6.4.1 二项分布同步练习-2025-2026学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

4.1　二项分布 一、知识基础 1.甲、乙两人各进行1次射击,若两人击中目标的概率都是0.7,则其中恰有1人击中目标的概率是(　　) A.0.49 B.0.42 C.0.7 D.0.91 2.某同学通过普通话二级测试的概率是,若该同学连续测试3次(各次测试互不影响),则只有第3次通过的概率是(　　) A. B. C. D. 3.设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,且概率都是0.4.若某人上班途中共经过三个交通岗,则此人上班途中遇红灯的次数X的数学期望为(　　) A.0.4 B.1.2 C.0.43 D.0.6 4.设随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=k×n-k,k=0,1,2,…,n,且Eξ=24,则Dξ的值为(　　) A.8 B.12 C. D.16 5.下列例子中随机变量ξ服从二项分布的个数为(　　) ①某同学投篮的命中率为0.6,他10次投篮中命中的次数ξ; ②某射手击中目标的概率为0.9,从开始射击到击中目标所需的射击次数ξ; ③从装有5个红球、5个白球的袋中,有放回地摸球,直到摸出白球为止,摸到白球时的摸球次数ξ; ④有一批产品共有N件,其中M件为次品,采用不放回抽取方法,ξ表示n次抽取中出现次品的件数. A.0 B.1 C.2 D.3 6.(2025黑龙江期末)若随机变量ξ~B5,,则D(3ξ-1)的值为　　　　　. 7.(2025黑龙江期末)盒中有大小相同的6个红球,4个白球,现从盒中任取1球,记住颜色后再放回盒中,连续摸取4次.设ξ表示连续摸取4次中取得红球的次数,则ξ的均值Eξ=　　　　　.  8.已知随机变量X服从二项分布B(4,p),P(X=2)=,那么一次试验成功的概率p为　　　　　.  9.某篮球运动员在训练过程中,每次从罚球线罚球的命中率是,且每次罚球的结果相互独立.已知该名篮球运动员连续4次从罚球线罚球. (1)求他第1次罚球不中,后3次罚球都中的概率; (2)求他4次罚球恰好命中3次的概率. 10.一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现三次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除200分(即获得-200分).设每次击鼓出现音乐的概率为,且各次击鼓是否出现音乐相互独立. (1)设每盘游戏获得的分数为X,求X的分布列. (2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少? 二、能力提升 11.甲、乙两人进行乒乓球比赛,比赛规则为“3局2胜”,即以先赢2局者为胜,根据经验,每局比赛中甲获胜的概率为0.6,则本次比赛甲获胜的概率是(　　) A.0.216 B.0.36 C.0.432 D.0.648 12.(多选题)抛掷一枚硬币三次,若记出现“三个正面”“三个反面”“二正一反”“一正二反”的概率分别为P1,P2,P3,P4,则下列结论中正确的是(　　) A.P1=P2=P3=P4 B.P3=2P1 C.P1+P2+P3+P4=1 D.P4=3P2 13.设随机变量X,Y满足:Y=3X-1,X~B(2,p),若P(X≥1)=,则DY=(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 14.(多选题)某城镇小汽车的家庭普及率为75%,即平均每100个家庭有75个家庭拥有小汽车,若从该城镇中任意选出5个家庭,则下列结论成立的是(　　) A.这5个家庭均有小汽车的概率为 B.这5个家庭中,恰有三个家庭拥有小汽车的概率为 C.这5个家庭平均有3.75个家庭拥有小汽车 D.这5个家庭中,四个家庭以上(含四个家庭)拥有小汽车的概率为 15.一台仪器每启动一次都随机地出现一个4位的二进制数A=a1a2a3a4,其中A的各位数字中,a1=1,ak(k=2,3,4)出现0的概率为,出现1的概率为.若启动一次出现的数字为A=1 010,则称这次试验成功.若成功一次得2分,失败一次得-1分,则54次这样的重复试验的总得分X的方差为　　　　　.  16.一次数学测验由25道选择题构成,每个选择题有4个选项,其中有且仅有一个选项是正确的,每个答案选择正确得4分,不作出选择或选错不得分,满分100分,某学生选对任一题的概率为0.6,则此学生在这一次测验中的成绩的均值与方差分别为　　　、　　　.  17.强基计划的校考由试点高校自主命题,校考过程中通过笔试后才能进入面试环节.已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立,若某考生报考甲大学,每门科目通过的概率均为;该考生报考乙大学,每门科目通过的概率依次为,m,其中0<m<1. (1)若m=,分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好通过一门科目的概率; (2)强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校,若以笔试过程中通过科目数的均值为依据作出决策,当该考生更希望通过乙大学的笔试时,求m的取值范围. 18.甲、乙两名运动员参加乒乓球单打比赛,比赛采用7局4胜制(即先胜4局者获胜,比赛结束),假设两人在每一局比赛中获胜的概率相等. (1)求乙以4比1获胜的概率; (2)求甲获胜且比赛局数多于5局的概率. 参考答案 1.B 2.C　由题意知,该同学连续测试3次,只有第3次通过的概率P=1-2故选C. 3.B　由题意可知,此人上班途中遇红灯的次数X服从二项分布X~B(3,0.4),故EX=3×0.4=1.2.故选B. 4.A 5.B　对于①,某同学投篮的命中率为0.6,他10次投篮中命中的次数ξ~B(10,0.6),故①符合;对于②,对于某射手从开始射击到击中目标所需的射击次数ξ,每次试验不是独立的,与其他各次试验结果有关,不是二项分布,故②不符合;对于③,虽然是有放回取球,但随机变量ξ的定义是直到摸出白球为止,即前面摸出的一定是红球,最后一次是白球,不符合二项分布的定义,故③不符合;对于④,由于采用不放回抽取方法,每一次抽取中出现次品的概率是不相等的,故ξ表示n次抽取中出现次品的件数不服从二项分布,故④不符合. 6.10　由题意可得Dξ=51-=, D(3ξ-1)=9Dξ=10. 7　采用有放回的取球,每次取得红球的概率都相等,均为,取得红球次数ξ的可能取值为0,1,2,3,4,则随机变量ξ服从二项分布ξ~B4,,则Eξ=4 8　P(X=2)=p2(1-p)2=6p2(1-p)2=,即p2(1-p)2=2×2,解得p=或p= 9.解 (1)设该篮球运动员第1次罚球不中,后3次罚球都中为事件A,则第i(i=1,2,3,4)次罚球命中为事件Bi,则A=B2B3B4,因为每次罚球的结果相互独立,所以所求的概率为P(A)=P()P(B2)P(B3)P(B4)= (2)因为该名篮球运动员4次罚球恰好命中次数X是一个随机变量,所以X~B4,, 所以所求的概率为P(X=3)=3 10.解 (1)X可能的取值为10,20,100,-200.根据题意,有P(X=10)=1×1-2=,P(X=20)=2×1-1=,P(X=100)=3×1-0=,P(X=-200)=0×1-3= 所以X的分布列为 X 10 20 100 -200 P (2)设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai(i=1,2,3),则P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(X=-200)= 所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为 1-P(A1A2A3)=1-3=1- 因此,玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是 11.D 12.CD　由题意,可得P1=3=,P2=3=,P3=21-=,P4=1-2=,由于P1=P2<P3=P4,故A错误;由于P3=3P1,故B错误;C,D正确. 13.A　∵随机变量X,Y满足:Y=3X-1,X~B(2,p),P(X≥1)=,∴P(X=0)=1-P(X≥1)=(1-p)2=, 解得p=,∴X~B2,,∴DX=21-=,∴DY=9DX=9=4. 14.ACD　由题得小汽车的普及率为选项A,这5个家庭均有小汽车的概率为5=,故A成立;选项B,这5个家庭中,恰有三个家庭拥有小汽车的概率为32=,故B不成立;选项C,这5个家庭平均有3.75个家庭拥有小汽车,故C成立;选项D,这5个家庭中,四个家庭以上(含四个家庭)拥有小汽车的概率为4+5=,故D成立. 15　启动一次出现数字为A=1 010的概率P=2=,设试验成功的次数为Y,则Y~B54,, 所以Y的方差为DY=54,易得总得分X=2Y-1×(54-Y)=3Y-54,所以DX=D(3Y-54)=9DY= 16.60　96 17.解 (1)设“该考生报考甲大学恰好通过一门笔试科目”为事件A,“该考生报考乙大学恰好通过一门笔试科目”为事件B,根据题意可得P(A)=12=, P(B)=2+2= (2)设该考生报考甲大学通过的科目数为X,报考乙大学通过的科目数为Y,根据题意可知,X~B3,,所以,EX=3,P(Y=0)=(1-m)=(1-m),P(Y=1)=(1-m)+(1-m)+m=m,P(Y=2)=(1-m)+m+m=m,P(Y=3)=m=m. 则随机变量Y的分布列为 Y 0 1 2 3 P (1-m) m m m EY=m++m+m=+m,若该考生更希望通过乙大学的笔试,有EY>EX,所以+m>又因为0<m<1,所以<m<1,所以m的取值范围是,1. 18.解 (1)由已知,甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是,记“乙以4比1获胜”为事件A,则A表示前4局乙赢了3局甲赢了1局,且第五局乙赢,所以P(A)=3 (2)记“甲获胜且比赛局数多于5局”为事件B,则B表示甲以4比2获胜,或甲以4比3获胜.因为甲以4比2获胜,表示前5局比赛中甲赢了3局且第六局比赛中甲赢了,这时,无需进行第7局比赛,故甲以4比2获胜的概率为3×2甲以4比3获胜,表示前6局比赛中甲赢了3局且第七局比赛中甲赢了,故甲以4比3获胜的概率为3×3,所以P(B)= 7 学科网（北京）股份有限公司 $$