第25章一元二次方程末复习课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件系统梳理了一元二次方程的定义、解法、根的判别式、根与系数关系及实际应用，通过核心概念分模块整合，如解法按直接开平方法、因式分解法等优先级排序，应用问题归纳“审设列解验答”步骤，帮助学生构建完整知识网络。 其亮点在于采用“概念辨析-解法对比-实际建模”复习策略，如通过销售利润问题培养数学建模能力，根与系数关系推导发展逻辑推理，分层练习（基础巩固到综合应用）满足不同学生需求，助力教师精准复习，提升学生数学运算与应用意识。

第25章一元二次方程章末复习 核心概念梳理与典型例题精讲 一元二次方程章末复习主讲人：深海楠木时间：2026.07核心概念梳理与典型例题精讲 复习目标 1.理解一元二次方程的定义，能准确识别一元二次方程；掌握一般形式,分清二次项、一次项、常数项及对应系数。 2.掌握直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法四种解法，能根据方程特点灵活选择最优方法求解一元二次方程。 3.理解根的判别式的意义，会判断一元二次方程实数根的情况；已知根的情况，能求解字母参数取值范围。 4.掌握根与系数关系，熟练运用常见代数式变形进行求值。 5.能够建立一元二次方程模型解决实际问题（增长率、图形面积、销售利润、动点问题等），会检验解是否符合现实意义。 6.经历探索一元二次方程解法的过程，体会转化、降次的数学思想（将二次方程转化为一元一次方程）。 7.通过配方法的推导，理解公式法的由来，发展逻辑推理能力。 8.在解决实际问题中，提升从文字情境提取等量关系、建立数学模型的能力。 9.培养严谨的运算习惯，减少解方程、参数讨论中的计算失误。 10体会方程模型的实用价值，增强运用数学解决生活问题的意识。 11.提升数学运算、数学建模、逻辑推理三大核心素养。 素养学习目标 一元二次方程定义 只含一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程。其一般形式为ax²+bx+c=0（a≠0）。 方程组成结构 ax²是二次项，a为二次项系数；bx是一次项，b为一次项系数；c是常数项。a≠0是核心判定条件。 退化情况说明 若二次项系数a=0，则方程退化为一次方程，不再属于一元二次方程的范畴。 知识点（一 ） 1.一元二次方程的定义 一元二次方程定义只含一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程。其一般形式为ax²+bx+c=0（a≠0）。方程组成结构ax²是二次项，a为二次项系数；bx是一次项，b为一次项系数；c是常数项。a≠0是核心判定条件。退化情况说明若二次项系数a=0，则方程退化为一次方程，不再属于一元二次方程的范畴。一元二次方程定义 方程根的定义 使方程左右两边相等的未知数的值称为方程的根。 实数根的数量 一元二次方程在实数范围内最多有两个实数根。 根的求解示例 例如方程 x² - 4 = 0，通过求解可得 x = ±2。 根的验证作用 2 和 -2 代入方程能使左右两边相等，即为根。 2.方程的根（解） 方程根的定义使方程左右两边相等的未知数的值称为方程的根。实数根的数量一元二次方程在实数范围内最多有两个实数根。根的求解示例例如方程 x² - 4 = 0，通过求解可得 x = ±2。根的验证作用2 和 -2 代入方程能使左右两边相等，即为根。方程的根（解） 1.下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. y2+3=y（y-1）+2 B. ax2+bx+c=0 C. (x–2)(x+3)=25 D. -5x2+3xy=7 2.方程 6x2+x=x2+x-4 的二次项系数是_____，一次项系数是_____，常数项是_____. C 5 0 4 巩固练习 3.若a（a）是关于x的方程x2+bx-2a=0的一个根，则a+b的值为（ ） A.2 B.-2 C.0 D.4 A 直接开平方法 方法定义 直接开平方法适用于形如x²=p或(mx+n)²=p的方程，其中p≥0。 核心思想 核心是直接对方程两边开平方，从而求解未知数的值。 典型方程一 例如方程x²=9，开平方后直接得到x=±3。 适用条件与步骤 适用形式 方程必须为平方项等于非负常数的形式，且无一次项。 关键条件 等式右边的常数p必须大于或等于零，才能进行实数开方。 优先考虑 对于无一次项的方程，应优先考虑使用直接开平方法求解。 1.直接开平方法 知识点（二）1一元二次方程的解法 直接开平方法方法定义直接开平方法适用于形如x²=p或(mx+n)²=p的方程，其中p≥0。核心思想核心是直接对方程两边开平方，从而求解未知数的值。典型方程一例如方程x²=9，开平方后直接得到x=±3。适用条件与步骤适用形式方程必须为平方项等于非负常数的形式，且无一次项。关键条件等式右边的常数p必须大于或等于零，才能进行实数开方。优先考虑对于无一次项的方程，应优先考虑使用直接开平方法求解。直接开平方法 （1）16x2 – 5= 0； （2）(x+3)2 – 25 = 0. 解：（1）移项，并将二次项系数化为1，得 x2 = . 由此可得 x =±. 即 x1 = ， x2 = – . 巩固练习 用直接开平方法 解下列方程： 用直接开平方法 解下列方程： （1）9x2 – 7 = 0； （2）(x+3)2 – 25 = 0. 解：（2）移项，得 (x+3)2 =25. 由此可得 x+3=±5，x+3=5，或 x+3= – 5， 即 x1 =2， x2 = – 8 . 对应练习 配方法概述 核心步骤 主要应用 一种将二次方程转化为完全平方形式的解题技巧。 化系数、移项、配方、开方，最终求解方程。 推导公式、求最值，直接解简单方程较少使用。 先将二次项系数化为1，移常数项至等号右边，两边加上一次项系数一半的平方，从而配方形成完全平方式。 步骤详解 以方程x²+6x+5=0为例，移项得x²+6x=-5，两边加9得(x+3)²=4，开方后解出x=-1或x=-5。 实例演示 主要用于理论推导，如求根公式的证明，以及解决代数式的最值问题，而非日常解简单方程的首选方法。 应用场景 2.配方法 配方法概述核心步骤主要应用一种将二次方程转化为完全平方形式的解题技巧。化系数、移项、配方、开方，最终求解方程。推导公式、求最值，直接解简单方程较少使用。先将二次项系数化为1，移常数项至等号右边，两边加上一次项系数一半的平方，从而配方形成完全平方式。步骤详解以方程x²+6x+5=0为例，移项得x²+6x=-5，两边加9得(x+3)²=4，开方后解出x=-1或x=-5。实例演示主要用于理论推导，如求根公式的证明，以及解决代数式的最值问题，而非日常解简单方程的首选方法。应用场景配方法 随堂练习 1.一元二次方程 x2 – 8x +2=0 配方，可变形为（ ） A. (x–4)2=14 B. (x–4)2=13 C. (x+4)2=18 D. (x+4)2=13 A 巩固练习 2.若 9x2–(k+2)x+4 是完全平方式，则 k =（ ） A. 10 B. 10或14 C. –10或14 D. 10或–14 D 3.用配方法解下列方程： （1）x2+8x-10=0； （2）x2–x– = 0； 解：移项，得 x2+8x=10. 配方，得x2+8x+42= 10+42， (x+4)2=36. 由此可得 x+4=±6， x1= 2，x2= –10. 解：移项，得 x2–x = . 配方，得x2–x+()2= + ()2， (x – )2=1. 由此可得 x – =±1， x1= ，x2= – . 4.已知三角形两边长为 4 和 5，第三边长是方程 x2–10x+24=0 的解，则这个三角形的周长为_________. 12或17 公式法定义 公式法是适用于所有有实数根的一元二次方程的通用解法。 求根公式 当判别式非负时，求根公式为 x = [-b ± √(b² - 4ac)] / (2a)。 使用步骤一 首先确定方程中 a、b、c 三个系数的具体数值。 使用步骤二 计算判别式 b² - 4ac，判断其值是否大于等于零。 应用示例 以方程 2x² + 3x - 1 = 0 为例，代入 a=2, b=3, c=-1 求解。 3.公式法 公式法定义公式法是适用于所有有实数根的一元二次方程的通用解法。求根公式当判别式非负时，求根公式为 x = [-b ± √(b² - 4ac)] / (2a)。使用步骤一首先确定方程中 a、b、c 三个系数的具体数值。使用步骤二计算判别式 b² - 4ac，判断其值是否大于等于零。应用示例以方程 2x² + 3x - 1 = 0 为例，代入 a=2, b=3, c=-1 求解。公式法 随堂练习 1.一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根，则 b2–4ac 满足的条件是（ ） A. b2–4ac=0 B. b2–4ac>0 C. b2–4ac<0 D. b2–4ac≥0 A 2.利用求根公式求 10x2+=-x 的根时，a，b，c 的值分别是（ ） A. -10, , 3 B. -10, 1, C.10, 1, D. 10, –1, –3 C 巩固练习 3.已知一元二次方程：①x2+x+7=0，②2x2–x–5=0.下列说法正确的是（ ） A.①②都有实数解 B.①无实数解，②有实数解 C.①有实数解，②无实数解 D.①②都无实数解 B 适用条件 方程整理为右边为0，左边可快速因式分解时适用，如提公因式、公式法、十字相乘。 核心原理 基于若A·B=0，则A=0或B=0，将方程转化为两个或多个一次方程求解。 步骤简述 1.移项使右边为0；2.左边因式分解；3.令各因式为0；4.分别求解。 应用示例 如方程x²-3x=0，分解为x(x-3)=0，得x=0或x-3=0，解得x=0或x=3。 4.因式分解法 适用条件方程整理为右边为0，左边可快速因式分解时适用，如提公因式、公式法、十字相乘。核心原理基于若A·B=0，则A=0或B=0，将方程转化为两个或多个一次方程求解。步骤简述1.移项使右边为0；2.左边因式分解；3.令各因式为0；4.分别求解。应用示例如方程x²-3x=0，分解为x(x-3)=0，得x=0或x-3=0，解得x=0或x=3。因式分解法 1.由方程x(x-2)=0可以得到的方程是 ( ) A. x=0或x-2=0 B. x=0 C. x-2=0 D. x+2=0 2.方程(x-4)(x+5)=0的根是 ( ) A. x1=4,x2=5 B. x1=4,x2=−5 C. x1=−4,x2=−5 D. x1=−4,x2=5 巩固练习 A B 3.解下列方程： （1）x2+2x=0； （2）x2 –5x = 0； 解：左边分解因式，得 x(x+2)=0. 于是 x=0，或 x+2=0， 即 x1=0，x2= – 2. 解：左边分解因式，得 x(x–5)=0. 于是 x=0，或 x–5=0， 即 x1=0，x2= 5. 直接开平方法 适用于形如(x-a)²=b的方程。直接开方，快速得到解，是最高效的解法之一。 因式分解法 适用于容易因式分解的方程。将方程化为乘积形式，令各因式为零即可求解。 公式法 通用解法，适用于所有一元二次方程。直接代入求根公式，计算准确但步骤稍多。 配方法 多用于公式推导或特定变形。通过配方将方程转化为完全平方形式再求解。 解法优先级建议 直接开平方法适用于形如(x-a)²=b的方程。直接开方，快速得到解，是最高效的解法之一。因式分解法适用于容易因式分解的方程。将方程化为乘积形式，令各因式为零即可求解。公式法通用解法，适用于所有一元二次方程。直接代入求根公式，计算准确但步骤稍多。配方法多用于公式推导或特定变形。通过配方将方程转化为完全平方形式再求解。解法优先级建议 用适当方法解下列方程： （1）(x–2)2–81=0； 解：移项，得 (x–2)2=81， 由此可得 x–2=±9， 即 x1=11， x2= –7. （2）–2x2+5x= –3； （3）(x–4)2=8–2x. 解：方程化为 –2x2+5x+3=0， 此时a= –2，b=5，c=3. 所以 Δ=b2–4ac=52–4×(–2)×3=49>0. 方程有两个不相等的实数根 x = = = ， 即 x1= 3，x2= – . 解：方程变形，得 (x–4)2+2(x–4)=0. 左边分解因式，得 (x–4)(x–4+2)=0， 即(x–4)(x–2)=0. 于是 x–4=0，或 x–2=0， 即 x1= 4，x2= 2. 知识点（三） 一元二次方程根与系数的关系 1.若 x1，x2 是一元二次方程 ax2+bx+c=0 （a≠0）的两个根， 则 x1+x2= – ，x1x2= . 2.一元二次方程根与系数的关系使用前提b2–4ac ≥ 0 1.若方程 x2–x–2=0 的两个根是 x1和x2，则（x1 +x2）-x1x2的值为（ ） A. –1 B. 1 C. –2 D. 2 2.若一元二次方程 3x2–6x–12=0 的两个根为 a，b，则 a2 b+ab2 的值为_______. -8 巩固练习 A 3.设 x1，x2 是方程 x2+(2m+1)x+m2–1=0 的两个实数根，且满足 x12+x22+x1x2–17=0，求 m 的值. 解：由一元二次方程的根与系数的关系，得x1+x2= –(2m+1)，x1x2=m2–1，所以 x12+x22+x1x2–17=(x1+x2)2–x1x2–17=[–(2m+1)]2–(m2–1)–17=0，即 3m2+4m–15=0，解得 m1= ，m2= –3. 因为方程 x2+(2m+1)x+m2–1=0 有两个实数根， 所以 Δ=(2m+1)2– 4(m2–1)≥0. 所以4m+5≥0，解得 m ≥ – . 所以 m 的值为 . 知识点5 一元二次方程的应用 实际问题解题步骤： 1. 审：审清题意，明确已知条件和未知条件，找到它们之间的等量关系； 2. 设：设未知数； 3. 列：根据等量关系列出方程； 4. 解：解方程； 5. 验：检验解在实际问题中是否有意义； 6. 答：写出实际问题的答案. 解：设原来的两位数的十位上的数字为x，则个位上的数字为 5–x. 依题意，得 [10x+(5–x)][10(5–x)+x]=736. 解得 x1=2，x2=3. 当 x=2 时， 5–x=3；当 x=3 时， 5–x=2. 所以原来的两位数是23或32. 1.一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和是5，把这个数的个位上的数字与十位上的数字对调后，所得的新的两位数与原来的两位数的乘积为736，求原来的两位数. 1.数字问题 知识点5 一元二次方程的应用 2.如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙,围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用 25 m），现在已备足可以砌 50 m 长的墙的材料，当矩形花园的面积为300 m2 时，求AB的长． 2.几何图形问题 解：设AB长为 x m，则BC长为 (50–2x) m. 根据题意，得 x(50–2x)=300. 解方程，得 x1= 10，x2=15. 当 x=10 时，AD=BC=50–2x=30>25，不合题意，所以 x=10 应该舍去． 当 x=15 时，AD=BC=50–2x=20<25，所以 x=15 满足条件． 答：AB的长为15 m. 3.有一个人收到微信后，再用手机转发微信消息，每人只转发一次，经过两轮转发后共有73人收到微信消息，则每轮转发中平均一个人转发给几个人？ 解：设每轮转发中平均一个人转发给 x 个人. 依题意，得 1+x+x2=73， 解得 x1=8，x2= –9（不符合题意，舍去）. 答：每轮转发中平均一个人转发给8 个人. 3.传播问题 4.某芯片公司为了满足市场需求，引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产芯片 121 万个，第三季度生产芯片 196 万个. 求前三季度生产量的平均增长率. 解：设前三季度生产量的平均增长率为 x . 由题意，得121(1+x)2 =196， 解得 x10.27，x2 –2.27（不符合题意，舍去）. 答：前三季度生产量的平均增长率约为 27% . 4.平均变化率问题 5. 某校为了丰富同学们的课外活动，准备组织篮球赛，参赛的每两队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件限制，赛程计划安排9天，每天安排5场比赛，则该学校有多少支足球队参赛？ 解：设该校有 x 支足球队参赛. 根据题意，得 x(x−1)=9×5. 解得 x1=−9（不符合题意，舍去），x2=10. 答：该县团委应邀请 10 支足球队参赛. 5.循环问题 6. 某社团有n个人参加作品分享活动，每两人都都要分享1件作品，经统计所有人共分享作品90件，求该社团共有多少人？ 解：由题意，得 n(n−1)=90. 解方程，得 n1=9，n2= − 10（不合题意，舍去）. 答：共有9人参加聚会. 7.一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件. 当每件商品降价多少元时，该商店每天的销售利润为1200元？ 6.销售问题 解：设当每件商品降价 x 元时，该商店每天的销售利润为1200元. 根据题意，得(40−x)(20+2x)= 1200. 整理，得 x2−30x+200=0. 解得x1=10，x2=20. 因为要求每件盈利不少于25元，所以40−x≥25，解得 x≤15. 所以 x2=20 应舍去. 所以 x=10. 答：当每件商品降价10元时，该商店每天的销售利润为1200元. 知识梳理 课堂小结 复习巩固 1.解下列方程： （1）25x2–1=0； （2）4x2+12x+9=81； 解：移项，得 25x2=1. 直接开平方，得 5x=±1. 所以 x1= ，x2= – . 解：移项，二次项系数化为1，得 x2+3x–18=0. 左边分解因式，得(x+6)(x–3)=0. 于是 x+6=0，或 x–3=0， x1= –6 ，x2= 3. 课后作业 2.两个数的和为 8，积为 7，求这两个数. 解：设其中一个数为 x，则另一个数为 8−x. 根据题意，得x(8−x)=7， 整理，得 x2−8x+7=0， 解得 x1=1，x2=7. 当 x=1 时，8− x = 7； 当 x=7 时，8− x = 1. 答：这两个数分别是1 和 7 . 3.已知关于 x 的方程 2x2–(4k+1)x+2k2–1=0，当 k 为何值时，方程有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，没有实数根？ 综合运用 解：由题可知，a=2，b= – (4k+1)，c=2k2–1. 由根的判别式，得Δ=b2–4ac=(4k+1)2–4×2×(2k2–1)=8k+9. 所以，当 8k+9>0，即 k > – 时，方程有两个不相等的实数根； 当 8k+9=0，即 k= – 时，方程有两个相等的实数根； 当 8k+9<0，即 k < – 时，方程没有实数根. 4.要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式，计划安排15场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？ 解：设应邀请 x 个球队参加比赛. 由题意，可知 x(x–1)=15，x2–x–30=0， 解得 x1=6，x2= –5（不合题意，舍去）. 所以 x = 6. 答：应邀请6个球队参加比赛. 5. 绿水村 2020 年的人均收入为 18000 元，2022 年的人均收入为 21000 元. 求人均收入的年平均增长率（结果写成 a% 的形式，其中 a 保留小数点后两位）. 解：设人均收入的年平均增长率为 x. 由题意，可知 18000(1+x)2=21000，解得x=± –1， 所以 x1≈0.0801，x2≈ – 2.1. 又因为 x= – 2.1 不合题意，舍去， 所以 x=8.01%. 答：人均收入的年平均增长率为8.01%. $