精品解析：广东实验中学深圳学校2025-2026学年高二下学期第三次教学质量检测（期末）数学试题

2025—2026学年春季学期高二年级第三次教学质量检测 数学试题 命题：胡大权 审定：周珊珊 校对：周珊珊 2026.7 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡密封线内相应的位置上，用2B铅笔将自己的学号填涂在答题卡上. 2、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上. 3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4、考生必须保持答题卡的整洁和平整. 第一部分 选择题（共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知一组数据12，10，8，15，6，8，这组数据的中位数是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【详解】将这组数据从小到大排列为6，8，8，10，12，15，中间的两个数为8和10， 则中位数为. 2. 设，是平面内的一组基底，平面向量，．若存在实数，使得，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】因为向量，， 则， 因为，是平面内一组基底，所以，解得. 3. 已知函数，则曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对函数求导，代入则得到斜率，再得到点斜式方程即可求解 【详解】由可得， 所以，， 故曲线在处的切线方程为即， 故选：A 4. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出集合，然后按照集合交集的运算求解. 【详解】, ，因为， 当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，；当时，. 根据正弦函数的周期性，当时，函数值重复出现， 所以，所以. 5. 若直线交抛物线于两点，则（ ） A. B. 4 C. D. 8 【答案】D 【解析】 【详解】已知抛物线方程，则焦点，准线为， 设， 联立直线方程与抛物线方程得， 则， 因为直线过焦点， 所以由抛物线焦点弦的性质可得． 6. 若函数的最大值为，则（ ） A. 1 B. 2 C. e D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求导，再分类讨论，根据导数和函数最值的关系即可求出. 【详解】的定义域为， 当时，单调递增，无最大值，不合题意； 当时，当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以， 所以，即， 又在上单调递增，， 所以． 故选：A. 7. 北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ） A. 3699块 B. 3474块 C. 3402块 D. 3339块 【答案】C 【解析】 【分析】第n环天石心块数为，第一层共有n环，则是以9为首项，9为公差的等差数列， 设为的前n项和，由题意可得，解方程即可得到n，进一步得到. 【详解】设第n环天石心块数为，第一层共有n环， 则是以9为首项，9为公差的等差数列，， 设为的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分 别为，因为下层比中层多729块， 所以， 即 即，解得， 所以. 故选：C. 8. 设为空间中点构成的集合，点，记样本空间，从中随机取一个点，定义随机变量X如下：对中的每个点，令，则X的数学期望值为（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意求得，求得随机变量X的取值，利用古典概型概率公式求得对应的概率，进而利用期望公式求得期望. 【详解】由题意得，随机变量X的取值为. 则，，， ，，， 所以. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 记，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】A选项，根据模长公式求出A正确；B选项，利用复数乘方运算法则得到，利用加法法则得到；C选项，计算出，得到；D选项，在B基础上，得到，D错误. 【详解】A选项，，A正确； B选项，， 故，B正确； C选项，， 故，C正确； D选项，，，D错误. 故选：ABC 10. 已知圆，则下列说法正确的是（ ） A. 圆心的轨迹是一条直线 B. 直线与圆可能不相交 C. 圆与圆至多只有一个公共点 D. 若直线与圆相交，则其相交弦的弦长最大值为2 【答案】ACD 【解析】 【分析】求得圆心满足直线，可判断A；根据直线与圆的位置关系计算可判断B；根据圆与圆的位置关系计算可判断C；当直线过圆心时，弦长最长，计算是否存在实数，满足条件判断D. 【详解】对于A，圆的圆心，半径， 因为圆心满足直线， 所以圆心的轨迹是一条直线，故A正确； 对于B，因为圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相交，故B错误； 对于C，圆的圆心为，半径， 因为， 因为，即， 所以圆与圆外切或相离， 所以圆与圆至多只有一个公共点，故C正确； 对于D，直线过圆圆心时，弦长最长， 所以， 当时，即时，方程不成立， 所以， ， 因为，所以，解得， 所以当时，存在实数，使得直线过圆圆心， 故直线与圆相交时，则其相交弦的弦长最大值为2，故D正确. 11. 已知空间四边形中，，，且，设AC与平面BCD所成角为α，二面角的平面角为β，则（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意，分别在中，利用余弦定理求判定A；作平面于点，设得到，作于点得到为二面角的平面角，求得判定 B；根据直线与平面所成角的定义和最小角定理判定D；由且，结合三角函数的基本关系式可判定C. 【详解】由题设中， 在中，则，A对； 过作平面于点（注意其位置不定），设， 则为直线AC与平面BCD所成角，故， 过作于点，由平面，平面，则， 且都在平面内，则平面，平面，则， 综上，为二面角的平面角， 在中，故，B对； 由，其中为AC与平面BCD所成角， 结合线面角的定义及最小角定理有，即，D错； 由且，则， 所以，即，C对. 故选：ABC 第二部分 非选择题（92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 椭圆的离心率为________． 【答案】## 【解析】 【详解】椭圆标准方程为， 表示焦点在轴的椭圆，且，，所以， 所以椭圆的离心率为. 13. 已知是偶函数，在区间上单调递增．则______，______． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】先根据偶函数的性质推导的可能取值，再结合余弦型函数的单调性筛选的取值，最后代入计算函数值. 【详解】∵ 是偶函数， ∴ 对任意，恒成立，即， 展开得， 整理得对任意恒成立，∴ . 又，∴ 或. 当时，， 若，时，无法在单调递增； 若，令，则，同理无法在单调递增，故舍去； 当时，， 要使在单调递增，需在该区间单调递减，即需使， 结合得，均满足条件，故. 将代入得， 当时，； 当时，； 综上. 14. 设正实数满足：存在数列，使得对于任意，均有，且中有某连续项，，，是公差为的等差数列，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题目意思，将连续三项作为一个组块，然后根据分析某连续项的起点项，来进行分类讨论列出方程组求解. 【详解】由题知，令为数列的前项和，记， 当时，，当时，， 则，令连续三项作为一个组块， 设这连续项为，若这项正好为连续的三个组块， 则，可得，矛盾，无解； 若这项中只有两个完整的组块，当这项下标为， 则，相减可得， 当这项下标为，则， 两式相减得，所以， 所以当时，最小，且为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在中，为边上一点，且. （1）求； （2）若，求. 【答案】（1）6； （2）3. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理列式解方程即得. （2）由（1）的信息，利用正弦定理、余弦定理求解即得. 【小问1详解】 设，则， 由余弦定理可得， 即，得， 所以. 【小问2详解】 由，得，则. 由正弦定可得，解得. 由余弦定理得， 即，而，所以. 16. 有动物类和植物类两个谜语题库，甲猜对动物类、植物类题库中每道谜语的概率分别为0.8，0.5．现有两种答题方案：方案一，甲先从动物类题库中选一道谜语作答，猜对得奖金15元，且只有猜对该道谜语，才有资格从植物类题库中再选一道谜语作答，猜对第二道得奖金25元；方案二，甲从动物类题库中选两道谜语作答，每猜对一道得奖金15元. （1）若甲选择方案一的奖金金额为X元，求X的分布列与期望. （2）以甲获得奖金金额的期望值为决策依据，他应该选择哪个方案?并说明理由. 【答案】（1）分布列见解析，期望为22元 （2）甲应选择方案二，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由题意可得X的可能取值，分别求出各个取值对应的概率，列出分布列，代入公式，可得期望. （2）设方案二的奖金金额为Y，设猜中动物类谜语的数量为，可得，根据二项分布期望公式，求出，比较即可得答案. 【小问1详解】 若甲选择方案一，则奖金金额为X可取0,15,40， 设“猜对动物类谜语”为事件A，则， 猜对“植物类谜语”为事件B，则，且A，B相互独立， 则， ， ， 所以X的分布列为 X 0 15 40 P 0.2 0.4 0.4 期望（元） 【小问2详解】 设方案二的奖金金额为Y，设猜中动物类谜语的数量为，则， 由题意 则，所以（元）， 因为， 所以甲应选择方案二. 17. 如图，在三棱柱中，侧面为正方形，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）若，求点到平面的距离． 【答案】（1）证明： 如图，连接，设，连接． 因为在三棱柱中，四边形是平行四边形，所以为的中点． 因为为的中点，所以． 又因为平面，平面， 所以平面． （2） 【解析】 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 因为，， 又，平面，平面， 所以平面，又平面，所以． 因为，所以，，两两相互垂直．如图建立空间直角坐标系， 则，，，，． 所以，， 设平面的法向量为，则即， 令，则，于是． 所以点到平面的距离． 18. 已知双曲线C：的左焦点为，离心率为2． （1）求C的方程： （2）设O为坐标原点，过F且斜率大于0的动直线l与C交于P，Q两点，其中Q在第三象限，直线PO与C的另一个交点为R． （ⅰ）若的面积是的面积的6倍，求l的方程； （ⅱ）求的取值范围． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）． 【解析】 【分析】（1）根据焦点及离心率的定义即可求解； （2）（ⅰ）通过联立直线与双曲线的方程，利用根与系数的关系以及三角形面积公式即可求解；（ⅱ）由于是直线与的夹角，列出的表达式即可求解. 【小问1详解】 已知双曲线C：的左焦点为，离心率． 则，，解得，，因此双曲线的方程为． 【小问2详解】 （ⅰ）如图所示，设直线l的方程为，其中斜率， 设点，点，且，根据双曲线的中心对称性可知，点， 联立直线与双曲线方程，得，化简得， 其中. 由根与系数的关系，可得，， 因为Q点在第三象限，所以，所以． 因为R是P关于原点O的对称点，所以O是线段PR的中点， 因此，所以， 由于，所以， ，， 所以，由于，，所以简化为， 代入韦达定理，得，则， 化简得，由于，解得， 所以直线l的方程为，即. （ⅱ）由题意，即为直线QP与直线QR的夹角， 直线QP即直线l，方程为， 点，点，点，直线QP的斜率， 直线QR的斜率， 由于P，Q在直线上，有，， 则，代入， 则， 设直线QP的倾斜角为，直线QR的倾斜角为，则， 因此， 即， 又因为单调递减，所以的取值范围． 19. 已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合． （1）若，判断是否是中的元素，请说明理由； （2）若，求a的取值范围； （3）若是偶函数，当时，，且对任意，均有．写出，解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点． 【答案】（1）不是； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）直接代入计算和即可； （2）法一：转化为在实数使得，分析得，再计算得，最后根据的范围即可得到答案；法二：画出函数图象，转化为直线与该函数有两个交点，将用表示，最后利用二次函数函数性质即可得到答案； （3）利用函数奇偶性和集合新定义即可求出时解析式，再分析出，最后对的范围进行分类讨论即可. 【小问1详解】 （1），，则不是中的元素. 【小问2详解】 法一：因为，则存在实数使得，且， 当时，，其在上严格单调递增， 当时，，其在上也严格单调递增， 则，则， 令，解得，则， 则. 法二：作出该函数图象，则由题意知直线与该函数有两个交点， 由图知，假设交点分别为，， 联立方程组得 【小问3详解】 对任意，因为其是偶函数， 则，而， 所以， 所以，因为，则， 所以，所以， 所以当时，，，则， ，则， 而，， 则，则， 所以当时，，而为偶函数，画出函数图象如下： 其中，但其对应的值均未知. 首先说明， 若，则，易知此时， 则，所以，而时，， 所以，与矛盾，所以，即， 令，则， 当时，即使让，此时最多7个零点， 当时，若，此时有5个零点， 故此时最多5个零点； 当时，若，此时有5个零点， 故此时最多5个零点； 当时，若，此时有3个零点， 若，则，易知此时， 则，所以，而时，， 所以，与矛盾，所以， 则最多在之间取得6个零点， 以及在处成为零点，故不超过9个零点. 综上，零点不超过9个. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年春季学期高二年级第三次教学质量检测 数学试题 命题：胡大权 审定：周珊珊 校对：周珊珊 2026.7 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡密封线内相应的位置上，用2B铅笔将自己的学号填涂在答题卡上. 2、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上. 3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4、考生必须保持答题卡的整洁和平整. 第一部分 选择题（共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知一组数据12，10，8，15，6，8，这组数据的中位数是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 2. 设，是平面内的一组基底，平面向量，．若存在实数，使得，则（ ） A. B. C. D. 2 3. 已知函数，则曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 5. 若直线交抛物线于两点，则（ ） A. B. 4 C. D. 8 6. 若函数的最大值为，则（ ） A. 1 B. 2 C. e D. 7. 北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ） A. 3699块 B. 3474块 C. 3402块 D. 3339块 8. 设为空间中点构成的集合，点，记样本空间，从中随机取一个点，定义随机变量X如下：对中的每个点，令，则X的数学期望值为（ ） A. B. C. 0 D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 记，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知圆，则下列说法正确的是（ ） A. 圆心的轨迹是一条直线 B. 直线与圆可能不相交 C. 圆与圆至多只有一个公共点 D. 若直线与圆相交，则其相交弦的弦长最大值为2 11. 已知空间四边形中，，，且，设AC与平面BCD所成角为α，二面角的平面角为β，则（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 第二部分 非选择题（92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 椭圆的离心率为________． 13. 已知是偶函数，在区间上单调递增．则______，______． 14. 设正实数满足：存在数列，使得对于任意，均有，且中有某连续项，，，是公差为的等差数列，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在中，为边上一点，且. （1）求； （2）若，求. 16. 有动物类和植物类两个谜语题库，甲猜对动物类、植物类题库中每道谜语的概率分别为0.8，0.5．现有两种答题方案：方案一，甲先从动物类题库中选一道谜语作答，猜对得奖金15元，且只有猜对该道谜语，才有资格从植物类题库中再选一道谜语作答，猜对第二道得奖金25元；方案二，甲从动物类题库中选两道谜语作答，每猜对一道得奖金15元. （1）若甲选择方案一的奖金金额为X元，求X的分布列与期望. （2）以甲获得奖金金额的期望值为决策依据，他应该选择哪个方案?并说明理由. 17. 如图，在三棱柱中，侧面为正方形，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）若，求点到平面的距离． 18. 已知双曲线C：的左焦点为，离心率为2． （1）求C的方程： （2）设O为坐标原点，过F且斜率大于0的动直线l与C交于P，Q两点，其中Q在第三象限，直线PO与C的另一个交点为R． （ⅰ）若的面积是的面积的6倍，求l的方程； （ⅱ）求的取值范围． 19. 已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合． （1）若，判断是否是中的元素，请说明理由； （2）若，求a的取值范围； （3）若是偶函数，当时，，且对任意，均有．写出，解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $