精品解析：四川省彭州中学2025-2026学年高一上学期期末考试数学试卷

2025-2026学年度四川省彭州中学高2025级高一上期末考试 数学试卷 命题人：蒋耀 审题人：石利娟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通分，根据数字特征即可判断两集合之间关系. 【详解】， ， 因为表示所有的奇数，而表示所有的整数，则， 故选：A. 2. 某校高一四班学生46人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，问：三项都参加的学生数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意设参加各类活动的学生的集合，找出各类运动的人数，然后结合题意列方程求解即可. 【详解】设集合参加足球队的学生， 集合参加排球队的学生， 集合参加游泳队的学生， 则， ， 设三项都参加的有人，即，， 所以由 即， 解得， 三项都参加的有4人， 故选：C. 3. 已知正实数x，y满足，若恒成立，则实数t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本不等式中“1”的妙用，可得答案. 【详解】由正实数x，y， ，则， 即， 当且仅当，即时，等号成立，则， 故选：A. 4. 中国南宋著名数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半.已知周长为12，，则此三角形面积最大时，=（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由秦九韶公式可得关于，的式子，再利用基本不等式求出得最大值时三角形各边长，再求． 【详解】由题可知，，可得， 则， 当且仅当时，取得等号， 所以此时三角形为等边三角形，故． 故选：C 5. 已知函数为偶函数，，且，若，则以下结论错误的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先由抽象函数判断函数的对称性，并根据条件，采用赋值法，判断AB选项，再利用赋值，判断函数的周期性，再由对称性和周期性判断CD. 【详解】因为是偶函数，所以函数的图象关于直线对称，所以， 在中，令，得， 又，所以，故A正确； 令，得，即，得， 而，故B错误； 由已知得，则，得， 那么，所以函数是周期为的周期函数， 故，故C正确； 因为函数的图象关于直线对称，所以， 因为函数的周期为，所以，所以，故D正确. 6. 享有“数学王子”称号的德国数学家高斯，是近代数学奠基者之一，被称为“高斯函数”，其中表示不超过的最大整数，例如：，设为函数的零点，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】先根据零点存在定理确定出零点的位置，进而根据高斯函数的定义求得答案. 【详解】因为函数在上单调递增，且，， 则存在唯一零点，使得，由高斯函数的定义可知，. 故选：B. 7. 函数的零点个数为（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数性质，分别求两段之内的零点即可。 【详解】当时，由，无零点. 当时，， 由以及均在上单调递增，可知在上单调递增. 又， 根据零点存在定理可得，在上存在一个零点， 根据函数的单调性可知，在上存在唯一零点. 综上所述，的零点个数为. 8. 已知，对任意的，，都存在，，使得成立，则下列选项中，可能的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知，，，即，，可得，，将存在任意的，，都存在，，使得成立，转化为，，又由，可得，，再将选项中的值，依次代入验证，即可求解． 【详解】解：，， ，， ，， 都存在，，使得成立， ，， ， ，， 在上单调递减， 当时，， ，故A选项错误， 当时，， ， ，故B选项正确， 当时，， ，故C选项错误， 当时，， ，故D选项错误. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.（全选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分） 9. 下列结论正确的是（ ）. A. 当时， B. 当时，的最大值是 C. 当时，的最小值是 D. 当时，的最大值是 【答案】ABD 【解析】 【详解】当时，，当且仅当时取到等号，由于,故等号取不到，所以故 A正确； 当时，，当，即时，等号成立，故B正确；  当时，， 当，即时，等号成立，故C错误； 当时，， 当，即时，等号成立，故D正确. 10. 已知函数的定义域为R，对，且为的导函数，则（ ） A. 为偶函数 B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：令，可判断A；对于B：令，进而计算可判断B；对于C：为奇函数，可得为偶函数；进而可得关于对称，可判断C；对于D：令，可得，令，则，两式相加可判断D. 【详解】对于A：令，则， 为奇函数，故选项A不正确； 对于B：令，则，令，则 为奇函数， ， 的周期为4，，故选项B正确； 对于C：为奇函数，为偶函数； 的周期为4， 为偶函数，， 关于对称， 所以，令，可得，令，可得， 所以，故， ，故选项C正确； 对于D：令，则，即①， 令，则②， 由①+②得， 故选项D正确. 故选：BCD． 【点睛】关键点睛：本题综合考查函数性质的应用，涉及到函数的奇偶性、周期性以及导数的知识，解答的关键是根据题意采用变量代换推出函数为周期为4的周期函数，进而求得一个周期内的函数值，即可求解. 11. 已知函数，给出下列四个结论，其中正确的有（ ） A. 若，则函数至少有一个零点 B. 存在实数，使得函数无零点 C. 若，则不存在实数，使得函数有三个零点 D. 对任意实数，总存在实数使得函数有两个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】同一坐标系中，作出函数的图象，结合图象，利用数形结合法求解. 【详解】A中，当时，函数， 令，可得， 在同一坐标系中作出的图象， 如图所示， 由图象及直线过定点，可得函数至少一个零点，故A正确；    B中，当，时，作出函数的图象， 由图象知，函数没有零点，所以B正确；    C中，当时，在同一坐标系中，作出函数的图象， 如图所示，由图象可得，此时函数有3个零点，所以C错误；    D中，分别作出当时，函数的图象， 由图象知，对于任意实数，总存在实数使得函数有两个零点，所以D正确.    故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知,，则,的大小关系是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】利用作差法直接比较大小. 【详解】解：因为, 所以 所以. 故答案为：. 13. 若函数，则不等式的解集是_________． 【答案】 【解析】 【分析】判断函数的单调性和奇偶性，并转化目标不等式，再求对数不等式即可. 【详解】因为，定义域为，且，故其为奇函数， 又均为单调增函数，故为上的单调增函数； 则原不等式等价于，也即，整理得， 解得，故不等式的解集为. 故答案为：. 14. 设，若存在定义域为的函数同时满足下列两个条件：（1）对任意的，的值为或；（2）关于的方程无实数解，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件（1）可知或，结合条件（2）可得的范围，并分析函数的构成，即可确定的范围． 【详解】根据条件（1）知当时，的值为0或，故； 当时，的值为1或，故； 又根据条件（2），关于的方程无实数解，所以，且． 由条件（1）可知函数的图象是由函数和函数的图象分段拼接而成的， 若，只需取，则无实数解，符合条件（2）； 若，只需取，则无实数解，符合条件（2）； 若，只需取，则无实数解，符合条件（2）， 故的取值范围是． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 师大附中考入北大的学生李聪毕业后帮助某地打造“生态果园特色基地”，他决定为该地改良某种珍稀水果树，增加产量，提高收入，调研过程中发现：此珍稀水果树的单株产量W（单位：千克）与投入的成本（单位：元）满足如下关系：，已知这种水果的市场售价为10元/千克，且供不应求.水果树单株获得的利润为（单位：元）. （1）求的函数关系式； （2）当投入成本为多少时，该水果树单株获得的利润最大?最大利润是多少? 【答案】（1） （2）当投入成本为90元时，该水果树单株获得的利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】（1）由题意可知：，结合题意代入运算即可； （2）分和，结合二次函数和基本不等式求最大值. 【小问1详解】 由题意可知：. 【小问2详解】 由（1）可知：， 若，则，可知其图象开口向上，对称轴为， 此时的最大值为； 若，则， 当且仅当，即时，等号成立， 此时的最大值为； 又因为，可知的最大值为， 所以当投入成本为90元时，该水果树单株获得的利润最大，最大利润是元. 16. 已知集合． （1）若，求实数m的取值范围； （2）当集合A变为时，求A的非空真子集的个数； （3）若，求实数m的取值范围． 【答案】（1）； （2）254； （3）或. 【解析】 【分析】（1）因为，所以A，分类讨论和即可得出答案； （2）当时，A中共有8个元素，即可求出A的非空真子集的个数； （3）若，分类讨论和，即可求出实数的取值范围. 【小问1详解】 因为，所以. 当时，由，得，符合题意； 当时，根据题意，可得 解得 综上，实数的取值范围是． 【小问2详解】 ，共有个元素， 所以A的非空真子集的个数为． 【小问3详解】 当时，由（1）知， 当时， 可得或，解得． 综上，实数的取值范围是或． 17. 设函数的定义域为，如果，都有，且满足，那么函数的图象称为关于点的中心对称图形，点就是其对称中心．如果，且，使得，那么函数的图象称为关于点的弱中心对称图形，点就是其弱对称中心． （1）若函数的图象是关于点的中心对称图形，求实数的值； （2）若函数，的图象是弱中心对称图形，且弱对称中心为，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意“中心对称图形”的定义分析判断即可； （2）根据“弱对称中心图形”定义，代入解出表达式，讨论取值范围，再利用换元法即可求解． 【小问1详解】 由，解得． 当时，， 对于任意的，都有， 所以函数的图象是关于点的中心对称图形， 故． 【小问2详解】 由题意可知，存在，且，使得， 当时，，则， 所以， 又知对勾函数在上单调递增， 所以，所以； 当时，，则不成立； 当时，，则， 所以， 令，易得在上单调递增，所以． 综上可知，实数的取值范围为． 18. 如图，正方形的边长为，点W，E，F，M分别在边，，，上，，，与交于点，，记． （1）记四边形的面积为的函数，周长为的函数， （i）证明：； （ii）求的最大值； （2）求四边形面积的最小值． 【答案】（1）（i）证明见解析；（ii） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）（i）根据已知条件求出，，结合同角三角函数的平方关系即可求解； （ii）根据（i）的结论及重要不等式即可求解； （2）根据已知条件求出四边形的面积的表达式，利用换元法及二次函数的性质即可求解. 【小问1详解】 （i）由题知：，． 所以． （ii）由（i）知：， 当时，时取等号， 所以， 故当时，的最大值为． 【小问2详解】 因为． 令，所以， 令， 对称轴为，开口向上，由二次函数的性质知， 若，则在上单调递减，在上单调递增， 所以． 若，则在上单调递减， 所以， 综上，当时，四边形面积最小值为； 当时，四边形面积最小值为. 19. 已知函数满足，函数． （1）求函数的解析式； （2）若不等式在上恒成立，求实数k的取值范围； （3）若关于x的方程有四个不同的实数解．求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由条件构造关于和的方程组，即可求解； （2）首先不等式转化为在上恒成立，再通过换元，并参变分离为，，在上恒成立，转化为求函数的最值问题； （3）根据函数的解析式，并将不等式转化为，并利用换元，转化为二次函数零点分布问题，即可求解. 【小问1详解】 因为①， 则②， 故联立上述方程，解得； 【小问2详解】 由（1）知，， 因为不等式在上恒成立， 所以在上恒成立， 设，则， 所以在上恒成立， 所以在上恒成立， 因为，所以，而在上单调递减， 故当时，取得最大值，最大值为， 所以， 所以的取值范围是； 【小问3详解】 方程等价于， 即，， 令，则方程化为，（）， 因为方程有四个不同的实数解，而t的每个值对应x的值有2个， 所以，（）有两个不同的正根、， 记， 所以，解得， 所以． 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度四川省彭州中学高2025级高一上期末考试 数学试卷 命题人：蒋耀 审题人：石利娟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 某校高一四班学生46人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，问：三项都参加的学生数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 已知正实数x，y满足，若恒成立，则实数t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 中国南宋著名数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半.已知周长为12，，则此三角形面积最大时，=（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数为偶函数，，且，若，则以下结论错误的是（ ）. A. B. C. D. 6. 享有“数学王子”称号的德国数学家高斯，是近代数学奠基者之一，被称为“高斯函数”，其中表示不超过的最大整数，例如：，设为函数的零点，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 函数的零点个数为（ ）. A. B. C. D. 8. 已知，对任意的，，都存在，，使得成立，则下列选项中，可能的值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.（全选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分） 9. 下列结论正确的是（ ）. A. 当时， B. 当时，的最大值是 C. 当时，的最小值是 D. 当时，的最大值是 10. 已知函数的定义域为R，对，且为的导函数，则（ ） A. 为偶函数 B. C. D. 11. 已知函数，给出下列四个结论，其中正确的有（ ） A. 若，则函数至少有一个零点 B. 存在实数，使得函数无零点 C. 若，则不存在实数，使得函数有三个零点 D. 对任意实数，总存在实数使得函数有两个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知,，则,的大小关系是 _____． 13. 若函数，则不等式的解集是_________． 14. 设，若存在定义域为的函数同时满足下列两个条件：（1）对任意的，的值为或；（2）关于的方程无实数解，则的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 师大附中考入北大的学生李聪毕业后帮助某地打造“生态果园特色基地”，他决定为该地改良某种珍稀水果树，增加产量，提高收入，调研过程中发现：此珍稀水果树的单株产量W（单位：千克）与投入的成本（单位：元）满足如下关系：，已知这种水果的市场售价为10元/千克，且供不应求.水果树单株获得的利润为（单位：元）. （1）求的函数关系式； （2）当投入成本为多少时，该水果树单株获得的利润最大?最大利润是多少? 16. 已知集合． （1）若，求实数m的取值范围； （2）当集合A变为时，求A的非空真子集的个数； （3）若，求实数m的取值范围． 17. 设函数的定义域为，如果，都有，且满足，那么函数的图象称为关于点的中心对称图形，点就是其对称中心．如果，且，使得，那么函数的图象称为关于点的弱中心对称图形，点就是其弱对称中心． （1）若函数的图象是关于点的中心对称图形，求实数的值； （2）若函数，的图象是弱中心对称图形，且弱对称中心为，求实数的取值范围． 18. 如图，正方形的边长为，点W，E，F，M分别在边，，，上，，，与交于点，，记． （1）记四边形的面积为的函数，周长为的函数， （i）证明：； （ii）求的最大值； （2）求四边形面积的最小值． 19. 已知函数满足，函数． （1）求函数的解析式； （2）若不等式在上恒成立，求实数k的取值范围； （3）若关于x的方程有四个不同的实数解．求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $