6.3.2 离散型随机变量的方差 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

**基本信息** 高中数学离散型随机变量的方差同步练，新授课适用，通过基础计算-性质应用-实际建模三层递进设计，实现从概念理解到综合应用的知识巩固，培养数学思维与数据观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|方差定义计算、分布列性质|直接应用公式（如1-3题），夯实概念理解| |中档|方差线性变换、两点分布|结合性质综合计算（如4-6题），强化运算能力| |提升|实际情境建模、参数分析|联系生活应用（如15-16题投资/利润问题），发展应用意识|

3.2　离散型随机变量的方差 1.若随机变量ξ的分布列为： ξ －1 0 1 P 0.5 0.3 0.2 则＝（　　） A.　　　　　　　 B. C. D. 2.已知随机变量X的分布列如下： X 0 1 3 P a 则X的方差DX＝（　　） A.1 B.2 C.3 D.9 3.设随机变量X的概率分布列为P（X＝k）＝pk（1－p）1－k（k＝0，1），则EX，DX的值分别是（　　） A.0和1 B.p和p2 C.p和1－p D.p和（1－p）p 4.已知随机变量X的分布列为P（X＝k）＝，k＝1，2，3，则D（3X＋5）＝（　　） A.6 B.9 C.3 D.4 5.（多选）离散型随机变量X的分布列如下表，若离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，则下列结果正确的有（　　） X 0 1 2 3 4 P q 0.4 0.1 0.2 0.2 A.q＝0.1 B.EX＝2，DX＝1.4 C.EX＝2，DX＝1.8 D.EY＝5，DY＝7.2 6.（多选）若随机变量X服从两点分布，其中P（X＝0）＝，EX，DX分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是（　　） A.P（X＝1）＝EX B.E（4X＋1）＝4 C.DX＝ D.D（4X＋1）＝4 7.若事件在一次试验中发生次数的方差等于0.25，则该事件在一次试验中发生的概率为　　　　. 8.已知离散型随机变量X的可能取值为x1＝－1，x2＝0，x3＝1，且EX＝0.1，DX＝0.89，则对应x1，x2，x3的概率p1，p2，p3分别为　　　，　　　　，　　　　. 9.若随机事件A在1次试验中发生的概率为p（0＜p＜1），用随机变量X表示A在1次试验中发生的次数，则方差DX的最大值为　　　　，此时p＝　　　　. 10.甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等.两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为： 甲保护区： X 0 1 2 3 P 0.3 0.3 0.2 0.2 乙保护区： Y 0 1 2 P 0.1 0.5 0.4 试评定这两个保护区的管理水平. 11.编号为1，2，3的3位同学随意入座编号为1，2，3的3个座位，每位同学坐一个座位，设编号与座位编号相同的学生个数是X，则X的方差为（　　） A. B. C. D.1 12.设0＜a＜1，随机变量X的分布列是 X 0 a 1 P 则当a在（0，1）内增大时， （　　） A.DX增大 B.DX减小 C.DX先增大后减小 D.DX先减小后增大 13.（多选）已知离散型随机变量X的分布列为 X 0 5 10 P m n 其中m＞0，n＞0，则下列选项正确的有（　　） A.m＋n＝ B.若m＜n，则椭圆m2x2＋n2y2＝1的长轴长为2n C.若均值EX＝4，则双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x D.若均值EX＝4，则方差DX＝19 14.已知离散型随机变量X的分布列如下表，若EX＝0，DX＝1，则a＝　　　　，b＝　　　　. X －1 0 1 2 P a b c 15.某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为 ξ 1 2 3 4 5 P 0.2 0.3 0.3 0.1 0.1 商场经销一件该商品，顾客采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为300元；分4期或5期付款，其利润为400元.η表示经销一件该商品的利润. （1）求事件A：“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”的概率P（A）； （2）求η的分布列、均值和方差. 16.已知A，B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2.根据市场分析，X1和X2的分布列如下. X1 5% 10% P 0.8 0.2 X2 2% 8% 12% P 0.2 0.5 0.3 （1）在A，B两个项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求DY1和DY2； （2）用x（0≤x≤100）万元投资A项目，（100－x）万元投资B项目，f（x）表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差之和，求f（x）的最小值，并求出此时x的值. 3.2　离散型随机变量的方差 1.C　由题意，得Eξ＝（－1）×0.5＋0×0.3＋1×0.2＝－0.3，则Dξ＝（－1＋0.3）2×0.5＋（0＋0.3）2×0.3＋（1＋0.3）2×0.2＝0.61，＝. 2.A　由分布列的性质可知，＋＋a＝1，所以a＝，所以EX＝0×＋1×＋3×＝1，DX＝（0－1）2×＋（1－1）2×＋（3－1）2×＝1. 3.D　由X的分布列知，P（X＝0）＝1－p，P（X＝1）＝p，故EX＝0×（1－p）＋1×p＝p，DX＝p（1－p）. 4.A　EX＝1×＋2×＋3×＝2，∴DX＝×[（1－2）2＋（2－2）2＋（3－2）2]＝，∴D（3X＋5）＝9DX＝9×＝6. 5.ACD　因为q＋0.4＋0.1＋0.2＋0.2＝1，所以q＝0.1，故A正确；又EX＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，DX＝（0－2）2×0.1＋（1－2）2×0.4＋（2－2）2×0.1＋（3－2）2×0.2＋（4－2）2×0.2＝1.8，故C正确，B错误；因为Y＝2X＋1，所以EY＝2EX＋1＝5，DY＝4DX＝7.2，故D正确，故选A、C、D. 6.ABC　因为随机变量X服从两点分布，且P（X＝0）＝，所以P（X＝1）＝，EX＝0×＋1×＝，所以P（X＝1）＝EX，故A正确；E（4X＋1）＝4EX＋1＝4×＋1＝4，故B正确；DX＝×＋×＝，故C正确；D（4X＋1）＝42DX＝16×＝3，故D不正确.故选A、B、C. 7.0.5　解析：在一次试验中发生次数记为ξ，则ξ服从两点分布，则Dξ＝p（1－p），所以p（1－p）＝0.25，解得p＝0.5. 8.0.4　0.1　0.5　解析：由题意知，－p1＋p3＝0.1，1.21p1＋0.01p2＋0.81p3＝0.89.又p1＋p2＋p3＝1，解得p1＝0.4，p2＝0.1，p3＝0.5. 9.　　解析：随机变量X的所有可能的取值是0，1，并且P（X＝1）＝p，P（X＝0）＝1－p.从而EX＝0×（1－p）＋1×p＝p，DX＝（0－p）2×（1－p）＋（1－p）2·p＝p－p2＝－＋.∵0＜p＜1，∴当p＝时，DX取最大值，最大值是. 10.解：甲保护区的违规次数X的均值和方差分别为： EX＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3， DX＝（0－1.3）2×0.3＋（1－1.3）2×0.3＋（2－1.3）2×0.2＋（3－1.3）2×0.2＝1.21. 乙保护区的违规次数Y的均值和方差分别为： EY＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3， DY＝（0－1.3）2×0.1＋（1－1.3）2×0.5＋（2－1.3）2×0.4＝0.41. 因为EX＝EY，DX＞DY，所以两个保护区内每季度发生的平均违规次数是相同的，但乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定，而甲保护区的违规事件次数相对分散，故乙保护区的管理水平较高. 11.D　由题意得X的可能取值为0，1，3，P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝3）＝＝，所以EX＝0×＋1×＋3×＝1，所以DX＝（0－1）2×＋（1－1）2×＋（3－1）2×＝1.故选D. 12.D　由题意知EX＝0×＋a×＋1×＝，因此，DX＝×＋×＋×＝[（a＋1）2＋（1－2a）2＋（a－2）2]＝（6a2－6a＋6）＝.当0＜a＜时，DX单调递减；当＜a＜1时，DX单调递增.即当a在（0，1）内增大时，DX先减小后增大.故选D. 13.ACD　对于选项A，由分布列的性质可得m＋n＝，所以A正确；对于选项B，若m＜n 则椭圆m2x2＋n2y2＝1的长轴长为，所以B不正确；对于选项C，EX＝5m＋10n＝4，又m＋n＝，所以m＝，n＝，所以双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x＝±x，所以C正确；对于选项D，DX＝（0－4）2×＋（5－4）2×＋（10－4）2×＝19，所以D正确. 14.　　解析：由题意知 解得 15.解：（1）∵A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”，可知表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”， ∴P（）＝（1－0.2）3＝0.512， ∴P（A）＝1－P（）＝1－0.512＝0.488. （2）根据顾客采用的付款期数ξ的分布列，对应于η的可能取值为200元，300元，400元，得到η对应的事件的概率， P（η＝200）＝P（ξ＝1）＝0.2； P（η＝300）＝P（ξ＝2）＋P（ξ＝3）＝0.3＋0.3＝0.6； P（η＝400）＝P（ξ＝4）＋P（ξ＝5）＝0.1＋0.1＝0.2. 故η的分布列为 η 200 300 400 P 0.2 0.6 0.2 ∴Eη＝200×0.2＋300×0.6＋400×0.2＝300. ∴Dη＝（200－300）2×0.2＋（300－300）2×0.6＋（400－300）2×0.2＝4 000. 16.解：（1）EY1＝5%×100×0.8＋10%×100×0.2＝6， DY1＝（5%×100－6）2×0.8＋（10%×100－6）2×0.2＝4. EY2＝2%×100×0.2＋8%×100×0.5＋12%×100×0.3＝8， DY2＝（2%×100－8）2×0.2＋（8%×100－8）2×0.5＋（12%×100－8）2×0.3＝12. （2）f（x）＝D（Y1）＋D（Y2）＝（）2DY1＋（）2DY2＝[x2＋3（100－x）2]＝（4x2－600x＋3×1002）. 当x＝75时，f（x）取得最小值，最小值为3. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $