2.1 认识实数（八大题型）2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 以无理数概念为起点，通过8类题型系统构建实数认知体系，融合数形结合、逻辑推理等方法，实现从概念辨析到综合应用的递进。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |无理数|3题|概念辨析法|从无理数定义出发，通过具体数识别强化概念理解| |估算|3题|数形结合法|借助正方形面积模型推导近似值，培养几何直观| |概念理解|3题|性质应用法|结合相反数、倒数等性质，深化实数概念内涵| |分类|3题|标准分类法|明确有理数与无理数划分标准，建立数系框架| |性质|3题|关系转化法|利用相反数、绝对值关系解决代数式求值| |与数轴|3题|勾股构造法|通过直角三角形构造，实现无理数在数轴上的表示| |大小比较|3题|差值比较法|依据作差法原理比较实数大小，培养推理意识| |勾股与无理数|3题|模型转化法|将无理数表示转化为直角三角形斜边问题，发展应用意识|

2.1 认识实数 题型一 无理数 1．下列实数中，是无理数的是（     ） A．3.14 B． C． D． 2．在，，，，，中，无理数有________个． 3．把下列各数填入相应的大括号内： ，，，0.5，，3.14159265，，1.3030030003…（两个3之间依次增加一个0）． 有理数：｛             ｝； 无理数：｛               ｝； 整数：｛             ｝； 负实数：｛              ｝． 题型二 无理数的大小估算 4．估计的值应在（     ）． A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 5．已知，则整数n的值可以是________（填一个值即可）． 6．【结论初探】小谢利用数形结合的方式探究的近似值，过程如下： ∵面积为的正方形的边长是，且， ∴可以设为以下两种形式： ①；②． 小谢展示了利用②探究近似值的过程． 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图． ， 整理得， ∵， ∴较小，可忽略不计． ∴，， ∴． 【方法运用】 (1)请写出在哪两个连续整数之间： ； (2)类比上述方法，选择其中一种形式，画出示意图，探究的近似值． 题型三 实数概念理解 7．的相反数是（   ） A． B． C． D．5 8．已知m，n是有理数，且，的值为_______． 9．把下列各数填入相应的数集内． 正数集合：｛            …｝ 无理数集合：｛                 …｝ 分数集合：｛               …｝ 非负整数集合：｛             …｝ 题型四 实数的分类 10．在实数3.1415926，，，，0，，中，无理数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 11．在实数，3.14，0，，，中，无理数的个数是______． 12．在下列各数中，选择合适的数填入相应的集合中． ，，，，，0，，，（小数部分由相继的正整数组成）． (1)有理数集合：{   …}； (2)无理数集合：{       …}； (3)正实数集合：{     …}； (4)负实数集合：{    …}． 题型五 实数的性质 13．的相反数是（    ） A． B． C． D． 14．的相反数是______________． 15．已知实数、互为倒数，实数、互为相反数，实数的绝对值为，求的值． 题型六 实数与数轴 16．如图，在数轴上找出表示的点A，过点A作直线，在l上取点B，使，以点O为圆心，为半径作弧，弧与数轴交点为C，则点C表示的数是（     ） A． B． C． D． 17．如图，点在数轴原点处，数轴上的点的坐标是3，过点作直线垂直于，在上截取，以点为圆心，长为半径作弧，弧与数轴正半轴的交点表示的数为________． 18．如何在数轴上找到表示无理数的点？部分无理数可通过构造直角三角形，运用勾股定理的知识来解决．请阅读并完成下列问题： (1)如图，过数轴上表示的点，作数轴的垂线，并截取长度为的线段，连接，以点为圆心，以为半径画弧，与数轴正半轴交于点，请直接写出点表示的数． (2)如图，请参照（1）的作法，在数轴上找到表示的点．（保留作图痕迹，不写作法） 题型七 实数的大小比较 19．下列四个数中，最小的数是（     ） A． B． C． D． 20．比较大小：________6．（填“”、“”或“”） 21．阅读材料： 小明对不等式的有关知识进行了自主学习，他发现，对于任意两个实数a和b比较大小，有如下规律：若，则；若，则；若，则．上面的规律，反过来也成立．课上，通过与老师和其他同学的交流，验证了上面的规律是正确的． 参考小明发现的规律，解决问题： (1)比较大小：________；（填“<”、“=”或“>”） (2)已知，且，若，，试比较A和B的大小． 题型八 勾股定理与无理数 22．如图，若边长为1的等腰直角三角形的一条直角边在数轴上，数轴上点所表示的数为，则为（     ） A． B． C． D． 23．如图，在中，，，以点O为圆心，以的长为半径画弧交数轴于点A，则点A表示的数为__________． 24．勾股定理，是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．若设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，则满足． (1)若直角三角形两条直角边均为1，则斜边长为__________；若直角三角形有两条边分别是3和4，则第三条边长为__________． (2)请你以直角板和圆规为工具，在数轴上找到表示数字的点P． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1 认识实数 题型一 无理数 1．下列实数中，是无理数的是（     ） A．3.14 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据定义判断各选项即可，无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称，有限小数、无限循环小数都属于有理数． 【详解】解：选项A．是有限小数，属于有理数， 选项B．是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数， 选项C．是分数，属于有理数， 选项D．是整数，属于有理数． 2．在，，，，，中，无理数有________个． 【答案】2 【分析】先将题目中可化简的数进行化简，再根据无理数的定义逐一判断各数即可． 【详解】解：∵是整数，属于有理数， 是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数， 是分数，属于有理数， 是整数，属于有理数， 是无限不循环小数，属于无理数， 是整数，属于有理数， ∴无理数共有个． 3．把下列各数填入相应的大括号内： ，，，0.5，，3.14159265，，1.3030030003…（两个3之间依次增加一个0）． 有理数：｛             ｝； 无理数：｛               ｝； 整数：｛             ｝； 负实数：｛              ｝． 【答案】有理数：； 无理数：； 整数： 负实数：． 【分析】根据有理数包括整数和分数，有理数和无理数统称为实数，整数包括正整数，负整数和0，负实数包括负有理数和负无理数解答． 【详解】解：有理数：； 无理数：； 整数： 负实数：． 题型二 无理数的大小估算 4．估计的值应在（     ）． A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】B 【分析】先估算的大小范围，再利用不等式性质求出的范围，即可得到结果． 【详解】∵，，， 又∵， ∴ ∴ ∴ ∴的值在和之间． 5．已知，则整数n的值可以是________（填一个值即可）． 【答案】5（答案不唯一） 【分析】先求得的取值范围，再根据为整数，选取一个符合条件的值即可． 【详解】解：， ，即， 为整数， 可取中任意一个． 6．【结论初探】小谢利用数形结合的方式探究的近似值，过程如下： ∵面积为的正方形的边长是，且， ∴可以设为以下两种形式： ①；②． 小谢展示了利用②探究近似值的过程． 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图． ， 整理得， ∵， ∴较小，可忽略不计． ∴，， ∴． 【方法运用】 (1)请写出在哪两个连续整数之间： ； (2)类比上述方法，选择其中一种形式，画出示意图，探究的近似值． 【答案】(1)5；6 (2)方法一：如图， ， 整理得， ∵， ∴较小，可忽略不计， ∴，， ∴． 方法二：如图， ， 整理得， ∵， ∴较小，可忽略不计． ∴，， ∴． 【分析】（1）根据即可得出； （2）根据题干提供的方法，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即； （2）略 题型三 实数概念理解 7．的相反数是（   ） A． B． C． D．5 【答案】B 【详解】解：的相反数是． 8．已知m，n是有理数，且，的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查的是实数的运算、无理数和有理数的定义，解题的关键是理解无理数与有理数的区别在中，等式的左边是含有这个无理数部分的，等式的右边为0是有理数，可知在等式的左边的系数部分应为0． 【详解】解：原式可化为， ∵m，n是有理数， ∴，解得， ∴． 故答案为． 9．把下列各数填入相应的数集内． 正数集合：｛            …｝ 无理数集合：｛                 …｝ 分数集合：｛               …｝ 非负整数集合：｛             …｝ 【答案】；；；； 【分析】有理数与无理数统称实数，实数分为正实数，0，负实数，整数与分数统称有理数，0与正整数是非负整数，根据概念逐一填入即可． 【详解】解：∵，，， 正数集合： 无理数集合： 分数集合： 非负整数集合：． 题型四 实数的分类 10．在实数3.1415926，，，，0，，中，无理数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据整数、分数、有限小数、无限循环小数都属于有理数，无理数是无限不循环小数，逐个判断给定的数，即可得到无理数的个数． 【详解】解：∵ 3.1415926 是有限小数，是无限循环小数，是分数，0是整数，以上都是有理数； 是开平方开不尽的数，是无限不循环小数，是开立方开不尽的数，这三个都是无理数． ∴ 无理数共有3个． 11．在实数，3.14，0，，，中，无理数的个数是______． 【答案】2 【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数的定义，无限不循环小数称为无理数，逐一判断每个实数是否为无理数． 【详解】解：因为是无理数，所以是无理数，3.14是有限小数，是有理数；0是整数，是有理数；是无理数，因为π是无理数；是分数，是有理数；是整数，是有理数， 因此无理数有2个． 故答案为：2． 12．在下列各数中，选择合适的数填入相应的集合中． ，，，，，0，，，（小数部分由相继的正整数组成）． (1)有理数集合：{   …}； (2)无理数集合：{       …}； (3)正实数集合：{     …}； (4)负实数集合：{    …}． 【答案】(1) (2)，，…（小数部分由相继的正整数组成）， (3) (4)（小数部分由相继的正整数组成），，， 【分析】本题考查了实数，熟练掌握实数的分类是解题的关键． （1）（2）（3）（4）根据有理数、无理数、正实数、负实数的定义分类即可． 【详解】（1）解：有理数集合：； （2）解：无理数集合：{，，…（小数部分由相继的正整数组成），，}； （3）解：正实数集合：； （4）解：负实数集合：{（小数部分由相继的正整数组成），，，，}． 题型五 实数的性质 13．的相反数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数， ∴的相反数是 14．的相反数是______________． 【答案】 【详解】解：的相反数为 ． 15．已知实数、互为倒数，实数、互为相反数，实数的绝对值为，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了相反数、倒数、绝对值的性质，求解代数式的值，正确掌握相关定义是解题关键． 根据相反数、倒数、绝对值的性质分别得出，然后代入计算即可解答． 【详解】解：∵实数、互为倒数，实数、互为相反数，实数的绝对值为， ∴， ∴， ∴． 题型六 实数与数轴 16．如图，在数轴上找出表示的点A，过点A作直线，在l上取点B，使，以点O为圆心，为半径作弧，弧与数轴交点为C，则点C表示的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵直线，， ∴ ∴点C表示的数是． 17．如图，点在数轴原点处，数轴上的点的坐标是3，过点作直线垂直于，在上截取，以点为圆心，长为半径作弧，弧与数轴正半轴的交点表示的数为________． 【答案】 【分析】先由得到是直角三角形，利用勾股定理求出斜边的长度；由作图可知，即可得到点在数轴上表示的数． 【详解】解：∵直线， ∴，为直角三角形， 由题意得：，，根据勾股定理： ， ∵以点为圆心，长为半径作弧交数轴正半轴于点， ∴， 因此数轴上点表示的数为． 18．如何在数轴上找到表示无理数的点？部分无理数可通过构造直角三角形，运用勾股定理的知识来解决．请阅读并完成下列问题： (1)如图，过数轴上表示的点，作数轴的垂线，并截取长度为的线段，连接，以点为圆心，以为半径画弧，与数轴正半轴交于点，请直接写出点表示的数． (2)如图，请参照（1）的作法，在数轴上找到表示的点．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1) (2)如图，点即为所求． 【分析】（1）利用勾股定理求出，即可得出答案． （2）过数轴上表示的点，作数轴的垂线，并截取长度为的线段，连接，以点为圆心，以为半径画弧，与数轴正半轴交于点． 【详解】（1）解：∵点表示的数是， ∴， ∵，， ∴， ∵以点为圆心，以为半径画弧，与数轴正半轴交于点， ∴， ∴点表示的数为． （2）解：∵，，， ∴， ∴点即为所求． 题型七 实数的大小比较 19．下列四个数中，最小的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用“负数小于，小于正数”的比较规则，即可得出最小的数． 【详解】解：∵是负数，其余三个数都是非负数， ∴， ∴四个数中最小的数是． 20．比较大小：________6．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】先利用平方法将整数转化成其平方形式，再根据实数比较大小即可． 【详解】解：，，， ． 21．阅读材料： 小明对不等式的有关知识进行了自主学习，他发现，对于任意两个实数a和b比较大小，有如下规律：若，则；若，则；若，则．上面的规律，反过来也成立．课上，通过与老师和其他同学的交流，验证了上面的规律是正确的． 参考小明发现的规律，解决问题： (1)比较大小：________；（填“<”、“=”或“>”） (2)已知，且，若，，试比较A和B的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）两数作差，根据可求； （2）根据，且，求得，两式作差进而求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型八 勾股定理与无理数 22．如图，若边长为1的等腰直角三角形的一条直角边在数轴上，数轴上点所表示的数为，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过图形可知，利用勾股定理求出，可以求出，即可解答． 【详解】解：由图可知， 由图形可知， 根据勾股定理得：， ∴， ∴A表示的数为，则． 23．如图，在中，，，以点O为圆心，以的长为半径画弧交数轴于点A，则点A表示的数为__________． 【答案】 【分析】利用勾股定理求出线段长度，然后结合数轴进行求解． 【详解】解：由勾股定理得， ∴点A表示的数为． 24．勾股定理，是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．若设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，则满足． (1)若直角三角形两条直角边均为1，则斜边长为__________；若直角三角形有两条边分别是3和4，则第三条边长为__________． (2)请你以直角板和圆规为工具，在数轴上找到表示数字的点P． 【答案】(1)，或 (2) 【分析】（1）根据勾股定理进行计算，即可求解； （2）过原点作数轴的垂线，截取线段，连接，以为圆心为半径在点的右侧作弧，交数轴于点，则点表示的数为． 【详解】（1）解：直角三角形两条直角边均为1，则斜边长为； 直角三角形有两条边分别是3和4， 当4直角边时，则第三条边长为， 当4斜边时，则第三条边长为， （2）略 1 学科网（北京）股份有限公司 $