1.5 相似三角形的性质 第1课时 课件 2026-2027学年湘教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦相似三角形对应高、中线、角平分线的性质，通过回顾相似三角形判定方法，对比全等三角形性质表格，搭建从旧知到新知的学习支架，引导学生逐步探究性质。 其特色是采用问题驱动推理证明，如通过两角相等证对应高比等于相似比，培养推理能力。结合吸管放置、小孔成像等生活情境例题及变式练习，发展几何直观与应用意识。小结条目清晰，教师可高效教学，学生提升逻辑思维与解决实际问题能力。

1.5 相似三角形的性质 第1章 图形的相似 湘教版九年级上册 第1课时 与相似三角形的“三线”有关的性质 知识回顾 我们已经学过的相似三角形的判定方法有哪些？ 判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似. 基本定理：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似. 判定定理2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似. 判定定理3：三边成比例的两个三角形相似． 全等三角形与相似三角形性质比较 全等三角形 相似三角形 对应边的比等于相似比 对应角相等 周长……? 面积……? 对应高……? 对应中线……? 对应角平分线……? 对应边相等 对应角相等 周长相等 面积相等 对应高相等 对应中线相等 对应角平分线相等 ∵△ABC∽△ABC， ∴ ∠B′= ∠B． 又∵ ∠ADB=∠ADB =90°， ∴△ABD∽△ABD. (两角对应相等的两个三角形相似) ∴=k (相似三角形的对应边成比例). 那么 吗？ D′ C′ D A B A′ B′ ┓ ┓ 若△∽ △ABC，相似比为k，分别作BC， BC上的高AD， AD． 获取新知 C 类似地，可以得到其余两组对应边上的高的比也等于相似比. Administer (authorId_1323281932) - 教学过程中，就前面所学习的理论知识进行进一步深入探讨.要求学生能够灵活运用， 相似三角形对应高的比等于相似比. 知识要点 问题1：若△△， AD和AD分别是△ABC和△ABC的角平分线，那么 成立吗？ D' A' B' C' D A B C 你能有条理地表达理由吗？ 在学习和探讨的过程中，体验从特殊到一般的认知规律. 6 D' A' B' C' D A B C 证明∵△ABC ∽△ ， ∴ ∠B= ∠B， ∠BAC = ∠BAC． 又AD， AD分别为角平分线， ∴△ ABD∽△ABD. 从而 ∴ ∠BAD= ∠BAC = ∠BAC=∠BAD， 类似地，可以得到其余两组对应的角平分线的比也等于相似比. 问题2：若△△， AD和A'D'分别是 △ABC和△A'B'C'的中线，那么 成立吗？ 你能证明吗？ D A B D' A' B' C' C D' A' B' C' D A B C 证明∵△ABC ∽△ ， 又AD， AD分别为中线， ∴△ ABD∽△ABD. 从而 ∴BD= BC, BD= BC， 类似地，可以得到其余两组对应边上的中线的比也等于相似比. ∴ ∴ 相似三角形对应边上的中线的比等于相似比. 相似三角形对应高的比等于相似比. 相似三角形对应的角平分线的比等于相似比. 知识要点 Diamond (D) - 在自主探究过程中要帮助学生完善知识结构，形成正确的数学思维和严密的逻辑性，进一步提升学生自主探究和创新的能力. 例1 如图，已知AB∥PQ，AB=100，PQ=120.点P，A，C在一条直线上，点Q，B，C也在一条直线上.若AB与PQ的距离是40，求点C到直线PQ的距离. 解：如图所示，过点C作CD⊥PQ，交PQ的延长线 于点D， 设CD交AB的延长线于点E， 因此CE⊥AB，DE=40. 又 AB=100，PQ=120，DE=40 ， ∴ . 例题讲解 由“相似三角形对应边上的高的比等于相似比”，可得， ∴ ，∴CD=240. ∴ 点C到直线PQ的距离为240. 例2 CD是Rt△ABC斜边AB上的高， DE ⊥ AC，垂足为点E.已知CD=2，AB=，AC=4,求DE的长. A B D C E 解：在Rt△与 Rt△ACD中， ∵ ∠A= ∠A， ∠ ACB = ∠ADC=90° ， ∴△ ABC∽△ACD. 又 CD=2 ， AB= ，AC=4， 又CD，DE分别为它们的斜边上的高， ∴ . ∴ DE= 相似三角形的性质 相似三角形对应高的比等于相似比 相似三角形对应的角平分线的比等于相似比 相似三角形对应边上的中线的比等于相似比 课堂小结 1.若，相似比为 ，则对应边上的高的比为 ( ) A A. B. C. D. 课堂练习 14 2.已知，对应高.若 ，则 ____ . 2.7 15 3.在和中，, 边上的高为24， 求 边上的高. 解：因为 ， 所以 ，且相似比为3， 所以 . 因为 边上的高为24， 所以 边上的高为8. 16 4.如果两个相似三角形对应角平分线之比是 ,那么它们的对应 边之比是( ) A A. B. C. D. 17 5.已知，和 分别是两个三角形对应的角 平分线，且.若,则 的长是( ) C A. B. C. D. 18 6.（教材练习T2变式） 如图1-5-1，已知， ， 分别是的高和角平分线，，分别是 的高 和角平分线，且，，，求 的长. 图1-5-1 19 解：因为，，分别是 的高和角平 分线，，分别是 的高和角平分线，所以 .因为，， ，所以 ，解得.故 的长为12.6. 20 7.如果两个相似三角形的相似比是 ，那么这两个相似三角形 对应边上的中线的比是( ) B A. B. C. D. 21 8.将一个三角形的各边长都减小一半，所得的三角形对应边上 的中线的长( ) A A.减小一半 B.不会改变 C.增长一倍 D.减小 22 图1-5-2 9.如图1-5-2， ，且 ，， 是斜边上的中线. （1）若，求 的长； 解：因为，， 是 斜边上的中线，所以 . 又因为，所以 . 23 （2）求证： . 证明：因为，， 是斜边上的中线， 所以，， ，所以 ，所以 . 24 图1-5-3 10.新情境 日常生活 如图1-5-3，有 一个侧面为梯形的容器，容器的高 为，容器内水的高度为 ， 将一根长为 的吸管按如图所 示的方式放置.若吸管有 露在容 12 器外，则吸管在水中部分的长度为____ . 25 图1-5-4 11.新考法 跨学科 [2024扬州] 物理课上学过 小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播 特性实现图像投影的方法.如图1-5-4，燃烧的蜡 烛（竖直放置）经小孔 在屏幕（竖直放置） 上成像，设， ， 20 小孔到的距离为，则小孔到的距离为____ . 26 图1-5-5 12.如图1-5-5，在四边形中， 平分 ， ， 于点，于点，且 ， ，.求 的长. 27 解：因为平分 ， 所以 . 又因为 ， 所以 . 又因为，，所以 . 因为，， ， 所以，解得.故 的长为9.6. 28 图1-5-6 13.新情境 日常生活 （教材习题 变式） 猜想归纳：为了建设节约型社 会，“先锋”材料厂把一批三角形废料重 新利用，工人师傅需要把它们截成不同 大小的正方形铁片. 已知三角形废料的 形状如图1-5-6，其中，， 29 （1）如图①，若截取的内接正方形 ，请你求出此 正方形的边长； 解：如图①，过点作于点 ， 交于点.在中， ， ，由勾股定理，得 ，所 以 .因为四边形 30 为正方形，所以，所以 ， ，所以 . 设正方形的边长为，则，解得 ，所以正 方形的边长为 . （2）如图②，若在内并排截取两个相同的正方形 它们组成的矩形内接于 ，请你求出每个正方形的边长； 解：如图②，过点作于点，交于点 . 32 同（1），得，，则 . 设每个正方形的边长为，则，解得 ， 所以每个正方形的边长为 . 33 （3）如图③，若在内并排截取三个相同的正方形 它们组成的矩形内接于 ，请你求出每个正方形的边长； 34 解：如图③，过点作于点 ， 交于点 . 同（1），得， , 所以.设每个正方形的边长为 ， 则，解得，所以每个正方形的边长为 . 35 （4）猜想：如图④，假设在内并排截取 个相同的正方形， 使它们组成的矩形内接于 ，则每个正方形的边长为多少？ 解：设每个正方形的边长为，同理可得 ，解得 ，所以每个正方形的边长为 . 36 $