四川省彭州中学2025-2026学年高一上学期期末考试数学试卷

**基本信息** 2025-2026学年彭州中学高一上期末数学试卷，融入秦九韶“三斜求积术”、高斯函数等数学文化素材，设计生态果园利润计算等实际应用问题，综合考查数学眼光观察、思维推理与语言表达能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合运算、不等式恒成立、函数性质|第4题结合秦九韶算法考面积最值，第6题以高斯函数考零点| |多选题|3/18|不等式最值、抽象函数奇偶性|第10题通过抽象函数导数考查推理能力| |填空题|3/15|函数比较大小、不等式解集|第14题设计存在性函数问题，考查创新思维| |解答题|5/77|实际利润计算、集合运算、函数综合|15题生态果园利润模型，17题中心对称与弱对称概念应用|

2025-2026学年度四川省彭州中学高2025级高一上期末考试 数学试卷 命题人：蒋耀 审题人：石利娟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则(    ) A. B. C. D. 2.某校高一四班学生人，寒假参加体育训练，其中足球队人，排球队人，游泳队人，足球排球都参加的有人，足球游泳都参加的有人，排球游泳都参加的有人，问：三项都参加的学生数为(    ) A. B. C. D. 3.已知正实数，满足，若恒成立，则实数的取值范围是  (    ) A. B. C. D. 4.中国南宋著名数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，，，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形的周长的一半．已知的周长为，角，，对应的边分别为，，，且，则当的面积最大时，    ． A. B. C. D. 5.已知函数为偶函数，，，且，若，则以下结论错误的是    ． A. B. C. D. 6.享有“数学王子”称号的德国数学家高斯，是近代数学的奠基者之一，被称为“高斯函数”，其中，表示不超过的最大整数．例如：，，设为函数 的零点，则    ． A. B. C. D. 7.函数的零点个数为    ． A. B. C. D. 8.已知，对任意的，都存在，使得成立，则下列选项中，可能的值为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。（全选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分） 9.下列结论正确的是． A. 当时， B. 当时，的最大值是 C. 当时，的最小值是 D. 当时，的最大值是 10.已知函数的定义域为，对，且为的导函数，则(    ) A. 为偶函数 B. C. D. 11.已知函数，给出下列四个结论，其中正确的有(    ) A. 若，则函数至少有一个零点 B. 存在实数，，使得函数无零点 C. 若，则不存在实数，使得函数有三个零点 D. 对任意实数，总存在实数，使得函数有两个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知，，则，的大小关系是          ． 13.若函数，则不等式的解集是          ． 14.设，若存在定义域为的函数同时满足下列两个条件： 对任意的，的值为或； 关于的方程无实数解， 则的取值范围是          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题3分 李聪毕业后帮助某地打造“生态果园特色基地”，他决定为该地改良某种水果树，增加产量，提高收入．已知此水果树的单株产量为单位：千克，投入的成本为单位：元调研过程中发现：与之间满足关系式这种水果的市场售价为元千克，且供不应求，水果树单株获得的利润为单位：元． 求的解析式． 当投入成本为多少时，该水果树单株获得的利润最大？最大利润是多少？ 16.本小题分 已知集合，． 若，求实数的取值范围 当集合变为时，求的非空真子集的个数 若，求实数的取值范围． 17.本小题5分 设函数的定义域为，如果，都有，且满足，那么函数的图象称为关于点，的中心对称图形，点，就是其对称中心．如果，且，使得，，那么函数的图象称为关于点，的弱中心对称图形，点，就是其弱对称中心． 若函数的图象是关于点的中心对称图形，求实数的值； 若函数的图象是弱中心对称图形，且弱对称中心为，求实数的取值范围． 18.本小题分 如图，正方形的边长为，点，，，分别在边，，，上，，，与交于点，，记． 记四边形的面积为的函数，周长为的函数， 证明：； 求的最大值； 求四边形面积的最小值． 19.本小题分 已知函数满足，函数． 求函数的解析式； 若不等式在上恒成立，求实数的取值范围； 若关于的方程有四个不同的实数解，求实数的取值范围． 高一上期末数学试题答案 1.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了集合与集合的基本关系，属于基础题． 由已知变形整理集合，的表达式，即可得到． 【解答】 解：在集合中，，，是偶数， 在集合中，，，是整数， 综上可知，必有． 故选A． 2.【答案】  【解析】解：设集合参加足球队的学生， 集合参加排球队的学生， 集合参加游泳队的学生， 则， ， 设三项都参加的有人，即，， 所以由 即， 解得， 三项都参加的有人， 故选：． 3.【答案】  【解析】由正实数，满足，  得，  则 ，  当且仅当，且，  即时，等号成立，则  故实数的取值范围是． 4.【答案】  【解析】由题可知，，可得， 则， 当且仅当时取等号， 此时为等边三角形，故． 5.【答案】  【解析】因为是偶函数，所以函数的图象关于直线对称，所以，在中，令，得，又，所以，故 A正确；令，得，即，得，而，故 B错误；由已知得，则，得，那么，所以函数是周期为的周期函数，故，故 C正确； 因为函数的图象关于直线对称，所以，因为函数的周期为，所以，所以，故 D正确．故选B． 6.【答案】  【解析】因为函数在上单调递增，且，，  所以存在唯一零点，使得，由高斯函数的定义可知，  故选B． 7.【答案】  【解析】当时，由，解得或舍去． 当时，， 由以及均在上单调递增，可知在上单调递增． 又，， 根据零点存在定理可得，在上存在一个零点， 根据函数的单调性可知，在上存在唯一零点． 综上所述，的零点个数为． 8.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了三角函数的单调性，以及恒成立问题，需要学生有较综合的知识，属于中档题． 由题意可知，，即，可得，将对任意的，都存在，使得成立，转化为，，又由，可得，，再将选项中的值，依次代入验证，即可求解． 【解答】 解：， ， ， 对任意的，都存在，使得成立， ，， ， ，， 在 上单调递减， 当时，， ，故A选项错误， 当时，， ， ，故B选项正确， 当时，， ，故C选项错误， 当时，， ，故D选项错误． 故选：． 9.【答案】  【解析】当时，，故 A正确；当时，，当，即时，等号成立，故B正确；  当时，，，当，即时，等号成立，故C错误；当时，，，当，即时，等号成立，故D正确．  故选ABD． 10.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查抽象函数的奇偶性、简单复合函数的导数以及求函数值，属于中档题． 对于：令可判断； 对于：令，可求得的值，再令，可求得的周期，进而计算可判断； 对于：为奇函数，可得为偶函数进而可得关于对称，可判断； 对于：令，可得，令，则，两式相加可判断． 【解答】 解：对于：令，则， 为奇函数，故选项 A不正确； 对于：令，则， 令，则 为奇函数，   ， 的周期为，，故选项B正确； 对于：为奇函数， 为偶函数； 的周期为， 为偶函数， ， 所以函数关于对称，即， 令，可得， 所以， 令，可得， 所以，故， ，故选项C正确； 对于：令，则， 即， 令，则， 由得， ， 故选项D正确． 故选：． 11.【答案】  【解析】中，当时，函数， 令，可得， 在同一坐标系中作出，的图象，如图所示，由图象及直线过定点，可得函数至少有一个零点，所以A正确； 中，当，时，作出函数，的图象，由图象知，函数没有零点，所以B正确； 中，当，时，在同一坐标系中，作出函数，的图象，如图所示，由图象可得，此时函数有个零点，所以C错误； 中，分别作出当，，时，函数，的图象， 由图象知，对于任意实数，总存在实数使得函数有两个零点，所以D正确． 12.【答案】  【解析】，． 13.【答案】  【解析】因为，定义域为， 且，故其为奇函数，又，均为增函数， 故为上的增函数， 则原不等式等价于， 也即，整理得， 解得，故不等式的解集为． 14.【答案】  【解析】【分析】 本题考查函数零点与方程根的关系，属于中档题． 根据条件可知或，进而结合条件可得的范围． 【解答】 解：根据条件可得或， 又因为关于的方程无实数解，所以或， 故， 故答案为：． 15.【答案】解：由题意可知 由可知  若，则，可知其图象开口向上，对称轴为直线，此时的最大值为；  若，则，当且仅当，即时，等号成立，  此时的最大值为  因为，所以的最大值为，  所以当投入成本为元时，该水果树单株获得的利润最大，最大利润是元．   【解析】略 16.【答案】解：因为，所以A. 当时，由，得，符合题意 当时，根据题意，可得 解得 综上，实数的取值范围是． 当时，，共有个元素，所以的非空真子集的个数为． 当时，由知 当时，根据题意作出如图所示的数轴， 可得或解得． 综上，实数的取值范围是或．  【解析】本题考查含有参数的集合的交集、并集的运算问题，非空真子集的个数问题，主要分类讨论思想的运用，属于中档偏难题． 17.【答案】由题意可得，若的图象是关于点的中心对称图形， 且，则，从而． 因为的图象是关于点的中心对称图形， 所以，解得． 当时，，对于任意的，都有， 所以函数的图象是关于点的中心对称图形， 故． 由题意可知，存在，且，使得 当时，，则， 所以， 设， 易知对勾函数在上单调递增，所以， 所以； 当时，，则不成立； 当时，，则， ， 令，则在上单调递增，所以， 综上可知，实数的取值范围为．   【解析】略 18.【答案】解：由题知，， 所以； 由知， 当且仅当，即时取等号，所以，， 故当时，的最大值为； 因为， 令，所以， 令， 对称轴为，开口向上，由二次函数的性质知， 若，则在上单调递减，在上单调递增， 所以， 若，则在上单调递减， 所以， 综上，当时，四边形面积最小值为， 当时，四边形面积最小值为．   【解析】本题考查三角函数的实际生活中的应用，考查基本不等式求值、二次函数的性质等，属于较难题． 根据已知条件求出，，结合同角三角函数的平方关系即可求解； 根据的结论及基本不等式即可求解； 根据已知条件求出四边形的面积的表达式，利用换元法及二次函数的性质即可求解． 19.【答案】解：因为 则 故联立上述方程组，解得 由知，， 因为不等式在上恒成立， 所以在上恒成立， 设，则， 所以，，在上恒成立， 所以，在上恒成立， 因为，所以，当时，取得最大值，最大值为， 所以，，在上恒成立，则， 所以的取值范围是． 方程等价于， 即，， 令，则方程化为，， 因为方程有四个不同的实数解， 所以，，有两个不同的正根、， 记， 所以，，此时． 综上，的取值范围为．   【解析】本题考查具体函数的解析式，一元二次不等式的恒成立问题，函数根的个数问题，属于难题． 由条件构造关于和的方程组，即可求解； 首先不等式转化为在上恒成立，再通过换元，并参变分离为，，在上恒成立，转化为求函数的最值问题； 根据函数的解析式，并将不等式转化为，并利用换元，转化为二次函数零点分布问题，即可求解． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $