专题07 一元二次不等式和基本不等式中的恒成立和有解（能成立）问题（压轴题7大类型专项训练）高一数学人教A版2019必修第一册

专题08 一元二次不等式和基本不等式中的恒成立和有解（能成立）问题 注意：本节专题提前涉及到第三章的部分简单概念 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 1 类型一、利用解决一元二次不等式恒成立问题 1 类型二、参变分离解决一元二次不等式恒成立问题 2 类型三、利用二次函数的性质解决一元二次不等式恒成立问题 4 类型四、主元法解决一元二次不等式恒成立问题 4 类型五、一元二次不等式在区间上的有解问题 5 类型六、基本不等式的恒成立问题 6 类型七、基本不等式的有解问题 7 压轴专练 8 类型一、利用解决一元二次不等式恒成立问题 1、不等式对任意实数恒成立⇔或 2、不等式对任意实数恒成立⇔或 一、单选题 1．（24-25高一上·江西·开学考试）当时，一元二次不等式恒成立，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 2．（24-25高一下·山东临沂·期末）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·福建漳州·月考）若不等式的解集为，则a的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 4．（24-25高一下·山西长治·期中），不等式恒成立，则的最小值为（   ） A．6 B． C． D． 二、填空题 5．（24-25高一上·河南·期中）已知命题，若命题p是假命题，则a的取值范围为 ． 6．（24-25高一上·河南·月考）已知命题“，一元二次不等式”为真命题，则a的取值范围为 ． 类型二、参变分离解决一元二次不等式恒成立问题 1、若在集合中恒成立，即集合是不等式的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值（或范围）； 2、转化为函数范围问题，即已知函数的范围为，则恒成立⇒，即；恒成立⇒，即． 3、分离参数法 ①常规法分离参数：如； ②倒数法分离参数：如； 【当的值有可能取到，而的值一定不为0时，可用倒数法分离参数．】 ③讨论法分离参数：如: 一、单选题 1．（24-25高一上·四川成都·月考）已知不等式对任意恒成立，其中a，b是整数，则的取值的集合为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·浙江绍兴·期中）已知函数，若对于都有成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·北京朝阳·期末）已知不等式对任意恒成立，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D． 二、填空题 4．（23-24高一上·贵州贵阳·期末）已知函数，若，则该函数的零点为 ．若对，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 5．（24-25高一下·上海·月考）若不等式对任意恒成立，则实数m的值为 类型三、利用二次函数的性质解决一元二次不等式恒成立问题 一、单选题 1．（23-24高一上·广东江门·月考）任意，使得不等式恒成立.则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·北京·期中）“”是“不等式在上恒成立”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 二、填空题 3．（24-25高一下·贵州毕节·月考）若命题为真命题，则实数的取值范围是 . 4．（24-25高一上·四川达州·月考）若不等式对任意的恒成立，则实数a的取值范围为 . 5．（24-25高一上·安徽宿州·期中）已知关于的不等式在上恒成立，则的最小值为 . 6．（24-25高一上·全国·课前预习）若对任意的都有成立，则实数a的取值范围是 ． 7．（24-25高一下·上海·月考）不等式，对于任意及恒成立，则实数的取值范围是 . 类型四、主元法解决一元二次不等式恒成立问题 解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数； 一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数． 主元法即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解． 一、单选题 1．（24-25高一上·黑龙江大庆·月考）已知，不等式恒成立，则x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（2024高一上·江苏·专题练习）对于中的任意，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 二、填空题 3．函数，若恒成立，则实数x的取值范围是 ． 类型五、一元二次不等式在区间上的有解问题 1、若存在，有解⇒； 若对任意，无解⇒． 2、若存在，有解⇒； 若对任意，无解⇒． 一、单选题 1．（24-25高一下·湖北黄冈·月考）关于的不等式有解是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件 2．（24-25高一上·江苏镇江·期中）命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·浙江·期中）若关于的不等式在区间上有解，则实数的最小值为（   ） A．9 B．6 C． D．5 4．（24-25高一上·河北廊坊·期末）函数在上有解的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·河北石家庄·期中）若存在，使得不等式成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·湖北荆州·月考）若存在，使，则的取值集合是（   ） A． B． C． D． 7．若命题“，使得”为假命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 类型六、基本不等式的恒成立问题 一、单选题 1．（24-25高一上·山东青岛·期中）若，不等式恒成立，则实数的（    ） A．最大值是4 B．最大值是6 C．最小值是4 D．最小值是6 2．（24-25高一上·山东济宁·月考）设，若恒成立，则k的最大值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．（24-25高一下·湖南·开学考试）已知，且恒成立，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题 4．（24-25高一上·河南漯河·期末）已知，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 5．（24-25高一上·上海杨浦·期中）若对任意正实数a，b；不等式恒成立，则实数k的取值范围为 . 6．（2025高一上·全国·专题练习）若正实数满足，且恒成立，则实数的取值范围是 ． 7．（24-25高一上·贵州·月考）已知且，若恒成立，则的最大值为 ． 8．（24-25高一上·天津·月考）若不等式对于一切正数恒成立，则实数的最小值为 . 类型七、基本不等式的有解问题 一、填空题 1．（24-25高一上·吉林长春·期中）当时，不等式有解，则实数m的最小值为 . 2．（23-24高一上·山东·月考）若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是 . 3．（24-25高一上·河北张家口·期中）已知，且不等式有解，则实数的取值范围是 . 二、单选题 4．（24-25高一上·江苏苏州·月考）存在，使得不等式能成立，则的最小值等于（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 5．（24-25高一上·云南昆明·月考）若两个正实数满足，且存在这样的使不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 三、解答题 6．（24-25高一上·浙江·期中）已知正实数x，y满足. (1)求的最大值； (2)若不等式有解，求实数的取值范围. 一、单选题 1．（24-25高一上·山东淄博·月考）若不等式的解集为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（2025高一下·全国·专题练习）若一元二次不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·山东聊城·月考）若存在，使不等式成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·江西南昌·期中）若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 5．（24-25高一上·黑龙江齐齐哈尔·月考）时，不等式恒成立，则取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·江苏南通·期中）恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·广东深圳·月考）当时，恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·辽宁铁岭·期中）已知，，，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一上·山西晋城·期中）若存在，且，使不等式能成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·北京·期中）对任意的值恒大于零，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·重庆·月考）若是三个不全相等的实数，且不等式恒成立，则实数t的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 12．（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）对任意实数，，不等式恒成立，则实数a取值可能（   ） A．2 B．4 C． D． 三、填空题 13．（24-25高一上·吉林长春·月考）若关于的不等式的解集为，则的取值范围是 . 14．（24-25高一上·全国·课前预习）若不等式对一切正实数都成立，则实数的取值范围是 . 15．（23-24高一上·湖北武汉·月考）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 . 16．（23-24高一上·上海黄浦·期中）设，若关于的不等式对任意的成立，则的取值范围是 ． 17．（24-25高一上·甘肃兰州·期末）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为 . 18．（24-25高一上·上海长宁·开学考试）设，若时，均有成立，则实数的取值集合为 . 19．（23-24高一上·山东淄博·月考）不等式对任意恒成立，则m的取值范围为 ． 20．（23-24高一上·黑龙江双鸭山·月考）若两个正实数x，y满足，且存在，使不等式有解，则实数k的取值范围为 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 一元二次不等式和基本不等式中的恒成立和有解（能成立）问题 注意：本节专题提前涉及到第三章的部分简单概念 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 1 类型一、利用解决一元二次不等式恒成立问题 1 类型二、参变分离解决一元二次不等式恒成立问题 4 类型三、利用二次函数的性质解决一元二次不等式恒成立问题 8 类型四、主元法解决一元二次不等式恒成立问题 12 类型五、一元二次不等式在区间上的有解问题 14 类型六、基本不等式的恒成立问题 17 类型七、基本不等式的有解问题 21 压轴专练 25 类型一、利用解决一元二次不等式恒成立问题 1、不等式对任意实数恒成立⇔或 2、不等式对任意实数恒成立⇔或 一、单选题 1．（24-25高一上·江西·开学考试）当时，一元二次不等式恒成立，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】由一元二次不等式恒成立的条件可得结果. 【详解】由一元二次不等式，可得， 从而，解得：. 故选：A. 2．（24-25高一下·山东临沂·期末）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式解集的性质进行求解即可. 【详解】当时，不等式，解得，显然解集不是，不符合题意； 当，由不等式的解集为， 则，，解得， 即的取值范围为． 故选：A． 3．（24-25高一上·福建漳州·月考）若不等式的解集为，则a的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据求解即可. 【详解】因为不等式的解集为， 所以，解得， 所以a的取值范围是. 故选：A. 4．（24-25高一下·山西长治·期中），不等式恒成立，则的最小值为（   ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据一元二次不等式恒成立得出，再应用基本不等式计算求解. 【详解】因为，不等式恒成立， 当时，不恒成立，不合题意； 当时，满足且， 即，所以，所以， 所以，， 当且仅当即，取的最小值为. 故选：B. 二、填空题 5．（24-25高一上·河南·期中）已知命题，若命题p是假命题，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由命题p是假命题，可知其否定为真命题，由此结合判别式列不等式，解得答案. 【详解】因为命题p是假命题，所以命题是真命题． 因为， 所以， 只需，即， 所以的取值范围为. 故答案为：. 6．（24-25高一上·河南·月考）已知命题“，一元二次不等式”为真命题，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】借助根的判别式计算即可得. 【详解】由题意可得，解得． 故答案为：. 类型二、参变分离解决一元二次不等式恒成立问题 1、若在集合中恒成立，即集合是不等式的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值（或范围）； 2、转化为函数范围问题，即已知函数的范围为，则恒成立⇒，即；恒成立⇒，即． 3、分离参数法 ①常规法分离参数：如； ②倒数法分离参数：如； 【当的值有可能取到，而的值一定不为0时，可用倒数法分离参数．】 ③讨论法分离参数：如: 一、单选题 1．（24-25高一上·四川成都·月考）已知不等式对任意恒成立，其中a，b是整数，则的取值的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对分类讨论，设，画出图象，数形结合思考即可； 【详解】当时，因为，所以， 由一次函数图象可得对任意时不成立； 当时，设， 画出大致图象可得 ，又a，b是整数， 所以或， 所以的取值的集合为， 故选：A. 2．（23-24高一上·浙江绍兴·期中）已知函数，若对于都有成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用一元二次函数的图象与性质分析运算即可得解. 【详解】解：由题意，对于都有成立， ∴，解得：， 即实数的取值范围是. 故选：D. 3．（24-25高一上·北京朝阳·期末）已知不等式对任意恒成立，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由不等式恒成立可得，且是方程的一个正根，从而可得的关系，再由基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】令，其对称轴为， 当时，， 若，当时，要使不等式对任意恒成立， 则对任意恒成立， 当时，不满足题意，所以， 且是方程的一个正根， 将代入可得，即， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：A 二、填空题 4．（23-24高一上·贵州贵阳·期末）已知函数，若，则该函数的零点为 ．若对，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 /0.75 【分析】当时，解方程求出零点；，，令，分，和三种情况，结合函数特征得到不等式，求出实数的取值范围. 【详解】时，，令， 解得或（舍去）， ，，即， 令， 当时，满足要求， 当时，开口向下，要想成立， 则，解得或（舍去）， 当时，开口向上，要想成立， 则要，解得，故， 综上，实数的取值范围为. 故答案为：； 5．（24-25高一下·上海·月考）若不等式对任意恒成立，则实数m的值为 【答案】/ 【分析】通过二次函数的性质和方程的根，列出不等式求出结果. 【详解】解：若，则当趋于时，趋于，不满足题意； 当时，是方程的一个根， 不等式对任意恒成立， 且方程的两根不相等， 所以是方程的根， ， ，得， 此时原不等式等价于，显然时恒成立， 实数m的值为， 故答案为：． 类型三、利用二次函数的性质解决一元二次不等式恒成立问题 一、单选题 1．（23-24高一上·广东江门·月考）任意，使得不等式恒成立.则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得，再求函数，的最小值即可得取值范围. 【详解】因为对任意，不等式恒成立. 所以，其中， 设，，因为， 所以当时，函数，取最小值，最小值为， 所以， 故选：B. 2．（24-25高一下·北京·期中）“”是“不等式在上恒成立”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据不等式恒成立有恒成立，应用基本不等式及充分、必要性定义判断条件间的关系. 【详解】对于，可化为恒成立， 由，当且仅当时取等号，故， 所以“”是“不等式在上恒成立”的充分不必要条件. 故选：A 二、填空题 3．（24-25高一下·贵州毕节·月考）若命题为真命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意得在上恒成立，再次转化为求出的最大值即可. 【详解】因为命题为真命题， 所以在上恒成立， 因为，所以，当且仅当，即时取等号， 所以，当且仅当，即时取等号， 即的最大值为， 所以，即实数的取值范围是. 故答案为： 4．（24-25高一上·四川达州·月考）若不等式对任意的恒成立，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】将问题变为恒成立，再利用基本不等式求解即可； 【详解】因为当时，不等式恒成立， 所以当时，不等式恒成立，即恒成立， 令， 因为，，当且仅当即时取等号， 所以， 所以. 故答案为：. 5．（24-25高一上·安徽宿州·期中）已知关于的不等式在上恒成立，则的最小值为 . 【答案】 【分析】条件可转化为在上恒成立，再求的最大值即可确定的范围. 【详解】由不等式在上恒成立， 得在上恒成立， 所以在上恒成立， 又，所以， 当且仅当，即时，等号成立. 所以，故的最小值为. 故答案为：. 6．（24-25高一上·全国·课前预习）若对任意的都有成立，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意得在时恒成立，令，根据二次函数的性质求出有最小值时的取值，求出实数a的取值范围. 【详解】由题意得在时恒成立， 令，所以在时恒成立， 因为二次函数图象对称轴为， 所以当时有最小值为， 所以. 故答案为：. 7．（24-25高一下·上海·月考）不等式，对于任意及恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】先对不等式等价变形，通过换元法化双变量为单变量，再分离参数，结合基本不等式求最值计算即可. 【详解】由，则不等式两边同时乘以不等式可化为 ， 因为，所以，又，则， 令，则不等式转化为，在上恒成立， 由，可得，即， 又，当且仅当时取等号， 所以当时，取得最小值，故可得， 所以的取值范围为. 故答案为： 类型四、主元法解决一元二次不等式恒成立问题 解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数； 一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数． 主元法即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解． 一、单选题 1．（24-25高一上·黑龙江大庆·月考）已知，不等式恒成立，则x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】更换主元，根据一次函数性质列不等式组求解可得. 【详解】令， 当时，，不满足题意； 当时，由一次函数性质可知，， 解得或. 故选：C 2．（2024高一上·江苏·专题练习）对于中的任意，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】法一：由题意，可以采用分离参数法．，分，，，结合进行讨论并求解不等即可得． 法二：构造函数法，构造关于的函数，，即，对于中的任意恒成立，从而求解不等式组即可得． 【详解】法一：由题意，恒成立， 等价于， 当时，即，，则恒成立， ，，解得：， 当时，即时，不等式不成立， 当时，即，，则， ，，解得：， 综上所述：的取值范围是或； 法二：由，即， 令函数， ，即，对于中的任意恒成立， 则有且，即，解得或， 所以的取值范围是或. 故选：D． 二、填空题 3．函数，若恒成立，则实数x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】采用变换主元的策略，看作关于的一次函数，利用端点函数值不小于0建立不等式组求解即可. 【详解】令，当时，恒成立， 只需 即 解得或． 所以实数x的取值范围是． 故答案为： 类型五、一元二次不等式在区间上的有解问题 1、若存在，有解⇒； 若对任意，无解⇒． 2、若存在，有解⇒； 若对任意，无解⇒． 一、单选题 1．（24-25高一下·湖北黄冈·月考）关于的不等式有解是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件 【答案】B 【分析】应用一元二次不等式有解求出参数范围结合必要不充分条件定义判断即可. 【详解】若关于的不等式有解， 则，得 由“”可以推出“”， 由“”不能推出“”， 所以“关于的不等式有解”是“”的必要不充分条件 故选：B． 2．（24-25高一上·江苏镇江·期中）命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先写出原命题的否定，然后根据存在量词命题的真假性列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】依题意，命题“，”为真命题， 所以，由于， 所以当时，取得最小值为， 所以. 故选：A 3．（23-24高一上·浙江·期中）若关于的不等式在区间上有解，则实数的最小值为（   ） A．9 B．6 C． D．5 【答案】D 【分析】把问题转化为在区间上有解，利用基本不等式求解. 【详解】关于的不等式在区间上有解， 等价于在区间上有解， 即在区间上有解， 又，当且仅当时，取最小值6． 故，可得，则实数的最小值为5． 故选：D． 4．（24-25高一上·河北廊坊·期末）函数在上有解的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】参变分离可得在上有解，利用基本不等式求出，即可求出参数的取值范围，再根据集合的包含关系判断即可. 【详解】由在上有解， 即在上有解， 又，当且仅当，即时取等号， 所以； 因为真包含于， 结合选项可知函数在上有解的一个充分不必要条件是. 故选：B 5．（24-25高一上·河北石家庄·期中）若存在，使得不等式成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把问题转化成“大于或等于的最小值”，再利用配方法求的最小值即可. 【详解】因为， 所以. 问题“存在，使得不等式成立”转化为“大于或等于的最小值”. 因为，当时取“”. 所以. 故选：C 6．（24-25高一上·湖北荆州·月考）若存在，使，则的取值集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出命题的否定为真时，的范围，再求其补集即可. 【详解】命题存在，使的否定为，使， 若，使为真， 则，所以， 故若存在，使则， 所以的取值集合是. 故选：A. 7．若命题“，使得”为假命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可知“，使得”为真命题，然后参变分离，将问题转化为最值问题，利用基本不等式可解. 【详解】因为“，使得”为假命题， 所以“，使得”为真命题， 即在内有解，即. 因为， 当且仅当时等号成立， 所以，所以实数a的取值范围为. 故选：B 类型六、基本不等式的恒成立问题 一、单选题 1．（24-25高一上·山东青岛·期中）若，不等式恒成立，则实数的（    ） A．最大值是4 B．最大值是6 C．最小值是4 D．最小值是6 【答案】B 【分析】利用基本不等式，结合不等式恒成立问题的解法即可得解. 【详解】因为， ， 当且仅当，即时取等号， 又不等式恒成立，所以，即， 所以实数的最大值6，没有最小值，故B正确. 故选：B. 2．（24-25高一上·山东济宁·月考）设，若恒成立，则k的最大值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】只需由基本不等式求出的最大值，即的最小值即可. 【详解】由于，则得到（当且仅当，即时，取等号）； 所以 又由恒成立，故，则k的最大值为8. 故选：D． 3．（24-25高一下·湖南·开学考试）已知，且恒成立，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据条件，得到，又，利用基本不等式，即可求解. 【详解】因为，则，又恒成立， 即恒成立， 又， 当且仅当，即时取等号，所以， 故选：B. 二、填空题 4．（24-25高一上·河南漯河·期末）已知，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意可得对恒成立，由基本不等式求得的最大值即可. 【详解】由，不等式恒成立，可得对恒成立， 令，当且仅当，即时取等号. 所以，所以. 故答案为：. 5．（24-25高一上·上海杨浦·期中）若对任意正实数a，b；不等式恒成立，则实数k的取值范围为 . 【答案】 【分析】变形得，利用基本不等式求的最小值，进而解决恒成立问题. 【详解】因为，，所以由，得，即恒成立； 由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立； 因此的最小值为4，则，解得或； 故答案为： 6．（2025高一上·全国·专题练习）若正实数满足，且恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】依题意可得，利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得到，解此不等式即可得的取值范围． 【详解】因为正实数满足，即，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号． 因此的最小值为4， 又恒成立，所以，解得， 即实数的取值范围是． 故答案为：. 7．（24-25高一上·贵州·月考）已知且，若恒成立，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】利用结合基本不等式即可求解. 【详解】因为且，所以， ， 当且仅当，即时取等号， 因为恒成立，所以， 所以的最大值为. 故答案为：. 8．（24-25高一上·天津·月考）若不等式对于一切正数恒成立，则实数的最小值为 . 【答案】 【分析】由题意可得的最大值，由，运用基本不等式，及解方程，可得，进而得到的最小值． 【详解】由题意可得的最大值， 由 ，（当且仅当取得等号）， 则， 当，即时，， 故的最大值为． 即有． 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：，根据得. 类型七、基本不等式的有解问题 一、填空题 1．（24-25高一上·吉林长春·期中）当时，不等式有解，则实数m的最小值为 . 【答案】5 【分析】先将不等式变形为，然后求出在上的最小值，进而得到的最小值. 【详解】由可得. ，当且仅当，即时取等号. 因为有解，所以，即，解得. 故答案为：5. 2．（23-24高一上·山东·月考）若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】由已知结合基本不等式中“1”的代换求解的最小值，然后结合存在性问题与最值关系的转化，解一元二次不等式即可. 【详解】因为两个正实数x，y满足，所以， 所以， 当且仅当即时，等号成立. 因为有解，所以，即， 解得或，即实数m的取值范围是. 故答案为：. 3．（24-25高一上·河北张家口·期中）已知，且不等式有解，则实数的取值范围是 . 【答案】. 【分析】先由基本不等式求出，从而根据不等式有解得到，求出答案. 【详解】由题， 当且仅当，即时取等号， 因为不等式有解，所以，即， 解得或，即实数的取值范围是 故答案为： 二、单选题 4．（24-25高一上·江苏苏州·月考）存在，使得不等式能成立，则的最小值等于（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】B 【分析】依题意可将化为，利用基本不等式即可得到答案． 【详解】因为，所以， 所以， 又，当且仅当，即时取等号， 因为存在，使得不等式能成立， 所以. 所以的最小值等于. 故选：B. 5．（24-25高一上·云南昆明·月考）若两个正实数满足，且存在这样的使不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式进行代换，从而求出答案. 【详解】由，可得， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立. 所以，解得或， 故选：C 三、解答题 6．（24-25高一上·浙江·期中）已知正实数x，y满足. (1)求的最大值； (2)若不等式有解，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，利用基本不等式计算即可求解； （2）根据“1”的代换可得，利用基本不等式计算可得，则，解分式不等式即可. 【详解】（1），， ，，得， 当且仅当即，时等号成立， 的最大值为. （2）， 当且仅当即，时，等号成立， 的最小值为3. 由题意得， ，解得， 的取值范围是. 一、单选题 1．（24-25高一上·山东淄博·月考）若不等式的解集为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分和，结合二次不等式解集的形式求参数的取值范围. 【详解】若，则原不等式可化为，在上恒成立； 若，因为不等式的解集为， 所以. 综上可得：. 故选：B 2．（2025高一下·全国·专题练习）若一元二次不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次不等式定义可得，由条件结合二次函数性质列不等式求结论. 【详解】因为是一元二次不等式，所以． 因为对一切实数都成立， 所以，解得． 故选：D. 3．（23-24高一上·山东聊城·月考）若存在，使不等式成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】当时，由参变量分离法可得，利用基本不等式求出的最大值，即可求得实数的取值范围. 【详解】当时，由，可得，则， 因为，当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，当时，的最大值为，故. 故选：A. 4．（23-24高一上·江西南昌·期中）若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】首先将原问题转化为，再利用基本不等式的知识求出的最小值即可. 【详解】不等式有解， ， ， ， 当且仅当，等号成立， ，，， 实数的取值范围是． 故选：D． 5．（24-25高一上·黑龙江齐齐哈尔·月考）时，不等式恒成立，则取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】不等式恒成立，则得，即可得到取值范围. 【详解】时，不等式恒成立， 即，即，解得， 所以取值范围是. 故选：B. 6．（24-25高一上·江苏南通·期中）恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】转化问题为对于恒成立，进而由结合基本不等式求解即可. 【详解】由，得， 则问题转化为对于恒成立， 又， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即实数的取值范围为. 故选：D. 7．（23-24高一上·广东深圳·月考）当时，恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将不等式整理成关于的一次函数，利用一次函数性质解不等式即可求得结果. 【详解】根据题意可将不等式整理成关于的一次函数， 由一次函数性质可知，即； 解得，综合可得； 故选：B 8．（23-24高一上·辽宁铁岭·期中）已知，，，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先将不等式转化为关于的不等式，再根据参变分离，转化为求函数的最值. 【详解】因为，，则，所以， 又，可得，令， 则原题意等价于，，即， ，当时，取到最大值， 所以实数m的取值范围是． 故选：C 9．（24-25高一上·山西晋城·期中）若存在，且，使不等式能成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先将不等式恒成立转化为求的最小值，利用“1”的变换，展开后利用基本不等求最小值. 【详解】因为能成立，所以. 又因为，所以. 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即，所以或. 故选：D. 10．（24-25高一上·北京·期中）对任意的值恒大于零，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将函数的解析式变形为，并构造函数，由题意得出，解此不等式组可得出实数的取值范围. 【详解】对任意，函数的值恒大于零， 设，即在上恒成立， 因为在上是关于的一次函数或常数函数，其图象为一条线段. 所以 ，解得或， 即的取值范围是. 故选：A 11．（24-25高一上·重庆·月考）若是三个不全相等的实数，且不等式恒成立，则实数t的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，令，可得，故，则求得t的范围，即可求得t的最小值. 【详解】设，， 因为，， 所以，等号成立的条件是． 令，解得， 所以， 即， 所以， 故选：A 【点睛】方法点睛：由已知式联想基本不等式，由于不等式一侧只有两项：，把拆成两项，分别与相加应用基本不等式，构成形式上的一致，再利用系数关系求得参数，然后由不等式恒成立可得结论． 二、多选题 12．（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）对任意实数，，不等式恒成立，则实数a取值可能（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】ACD 【分析】变形后，两次使用基本不等式进行求解，且等号成立的条件相同，从而得到，又，从而得到，求出或，从而得到答案. 【详解】，， ， 当且仅当①时，等号成立， 其中，， 当且仅当，，即，时，等号成立， 此时，即①式成立， 综上，， 又（）， 故，解得或， 实数a取值可能为2，，，ACD正确，B错误. 故选：ACD 三、填空题 13．（24-25高一上·吉林长春·月考）若关于的不等式的解集为，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】分类讨论，根据一元二次不等式与二次函数的关系即可通过判别式求解. 【详解】当时，不等式为，此时解集为，符合题意，     当，即时，由开口向上的二次函数可知不可能为空集，故不符合题意，舍去， 当，即时，此时，解得， 综上a的取值范围是：， 故答案为： 14．（24-25高一上·全国·课前预习）若不等式对一切正实数都成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意恒成立，即，然后由基本不等式求的最大值即可. 【详解】由题意恒成立，即， 因为，所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为， 所以. 故答案为：. 15．（23-24高一上·湖北武汉·月考）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】参变分离，得到在上有解，由基本不等式求出，从而得到实数的取值范围. 【详解】变形为， 故在上有解， 因为，所以，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 故答案为： 16．（23-24高一上·上海黄浦·期中）设，若关于的不等式对任意的成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】参变分离可得对任意的成立，令，则，再令，，根据函数的单调性求出，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为关于的不等式对任意的成立， 所以对任意的成立， 令，则，则对成立， 令，，则在上单调递增， 所以， 所以，则的取值范围是. 故答案为： 17．（24-25高一上·甘肃兰州·期末）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得解. 【详解】因为，，且， 所以，所以， 当且仅当，即，时取等号， 又恒成立，所以，即实数的取值范围为. 故答案为： 18．（24-25高一上·上海长宁·开学考试）设，若时，均有成立，则实数的取值集合为 . 【答案】 【分析】两项乘积大于等于零恒成立，则两项有相同交点且在同一区间同时取相同的正负值，求出其中一项的零点，代入另一个方程，解得值. 【详解】当时，，则，由于的图象开口向上， 则不恒成立， 当时，由可解得， 而方程有两个不相等的实数根且异号， 所以，必定是方程的一个正根， 则，则可解得， 故实数的取值集合为. 故答案为：. 19．（23-24高一上·山东淄博·月考）不等式对任意恒成立，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】分类讨论，结合一元二次函数的性质，即可求解. 【详解】当时，不等式为，显然成立； 当时，记，为二次函数，对称轴为， 当时，由，得， 由题意得，解得； 当时，由，得， 由题意得，解得， 综上，. 故答案为：. 20．（23-24高一上·黑龙江双鸭山·月考）若两个正实数x，y满足，且存在，使不等式有解，则实数k的取值范围为 ． 【答案】 【分析】设，根据均值不等式以及“1”的妙用求的最大值，再解一元二次不等式得出结果. 【详解】依题意可得，存在，使不等式有解， 设， ， 当时，即时取等号. 所以. 所以，即，解得或. 实数k的取值范围为. 故答案为：. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$