3.1圆的有关概率 同步练习 2026-2027学年 浙教版数学九年级上册

**基本信息** 初中数学新授课同步练，分层设计清晰，从基础概念辨析到综合应用，覆盖圆的性质核心知识点，适配课堂巩固，培养几何直观与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|点与圆位置关系、外心性质、圆的确定条件|选择题直接考查定义（如第1题点与圆位置判断）| |技能应用|轨迹、半径计算、作图（作圆及内接三角形）|填空题结合几何直观（如第12题格点圆半径范围）| |综合拓展|外接圆半径、实际问题（噪音影响）|解答题关联生活情境（如17题拖拉机噪音影响时间计算）|

3.1圆的有关概率 同步练习 一、选择题 1．已知 的半径为5，点 在 内，则 的长可能是（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 2．三角形的外心具有的性质是（　　) A．到三边的距离相等 B．到三个顶点的距离相等 C．外心在三角形外 D．外心在三角形内 3．△ABC中，∠B＝55°，∠C＝65°．今分别以B、C为圆心，BC长为半径画圆B、圆C，关于A点位置，下列叙述何者正确？（　　） A．在圆B外部，在圆C内部 B．在圆B外部，在圆C外部 C．在圆B内部，在圆C内部 D．在圆B内部，在圆C外部 4．如图，点A，B，C，D均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 5．下列条件中，能确定一个圆的是（　　） A．以点为圆心 B．以长为半径 C．以点为圆心，长为半径 D．经过已知点 6．已知的半径为，点P到圆心O的距离为，则点（　　） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．在圆上或圆外 7．如图， 外接圆的圆心坐标是（　　） A．(5，2) B．(2，3) C．(1，4） D．(0，0) 8． 如图，在中，，是边上的高，，若圆C是以点C为圆心，2为半径的圆，那么下列说法正确的是（　　） A．点D在圆C上，点A，B均在圆C外 B．点D在圆C内，点A，B均在圆C外 C．点A，B，D均在圆C外 D．点A在圆C外，点D在圆C内，点B在圆C上 二、填空题 9．到点的距离都为3的点的轨迹是：　 　． 10．平面上有⊙O及一点P，P到⊙O上的距离最大为6 cm，最小为2 cm，则⊙O的半径为　 　cm． 11．如图，地面上有三个洞口A，B，C，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及三个洞口(到A，B，C三个点的距离相等)，尽快抓到老鼠，应该蹲守在△ABC　 　线的交点． 12．如图，在网格中(每个小正方形的边长均为1个单位)选取9个格点(格线的交点称为格点)．如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个点在圆内(不含圆周上)，则r的取值范围为　 　 三、作图题 13．如图，已知线段AB． （1）经过A，B两点可以作　 　个圆，这些圆的圆心都在　 　. （2）作经过A，B两点的所有圆中最小的圆． 14．已知圆上两点A，B(如图)，用直尺和圆规求作以AB为一腰的圆内接等腰三角形．这样的三角形能作几个？若作以AB为一边的圆内接等腰三角形，能作几个？ 四、解答题 15．如图，已知矩形ABCD的边AB=3cm，AD=4cm． （1）以点A为圆心，3cm为半径作⊙A，则点B，C，D与⊙A的位置关系如何? （2）以点A为圆心，4cm为半径作⊙A，则点B，C，D与⊙A的位置关系如何? （3）以点A为圆心，5cm为半径作⊙A，则点B，C，D与⊙A的位置关系如何? （4）以点A为圆心作圆，使B，C，D三点中至少有一点在圆外，且至少有一点在圆内，此圆半径R的取值范围是什么? 16．如图，在中，． （1）尺规作图：作的外接圆（保留作图痕迹） （2）求（1）中所作外接圆的半径． 17．（初中数学北师大版九年级下册第三章 圆练习题 (2)）如图，有两条公路OM，ON相交成30°，沿公路OM方向离两条公路的交叉处O点80米的A处有一所希望小学，当拖拉机沿ON方向行驶时，路两旁50米内会受到噪音影响，已知有两台相距30米的拖拉机正沿ON方向行驶，它们的速度均为5米/秒，问这两台拖拉机沿ON方向行驶时给小学带来噪音影响的时间是多少？ 答案解析部分 1．【答案】D 【解析】【解答】解：∵⊙O的半径为5，点P在⊙O内， ∴ ， 故答案为：D． 【分析】根据⊙O的半径为5，点P在⊙O内，求解即可。 2．【答案】B 【解析】【分析】根据三角形外心的定义进行解答即可． A、∵三角形的外心是三角形三条边垂直平分线的交点，∴到三边的距离相等不一定相等，故本选项错误； B、∵三角形的外心是三角形三条边垂直平分线的交点，∴到三个顶点的距离相等相等，故本选项正确； C、∵锐角三角形的外心在三角形的内部，∴外心不一定在三角形外，故本选项错误； D、∵顿角三角形的外心在三角形的外部，∴外心不一定在三角形内，故本选项错误。 故选B． 3．【答案】A 【解析】【解答】解：△ABC中，∵ ∠B＝55°，∠C＝65°， ∴∠A=180°-∠B-∠C=60°， ∴AB＞BC＞AC， ∵ 以B、C为圆心，BC长为半径画圆B、圆C， ∴ 点A在圆B外部，在圆C内部. 故答案为：A. 【分析】先由三角形的内角和定理求出∠A=60°，再根据同一个三角形中，大角对大边可得AB＞BC＞AC，进而根据点与圆的位置关系：设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内，据此判断即可得出答案. 4．【答案】C 【解析】【解答】解：可以画出圆的有：ABP，ACP，ADP，BCP，BDP，CDP，共6个。 故答案为：C. 【分析】根据“不在同一直线上的三个点确定一个圆”，求解即可。 5．【答案】C 【解析】【解答】A、只确定圆的圆心，不可以确定圆； B、只确定圆的半径，不可以确定圆； C、既确定圆的圆心，又确定了圆的半径，可以确定圆； D、既没有确定圆的圆心，又没有确定圆的半径，不可以确定圆； 故答案为：C. 【分析】 确定一个圆有两个重要因素，一是圆心，二是半径，根据定义并结合各选项即可判断求解． 6．【答案】C 【解析】【解答】解：∵点P到圆心O的距离为， ∴点P在圆外. 故答案为：C. 【分析】若点A到圆心的距离为d，圆的半径为r，当d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d<r时，点在圆内. 7．【答案】A 【解析】【解答】如图，作AB，BC的中垂线，交于点D，点D即为 外接圆的圆心，坐标为（5，2）. 故答案为：A. 【分析】根据三角形各边的中垂线的交点为三角形外接圆的圆心，作出 外接圆的圆心，进而即可得到坐标. 8．【答案】D 【解析】【解答】解：在 在中，， 是边上的高， 圆C是以点C为圆心，2为半径的圆， 点A在圆C外，点D在圆C内，点B在圆上， 故答案为：D. 【分析】利用直角三角形的性质求得BC，BD的值，再利用勾股定理求得AC，CD的值，根据点与圆的位置关系判断即可求解. 9．【答案】以A为圆心，3为半径的圆 【解析】【解答】解：由圆的定义得：到点A的距离都为3的点的轨迹是以点A为圆心，以3为半径的圆. 故答案为：以点A为圆心，以3为半径的圆. 【分析】本题考查圆的定义，在平面内到定点的距离等于定长的点的集合是圆。所以到点A的距离都为3的点的轨迹是以点A为圆心，以3为半径的圆，即为答案. 10．【答案】4或2 【解析】【解答】解：当点P在圆内时，则直径=6+2=8，故半径是4cm； 当点P在圆外时，直径=6-2-4，故半径是2cm； 综上所述，⊙O 的半径为2或4cm 故答案为：4或2 【分析】根据点与圆的位置关系分类讨论：当点P在圆内时，当点P在圆外时，进而即可求解。 11．【答案】三边垂直平分 【解析】【解答】解：三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等， ∴猫应该蹲守在△ABC三边垂直平分线的交点. 故答案为：三边垂直平分 【分析】由题意猫到A，B，C三个点的距离相等，所以猫应该蹲守在△ABC三边垂直平分线的交点. 12．【答案】＜r＜3． 【解析】【解答】解：如图所示： ∵AB=3， AE=AF=， AD=2， ∴AB＞AE＞AD， ∴＜r＜3时，以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内， 故答案为：＜r＜3． 【分析】先根据勾股定理求出AD=2，AE=AF=，AB=3，进而即可得到AB＞AE＞AD，从而即可得到＜r＜3时，以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内. 13．【答案】（1）无数；AB的中垂线上 （2）解：如图，⊙O为所作． 【解析】【解答】解：（1）经过A，B两点可以作无数个圆，这些圆的圆心都在线段AB的垂直平分线上； 故答案为：无数；线段AB的垂直平分线上； 【分析】 （1）根据圆的定义和线段垂直平分线的性质即可解答； （2）经过A，B两点的所有圆中最小的圆是以AB为直径的圆作图即可解答． 14．【答案】解：如图①，以AB为腰的等腰三角形能作2个，以AB为一边的等腰三角形能作4个，因为除图①中作出的两个三角形外，还可作出以AB为底边的两个等腰三角形，如图②，故以AB为一边的等腰三角形能作4个． 【解析】【分析】根据等腰三角形的性质和确定圆的条件可求解.以AB为一腰的圆内接接等腰三角形，这样的三角形有2个，理由如下：以A为圆心以AB为半径画弧可交圆于M；以B为圆心以AB为半径画弧可交圆于N，于是可知这样的等腰三角形有2个，即△ABM和△ABN；以AB为一边的圆内接等腰三角形，能作4个，理由如下：可分两种情况：①以AB为底时，过圆心作AB的垂线交圆于C、D两点，可作两个等腰三角形，即△ABC和△ABD；②以AB为腰时，有△ABM和△ABN. 15．【答案】（1）解：∵⊙A的半径为3cm，AB=3cm，AD=4cm，AD<AC， ∴AB等于⊙A的行径，AD大于⊙A的半径，AC大于⊙A的半径， ∴点B在圆上，点D在圆外，点C在圆外； （2）解：∵⊙A的半径为4cm，AB=3cm，AD=4cm，AD<AC， ∴AB小于⊙A的半径，AD等于⊙A的半径，AC大于⊙A的半径， （3）解：∵AD=4cm，CD=AB=3cm，∠D=90°， ∴AC=5cm. ∵5cm为半径作⊙A， AB=3cm，AD=4cm ， ∴AB小于⊙A的半径，AD小于⊙A的半径，AB等于⊙A的半径， ∴ 点在圆内，点在圆内，点在圆上 . （4）解：以点为圆心作圆，则点B，C，D与点的距离分别为3cm，5cm，4cm，所以满足三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外的的取值范围是. 【解析】【分析】（1）（2）（3）（4）设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内，据此判断即可得出答案. 16．【答案】（1）解：如图所示： 即为所求； （2）解：如图所示： 于，且，， ， 在中，，则， 在中，，则， 设，则，即，解得， （1）中所作外接圆的半径． 【解析】【分析】（1）根据题意，△ABC是等腰三角形，作出边AC、BC的中垂线，交点即为△ABC的外接圆圆心O，连接圆心与△ABC的一个顶点B，以这个线段长为半径作圆即可. （2）如图所示，由垂径定理可知OABC于D ，且OA=OB=r，在 Rt∆ABD中，用勾股定理求出AD的长，进而求得OD的长，在 Rt∆BOD中，用勾股定理求出OB的长，即可得到答案. 17．【答案】解：如图， 过点A作AC⊥ON， ∵∠MON=30°，OA=80米， ∴AC=40米， 当第一台拖拉机到B点时对学校产生噪音影响，此时AB=50， 由勾股定理得：BC=30， 第一台拖拉机到D点时噪音消失， 所以CD=30． 由于两台拖拉机相距30米，则第一台到D点时第二台在C点，还须前行30米后才对学校没有噪音影响． 所以影响时间应是：90÷5=18秒． 答：这两台拖拉机沿ON方向行驶给小学带来噪音影响的时间是18秒 【解析】【分析】过点A作AC⊥ON，求出AC的长，第一台到B点时开始对学校有噪音影响，第一台到C点时，第二台到B点也开始有影响，第一台到D点，第二台到C点，直到第二台到D点噪音才消失． 1 学科网（北京）股份有限公司 $