精品解析：广东深圳外国语学校高中园2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题

深外高中园2025—2026学年第二学期高二年级期末考试 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数是奇函数，则（ ） A. 3 B. C. 1 D. 3. 的展开式中的系数为（ ） A. 20 B. 40 C. 60 D. 80 4. 已知定义在R上的函数满足是偶函数，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 已知圆，直线与圆O相交于A，B两点．若，则实数（ ） A. B. C. D. 6. 记为等比数列的前n项和.若，，则（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 7. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 设双曲线的左、右焦点分别为，，过坐标原点的直线与交于，两点，，，则的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知抛物线与圆交于两点，则下列说法正确的是（ ） A. 圆心坐标为 B. C. 抛物线的准线与圆相切 D. 过抛物线焦点的直线与圆相交 10. 已知正实数a，b满足，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为2 D. 的最小值为 11. 已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（ ） A. 当时， B. 是的极大值点 C. 当且仅当 D. 关于x的方程的解有6个 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某中学高三年级学生有1000人，在某次数学考试中，数学成绩X近似服从正态分布，已知，则本次考试数学成绩大于135分的人数约为________． 13. 曲线在点处的切线方程为________． 14. 甲、乙两人进行抽卡游戏：每一局游戏中，将编号分别为1，2，3，4，5，6的6张卡片的背面朝上并搅匀，甲先从中随机抽取2张卡片，乙再从剩下的卡片中随机抽取1张卡片．记a为甲抽取的2张卡片中较大编号者的编号，b为乙抽取的卡片的编号，当时，称该局为“默契局”，则一局游戏成为“默契局”的概率为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 记是公差不为的等差数列的前项和，若，． （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足：当为奇数时，；当为偶数时，.为数列的前n项和，求． 16. 如图，在直三棱柱中，，，，上的点E满足． （1）求证：平面； （2）求平面CBE与平面ABE夹角的余弦值． 17. 随着新能源储能与新能源汽车行业高速发展，动力电池容量稳定性是衡量电池品质的核心指标．某新能源工厂规模化生产车用储能锂电池，为严格把控出厂品质、降低人工质检成本、提升检测效率，工厂采用「智能初筛人工精准复检」双层质检流程．现质检部门从生产线随机抽取大批量成品锂电池进行专业精准容量检测，以电池容量综合评分为检测标准（满分100分，分数越高容量性能越好），按，，，，，分成6组，绘制成（如下图）频率分布直方图： 行业质检标准规定：评分不低于60分为实际合格电池，可正常投入市场使用；低于60分为实际不合格电池，存在容量衰减、续航不足等质量问题．以样本频率估计总体概率．与此同时工厂引入的智能检测系统存在固定检测误差，误差规则如下：若对于实际合格的锂电池，将其判定为不合格的概率为；若对于实际不合格的锂电池，将其判为不合格的概率为． （1）根据频率分布直方图估计这批锂电池综合评分的中位数； （2）该企业将智能质量检测投入使用． ①任取一块锂电池进行智能质量检测，求这块锂电池被判定为不合格的概率； ②从该批已经被检测过的锂电池中随机抽取4件，记被抽取的这4块锂电池中被判定为不合格的件数为X，求X的期望； （3）工厂检测流程：若判为合格，则直接出厂；若判为不合格，则一律进行人工复检，复检可识别是否合格．已知：每块实际合格电池出厂获利120元；每块实际不合格电池出厂将造成损失180元；每块电池需要人工复检其成本为20元，复检后实际合格电池正常出厂，不合格电池报废处理（为便于计算，电池成本忽略不计）．若该工厂按此流程运行，设Y为每块锂电池收益，求Y的分布列和期望． 18. 已知椭圆的离心率为，点在C上. （1）求C的方程； （2）过点P作两条互相垂直的直线，分别交C于A，B两点（A，B均不与P重合）. （ⅰ）证明：直线AB恒过定点； （ⅱ）求面积的最大值. 19. 已知函数（），. （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，对任意，都有； （3）若方程没有实根，求整数的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深外高中园2025—2026学年第二学期高二年级期末考试 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先解绝对值不等式以及指数不等式，再根据交集定义求结果. 【详解】因为 所以 故选：C 2. 已知函数是奇函数，则（ ） A. 3 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【详解】已知是奇函数，根据奇函数定义有， 当时，，则， 所以. 3. 的展开式中的系数为（ ） A. 20 B. 40 C. 60 D. 80 【答案】B 【解析】 【详解】由于的展开式的第3项为， 故展开式中的系数为. 4. 已知定义在R上的函数满足是偶函数，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先由是偶函数得到函数对称轴，再结合给出的对称关系式推导函数周期，最后利用周期性和对称关系计算的值. 【详解】∵ 是偶函数，∴ ，即. 又∵ ，将代入上式得 . 令，则，代入得 ， ∴ ， ∴ 函数的周期为. ∵ ，∴ . 在中令，得，即， 解得 ，即. 5. 已知圆，直线与圆O相交于A，B两点．若，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用垂径定理的弦长公式建立圆心到直线距离的方程，再结合点到直线的距离公式求解实数的值. 【详解】圆 的圆心坐标为 ，半径 ，将直线整理为一般式：； 设 为圆心到直线 的距离，则 ， 所以 ，解得 ，即 ， 由点到直线的距离公式： ，解得 ，即 . 6. 记为等比数列的前n项和.若，，则（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】根据题目条件可得，，成等比数列，从而求出，进一步求出答案. 【详解】∵为等比数列的前n项和，， ∴，，成等比数列 ∴， ∴， ∴. 故选：A. 7. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】由且在上单调递增，， 若，则， 由且在上单调递减，， 若，则， 显然可推出，反之不一定成立， 综上，“”是“”的充分不必要条件. 8. 设双曲线的左、右焦点分别为，，过坐标原点的直线与交于，两点，，，则的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由双曲线的对称性可得、且四边形为平行四边形，由题意可得出，结合余弦定理表示出与，有关齐次式即可得离心率． 【详解】由双曲线的对称性可知，，则四边形为平行四边形， 令，则， 由双曲线定义可知，故有，即， 即，， ， 则， 因为，所以，故， 则有， 即，即，则，由，故． 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线的离心率，解题关键是找到关于，，之间的等量关系，本题中结合题意与双曲线的定义得出，与的具体关系及的大小，借助余弦定理表示出与，有关齐次式，即可得解． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知抛物线与圆交于两点，则下列说法正确的是（ ） A. 圆心坐标为 B. C. 抛物线的准线与圆相切 D. 过抛物线焦点的直线与圆相交 【答案】BCD 【解析】 【详解】A选项，由，故圆心为，A错误； B选项，联立抛物线与圆消去得， 解得或，当时，，不合要求，舍去； 当时，，解得，即，则，B正确； C选项，抛物线的准线为，圆心到的距离为2，等于圆的半径， 故抛物线的准线与圆相切，C正确； D选项，抛物线焦点坐标为，此时直线过圆的圆心，则与圆一定相交，D正确. 10. 已知正实数a，b满足，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为2 D. 的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A：利用基本不等式求最值即可；对于B：消元整理可得，进而分析最值；对于C：平方整理可得，进而分析最值；对于D：整理可得，利用“”的妙用结合基本不等式运算求解. 【详解】对于A，因为，当且仅当时等号成立， 的最大值为，A正确； 对于B，将代入得， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为，B错误； 对于C，因为，故， 所以的最大值为，C错误； 对于D，因为，即， 则， 当且仅当，时取等号， 所以的最小值为，D正确. 11. 已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（ ） A. 当时， B. 是的极大值点 C. 当且仅当 D. 关于x的方程的解有6个 【答案】AB 【解析】 【分析】对A，利用奇函数定义，将转化为代入已知的的解析式，推导得到时的表达式，和选项给出的式子对比判断；对B，先对时的求导得到区间的极值点，再利用奇函数关于原点对称的性质推出处的极值性质，据此判断；对C，由判断；对D，先求出的所有实根，令后对每个分析方程对应的实根的个数，求和得到总解数后和选项对比判断. 【详解】对于A：已知是上的奇函数，当时，，得：， 由奇函数性质，得：，A正确； 对于B：时，，求导得：， 由得，当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以是的极大值点，B正确； 对于C：当时，等价于，解得​；但当时，， 满足，但，不符合"当且仅当​"，C错误； 对于D：因为是定义在上的奇函数，所以，是一个零点； 当时，，求导得， 可知在单调递减，在单调递增，因此时的最小值为； 又时，时，因此在有且只有1个零点， 设其为，结合选项可知； 由奇函数性质可知，时，必存在零点， 即共有3个零点：，，， 故等价于或或， 时，，小于的最大值，共3个解； 时，因为，大于的最小值，共3个解； 时共3个解； 综上，的解共有个，D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某中学高三年级学生有1000人，在某次数学考试中，数学成绩X近似服从正态分布，已知，则本次考试数学成绩大于135分的人数约为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用正态分布曲线关于均值对称的性质，计算成绩大于分的概率，再乘以总人数得到对应人数. 【详解】由题意知，数学成绩，则正态分布曲线关于直线对称，因此， 已知，可得， 由于，即与关于对称， 结合正态分布的对称性可知， 因为正态分布是连续型分布，故，即， 已知高三年级总人数为，故数学成绩大于分的人数约为人. 13. 曲线在点处的切线方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】先求解切点坐标，再通过求导得到曲线在切点处的切线斜率，最后利用点斜式写出切线方程. 【详解】函数的定义域为，所以，即切点坐标为. 又因为，得切线斜率. 所以切线方程为，整理得. 因此曲线在点处的切线方程为. 14. 甲、乙两人进行抽卡游戏：每一局游戏中，将编号分别为1，2，3，4，5，6的6张卡片的背面朝上并搅匀，甲先从中随机抽取2张卡片，乙再从剩下的卡片中随机抽取1张卡片．记a为甲抽取的2张卡片中较大编号者的编号，b为乙抽取的卡片的编号，当时，称该局为“默契局”，则一局游戏成为“默契局”的概率为________． 【答案】## 【解析】 【分析】先计算甲抽2张、乙抽1张的所有抽卡总事件数，再按甲抽取的2张卡片的较大编号的不同取值分类，枚举得到满足的“默契局”事件数，最后根据古典概型概率公式，用符合条件的事件数除以总事件数得到所求概率. 【详解】甲从6张中抽2张，乙从剩余4张中抽1张，总情况数为： ， 是甲抽取的2张中较大编号，的取值为， 时，由可知仅；甲抽法有1种，共种； 时，由可知符合；甲抽法有2种，共种； 时，由可知符合；甲抽法共3种，共种； 时，由可知仅符合；甲抽法共4种，共种； 时，由可知无符合的； 综上，符合条件的总情况数：. 则一局游戏成为“默契局”的概率. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 记是公差不为的等差数列的前项和，若，． （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足：当为奇数时，；当为偶数时，.为数列的前n项和，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接由条件计算等差数列的基本量，进而可得通项公式； （2）由题意可知当为奇数时，当为偶数时，再进行分组并项求和. 【小问1详解】 设等差数列的公差为 ()，由，得， 即，解得 或（舍去）， 故 ，所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 由得， 当为奇数时，；当为偶数时，.  因此数列的奇数项构成等差数列，偶数项构成等比数列. 即，. 所以 . 因此. 16. 如图，在直三棱柱中，，，，上的点E满足． （1）求证：平面； （2）求平面CBE与平面ABE夹角的余弦值． 【答案】（1） 因为三棱柱是直三棱柱，所以， 又因为，，平面， 所以平面，又平面，所以， 又因为，，平面平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得平面，可得，结合已知可证平面； （2）建立空间直角坐标系，求得平面和平面，利用向量法可求两平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，所在直线为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设，则， 因为，所以，解得， 所以，所以， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 又平面的一个法向量为， 设平面与平面所成的角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 17. 随着新能源储能与新能源汽车行业高速发展，动力电池容量稳定性是衡量电池品质的核心指标．某新能源工厂规模化生产车用储能锂电池，为严格把控出厂品质、降低人工质检成本、提升检测效率，工厂采用「智能初筛人工精准复检」双层质检流程．现质检部门从生产线随机抽取大批量成品锂电池进行专业精准容量检测，以电池容量综合评分为检测标准（满分100分，分数越高容量性能越好），按，，，，，分成6组，绘制成（如下图）频率分布直方图： 行业质检标准规定：评分不低于60分为实际合格电池，可正常投入市场使用；低于60分为实际不合格电池，存在容量衰减、续航不足等质量问题．以样本频率估计总体概率．与此同时工厂引入的智能检测系统存在固定检测误差，误差规则如下：若对于实际合格的锂电池，将其判定为不合格的概率为；若对于实际不合格的锂电池，将其判为不合格的概率为． （1）根据频率分布直方图估计这批锂电池综合评分的中位数； （2）该企业将智能质量检测投入使用． ①任取一块锂电池进行智能质量检测，求这块锂电池被判定为不合格的概率； ②从该批已经被检测过的锂电池中随机抽取4件，记被抽取的这4块锂电池中被判定为不合格的件数为X，求X的期望； （3）工厂检测流程：若判为合格，则直接出厂；若判为不合格，则一律进行人工复检，复检可识别是否合格．已知：每块实际合格电池出厂获利120元；每块实际不合格电池出厂将造成损失180元；每块电池需要人工复检其成本为20元，复检后实际合格电池正常出厂，不合格电池报废处理（为便于计算，电池成本忽略不计）．若该工厂按此流程运行，设Y为每块锂电池收益，求Y的分布列和期望． 【答案】（1）72分 （2）① ②期望是1 （3）Y的分布列为: 期望为：元. 【解析】 【分析】（1）使用频率分布直方图中位数的定义计算； （2）①使用全概率公式求解；②使用二项分布的期望计算公式求解； （3）分为以下四种情况：“若实际合格，判定合格”、“若实际合格，判定不合格”、“若实际不合格，判定合格”、“若实际不合格，判定不合格”，并使用离散型随机变量的分布列与期望计算公式求解. 【小问1详解】 ，这批锂电池综合评分的中位数在区间内， 设批锂电池综合评分的中位数为，则，解得分. 【小问2详解】 ①设事件分别表示锂电池实际合格与锂电池被判为不合格， 则，，，， ， 故任取一块锂电池进行智能质量检测，这块锂电池被判定为不合格的概率为. ②，故X的期望为：， 【小问3详解】 若实际合格，判定合格，则，概率； 若实际合格，判定不合格，则，概率； 若实际不合格，判定合格，则，概率； 若实际不合格，判定不合格，则，概率， 则Y的分布列为: 期望为：元. 18. 已知椭圆的离心率为，点在C上. （1）求C的方程； （2）过点P作两条互相垂直的直线，分别交C于A，B两点（A，B均不与P重合）. （ⅰ）证明：直线AB恒过定点； （ⅱ）求面积的最大值. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）利用短轴长以及离心率计算可得椭圆C的标准方程； （2）（i）设PA的方程为并与椭圆联立解得两点坐标，得出直线AB的方程化简可得结论；（ii）求得线段的长度表示出面积再由基本不等式计算可得结果. 【小问1详解】 依题意，点在椭圆上， 故，解得. 又离心率，则，即，解得， 故C的方程为 【小问2详解】 （ⅰ）证明：依题意，直线PA，PB的斜率必存在且不为0， 设直线PA的方程为，则直线PB的方程为， 联立，得，解得，， 代入直线方程得； 同理，用替换k可得，， 所以， 所以直线AB的方程为， 令，得，故直线AB恒过定点. （ⅱ）由（ⅰ）可知，， 同理可得， 故， 令，则，当且仅当时，等号成立， 则； 当（即）时，， 故面积的最大值为. 19. 已知函数（），. （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，对任意，都有； （3）若方程没有实根，求整数的最小值. 【答案】（1）当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减. （2）证明如下： 当时，，要证， 即证，即. 设， 则， 令（），则， 故当时，，在区间上单调递增， 当时，，在区间上单调递减. 故， 所以当时，，当时，， 所以在处取最小值， 故恒成立，原不等式得证. （3）1 【解析】 【分析】（1）求导后,讨论的取值范围进行求解； （2）转化为，即.设，求导，研究函数的单调性进行求解； （3）方程可化为，所以.记，，对函数求导，由单调性和最值求解． 【小问1详解】 的定义域为，， 当时，恒成立，在区间上单调递增； 当时，令，得， 在区间上单调递增，在区间上单调递减. 综上，当时，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 方程可化为，所以. 记，，则. 记， 则. 记， 则， 故函数在区间，上单调递增，在区间上单调递减， 又，，当时，， 故当时，，即，在区间上单调递减， 由，， 根据零点存在性定理可知存在，使得，即. 且当时，单调递增，当时，单调递减， 故， 且，当时，， 设（），则， 设（），则， 所以， 所以在区间上单调递减， 且，，所以， 所以若没有实数根，则整数的最小值为1. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $