1.6 相似三角形的应用课件 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦相似三角形的应用，核心内容为利用相似三角形解决不能直接测量的物体高度与宽度问题。课堂导入通过台北101大楼、三清山等现实情境设问，结合已学的三角形中位线、全等三角形知识，逐步过渡到相似三角形的应用，搭建连贯的学习支架。 其特色在于以现实问题驱动探究，通过小组合作对比中位线、全等、相似三种测量方法，结合典例（如步枪瞄准偏差、河宽估算）和分层练习，培养学生的模型意识与推理能力。课堂小结系统归纳测高测宽方法，学生能提升用数学解决实际问题的能力，教师可借助清晰的探究脉络与实例提高教学效率。

湘教版版·九年级上册 1.6 相似三角形的应用 第一章 图形的相似 学 习 目 标 1 2 能够利用相似三角形的知识，求出不能直接测量的物体的高度和宽度. (重点) 进一步了解数学建模思想，能够将实际问题转化为相似三角形的数学模型，提高分析问题、解决问题的能力. (难点) 新知探究 知识要点 世界上最高的楼 ——台北101大楼 世界上最宽的河 ——亚马孙河 世界上有许多建筑许多高山，也有许多大河，在我们无法到达其顶端，也无法跨越到对岸时，如何才能利用所学过的数学知识知道“建筑、高山有多高，河有多宽”呢? 今天，我们学习用相似三角形的相关知识解决它们的高度或宽度 世界自然遗产、世界地质公园 ——江西省三清山 新知探究 知识要点 探究一：利用相似三角形测量宽度 如图，A，B 两点分别位于一个池塘的两端，小张想测量出A，B 间的距离，但由于受条件限制无法直接测量，你能帮他想出一个可行的测量办法吗？ 小组合作，解决下列问题 问题1： 从三角形的中位线的角度思考，你能帮他想出一个可行的测量办法吗？ 问题2： 从全等三角形的角度思考，你能帮他想出一个可行的测量办法吗？ 问题3： 结合问题1和问题2，从相似三角形的角度思考，你能帮他想出一个可行的测量办法吗？ 新知探究 知识要点 问题1： 从三角形的中位线的角度思考，你能帮他想出一个可行的测量办法吗？ 问题2： 从全等三角形的角度思考，你能帮他想出一个可行的测量办法吗？ C 取一点C,连接AC,BC 分别取AC、BC的中点E、D,连接DE，测量DE. 取一点C,连接AC,BC 在AC、BC的延长线上分别取点D、E，使得CD=AC,CE=BC.测量DE. 三角形的中位线定理 三角形全等 新知探究 知识要点 连接并延长 AC，BC，在 AC 的延长线上取一点 D，在 BC 的延长线上取一点 E，使得==k(k 为正整数)，连接DE,测量DE即可。 问题3： 结合问题1和问题2，从相似三角形的角度思考，你能帮他想出一个可行的测量办法吗？ 三角形相似 新知探究 知识要点 如图，如果 ，且测得 DE 的长为 50 m，则 A，B 两点的距离为多少? 因为 ∠ACB = ∠DCE， 于是 因为 DE = 50 m， 所以 AB = 2DE = 100 m. 所以△ABC∽△DEC， C D E A B 知识要点 典例分析 例1 在用步枪瞄准靶心时，要使眼睛(O)、 准星(A)、靶心点(B)在同一条直线上.在射击时，李明由于有轻微的抖动，致使准星 A 偏离到 A'，如图所示.已知 OA = 0.2 m，OB = 50 m，AA' = 0.0005 m，求小明射击到的点 B' 偏离靶心点 B 的长度 BB'（近似地认为 AA'∥BB' ）.  解：∵AA′∥BB′， ∴△OAA′∽△OBB′． ∴= ， ∴OA=0.2m,OB=50m,AA′=0.0005m. ∴ BB′=0.125m. 答:李明射击到的点B′偏离靶心点B的长度BB′为0.125m. 典例分析 其他性质 例2 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点 A，再在河的这一边选点 B 和 C，使 AB⊥BC，然后，再选点 E，使 EC⊥BC ，用视线确定 BC 和 AE 的交点 D．  此时如果测得 BD＝120 m，DC＝60 m，EC＝50 m， 求两岸间的大致距离 AB． E A D C B 60 m 50m 120 m 典例分析 其他性质 解：∵ ∠ADB ＝ ∠EDC，   ∠ABC ＝ ∠ECD ＝ 90°，   ∴ △ABD∽△ECD. ∴ ， 即 ， 解得 AB = 100. 因此，两岸间的大致距离为 100 m. E A D C B 60 m 50 m 120 m 典例分析 其他性质 1、如图所示，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B、C、D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A、E、D在同一条直线上，若测得BE＝20m，EC＝10m，CD＝20m，则河的宽度AB等于(　　) A．60m B．40m　 C．30m D．20m 练一练 新知探究 知识要点 方法总结： 测量如河宽等不易直接测量的物体的宽度，常构造相似三角形求解. 其他性质 新知探究 探究二：利用相似三角形测量高度 据传说，古希腊数学家、天文学家开勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度. 其他性质 典例分析 怎样测出 OA 的长？ =134 (m). 例3 如图，木杆 EF 长 2 m，它的影长 FD 为 3 m，测得 OA 为 201 m，求金字塔的高度 BO. 解：太阳光是平行的光线，因此 ∠BAO =∠EDF. 又 ∠AOB =∠DFE = 90°，∴△ABO ∽△DEF. ∴ . ∴ 因此金字塔的高度为 134 m. 其他性质 典例分析 2.如图，某路口栏杆的短臂长为1m，长臂长为6m.当短臂端点下降0.5m时，长臂端点升高多少米？ 解：∵AB∥CD， ∴△OAB∽△ODC. ∵OA=1m，AB=0.5m， OD=6m， ∴CD=3m. 答：长臂端点升高3m. 练一练 方法总结： 表达式：物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长 测高方法一： 测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决. 16 其他性质 新知探究 A C B 如图，九年级某班数学兴趣小组的同学想利用所学数学知识测量学校旗杆的高度，当身高 1.6 米的小阳同学站在 C 处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，同一时刻，其他成员测得 AC = 2 米，AB = 10 米，则旗杆的高度是____米． 8 其他性质 典例分析 A F E B O ┐ ┐ 还可以有其他测量方法吗？ OB EF = OA AF △ABO∽△AEF OB = 平面镜 想一想： OA · EF AF 方法总结： 测高方法二： 测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“利用镜子的反射测量高度”的原理解决. 19 其他性质 典例分析 例4 这是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图.在点P处水平放一平面镜，光线从点A发出经平面镜反射后刚好照到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝2米，BP＝3米，PD＝12米，求该古城墙CD的高度. 解：由题意可得∠APE＝∠CPE，∴∠APB＝∠CPD， 故该古城墙CD的高度为8米. ∴ ，∴CD＝8米， ∵AB＝2米，BP＝3米，PD＝12米， ∴ ， ∴△ABP∽△CDP， ∴∠ABP＝∠CDP＝90°， ∵AB⊥BD，CD⊥BD， 其他性质 典例分析 练一练 3、如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点 P 处放一水平的平面镜，光线从点 A 出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙的顶端 C 处，已知 AB = 2 米，且测得 BP = 3 米，DP = 12 米，那么该古城墙的高度是 ( ) A. 6 米 B. 8 米 C. 18 米 D. 24 米 B A B P D C 课堂练习 1. 小明身高 1.5 米，在操场的影长为 2 米，同时测得教学大楼在操场的影长为 60 米，则教学大楼的高度应为 ( ) A. 45 米 B. 40 米 C. 90 米 D. 80 米 2. 小刚身高 1.7 m，测得他站立在阳光下的影子长为0.85 m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为 1.1 m，那么小刚举起的手臂超出头顶 ( ) A. 0.5 m B. 0.55 m C. 0.6 m D . 2.2 m A A 课堂练习 3. 如图，晓研同学测量旗杆AB的高度，在地面上竖一根2.4米长的竹竿DE，并在同一时刻下测得DE ，AB在地面上的影长EF=1.8米，BC=5.4米，则旗杆AB 长为（ ） A. 6.4米 B. 7.2米 C. 8米 D. 9.6米 B 测高方法1： 测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“利用标杆测量高度”的原理解决. 课堂练习 4. 如图所示，有点光源 S 在平面镜上面，若在 P 点看 到点光源的反射光线，并测得 AB＝10 cm，BC＝20 cm，PC⊥AC，且 PC＝24 cm，则点光源 S 到平面镜的距离 SA 的长度为 cm. 12 课堂练习 5. 如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板 DEF 来测量操场旗杆 AB 的高度，他们通过调整测量位置，使斜边 DF 与地面保持平行，并使边 DE 与旗杆顶点 A 在同一直线上，已知 DE = 0.5 米，EF = 0.25 米，目测点 D 到地面的距离DG = 1.5 米，到旗杆的水平距离 DC = 20 米，求旗杆的高度. A B C D G E F 解：由题意可得 △DEF∽△DCA， ∵DE = 0.5 m，EF = 0.25 m，DG = 1.5 m，DC = 20 m ， 则 解得 AC = 10. ∴ 故 AB = AC + BC = 10 + 1.5 = 11.5 (m). 答：旗杆的高度为 11.5 m. 课堂小结 相似三角形的应用 求两点间的距离或物体的宽 求物体的高 思想：转化为相似三角形的问题 方法：构造相似三角形，作垂线 拓展提升 1. 如图，某一时刻，旗杆 AB 的影子的一部分在地面上，另一部分在建筑物的墙面上．小明测得旗杆 AB 在地面上的影长 BC 为 9.6 m，在墙面上的影长 CD 为 2 m．同一时刻，小明又测得竖立于地面长 1 m 的标杆的影长为 1.2 m．请帮助小明求出旗杆的高度． A B C D 解：如图：过点 D 作 DE∥BC，交 AB 于点 E， ∴ DE = CB = 9.6 m，BE = CD = 2 m， ∵ 在同一时刻物高与影长成正比例， ∴ EA : ED = 1 : 1.2， ∴ AE = 8 m， ∴ AB = AE + EB = 8 + 2 = 10 (m)， ∴ 学校旗杆的高度为 10 m. 拓展提升 2.周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆DE，使得点E与点C，A共线.已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1 m，DE＝1.5 m，BD＝8.5 m.测量示意图如图所示.请根据相关测量信息，求河宽AB. 拓展提升 解：∵CB⊥AD，ED⊥AD， ∴BC∥DE， ∴△ABC∽△ADE， ∴＝，即＝， 解得AB＝17(m). 经检验，AB＝17是原分式方程的解. 答：河宽AB的长为17 m. 拓展提升 3、如图，小明为了测量一棵树CD的高度，他在距树24m处立了一根高为2m的标杆EF，然后小明前后调整自己的位置，当他与树相距27m的时候，他的眼睛、标杆的顶端和树的顶端在同一条直线上.已知小明的眼高1.6m，求树的高度. A E C D F B N 分析：人、树、标杆是相互平行的，添加辅助线，过点A作AN∥BD交ID于N，交EF于M，则可得△AEM∽△ACN. 拓展提升 解：过点A作AN∥BD交CD于N，交EF于M，因为人、标杆、树都垂直于地面， ∴∠ABF=∠EFD=∠CDF=90°, ∴AB∥EF∥CD, ∴∠EMA=∠CNA. ∵∠EAM=∠CAN, ∴△AEM∽△ACN , ∴ . ∵AB=1.6m , EF=2m , BD=27m , FD=24m , ∴ , ∴CN=3.6m， ∴CD=3.6+1.6=5.2（m）. 故树的高度为5.2m. A E D F B N C 感谢聆听! 【思路分析】　∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴AB∥CD，∴∠A＝∠D，∴△BAE∽△CDE，∴eq \f(AB,CD)＝eq \f(BE,CE)，∵BE＝20m，EC＝10m，CD＝20m，∴eq \f(AB,20)＝eq \f(20,10)，∴AB＝40m $