】设分别为使得为真命题的取值集合，将条件和结论间的关系转化成集合间的关系来处理，再根据条件，逐一分析判断即可求出结果. 【详解】设分别为使得为真命题的取值集合， 因为是的充分不必要条件，所以是的真子集， 又是的必要不充分条件，则有是的必要不充分条件， 所以是的真子集， 从而是的真子集, 故是的充分不必要条件，所以选项 A正确，选项D错误， 又，所以选项C错误，若， 此时是的充要条件，所以选项B错误， 故选：A. 3．已知集合，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】由，可得，又，所以， 由，得， 因此“”是“”的充要条件． 故选：A 考点二 充分、必要、充要条件的探求 4．等式成立的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对已知等式两边平方，根据绝对值的定义可得等式成立的充要条件. 【详解】因为， 两边平方得：， 所以，即， 所以等式成立的充要条件是. 故选：B 5．设，则“”的一个必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解不等式，结合充分条件与必要条件的定义逐项判断即可得结论. 【详解】由，得，解得， 所以“”是“”的充分不必要条件，故A错误； 由，得，所以，解得， 所以“”是“”的充要条件，故B错误； 由，得，解得， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故C错误； 由，得，所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确. 故选：D. 6．（多选）已知x是实数，则使得成立的一个充分不必要条件有（   ） A．，或，或 B．，或 C．，或 D．，或 【答案】BD 【分析】求出的解集，利用充分必要条件的定义判断. 【详解】， ， ，即， 上式等价于，解得，或，或， 即等价于，或，或. 对于A，，或，或是得充要条件，故A错误； 对于B，，或是 的充分不必要条件，故B正确； 对于C，，或是的必要不充分条件，故C错误； 对于D，，或是的充分不必要条件，故D正确. 故选：BD. 考点三 充分、必要、充要条件的证明 7．证明：“是方程的实数根”的充要条件是“”． 【答案】①充分性，当时，， 代入方程，得， 满足此方程，充分性成立， ②必要性，当时，代入方程，则，必要性成立， 综上，是方程的实数根的充要条件是． 【分析】根据代入方程，因式分解即可求证充分性成立，将代入方程中即可求证必要性． 【详解】略 8．已知集合． (1)求证：、、； (2)已知，证明：“”的充分非必要条件是“”． 【分析】（1）根据集合中元素的特征一一判断即可； （2）由，即可得到充分性成立，再利用特殊值判断必要性不成立； 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以， 因为，所以； （2），， ，即所有奇数都属于集合，则由，必有， 又 所以，而，即由推不出， 所以的充分非必要条件是. 9．已知集合． (1)判断8，9，10是否属于集合A： (2)已知集合，证明：“”的充分非必要条件是“”； (3)写出所有满足集合A的偶数． 【分析】（1）根据集合中元素的特征一一判断即可； （2）由，即可得到充分性成立，再利用特殊值判断必要性不成立； （3）讨论和同为奇数和偶数及和一奇一偶时，满足集合的偶数即可得出答案. 【详解】（1），， ，， 假设，，， 则，即， 且，，， 或，显然均无整数解， . 综上，，，. （2），， ，即所有奇数都属于集合，则，必有， 又，而，即，推不出， 所以的充分非必要条件是. （3）由，，， 当和同为奇数和偶数时，均为偶数， 所以为4的倍数； 当和一奇一偶时，均为奇数， 所以为奇数. 综上，所有满足集合的偶数为. 考点四 由充分、必要条件求参 10．甲乙丙丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲乙丙共同写出三个集合：，，然后他们三人各用一句话来正确的描述“”中的数字，让丁同学找出该数字，以下是甲，乙，丙三位同学的描述，甲：此数为小于5的正整数；乙：B是A成立的必要不充分条件；丙：C是A成立的充分不必要条件.则“”中的数字可以是（    ） A．3或4 B．2或3 C．1或2 D．1或3 【答案】C 【分析】根据此数为小于5的正整数得到，再推出C是A的真子集，A是B的真子集，从而得到不等式，求出，得到答案. 【详解】因为此数为小于5的正整数， 故， 因为B是A成立的必要不充分条件，C是A成立的充分不必要条件， 所以C是A的真子集，A是B的真子集， 故且，解得， 故“”中的数字可以是1或2. 故选：C 11．已知集合，. (1)当时，求，； (2)设p：，q：，若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围； (3)若，求m的取值范围. 【答案】(1)，或． (2) (3) 【详解】（1）当时，， 因为，所以，或． （2）因为p是q的必要不充分条件，所以， 则，解得， 则m的取值范围为． （3）因为，所以或， 所以或， 解得或，即， 所以m的取值范围为． 12．已知集合，． (1)若，求； (2)若存在正实数m，使得“”是“”成立的充分不必要条件，求正实数m的取值范围． (3)求集合B． 【答案】(1) (2) ． (3)当时， ；当 时，；当 时，B为 . 【分析】（1）解不等式化简集合， ，再利用补集，交集的定义求解. （2）求出集合，再利用充分不必要条件定义列式求解. （3）对的取值进行分类讨论，解得集合. 【详解】（1）当 时， ， 则或. 而， 所以. （2）当时，. 由（1）知 ，由“ ”是“ ”成立的充分不必要条件， 得集合A是集合B的真子集， 则或，解得 或 . 所以正实数m的取值范围为 ． （3）当时，； 当 时，； 当 时，B为 . 考点五 全称量词命题与存在量词命题的否定 13．设命题且，则的否定为（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】D 【分析】根据全称命题的否定求解即可. 【详解】由全称命题的否定知： 命题且的否定为： 且. 故选：D 14．已知命题，，则为（    ） A．， B．， C．，或 D．，或 【答案】C 【分析】根据存在量词命题的否定的定义判断即可. 【详解】命题，的否定为：，或， 故选：C. 15．十七世纪，数学家费马提出猜想：“对任意正整数，关于的方程没有正整数解”，经历三百多年，1995年数学家安德鲁•怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，若用反证法证明，第一步是假设猜想不成立，即（    ） A．对任意正整数，关于的方程都有正整数解 B．对任意正整数，关于的方程至少存在一组正整数解 C．存在正整数，关于的方程至少存在一组正整数解 D．存在正整数，关于的方程至少存在一组正整数解 【答案】D 【分析】根据全称命题的否定的结构形式可得正确的选项. 【详解】命题为全称命题， 则命题的否定为：存在正整数，关于的方程至少存在一组正整数解， 故选：D. 考点六 全称量词命题与存在量词命题及其否定的真假 16.关于命题：“，”，下列判断正确的是（   ） A．该命题是全称量词命题，且为假命题 B．该命题是存在量词命题，且为真命题 C．：， D．：， 【答案】D 【分析】根据全称量词的命题的定义以及命题的真假判断AB，根据含有一个量词命题的否定判断CD. 【详解】对于A，B，命题：“，”为全称量词命题，， 解集为或，又，所有自然数均成立，所以该命题为真命题，故A，B错误； 对于C，D，根据命题的否定，则：，，故C错误，D正确， 故选：D. 17．已知命题：，，命题：，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【详解】由，得，即，解得. 方法二：由，得或. 解得. 所以是假命题，是真命题. 当时，显然成立，所以是真命题，是假命题. 18．取整函数表示不超过的最大整数，如，下列关于“取整函数”的命题中，为真命题的是（  ） A． B．，则 C． D． 【答案】C 【分析】根据取整函数的定义，利用特殊值法，进行判别选项的真假，可得答案. 【详解】对于A，当时，，但，故A为假命题； 对于B，设，则，故B为假命题； 对于C，当时，，故C为真命题； 对于D，当时，有，但，故D为假命题． 考点七 由全称量词命题与存在量词命题真假求参 19．命题：“，”为假命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】原命题的否命题：“，”为真命题，结合不等式恒成立求解即可. 【详解】命题：“，”为假命题，即命题：“，”为真命题． ①当时，恒成立，符合题意； ②当时，则，结合. 综上，． 20．已知为实数，集合. (1)若命题“”是假命题，求实数的取值范围； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 【分析】（1）根据题意，得到命题“”是真命题，转化为在上恒成立，结合二次函数的性质，即可求解； （2）根据题意，转化为在上恒成立，当时，显然成立；当时，转化为恒成立，结合基本不等式求得最小值，即可求解. 【详解】（1）解：因为集合， 由命题“”是假命题，可得命题“”是真命题， 即在上恒成立， 因为函数，当时，取得最大值，最大值为，所以， 所以实数的取值范围为. （2）解：因为恒成立，即在上恒成立， 即在上恒成立， 当时，不等式等价于恒成立，符合题意； 当时，等价于恒成立， 因为，当且仅当时，即时，等号成立，所以， 综上可得，实数的取值范围为. 21．记命题p：对任意，不等式恒成立，命题q：存在，使得不等式成立． (1)若p为真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题p与命题q一真一假，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将不等式进行变形，求出函数的最小值，再根据恒成立的条件得到关于的不等式，进而求解实数m的取值范围； （2）先求出命题为真时的取值范围，再分真假和假真两种情况进行讨论，最后取并集即可. 【详解】（1）对任意，不等式恒成立，即在恒成立， 令，则，则，解得， 则实数m的取值范围为. （2）存在，使得不等式成立，有解，即在上恒成立， 令，根据均值不等式，得，当且仅当，即时等号成立， ，即，即命题q为真，，则命题q为假，， 又由（1）可知命题为真，，命题为假，或， 当真假时，，解得， 当假真时，与或求交集，解得， 综上所述，实数m的取值范围为. 考点八 含有一个量词的命题与充分必要性的综合 22．（多选）下列说法正确的是（    ） A．， B．“”是“”的必要条件 C．若，，，则是的充分不必要条件 D．命题“，”的否定是“，” 【答案】AC 【详解】对于A选项，取，则，故A正确； 对于B选项，若，不妨取，，此时，即“”“”， 若，不妨取，，此时，即“”“”， 综上所述，“”是“”的既不充分也不必要条件，故B错误； 对于C选项，因为，则为的真子集，故是的充分不必要条件，故C正确； 对于D选项，由全称量词命题的否定可知， 命题“，”的否定是“，”，故D错误. 23．设全集，集合，，其中． (1)若“”是“”的必要而不充分条件，求实数a的取值范围； (2)若命题“，使得”是真命题，求实数a的取值范围． 【分析】（1）根据条件可知，列不等式，即可求解； （2）首先求当时的取值范围，再求其补集. 【详解】（1）， “”是“”的必要而不充分条件，  ，解得， 即实数的取值范围为； （2）若命题“，使得”是假命题，则， ，或， ①当时，，解得， ②当时，则，无解， 即命题为假命题时，实数的取值范围为， 命题为真命题时，实数的取值范围为． 24．已知集合． (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据是真命题，转化为，根据集合间的关系转换不等式组进行判断即可； （2）将充分不必要条件转化为真子集关系，列不等式组可求实数的取值范围． 【详解】（1）由集合可解得：，则， ，故， 由是真命题，则， 当时，只有，故， 因此当时， 故的取值范围为， （2）“”是“”的充分不必要条件，得是的真子集， 得：（等号不同时成立），解得：， 故的取值范围为. 一、单选题 1．（2026·陕西咸阳高一数学竞赛）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据全称命题否定的定义，“”的否定是: 2．（2025全国章鱼杯联赛）设为实数，则是的（   ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】求出两方程在R内的解，根据包含关系得到答案. 【详解】，故解集为， 而在R内无解，解集为， 由于是任何非空集合的真子集， 故是的必要不充分条件. 故选：C. 3．（2024·厦门大学强基计划）对于命题p，q，以下逻辑正确的有（    ） A．如果p真，则q真 B．如果p真，则q真，那么q假，则p假 C．如果p真且q真，则p真 D．如果p真，则p或q真 【答案】D 【分析】举反例可以排除A、B选项，逻辑推理可以排除C. 【详解】对A选项，令命题p：正方形是平行四边形，命题q：，命题p为真命题，但命题q为假命题，故A错误； 对B选项，令命题p：正方形是平行四边形，命题q：，满足p真，则q真，所以q假为假命题，则p假也是假命题， 令命题m：“q为假命题”是一个假命题，命题n：“p为假命题”是一个假命题， 那么“若q假，则p假”等价于“若m真，则n真”，参考A选项，可知B错误； 对C选项，若“p真且q真”为假命题，则p可能为假；故C错误； 对D选项，若p真,则p与q的真假分以下两种情况：p真或q真，p真或q假，这两种情况p或q均为真，故D正确， 故选：D. 4．（2024·全国章鱼杯联考）设是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，则（    ） A．是的充分不必要条件 B．是的充分不必要条件 C．是的必要不充分条件 D．是的必要不充分条件 【答案】A 【分析】设分别为使得为真命题的取值集合，将条件和结论间的关系转化成集合间的关系来处理，再根据条件，逐一分析判断即可求出结果. 【详解】设分别为使得为真命题的取值集合， 因为是的充分不必要条件，所以是的真子集， 又是的必要不充分条件，则有是的必要不充分条件， 所以是的真子集， 从而是的真子集, 故是的充分不必要条件，所以选项 A正确，选项D错误， 又，所以选项C错误，若， 此时是的充要条件，所以选项B错误，故选：A. 5.（2024·第十四届全国“枫叶新希望杯”竞赛）设，则“”是“”成立的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】取，则，, 此时不成立，故“”是“”不充分条件； 取，则，但， 故“”是“”不必要条件； 故“”是“” 既不充分也不必要条件， 故选：D. 6.（2024·第十四届全国“枫叶新希望杯”竞赛）设，则“”是“”成立的（    ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】先通过解分式不等式化简条件“”，再利用充要条件的定义判断出“”是“”成立的什么条件. 【详解】由，因为，所以. 故选:C. 7．（2024·安徽省示范高中培优联盟高一上冬季联赛）若，：关于的方程有两个不相等的实数根，则是成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据方程有两个不相等的实数根，得到或，进而判断出答案. 【详解】由，解得或， 由于或，但或， 故是成立的充分不必要条件. 故选：A. 8．（2024·第十四届全国“枫叶新希望杯”竞赛）下列命题是假命题的是（    ） A．命题“若x≠1，则”的逆否命题是“若，则x=1”； B．若命题p:，则：； C．若为真命题，则p，q均为真命题； D．“x>2”是“”成立的充分不必要条件. 【答案】C 【分析】根据逆否命题判断A，根据全称量词命题的否定判断B，根据复合命题的真假判断C，根据充分条件、必要条件的定义判断D； 【详解】解：命题“若，则”的逆否命题是“若，则”，故正确； 若命题，，则，，故正确； 若为真命题，则，中至少有一个是真命题，故不成立． “” “”， “” “或”， “”是“”的充分不必要条件，故成立； 故选：． 9.（2024·全国集英苑冬季竞赛）设，集合．则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】利用集合相等的定义得到关于的方程组，推得充分性成立；再简单证得必要性也成立即可得解. 【详解】因为， 当时，则有，或， 若，显然解得； 若，则，整理得， 因为，， 所以无解； 综上，，即充分性成立； 当时，显然，即必要性成立； 所以“”是“”的充分必要条件. 故选：C. 10．（2024·“同济大学杯”高一联赛）命题“对任意的，总存在唯一的，使得”成立的充分必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将方程整理为；当时，解方程可确定其符合题意；当和时，将问题转化为与在时，有且仅有一个交点的问题，采用数形结合的方式可构造不等式组求得的范围，由此可得原命题成立的充要条件. 【详解】由得； ①当时，，则，解得， 因为，，满足题意； ②当时，， 若存在唯一的，使得成立， 则与有且仅有一个交点， 在平面直角坐标系中作出在上的图象如下图所示， 由图象可知：当时，与有且仅有一个交点， 所以，，解得，此时，； ③当时，， 由②同理可得，解得：，则. 综上所述：原命题成立的充要条件为. 故选：D. 二、填空题 11．（2024·中国科大强基计划）数列，，则命题“，，”的否定是 ． 【答案】，， 【分析】根据全称命题和特称命题的否定即可解答. 【详解】其否定是“，，”． 故答案为：. 12．（2026全国数学联赛广西预赛）集合，，若“”是“”的充分条件，则实数取值范围是____________． 【答案】 【分析】分别解绝对值不等式与分式不等式求得集合A,B,再根据“”求得实数取值范围． 【详解】，当时，， 因为“”是“”的充分条件，所以，． 故填． 13．（2024·全国“枫叶希望杯”高一竞赛）方程至少有一个负实根的充要条件是 ． 【答案】a≤1 【分析】先对二次项系数a是否为0讨论，再利用根与系数的关系对方程有一个或两个负根进行讨论解出a的范围. 【详解】当时，原方程可化为：，解得：符合题意； 当时，方程显然没有根等于0， 若方程有异号根，则由根与系数的关系可得：； 若方程有两个负根，则由根与系数的关系可得：， 解得：； 综上所述：方程至少有一个负实根的充要条件是a≤1. 14．（2024·全国“枫叶希望杯”高二竞赛）已知，，，，且，均为真，实数的取值范围为 ． 【答案】 【来源】山东省聊城市文苑中学2019-2020学年高二上学期第四次考试数学试题 【分析】根据不等式恒成立和一元二次方程有实数解分别求出的范围，再求交集． 【详解】，，，时，，时，， 时，（时取等号），，时，（时，　取等号），，∴，∴， ，，则，， ，均为真，则． 三、解答题 15．（2024·安徽阜阳高一竞赛）已知集合 (1)若，求实数的取值范围. (2)命题q：“，使得”是真命题，求实数m的取值范围. 【分析】（1）考虑的情况，然后求解出的范围，最后根据对应范围在实数集下的补集求解出结果； （2）根据条件先分析出，然后考虑的情况，由此求解出符合条件的的取值范围. 【详解】（1）当时，， 若，满足，则，解得； 若，因为，所以，所以， 所以时，的取值范围是， 所以时，的取值范围是. （2）因为“，使得”是真命题，所以， 当时， 若，成立，此时，解得； 若，则有或，解得， 所以时，的取值范围是或， 所以命题为真命题时的取值范围是. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $