第25章 一元二次方程 复习课件 2026--2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件系统梳理了一元二次方程的定义、解法、根的判别式、根与系数关系及应用，通过知识结构流程图将实际问题、方程建模、降次方法（配方法、公式法等）、根的性质与实际应用闭环串联，帮助学生构建完整知识网络。 其亮点在于采用“基础辨析-方法训练-综合应用”的分层复习模式，如通过方程整理题强化抽象能力，用销售利润问题培养模型意识，结合根的判别式训练发展运算能力。这种设计既巩固知识又提升数学素养，便于教师实施针对性复习教学。

章末复习 第二十五章 一元二次方程 R·九年级数学上册 复习目标 1.梳理本章的知识结构网络，回顾与复习本章知识. 2.能选择适当的方法，快速、准确地解一元二次方程，知道一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数的关系，并能利用它们解决有关问题. 3.列一元二次方程解决实际问题． 4.进一步加深对方程思想、分类思想、转化思想（即降次）的理解与运用. 本章知识结构图 实际问题 一元二次方程 ax2+bx+c=0 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 x = 实际问题的答案 设未知数，列方程 解方程 降 次 配方法 公式法 因式分解法 复习回顾 知识点1 一元二次方程的定义 1.定义：一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程. 2.一般形式： ax2+bx+c = 0（a ≠ 0） a 二次项系数 b 一次项系数 c 常数项 1.下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. x2+=0 B. ax2+bx+c=0 C. (x–1)(x+2)=1 D. 3x2–2xy=0 2.方程 5x2–x–3=x2–3+x 的二次项系数是_____，一次项系数是_____，常数项是_____. C 4 –2 0 3.已知关于x的一元二次方程 (a–1)x2+x+a2–1=0 的常数项为 0，则 a 的值为（ ） A. 1 B. – 1 C. 1或– 1 D. 0.5 B 4.若关于x的方程 (m–1)x2+mx–1=0 是一元二次方程，则m的取值范围是（ ） A. m≠1 B. m=1 C. m≥1 D. m≠0 A 知识点2 一元二次方程的解法 一元二次方程的解法及适用类型： 解法 适用的方程类型 直接开平方法 x2=p或 (mx+n)2=p (m≠0，p≥0) 配方法 二次项系数为1，一次项系数为偶数的一元二次方程 公式法 所有的一元二次方程 因式分解法 一边化为0，另一边易于分解成两个一次因式的积的一元二次方程 知识点3 一元二次方程根的判别式 一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 的根由方程的系数 a，b，c 确定. ax2+bx+c=0 (a≠0) b2–4ac>0 两个不相等的实数根 两个相等的实数根 无实数根 b2–4ac=0 b2–4ac<0 b2–4ac 叫作一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示，即 Δ=b2– 4ac. Δ>0 Δ=0 Δ<0 1.若 9x2–(k+2)x+4 是完全平方式，则 k =（ ） A. 10 B. 10或14 C. –10或14 D. 10或–14 D 2.已知三角形两边长为 2 和 6，第三边长是方程 x2–10x+21=0 的解，则这个三角形的第三边长为_____. 7 3.下列方程中，有两不等实根的是（ ） A. x2–2x–1=0 B. x2–2x+3=0 C. x2=2x–3 D. x2–4x+4=0 4.已知关于 x 的方程 x2+4x+k=0 有两个同号的实数根，则 k 的取值范围是__________. A 0<k≤4 5.用适当方法解下列方程： （1）(x–3)2–49=0； （2）x2 –6x–18=0； 解：移项，得 (x–3)2=49， 由此可得 x–3=±7， 即 x1=10， x2= –4. 解：移项，得 x2–6x=18. 配方，得x2–6x+32=18+32， (x–3)2=27. 由此可得 x–3=±， 即x1=3+，x2=3–. （3）–2x2+5x= –3； （4）(x–3)2=6–2x. 解：方程化为 –2x2+5x+3=0， 此时a= –2，b=5，c=3. 所以 Δ=b2–4ac=52–4×(–2)×3=49>0. 方程有两个不相等的实数根 x = = = ， 即 x1= 3，x2= – . 解：方程变形，得 (x–3)2+2(x–3)=0. 左边分解因式，得 (x–3)(x–3+2)=0， 即(x–3)(x–1)=0. 于是 x–3=0，或 x–1=0， 即 x1= 3，x2= 1. 知识点4 一元二次方程根与系数的关系 若 x1，x2 是一元二次方程 ax2+bx+c=0 （a≠0）的两个根， 则 x1+x2= – ，x1x2= . 注意事项 （使用前提） 方程先化为一般式，确定 a，b，c . a ≠ 0 b2–4ac ≥ 0 1.若方程 x2–x–2=0 的两个根是 x1和x2，则 x12x2+x1x22的值为（ ） A. –1 B. 1 C. –2 D. 2 C 2.若一元二次方程 2x2–6x–1=0 的两个根为 a，b，则 2a2 –3a+3b 的值为_______. 10 3.设 x1，x2 是方程 x2+(2m+1)x+m2–1=0 的两个实数根，且满足 x12+x22+x1x2–17=0，求 m 的值. 解：由一元二次方程的根与系数的关系，得x1+x2= –(2m+1)，x1x2=m2–1，所以 x12+x22+x1x2–17=(x1+x2)2–x1x2–17=[–(2m+1)]2–(m2–1)–17=0，即 3m2+4m–15=0，解得 m1= ，m2= –3. 因为方程 x2+(2m+1)x+m2–1=0 有两个实数根， 所以 Δ=(2m+1)2– 4(m2–1)≥0. 所以4m+5≥0，解得 m ≥ – . 所以 m 的值为 . 知识点5 一元二次方程的应用 1. 审：审清题意，明确已知条件和未知条件，找到它们之间的等量关系； 2. 设：设未知数； 3. 列：根据等量关系列出方程； 4. 解：解方程； 5. 验：检验解在实际问题中是否有意义； 6. 答：写出实际问题的答案. 一元二次方程几种常见问题： 知识点5 一元二次方程的应用 一元二次方程几种常见问题： 1.数字问题 2.几何图形问题 3.传播问题 4.平均变化率问题 5.循环问题 6.销售问题 1.一个两位数等于它个位数字的平方，且个位数字比十位数字大 3，则这个两位数是 __________. 25或36 2.一个农户用 24m 长的篱笆围成一排一面靠墙、大小相等且彼此相连的三个矩形鸡舍（如图）. 若要使鸡舍的总面积为 36m2，则每个鸡舍的长为_____m，宽为_____m. 4 3 3.向阳村 2010 年的人均收入为 12000 元，2012 年的人均收入为 14520 元. 求人均收入的年平均增长率. 解：设人均收入的年平均增长率为 x . 由题意，可知 12000(1+x)2=14520， 解得 x+1=±1.1， 所以 x1=0.1= 10% ，x2= –2.1. 又因为 x = – 2.1不合题意，舍去，所以 x=10%. 答：人均收入的年平均增长率为 10%. 4.要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排 15 场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？ 解：设应邀请 x 个球队参加比赛. 由题意，可知 x(x–1)= 15，x2–x–30=0，解得 x1=6，x2= – 5. 因为球队个数不能为负数，所以 x= – 5不合题意，应舍去. 所以 x=6. 答：应邀请6个球队参加比赛. 5. 某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台．商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？ 解：设每台冰箱降价 50x 元. 根据题意，可知 (400−50x)(8+4x)=5000，x2−6x+9=0， 解得 x1=x2=3. 所以每台冰箱降价 50x=50×3=150（元）. 答：每台冰箱的定价应为 2750 元. 课堂小结 通过本节课的复习，你还有哪些疑惑？ $