26.1二次函数的概念（大单元教学课件）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数的概念，通过喷头水珠路线、果园产量、储蓄本息等生活情境导入，引导学生从一次函数过渡到二次函数，搭建从具体实例到抽象定义的认知支架。 其亮点在于以真实情境和多样典例为载体，通过果园产量推导关系式培养数学眼光，判断函数类型时强调定义与化简发展推理思维，矩形面积、利润计算等应用问题强化模型意识。学生能提升抽象能力和应用意识，教师可高效落实概念教学。

人教版(新教材) 九年级上册 26.1 二次函数的概念 第二十六章 二次函数 26.1 二次函数的概念 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 从喷头喷出的水珠，在空中经过的路线是一条曲线，在这条曲线的各个位置上，水珠的竖直高度y与它距离喷头的水平距离x之间有什么关系？ 26.1 二次函数的概念 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 某果园有100棵杨桃树，每一棵树平均结600个杨桃．现准备多种一些杨桃树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个杨桃． 假设果园增种x棵杨桃树，那么果园共有多少棵杨桃树? 这时平均每棵树结多少个杨桃? 果园共有(100 + x)棵树, 平均每棵树结(600 − 5x)个杨桃． 26.1 二次函数的概念 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 如果果园杨桃的总产量为 y 个， 那么请你写出 y 与 x 之间的关系式． 因此果园杨桃的总产量： 　 y =(100 + x)(600 − 5x) = −5x² + 100x + 60000.　　 26.1 二次函数的概念 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 设人民币一年定期储蓄的年利率是 x ,一年到期后,银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存．如果存款是100元,那么请你写出两年后的本息和 y(元)的表达式(不考虑利息税)． 分析：本息和=本金+本金×利率×期数 y = 100(x+1)² 解：两年后本息和为： 一年后本息和=100 + 100x =100(x +1)． = 100x² + 200x + 100 26.1 二次函数的概念 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为 x，表面积为 y，则 y 关于 x 的关系式为 . y = 6x2 此式表示了正方体的表面积 y 与棱长 x 之间的关系，对于 x 的每一个值，y 都有唯一一个对应值，即 y 是 x 的函数. 26.1 二次函数的概念 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 以上几个问题中函数关系式有什么共同点? y = −5x² + 100x + 60000 1 y = 100x² + 200x + 100 2 y = 6x2 3 函数都是用 自变量的二次整式 表示的 26.1 二次函数的概念 二次函数的概念 一般地，形如 y = ax² + bx + c (a，b，c 是常数，a≠0) 的函数叫做二次函数.其中 x 是自变量，a，b，c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. (1) a，b，c 为常数，且 a≠0； (2) 等号左边是变量 y，右边是关于自变量 x 的整式； (3) 等式的右边自变量的最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项. 注意 26.1 二次函数的概念 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (1) y = x²+x³+25； 下列函数中 ( x ，t是自变量)，哪些是二次函数？ (4) y = 3(x −1)²+1． (3) s = 1+t+5t²； 不一定是，缺少a ≠ 0 的条件. 不是，等式右边是分式. 不是，x 的最高次数是 3. (5) (a,b,c为常数) (2) y=x²+ ; 26.1 二次函数的概念 判断二次函数的方法 y = ax²+ bx + c (a、 b、c是常数， a≠0)的几种特殊情况： (1) y = ax² (a≠0，b=0，c=0)； (2) y = ax²+ c (a≠0，b=0，c≠0)； (3) y = ax²+ bx (a≠0，b≠0，c=0)． 判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断.二次函数除了有一般形式 y = ax2 + bx + c (a≠0) 之外，还有一些特殊形式，如 y = ax2，y = ax2 + bx，y = ax2 + c 等. 26.1 二次函数的概念 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (2)m取什么值时,此函数是二次函数? (1)m取什么值时,此函数是一次函数? ∴ m=3 ∴ 函数y=(m+3) . 解：(1)∵y是x的一次函数 (2)∵y是x的二次函数 ∴ ∴ 26.1 二次函数的概念 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 已知函数 y=(m+2)(m为常数)，求当m为何值时： (1)y是x的一次函数？ (1)解：(1)由题意，得 ，且 ， 解得 ， 当 时，y是x的一次函数； 26.1 二次函数的概念 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 已知函数 y=(m+2)(m为常数)，求当m为何值时： (2)y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为64的点的横坐标． (2)由题意，得 ，且 ， 解得 ， 当 时，y是x的二次函数， 当 时， ， 解得 ， 纵坐标为64的点的横坐标 ． 26.1 二次函数的概念 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (1)荔枝是夏季的时令水果，储存不太方便．某水果店将进价为18元/千克的荔枝，以28元/千克售出时，每天能售出40千克．市场调研表明：当售价每降低1元/千克时，平均每天能多售出10千克．设降价x元,销售利润为y元，请写出y关于x的函数关系式. (1)解：根据题意可知降价后平均每天可以销售荔枝 千克， ， 整理得 . 26.1 二次函数的概念 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (2)某型号笔记本电脑两年前的销售价为6000元，现降价销售，若每年的平均降价率为x，怎样用x来表示该型号电脑现在的售价y(元)？ (2)解：笔记本电脑每次降价后的售价都是降价前的(1−x)倍， 于是我们得到售价y与平均降价率x之间有如下的关系： 即 26.1 二次函数的概念 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (3)一块矩形木板，长120cm、宽为80cm，在木板四个角上各截去边长为x(cm)的正方形，求余下面积S (cm2)与x之间的函数表达式. x (3)解：木板余下面积S与剪去正方形边长x有如下函数关系： 26.1 二次函数的概念 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (4)如图，一块直角三角形铁皮ABC， ,现要从这块铁皮上剪出一个矩形CDEF，且满足点D，E，F分别在 上． 设 ，请用含x的代数式表示矩形CDEF的面积S． (4)解：∵四边形CDEF是矩形，∴ ， ，则 ， ∵ ， ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ， ∴ ．∴矩形CDEF的面积 . 26.1 二次函数的概念 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 矩形的周长为 16 cm，它的一边长为 x cm，面积为y cm2. (1) 写出 y 与 x 之间的函数解析式及自变量 x 的取值范围； (2) 当 x = 3 时，求矩形的面积. 解：(1) y＝(8 − x)x＝−x2＋8x (0＜x＜8). (2) 当 x＝3 时，y＝−32＋8×3＝15 (cm2) . 26.1 二次函数的概念 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 特殊形式 二次函数 y = ax² + bx + c(a≠0) 形如 y = ax² + bx + c (a，b，c 是常数，a ≠ 0) 的函数叫做二次函数.其中 x 是自变量，a，b，c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项 概念 一般形式 y = ax2； y = ax2 + bx； y = ax2 + c (a ≠ 0，a，b，c 是常数) 26.1 二次函数的概念 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 下列各式中，是的二次函数的是(    ) A． B． C． D． 解：二次函数的定义为：一般地，形如 (a,b,c是常数， )的函数，叫做二次函数.∵选项A中 是一次函数，∴A不符合题意； ∵选项B中 ， 符合二次函数的定义，∴B符合题意； ∵选项C中，未说明 ，当a=0时不是二次函数，∴C不符合题意； ∵选项D中 里， 是分式，不是整式，不符合二次函数定义， ∴D不符合题意. 26.1 二次函数的概念 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 已知 是二次函数，则m的取值范围是(     ) A． B． C． D． 解：∵二次函数的二次项系数不能为0， 是二次函数， ∴ ， 解得 ． 26.1 二次函数的概念 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 如图，矩形绿地的长、宽分别为30m,20m,现将矩形绿地的长、宽各增加x m.设新绿地的周长为y m,面积为S m2，当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x,S与x满足的函数关系分别是(　　) A．一次函数关系，二次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．正比例函数关系，一次函数关系 解：由图可知：周长： ，符合一次函数的形式，故y与x是一次函数关系； 大矩形的长为x+30，宽为x+20，因此面积： 符合二次函数的形式，故与是二次函数关系． 26.1 二次函数的概念 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 下面问题中，y与x满足的函数关系是二次函数的是(    ) ①面积为10的矩形中，矩形的长y与宽x的关系； ②底面圆的半径为5的圆柱中，侧面积y与圆柱的高x的关系； ③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x元出售，可卖出(200−x)件． 利润y(元)与每件售价x(元)的关系． A．① B．② C．③ D．①③ 解：① 由矩形面积公式可得xy=10，即 ，y是x的反比例函数，不符合二次函数定义，故此选项不符合题意；② 由圆柱侧面积公式可得 ，y是x的正比例函数，不符合二次函数定义，故此选项不符合题意； ③ 符合二次函数定义，y是x的二次函数，故此选项符合题意； 综上，y与x满足的函数关系是二次函数的是③． 26.1 二次函数的概念 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 一个正方形的边长为8cm，它的边长增加x cm后，得到新的正方形的面积为y cm2，则y关于x的函数解析式为________． 解：由题意可知，原正方形边长为8cm，边长增加x cm后，新正方形的边长为(x+8) cm, 根据正方形面积公式，可得： 展开整理得： 由的实际意义可知 ，∴ ． 26.1 二次函数的概念 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 下列函数中，哪些是二次函数？若是,分别指出二次项系数,一次项系数和常数项. (1) y=3(x−1)²+1 (2) s=3−2t² (3)y=(x+3)²−x² (4) 是.a=3,b=−6,c=4. 是.a=−2,b=0,c=3. 不是. 是.a=2,b=−1,c=0. 26.1 二次函数的概念 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 若函数 是二次函数,求 m 的值. ∴ m = 3. 解： 由题意得 26.1 二次函数的概念 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 已知二次函数 . (1) 求 k 的值； (2) 当 x = 0.5 时，y 的值是多少？ 解： (1) 由题意，得 解得 将 x = 0.5 代入函数关系式 ，得y=0.25. (2) 由(1)得， 26.1 二次函数的概念 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 已知直角三角形两条直角边的长的和为10 cm． (1)当它的一条直角边的长为4.5 cm时，求这个直角三角形的面积； (2)设这个直角三角形的一条直角边的长为x cm，面积为S cm2，求S与x之间的函数关系式． (1)解：已知一直角边的长为4.5 cm，则另一直角边长为10−4.5=5.5 cm， 所以这个直角三角形的面积 (2)解：由题意，得另一条直角边的长为 ， 则 ． 26.1 二次函数的概念 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 如图，用一段长为26 米的篱笆围成一个一边靠墙 (墙的长度不限) 的矩形菜园 ABCD，设 AB 边长为 x 米，求菜园的面积 y (单位：平方米) 与 x (单位：米) 的函数关系式. 解：∵ AB 边长为 x 米， ∴ y＝ (26−x)x＝ ∴ AD 边长为 (26−x) 米. (0＜x＜30). 26.1 二次函数的概念 $