8 幂函数、函数的应用（一）-【衡水金卷·先享题】2025-2026年高中数学必修第一册同步周测卷(人教A版)

高一周测卷 ·数学（人教A版）必修第一册· 高一同步周测卷/数学必修第一册（八） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ，运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 W.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ① 9 ③④ ⑤ ⑥ 档次 系数 幂函数与集合的 1 选择题 易 0.80 综合 由幂函数为偶函数 选择题 易 0.72 求值 选择题 5 幂函数图象的识别 中 0.65 幂函数的奇偶性与 4 选择题 5 中 0.55 单调性 选择题 决策型函数应用题 中 0.45 幂函数与倒序相加 6 选择题 5 中 0.30 法的综合 7 选择题 6 幂函数的性质综合 V 易 0.80 函数模型在几何问 选择题 6 中 0.50 题中的应用 9 与幂函数有关的开 填空题 易 0.75 放型填空题 10 填空题 幂函数的实际应用 中 0.35 利用幂函数的单调 11 解答题 13 中 0.60 性解不等式 由幂函数的单调性 求解析式，幂函数与 12 解答题 15 中 0.45 二次函数的综合，不 等式有解问题 分段函数的实际 13 解答题 20 难 0.25 应用 叁考答亲及解析 一、选择题 得m2-m-5=1,解得m=-2或m=3,当m=3时， 1.D【解析】因为A={x-8<x3<8}={x-2<x f(x)=x3是奇函数，不符合题意：当m=一2时， <2},B={-3,-1,0,2,3},所以A∩B={-1,0}. f(x)=x是偶函数，符合题意，因此m=-2,f(x) 故选D. 2.B【解析】由函数f(x)=(m2-m-5)xm是幂函数， =r,所以m)=f(-2》=(-2》=子放选B ·29· ·数学（人教A版）必修第一册· 参考答案及解析 3.C【解析】对于A,y=子，定义域为(-60,0)U 号|AD·|PD=号(2-x)·y=号(2-x)· (0,十0)，当<0时，y=<0,不符合题意：对于 2(1-)=3-一是1<<2)放C正确：令1 B,当x=0时，y=√xT=0,不符合题意；对于C,y 十是(1<r<2),由对勾函数的性质得，当=厄 =子定义域为(-0,0)U(0,十c©)，函数为偶函 时，t取得最小值，此时S△ADp取得最大值，S矩形ABCD= 数，且y=立在(0，十∞)上单调递减，在 x(2-x)=√2(2-√2)=(2√2-2)cm2,故D正 确.故选BCD. (一∞，0)上单调递增，符合题意；对于D,y=x号，当 x=0时，y=0,不符合题意.故选C. 4,A【解析】：点(5，号)在幂函数f(x)的图象上： 设f(x)=,号=(5)广，解得。=-1，函数 f(x)=x1=,定义域为(-o∞，0)U(0,+o0), f(-x)==一f(x),∴函数f(x)是奇函数，根 三、填空题 据反比例图象知f(x)在（一∞，0），(0，十∞)上单 9.x立（答案不唯一）【解析】举例f(x)=x立，其定 调递减.故选A. 义域为(0，十∞)，且f(x)为减函数，符合题意】 5.A【解析】图(2)中直线向上平移，当乘客量为0时， 【解析】由题可知加密密钥为y=kx3,由已知 差额绝对值变小，又收入为0，说明降低成本，两直线 平行，说明票价不变；图(3)中当乘客量为0时，差额 可得，当x=4时，y=2,所以2=6×4，解得k=是 未变，又收入为0，说明成本没变，直线的倾斜程度变 1 1 1 大，说明相同的乘客量时收入变大，即票价提高了，故 品故y动，显然令y高即嘉动， 选A. 解得r=g即x=之 6.D【解析】由题可知f(x)=十1，则f(-x) 四、解答题 =-+十1，所以f(x)+f-x)=2,且f(0) 11.解：(1)：f(x)=(m2-m-5)xm是幂函数， m2-m-5=1, 1,则f(-2024)+f(-2023)+…+f(-1)+ 解得m=3或m=-2, (3分) f(0)十f(1)+…+f(2023)+f(2024)=2024 又幂函数f(x)不经过原点， ×[f(-1)+f(1)]+f(0)=2024×2+1=4049, .m=-2, 故选D. 即f(x)=x, (6分) 二、选择题 (2)由题得∫(x)=x2为偶函数，单调增区间为 7.BD【解析】对于A,当a<0时，幂函数的图象不过 (一∞，0)，单调减区间为(0，十∞). 点(0,0)，A错误；对于B,当x>0时，y=x>0 :f(2x-1)>f(x), (α∈R),所以幂函数的图象不可能经过第四象限，B 故0<2x-1<x, (9分) 正确；对于C,当a=一1时，幂函数y=x1在 (一∞，0)，(0，十∞)上皆单调递减，C错误：对于D, 即3x2-4x+1<0且x≠ 2x≠0， 若a为奇数，则（一x)”=一x,即幂函数为奇函数，D 正确.故选BD, 解得写<<或<<1， 1 8.BCD【解析】如图所示，因为矩形ABCD(AB>AD) 即x的取值范围为（号，）U(合1). (13分) 的周长为4cm,AB=xcm,则AD=(2-x)cm,所 x>0 12.解：(1)因为幂函数f(x)=(2m十m)xm在区间 以2-x>0,解得1<x<2,故A错误；由题意得AD (0,十∞)上单调递增， x>2-x 则/2m2+m=1 =B'C,∠D=∠AB'C,∠APD=∠CPB,所以 1m>0 △ADP≌△CB'P,则PA=PC=x-y,又PA2=AD 十DP2,则(x-y)2=(2-x)2十y,化简得y= 解得m=子· 2(1-）1<x<2),故B正确：Sar 故f(x)=x (4分) (2)当a=1时，可得g(x)=P(x)-4f(x)十3， ·30· 高一周测卷 ·数学（人教A版）必修第一册· 令t=f(x), 当0≤x≤10时， 因为x∈[1,4]，所以t∈[1,2]， F(x)=15C(x)+0.5x=15×200t+0.5x 即可得y=t-4t十3=(t-2)2-1, 20 所以函数y=(t-2)2-1在区间[1,2]上单调 +2+150 递减， 当t=2时，ymm=-1,当t=1时，ymax=0. 当x>10时， 所以函数g(x)在区间[1,4]上的值域为[-1,0]. 800 F(x)=15C(x)+0.5x=15X15+7万+0.5x (9分) (3)令t=f(x), 因为x∈[1,4]，所以t∈[1,2]， 因为g(x)≤0， ￥r+7+150,0<x≤10 即转化为t-(3a十1)t+3≤0， 所以F(x) 800,1 可得3a≥1+号-1.其中[1,2]， +52x,x>10 (11分) 所以3a≥(+9-1） (3)当0≤x≤10时，F(x)=- +2+1560 由基本不等式可得计号-1>2√·三-1=2万 t 因为F(x)在[0，号]上单调递增，在（号，10]上单 -1,当且仅当1=三，即1=时等号成立， 调递减， 所以F(x)mm=F(10)=80; (15分) 所以≥2B-1, 当x>10时， 3 综上可知，实数a的取值范围为[25-1，十） F(x)=800 =9+=”+岁5-号 22 (15分) ≥2×乎-昌-7， 2 2 13.解：(1)依题意得C(4)=9.2, 所以元-9.2 当且仅当兴少，即=5时等号成立， 所以F(x)m=37.5, (18分) 解得k=200, 又80>37.5，故F(x)mn=37.5. 故k的值为200. (4分) 则当x为35平方米时，F(x)取得最小值，最小值是 (2)依题意可知F(x)=15C(x)十0.5x, 37.5万元. (20分) 200-x,0≤x≤10 20 又由(1)得C(x)= (7分) 800 15x+75x>10 ·31高一同步周测卷/数学必修第一册 (八)幂函数、函数的应用（一） (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有 项是符合题目要求的) 1.已知集合A={x-8<x3<8},B={-3,-1,0,2,3},则A∩B= A.{-1,0,2} B.{2,3}》 C.{-3,-1,0》 D.{-1,0} 2.已知幂函数f(x)=(m2一m-5)xm为偶函数，则f(m)= 方 R号 C. D.12 3.如图所示的幂函数图象对应的解析式可能为 -2 A. B.y=√Tx C.y- D.y=x号 4.已知点(5，号)在幂函数fx)的图象上，则f(x)是 A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.在x∈（一∞，0）U(0,+∞)上单调递减 数学（人教A版）必修第一册第1页（共4页） 衡水金卷· 5.已知图(1)是某条公共汽车线路收支差额y关于乘客量x的图象，由于目前本条线路 亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图(2)(3)所示，这两种建议是 (1) (2) (3) A.(2):降低成本，票价不变；(3)：成本不变，提高票价 B.(2):提高成本，票价不变；(3)：成本不变，降低票价 C.(2):成本不变，提高票价；(3)：提高成本，票价不变 D.(2):降低成本，提高票价；(3)：降低成本，票价不变 6.巴知丽数)既是次两数又是都西数，若函数x)=g十1，则f(-202) +f(-2023)+…+f(-1)+f(0)+f(1)+…+f(2023)+f(2024)= A.2024 B.2025 C.4048 D.4049 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.下列关于幂函数y=x“的说法正确的是 A.幂函数的图象都过点(0,0)，(1,1) B.幂函数图象不过第四象限 C.当α=2,3，一1时，幂函数是增函数 D.当α为奇数时，幂函数为奇函数 8.设矩形ABCD(AB>AD)的周长为4cm,将△ABC沿AC向△ADC折叠，AB折过 去后交DC于点P.设AB=xcm,则 A.x的取值范围为(0,2) B设PD=ycm,则y与x的关系是y=2(1-)1<<2) C.△ADP的面积S与x的关系是S=3-x- 2(1<x<2) D.当△ADP的面积S最大时，矩形ABCD的面积为(2，√2一2)cm 先享题·高一同步周测卷八 数学（人教A版）必修第一册第2页（共4页） 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 4 5 6 2 8 答案 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.请写出一个幂函数f(x)满足以下两个条件：①定义域为(0，十∞)；②当0<x1<x2 时，fx)fx)<0,则f(x)的一个可能解析式为fx)= x1-x2 10.为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种 加密密钥密码系统(Private Key Cryptosystem),其加密、解密原理为：发送方由明文 →密文（加密），接收方由密文明文.现在加密密钥为y=kx3,如“4”通过加密后得 到密文“2”，若接受方接到窑文“26”，则解密后得到的明文是 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分)》 已知幂函数f(x)=(m2一m一5)xm(m∈R)的图象不经过原点. (1)求f(x)的解析式： (2)若f(2x一1)>f(x),求x的取值范围 数学（人教A版）必修第一册第3页（共4页)】 衡水金卷·先享题· 12.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=(22十m)xm为幂函数，且在区间(0，十o)上单调递增，令g(x)= f(x)-(3a+1)·f(x)+3. (1)求函数f(x)的解析式； (2)当a=1时，求函数g(x)在区间[1,4]上的值域； (3)若存在x∈[1,4]，使得g(x,)≤0能成立，求实数a的取值范围. 13.(本小题满分20分) 为了节能减排，某企业决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备，并接入本企业 的电网.安装这种供电设备的费用y(单位：万元)与太阳能电池板的面积x(单位：平 方米)成正比，比例系数为0.5.为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补 供电的模式.设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费C(单位：万元)与安装的 这种太阳能电池板的面积x(单位：平方米)之间的函数关系是C(x)= k一x2 20,0≤x≤10， (k为常数).已知太阳能电池板面积为4平方米时，每年消耗的 4k 15x+75x>10 电费为9.2万元，记F(x)(单位：万元)为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与 该企业15年所消耗的电费之和. (1)求常数k的值； (2)写出F(x)的解析式； (3)当x为多少平方米时，F(x)取得最小值？最小值是多少万元？ 高一同步周测卷八 数学（人教A版）必修第一册第4页（共4页）