6.4.1二项分布-同步练习-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

**基本信息** 高中数学二项分布同步练，分层设计从基础公式应用到综合情境建模，梯度合理，覆盖定义、期望方差计算及实际应用，培养数学抽象、运算推理和模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|二项分布基本概念与期望计算|第1题直接应用期望公式EX=np，强化概念理解| |中档|独立重复试验概率计算及简单应用|第2题投篮测试结合至少投中2次的概率计算，培养运算能力| |拔高|复杂情境建模与综合应用|第16题系统可靠性问题需多步骤推理，发展模型意识与应用能力|

4.1　二项分布 1.设X～B（40，p），且EX＝16，则p＝（　　） A.0.1　　　　　　　　 B.0.2 C.0.3 D.0.4 2.投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（　　） A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312 3.在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A在1次试验中发生的概率p的取值范围是（　　） A.[0.4，1） B.（0，0.4] C.[0.6，1） D.（0，0.6] 4.若随机变量X～B（n，0.4），且EX＝2，则P（X＝1）的值是（　　） A.3×0.44 B.2×0.45 C.3×0.64 D.2×0.64 5.（多选）若随机变量X服从二项分布B，则（　　） A.P（X＝1）＝P（X＝3） B.P（X＝2）＝3P（X＝1） C.P（X＝4）＝2P（X＝0） D.P（X＝3）＝4P（X＝1） 6.（多选）在甲、乙两队进行的一场五局三胜制的排球比赛中，规定先赢三局的队获胜，且比赛就此结束，现已知甲、乙两队每比赛一局，甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，且每局比赛的胜负是相互独立的，则下列说法正确的是（　　） A.甲队以3∶2获胜的概率为 B.甲队以3∶2获胜的概率为 C.乙队获胜的概率为 D.乙队获胜的概率为 7.一个学生通过某种英语听力测试的概率是，他连续测试n次，要保证他至少有一次通过的概率大于0.9，那么n的最小值为　　　　. 8.将一枚均匀的硬币抛掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为　　　　. 9.某公司招聘员工需经过笔试和面试两个流程.已知笔试试卷包含5道选择题，每道题均有4个选项，但有且仅有1个选项正确，若甲答对每道题的概率都为0.7，则甲答对题目的个数ξ的方差Dξ＝　　　；若每答对1题得4分，答错1题扣1分，则甲在此次笔试中的成绩X的期望EX＝　　　　. 10.某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留到小数点后面第2位）： （1）“5次预报中恰有2次准确”的概率； （2）“5次预报中至少有2次准确”的概率. 11.甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队的实力之比为3∶2，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲打完4局才胜的概率为（　　） A.×　　　　　 B.× C.× D.× 12.设随机变量X服从二项分布X～B，则函数f（x）＝x2＋4x＋X存在零点的概率是（　　） A. B. C. D. 13.（多选）掷一个不均匀的硬币6次，每次掷出正面的概率均为，恰好出现k次正面的概率记为Pk，则下列说法正确的是（　　） A.P1＝P5 B.P1＜P5 C.Pk＝1 D.P0，P1，P2，…，P6中的最大值为P4 14.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一卦由六爻组成.其中有一种起卦方法称为“金钱起卦法”，其做法为：取三枚相同的钱币合于双手中，上下摇动数下使钱币翻滚摩擦，再随意抛撒钱币到桌面或平盘等硬物上，如此重复六次，得到六爻.若三枚钱币全部正面向上或全部反面向上，就称为变爻.若每一枚钱币正面向上的概率为，则一卦中恰有三个变爻的概率为　　　　. 15.一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示. 将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立. （1）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率； （2）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，均值EX及方差DX. 16.某科技公司新开发一电子产品，该电子产品的一个系统G由3个电子元件组成，各个电子元件能正常工作的概率均为，且每个电子元件能否正常工作相互独立，若系统G中有超过一半的电子元件正常工作，则G可以正常工作，否则就需要维修，且维修所需要的费用为500元. （1）求系统G不需要维修的概率； （2）该电子产品共由3个完全相同的系统G组成，设该电子产品系统维修所需的费用为Y元，求Y的分布列与均值； （3）为提高系统G正常工作的概率，在系统G内增加2个功能完全一样的其他品牌的电子元件，每个新元件正常工作的概率均为p，且新增元件后，若有超过一半的电子元件正常工作，则G可以正常工作，问：p满足什么条件时，可以提高整个系统G正常工作的概率？ 4.1　二项分布 1.D　∵EX＝16，∴40p＝16，∴p＝0.4.故选D. 2.A　根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为P＝×0.62×0.4＋0.63＝0.648，故选A. 3.A　根据n重伯努利试验发生k次的概率公式得，p·（1－p）3≤p2（1－p）2，结合0＜p＜1，解得0.4≤p＜1，故选A. 4.D　因为随机变量X～B（n，0.4），所以EX＝0.4n＝2，解得n＝5，所以随机变量X～B（5，0.4），所以P（X＝1）＝（1－0.4）40.41＝2×0.64，故选D. 5.BD　由题意，根据二项分布中概率的计算公式P（X＝k）＝（1－）4－k，k＝0，1，2，3，4，则P（X＝0）＝·＝，P（X＝1）＝·＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝·＝，P（X＝4）＝＝，因此P（X＝2）＝3P（X＝1），P（X＝3）＝4P（X＝1）.故选B、D. 6.AC　若甲队以3∶2获胜，则前四局甲胜两局，第五局甲胜，所以甲队以3∶2获胜的概率为P1＝×××＝，故A正确，B错误；若乙队获胜，则前三局乙连胜，或比四局前三局乙胜2局第四局乙胜，或比五局前4局乙胜2局，第五局乙胜，所以乙队获胜的概率为P2＝×＋×××＋×××＝，故C正确，D错误，故选A、C. 7.4　解析：由1－＞0.9，得＜0.1，∴n≥4. 8.　解析：正面出现的次数比反面出现的次数多，则正面可以出现4次、5次或6次，所求概率P＝＋＋＝. 9.1.05　12.5　解析：由题意易得，ξ～B（5，0.7），X＝4ξ＋（5－ξ）×（－1）＝5ξ－5，则Eξ＝5×0.7＝3.5，Dξ＝5×0.7×0.3＝1.05，所以EX＝5Eξ－5＝12.5. 10.解：（1）记“预报一次准确”为事件A，则P（A）＝0.8， 5次预报相当于5重伯努利试验. “恰有2次准确”的概率为P1＝×0.82×0.23＝0.051 2≈0.05， 因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05. （2）“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”. 其概率为P2＝×（0.2）5＋×0.8×0.24＝0.006 72. 所以所求概率为1－P2＝1－0.006 72≈0.99. 所以“5次预报中至少有2次准确”的概率约为0.99. 11.A　甲打完4局才胜，说明在前三局中甲胜两局，且在第4局中获胜，其概率为××＝×. 12.C　因为函数f（x）＝x2＋4x＋X存在零点，所以Δ＝16－4X≥0，解得X≤4，因为随机变量X服从二项分布X～B，所以P（X≤4）＝1－P（X＝5）＝1－＝.故选C. 13.BD　由题意知Pk＝（）k·（1－）6－k，k＝0，1，2，…，6，∴P1＝（）1·（）5＝，P5＝（）5·（）1＝，∴P1＜P5，即选项A错误，选项B正确.由必然事件的概率可知Pk＝1，而P0＝（）0（）6＝≠0，故选项C错误.设P0，P1，P2，…，P6中的最大值为Pi（0≤i≤6，且i∈N），则即 解得≤i≤.又i∈N，∴i＝4，∴P0，P1，P2，…，P6中最大值为P4，即选项D正确.故选B、D. 14.　解析：1个爻为变爻的概率为2×（）3＝，不是变爻的概率为1－＝，则一卦中恰有三个变爻的概率为×（）3×（）3＝. 15.解：（1）设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天的日销售量不低于100个且另1天的日销售量低于50个”.因此P（A1）＝（0.006＋0.004＋0.002）×50＝0.6， P（A2）＝0.003×50＝0.15， P（B）＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108. （2）X可能取的值为0，1，2，3，X～B（3，0.6），相应的概率为 P（X＝0）＝×（1－0.6）3＝0.064， P（X＝1）＝×0.6×（1－0.6）2＝0.288， P（X＝2）＝×0.62×（1－0.6）＝0.432， P（X＝3）＝×0.63＝0.216， 则X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.064 0.288 0.432 0.216 因为X～B（3，0.6），所以均值EX＝3×0.6＝1.8， 方差DX＝3×0.6×（1－0.6）＝0.72. 16.解：（1）系统G不需要维修的概率为·（）2·＋·（）3＝. （2）设X为维修的系统G的个数，则X～B（3，），且Y＝500X， 则X的分布列为P（X＝k）＝·（）k·（）3－k，k＝0，1，2，3. 所以Y的分布列为 Y 0 500 1 000 1 500 P 法一　EY＝0×＋500×＋1 000×＋1 500×＝750. 法二　EY＝500×3×＝750. （3）当系统G有5个电子元件时， 若原有的3个电子元件中有1个正常工作，则新增的2个电子元件必须都正常工作， 所以系统G正常工作的概率为 ··（）2·p2＝p2； 若原有的3个电子元件中有2个正常工作，则新增的2个电子元件至少有1个正常工作， 所以系统G正常工作的概率为 ·（）2···p·（1－p）＋·（）2··p2＝（2p－p2）； 若原有的3个电子元件中3个都正常工作，则不管新增的2个电子元件能否正常工作，系统G均能正常工作， 所以系统G正常工作的概率为 ·（）3＝. 所以新增2个电子元件后，系统G能正常工作的概率为p2＋（2p－p2）＋＝p＋， 令p＋＞，则＜p＜1， 所以当p∈（，1）时，可以提高整个系统G正常工作的概率. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $