专题2.2 整式加减（高效培优讲义）数学新教材沪科版七年级上册

本讲义聚焦初中数学整式加减核心知识点，涵盖同类项定义与辨析、合并同类项法则、去（添）括号法则、多项式升降幂排序，通过“概念-法则-应用”的学习支架，构建从基础到综合的知识脉络。 资料以“知识点+题型+练习”系统设计，通过典例与变式强化同类项判断、符号变化等重点，培养抽象能力与运算能力。实际问题如购物费用计算发展模型意识，课中助力教师高效授课，课后通过分层练习帮助学生查漏补缺。

专题2.2 整式加减 教学目标 1.掌握同类项的定义，熟练运用合并同类项法则化简整式，能准确判断同类项并完成合并运算。 2.熟记去括号法则，分清括号前是正号、负号时符号的变化规律，正确对整式去括号。 3.掌握整式加减的通用步骤：去括号→合并同类项，能完成整式化简求值，解决简单实际列式计算问题。 4.通过类比数的运算律推导整式运算法则，体会类比、转化思想，发展符号运算与抽象概括能力。 教学重难点 1.重点 （1）同类项的概念辨析； （2）合并同类项法则及运算； （3）去括号法则； （4）整式加减综合化简与代入求值。 2. 难点 （1）括号前为负系数时，去括号后各项符号的统一变号； （2）化简求值时代入负数、分数规范添加括号，处理多层括号的整式混合运算； （3）结合实际问题列整式并完成加减运算。 知识点01 合并同类项 1. 同类项：所含字母 ，并且相同字母的指数 的项（即仅系数不同或系数也相同的项）。 2. 常数项与常数项是同类项。 3. 判断同类项需要同时满足2个条件：① ；② 。 4. 合并同类项：将多项式中的同类项合并成一项叫作合并同类项。 5. 同类项合并的计算方法：同类项 ，所得结果作为 ，字母和字母的指数 。 【即学即练】 1．合并同类项的结果是（   ） A． B． C． D．1 2．把多项式合并同类项后，所得多项式是（     ） A．二次二项式 B．二次三项式 C．一次二项式 D．三次二项式 3．合并同类一次项：____________． 知识点02 去（添）括号 1. 去括号法则： ①如果括号前面是“+”号，去括号时把括号连同它前面的“+”号去掉，括号内的各项都 符号； ②如果括号前面是“－”号，去括号时把括号连同它前面的“－”号去掉，括号内的各项都 符号。 2. 添括号法则： ①所添括号前面是“+”号，括到括号内的各项都 符号； ②所添括号前面是“－”号，括到括号内的各项都 符号。 【即学即练】 1．下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各式中添括号正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（_____）；（_____）． 知识点03 多项式中各个项的排序 1. 通常将多项式按照某个字母的指数 （降幂）或者 （升幂）的顺序排列，这种排列叫作关于这个字母的降（升）幂排序。 【即学即练】 1．多项式按的降幂排列的是（   ） A． B． C． D． 2．把按字母y的升幂排列后，其中的第2项是（   ） A． B． C． D． 知识点04 整式的加减 1. 整式加减的运算法则：几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。 2. 整式加减运算的具体步骤为：①将同类项找出，并放一起；②合并同类项。 【即学即练】 1．化简：______． 2．（25-26七年级上·河南周口·期中）______． 3．化简：________． 题型01 同类项的判断 【典例1】下列属于同类项的是（     ） A．与 B．与 C．23与54 D．m2与 两大判定关键点：与系数大小、正负无关；与字母排列顺序无关。 【变式1】（25-26七年级上·湖南长沙·期末）下列选项中与是同类项的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·河南许昌·期末）下列各组单项式中，属于同类项的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 题型02 去（添）括号 【典例1】（25-26七年级上·湖南长沙·期末）下列去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（______）． 多层括号技巧：从内到外逐层去括号，每一层单独判断符号，避免整体符号混乱。 【变式1】下列去括号或添括号的变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】添括号：（_________）． 【变式3】（1）（______）+3 （2）（______） 题型03 将多项式按某个字母升（降）幂排序 【典例1】将多项式按字母b的降幂排列正确的是（   ） A． B． C． D． 只看题目指定字母的指数，忽略其他字母、常数项，常数项默认指数为0。 【变式1】将多项式按y的升幂排列，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】多项式的排列方式为（   ） A．按x的升幂排列 B．按x的降幂排列 C．按y的升幂排列 D．按y的降幂排列 【变式3】（25-26七年级上·上海普陀·期末）将整式按升幂排列：______． 题型04 合并同类项 【典例1】下列各式运算正确的是（    ） A． B． C． D． 标准步骤：找同类项→移项归类（带符号移动）→系数加减→保留字母因式。 【变式1】下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·天津和平·一模）计算的结果为______． 【变式3】计算：______． 题型05 已知同类项求字母或式子的值 【典例1】已知单项式与可以合并同类项，则m，n分别为（ ） A．2，2 B．3，2 C．2，0 D．3，0 【典例2】若与是同类项，求的值． 解题步骤：判定同类项→对应字母指数相等→列方程求解字母参数→代入所求式子计算结果。 【变式1】单项式与的和是单项式，则的值为（     ）． A．3 B．6 C．8 D．9 【变式2】如果单项式与是同类项，那么_________． 【变式3】若 与可以合并成一项，则的值是______． 【变式4】已知单项式与是同类项，多项式是六次三项式，求的值． 题型06 整式加减的化简求值 【典例1】先化简，再求值：，其中． 【变式1】（25-26七年级上·河南周口·期末）先化简，再求值： ，其中． 【变式2】（25-26七年级上·四川成都·期末）先化简，再求值：，其中，且． 【变式3】（25-26七年级上·湖北恩施·期末）化简求值：若，求代数式的值． 题型07 整式加减中字母无关型问题 【典例1】若式子的值与字母x的取值无关，则m的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D． 【典例2】若代数式化简后不含项，则代数式的值为_____． （1）核心结论：整式的值与某字母取值无关→该字母所有项的系数全部为0。 （2）固定解题步骤：整式去括号、合并同类项→整理含指定字母的项与常数项→令对应系数为0→解方程求参数。 【变式1】若代数式中不含项，则的值为（    ） A．0 B．3 C． D． 【变式2】（25-26七年级上·河南信阳·期末）多项式与的和不含x的二次项，则a的值为______． 【变式3】（25-26七年级上·湖北宜昌·期中）已知关于x，y的多项式，若多项式的值与字母x的取值无关，求的值． 【变式4】（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）当多项式不含二次项和一次项时，求m、n的值． 题型08 整式加减的应用 【典例1】甲、乙两堆煤相差20吨，各运出后，现在两堆煤相差（     ）吨． A．16 B．18 C．20 D．22 【典例2】（25-26七年级上·重庆·期末）幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，如图是一个三阶幻方，则的值为___________． 【变式1】如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为x的正方形后，剩余部分可剪拼成一个长方形，则拼成的长方形的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·辽宁朝阳·期末）如果整式A与整式B的和为整数a，我们称A，B为a的“友好整式”，例如：与为1的“友好整式”； 与为7的“友好整式”．若关于x的整式与为n的“友好整式”，则n的值为______． 【变式3】交换一个两位数的十位数字和个位数字，可以得到一个数，请利用整式的相关知识说明原数与新数的和一定能被整除． 【变式4】（25-26七年级上·黑龙江大兴安岭·期末）小明的妈妈在菜市场买回3斤萝卜、2斤排骨，准备做萝卜排骨汤，下面是爸爸妈妈的对话： 妈妈：“上个月萝卜的单价是a元/斤，排骨的单价比萝卜的7倍还多2元”； 爸爸：“今天，报纸上说与上个月相比，萝卜的单价上涨了，排骨的单价上涨了”； 请根据上面的对话信息回答下列问题： (1)列式表示今天买的萝卜和排骨比上月买同重量的萝卜和排骨一共多花多少元？(结果要求化成最简) (2)当时，求今天买的萝卜和排骨比上月买同重量的萝卜和排骨一共多花多少元？(精确到0.1) 题型09 整式加减中规律探究题 【典例1】（25-26八年级上·广东佛山·期中）我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”，我们把第2行从左到右数第1个定为，我们把第4行从左到右数第3个定为，由图我们可以知道：，，按照图中数据规律，的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】在月历表上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图，这是2025年10月份的月历表，我们用如图所示的四边形在表格中框出五个数． 若月历表七列保持不变，行数向下不断延伸，把按照原表格中数字的规律填入表格，则被四边形框出的五个数之和的最大值为（    ） A．10100 B．10090 C．10095 D．10085 【变式2】如下列图表所示，数字2在第1行第2列，2020在m行第n列， _______ ． 1．（25-26七年级上·广东东莞·期中）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·广东惠州·二模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·宁夏吴忠·期末）已知单项式与的和是单项式，那么的值是（     ） A．6 B．5 C． D． 4．（2026·江苏无锡·二模）下列各组代数式中，属于同类项的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 5．（2026·重庆·一模）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有16个正方形，……，按此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（   ） A．64 B．72 C．81 D．100 6．（25-26七年级上·上海·期中）整式按a降幂排列的结果是________________． 7．九（1）班小颖统计了本班同学“五一”参与劳动的人数：男生有人，女生人数比男生的2倍多1人，则本班“五一”参加劳动的总人数是____________． 8．化简： 9．计算： (1) (2) 10．先化简，再求值：．其中． 11．已知多项式． (1)若，求的值． (2)若多项式的值与字母的值无关，求的值， 1．如果关于x的多项式中不含项，则k的值为（   ） A．0 B．3 C． D．3或 2．在等式的括号内依次填入的代数式是（     ） A．， B．， C．， D．， 3．（2026·山西·中考真题）用、分别表示一个两位数的十位数字和个位数字，将其十位数字的3倍与个位数字的8倍相加得到一个新数，新数与原两位数的差可能是（     ） A．6 B．13 C．31 D．56 4．若单项式与的和是单项式，则_______． 5．为落实“健康第一”的教育理念，某中学开展校园“阳光慢跑”打卡活动．根据学生体质健康标准，制定科学锻炼计划：第1天慢跑4000步，前10天每天比前一天多跑150步，10天后运动量趋于稳定．若用n表示第n天（，且n为整数），则第n天的慢跑步数可用含n的代数式表示为______． 6．（2026·山西晋中·二模）园艺工人计划用两种不同的花卉布置广场，设计方案时，用全等的圆点和全等的三角形分别代表万寿菊和一品红的盆数，按如图所示的规律摆放，则第20个图形中花卉的总盆数为________． 7．计算： (1)； (2)． 8．计算： (1)． (2)． 9．先化简，再求值：，其中． 10．已知，． (1)求； (2)若的值与x无关，求m的值． 11．（25-26七年级下·辽宁·期中）我们定义：如果两个多项式与的和为常数，则称与互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如与互为对消多项式”，它们的“对消值”为5． (1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是___________（填序号）； ①与；②与；③与； (2)多项式与多项式（，为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消值”． 12．（25-26九年级下·浙江温州·期中）【阅读材料】 定义：如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，并且满足，那么称这个四位数为“和谐数”． 注： 举例①：四位数1538． 因为，所以1538是“和谐数”． 举例②：四位数2637． 因为，所以2637是“和谐数”． (1)【类比推理】请判断四位数3846是否为“和谐数”，并说明理由； (2)【探究性质】小明经观察发现“和谐数”1538中，；“和谐数”2637中，．于是猜想：对于任意一个“和谐数”，都有．请你判断小明的猜想是否正确，并说明理由． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.2 整式加减 教学目标 1.掌握同类项的定义，熟练运用合并同类项法则化简整式，能准确判断同类项并完成合并运算。 2.熟记去括号法则，分清括号前是正号、负号时符号的变化规律，正确对整式去括号。 3.掌握整式加减的通用步骤：去括号→合并同类项，能完成整式化简求值，解决简单实际列式计算问题。 4.通过类比数的运算律推导整式运算法则，体会类比、转化思想，发展符号运算与抽象概括能力。 教学重难点 1.重点 （1）同类项的概念辨析； （2）合并同类项法则及运算； （3）去括号法则； （4）整式加减综合化简与代入求值。 2. 难点 （1）括号前为负系数时，去括号后各项符号的统一变号； （2）化简求值时代入负数、分数规范添加括号，处理多层括号的整式混合运算； （3）结合实际问题列整式并完成加减运算。 知识点01 合并同类项 1. 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项（即仅系数不同或系数也相同的项）。 2. 常数项与常数项是同类项。 3. 判断同类项需要同时满足2个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数相同。 4. 合并同类项：将多项式中的同类项合并成一项叫作合并同类项。 5. 同类项合并的计算方法：同类项系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。 【即学即练】 1．合并同类项的结果是（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查了合并同类项运算，解题用到合并同类项法则：合并同类项时，只需将同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变．据此进行分析，即可作答． 【详解】解： ． 2．把多项式合并同类项后，所得多项式是（     ） A．二次二项式 B．二次三项式 C．一次二项式 D．三次二项式 【答案】C 【详解】解：∵， ∴所得多项式是一次二项式． 3．合并同类一次项：____________． 【答案】 【详解】解：． 知识点02 去（添）括号 1. 去括号法则： ①如果括号前面是“+”号，去括号时把括号连同它前面的“+”号去掉，括号内的各项都不改变符号； ②如果括号前面是“－”号，去括号时把括号连同它前面的“－”号去掉，括号内的各项都改变符号。 2. 添括号法则： ①所添括号前面是“+”号，括到括号内的各项都不改变符号； ②所添括号前面是“－”号，括到括号内的各项都改变符号。 【即学即练】 1．下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】去括号法则为括号前是负号，去括号后括号内各项都要变号，添括号法则为括号前是负号，添括号后括号内各项都要变号. 【详解】解：，故A变形错误； ，故 B变形错误； ，故 C变形错误； ，故D变形正确. 2．下列各式中添括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查添括号法则与提公因式，根据添括号法则，即添括号时，括号前为负号，括号里的各项都改变符号，括号前为正号，各项不变符号，逐一判断各选项即可． 【详解】解：选项A、，则A错误； 选项B、，则B错误； 选项C、，则C错误； 选项D、根据添括号法则可得，变形符合规则，则D正确 故选：D． 3．（_____）；（_____）． 【答案】 【分析】根据等式变形，结合添括号法则求解即可. 【详解】解：对于第一个等式，整理等式左边得 因此第一个括号内应填. 对于第二个等式，先去括号再整理得 因此第二个括号内应填. 知识点03 多项式中各个项的排序 1. 通常将多项式按照某个字母的指数从大到小（降幂）或者从小到大（升幂）的顺序排列，这种排列叫作关于这个字母的降（升）幂排序。 【即学即练】 1．多项式按的降幂排列的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了将多项式按某个字母升幂（降幂）排列，熟练掌握多项式的相关知识是解题的关键． 将多项式按照字母的指数由大到小的顺序排列即可． 【详解】解：多项式按的降幂排列为：， 故选：C． 2．把按字母y的升幂排列后，其中的第2项是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多项式的重新排列，先按y的升幂排列，再找出第二项即可．我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号．此题还要注意分清按哪个字母的降幂或升幂排列． 【详解】解：∵多项式按字母的升幂排列为：， ∴其中的第二项是． 故选：A． 知识点04 整式的加减 1. 整式加减的运算法则：几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。 2. 整式加减运算的具体步骤为：①将同类项找出，并放一起；②合并同类项。 【即学即练】 1．化简：______． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，熟练掌握去括号法则和合并同类项法则是解题的关键．先根据去括号法则去掉括号，再合并同类项化简式子． 【详解】原式 = = = = 故答案为 2．（25-26七年级上·河南周口·期中）______． 【答案】/ 【分析】本题考查整式的加减运算， 先将原式去括号、合并同类项即可． 【详解】解：原式． 故答案为：． 3．化简：________． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减运算． 需先去括号，再合并同类项，处理括号时，注意符号变化． 【详解】解： ． 故答案为：． 题型01 同类项的判断 【典例1】下列属于同类项的是（     ） A．与 B．与 C．23与54 D．m2与 【答案】C 【分析】根据同类项定义：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式为同类项，所有常数项都是同类项，逐一判断选项即可． 【详解】选项A中，与，相同字母的指数分别为和，的指数分别为和，相同字母指数不同，故不是同类项； 选项B中，含字母，不含字母，所含字母不同，故不是同类项； 选项C中，与都是常数项，所有常数项都是同类项，故是同类项； 选项D中，含字母，含字母，所含字母不同，故不是同类项． 两大判定关键点：与系数大小、正负无关；与字母排列顺序无关。 【变式1】（25-26七年级上·湖南长沙·期末）下列选项中与是同类项的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同类项的定义，需依据“所含字母相同，且相同字母的指数也相同”的特征判断选项． 【详解】∵同类项的定义为所含字母相同，且相同字母的指数分别相等 ∴对各选项分析如下： A选项与中的指数不同，不是同类项． B选项与中、的指数均不同，不是同类项． C选项与所含字母为、，且的指数为2，的指数为1，符合同类项定义，是同类项． D选项比多含字母，不是同类项． 故选：C． 【变式2】（25-26七年级上·河南许昌·期末）下列各组单项式中，属于同类项的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题考查同类项的定义，根据“所含字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式是同类项”这一概念，对每个选项逐一判断即可． 【详解】解：A．与所含字母相同，但的指数分别为2和1，的指数分别为1和2，相同字母指数不同，故不是同类项 B．与所含字母不同，前者含字母，后者不含，故不是同类项 C．与所含字母都是、，且的指数都是2，的指数都是1，符合同类项定义，故是同类项 D．与所含字母相同，但的指数分别为2和3，指数不同，故不是同类项， 故选：C． 题型02 去（添）括号 【典例1】（25-26七年级上·湖南长沙·期末）下列去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查去括号法则，需依据“括号前是负号，去括号后括号内各项符号改变；括号前是正号或有正系数，去括号后括号内各项符号不变且系数要乘以括号内每一项”来判断选项，即可求解． 【详解】解：A：，错误； B：，正确； C：，错误； D：，错误； 故选：B． 【典例2】（______）． 【答案】 【分析】本题考查了添括号，熟练掌握添括号法则是解题的关键：所添括号前面是“”，则括到括号里的各项都不改变符号；所添括号前面是“”，则括到括号里的各项都要改变符号． 按照添括号法则进行计算即可得出答案． 【详解】解：， 故答案为：． 多层括号技巧：从内到外逐层去括号，每一层单独判断符号，避免整体符号混乱。 【变式1】下列去括号或添括号的变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式加减中的去括号与添括号，去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．根据去括号和添括号法则求解判断即可． 【详解】解∶ ．，原添括号错误，故该选项不符合题意； ．，原去括号正确，故该选项符合题意； ．，原添括号错误，故该选项不符合题意； ．，原去括号错误，故该选项不符合题意； 故选：B． 【变式2】添括号：（_________）． 【答案】 【分析】本题考查了去括号与添括号，熟练掌握添括号法则是解题的关键．根据添括号法则解答即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式3】（1）（______）+3 （2）（______） 【答案】 【分析】本题考查了添括号的知识点，解决本题的关键是先确定括号内的内容，然后根据添括号的法则进行符号的调整. 添括号时，因为括号前是负号，括号里的每一项都需要变号. 【详解】解：（1）原式 故答案为： （2）原式 故答案为： 题型03 将多项式按某个字母升（降）幂排序 【典例1】将多项式按字母b的降幂排列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了多项式的排列问题，按照字母b的指数从高到低排列多项式即可． 【详解】解：将多项式按字母b的降幂排列为， 故选：A． 只看题目指定字母的指数，忽略其他字母、常数项，常数项默认指数为0。 【变式1】将多项式按y的升幂排列，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查多项式的次数，理解和掌握多项式的次数是解题的关键． 先判断每一项的次数，再把y按从低次到高次排列得出答案即可，排列时带着系数及符号． 【详解】解：多项式按y的升幂排列为：， 故选：A． 【变式2】多项式的排列方式为（   ） A．按x的升幂排列 B．按x的降幂排列 C．按y的升幂排列 D．按y的降幂排列 【答案】B 【分析】本题考查了把多项式按某个字母升幂（降幂）排序．如果是降幂排列应按此字母的指数从大到小依次排列，常数项应放在最后面． 【详解】解：多项式中x的次数依次减少，所以是按x的降幂排列． 故选：B． 【变式3】（25-26七年级上·上海普陀·期末）将整式按升幂排列：______． 【答案】 【分析】本题考查多项式，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号．正确理解降幂排列或升幂排列的定义是解题的关键．按的升幂排列，即根据各项中的指数从小到大进行排列． 【详解】解：整式中， 各项的指数分别为：的指数为，的指数为，的指数为，的指数为 ，的指数为． 按的指数升序排列， 得到 ， 故答案为：． 题型04 合并同类项 【典例1】下列各式运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、与2不是同类项，不可合并，此项错误； B、，此项错误； C、，此项错误； D、，此项正确． 标准步骤：找同类项→移项归类（带符号移动）→系数加减→保留字母因式。 【变式1】下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】合并同类项法则：合并同类项时，系数相加减，字母与字母的指数保持不变，据此判断即可． 【详解】解：A、，计算正确； B、与不是同类项，不能合并，故计算错误； C、与不是同类项，不能合并，故计算错误； D、与不是同类项，不能合并，故计算错误． 【变式2】（2026·天津和平·一模）计算的结果为______． 【答案】 【分析】将同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变． 【详解】解：原式 ． 【变式3】计算：______． 【答案】 【分析】根据去括号法则去括号，再合并同类项即可得出结果． 【详解】解：． 题型05 已知同类项求字母或式子的值 【典例1】已知单项式与可以合并同类项，则m，n分别为（ ） A．2，2 B．3，2 C．2，0 D．3，0 【答案】A 【分析】能够合并的单项式是同类项，而同类项要求所含字母相同，且相同字母的指数也相同， 根据定义列方程求解即可． 【详解】解：∵ 单项式与可以合并同类项， ∴ 两个单项式是同类项，相同字母的指数相等， 可得，. 解得，． 【典例2】若与是同类项，求的值． 【答案】 【分析】本题考查同类项的性质，掌握同类项的性质是解题的关键． 由与是同类项，分别判断出、的值，再计算即可． 【详解】∵与是同类项， ∴，， ∴． 解题步骤：判定同类项→对应字母指数相等→列方程求解字母参数→代入所求式子计算结果。 【变式1】单项式与的和是单项式，则的值为（     ）． A．3 B．6 C．8 D．9 【答案】C 【分析】两个单项式的和为单项式，说明两个单项式是同类项，根据同类项定义求出和的值，再代入计算即可． 【详解】∵单项式与的和是单项式， ∴两个单项式是同类项， ，， 解得，， ∴． 【变式2】如果单项式与是同类项，那么_________． 【答案】 【分析】根据同类项的定义，相同字母的指数分别相等，据此列出关于、的方程，求出、的值后，代入代数式计算即可. 【详解】解：单项式与是同类项， ，， 解得，， . 【变式3】若 与可以合并成一项，则的值是______． 【答案】8 【分析】根据同类项定义可得，然后可得的值，进而可得的值． 【详解】解：∵ 与可以合并成一项， ∴ 与是同类项， ∴， 解得， 则． 【变式4】已知单项式与是同类项，多项式是六次三项式，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查同类项、多项式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据题意可得，进而得出答案． 【详解】解：由已知可得， ， 则， 所以． 题型06 整式加减的化简求值 【典例1】先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 【变式1】（25-26七年级上·河南周口·期末）先化简，再求值： ，其中． 【答案】， 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 【变式2】（25-26七年级上·四川成都·期末）先化简，再求值：，其中，且． 【答案】 ， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，熟知相关计算法则是解题的关键．先去括号，然后根据整式的加减计算法则化简，再求出x的值，最后代值计算即可． 【详解】解： ； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴原式． 【变式3】（25-26七年级上·湖北恩施·期末）化简求值：若，求代数式的值． 【答案】，8 【分析】本题考查了整式加减中的化简求值、绝对值和偶次方的非负性，熟练掌握整式的运算法则是解题关键． 先去括号，再计算整式的加减，然后根据绝对值和偶次方的非负性可得的值，代入计算即可得． 【详解】解： ， ∵，，， ∴， ∴， ∴原式． 题型07 整式加减中字母无关型问题 【典例1】若式子的值与字母x的取值无关，则m的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】C 【分析】代数式的值与某个字母的取值无关，说明该字母对应所有项的系数为0，据此即可求出m的值． 【详解】解：∵式子的值与的取值无关， ∴， ∴． 【典例2】若代数式化简后不含项，则代数式的值为_____． 【答案】 【分析】先去括号，再合并同类项，结合化简后不含项，得出，解方程即可求出的值，最后代入代数式计算即可得出结果． 【详解】解： ， ∵代数式化简后不含项， ∴， ∴， ∴ ． （1）核心结论：整式的值与某字母取值无关→该字母所有项的系数全部为0。 （2）固定解题步骤：整式去括号、合并同类项→整理含指定字母的项与常数项→令对应系数为0→解方程求参数。 【变式1】若代数式中不含项，则的值为（    ） A．0 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】代数式不含某一项时，该项合并后的系数为0，据此计算a的值． 【详解】解：， ∵代数式中不含项， ∴项的系数等于0，即， ∴． 【变式2】（25-26七年级上·河南信阳·期末）多项式与的和不含x的二次项，则a的值为______． 【答案】4 【分析】本题考查了整式加减的无关型问题，熟练掌握整式加减的运算法则是解题的关键． 将两个多项式相加，合并同类项后，根据和不含x的二次项，列出关于a的方程，求出a的值即可． 【详解】解： ， ∵不含x的二次项， ∴， 解得． 故答案为：4． 【变式3】（25-26七年级上·湖北宜昌·期中）已知关于x，y的多项式，若多项式的值与字母x的取值无关，求的值． 【答案】9 【分析】本题考查整式的化简求值，合并同类项得到，推出，即可求解． 【详解】解：， ∵多项式的值与字母x的取值无关， ∴， ∴， ∴． 【变式4】（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）当多项式不含二次项和一次项时，求m、n的值． 【答案】 , 【分析】此题主要考查了多项式的定义，得出各项系数之间关系是解题关键．利用多项式的定义得出二次项与一次项系数为0，进而求出即可． 【详解】解：∵多项式不含二次项和一次项， ∴，且， 解得，． 题型08 整式加减的应用 【典例1】甲、乙两堆煤相差20吨，各运出后，现在两堆煤相差（     ）吨． A．16 B．18 C．20 D．22 【答案】B 【分析】设两堆煤原来的质量，根据运出比例表示出剩余质量，计算剩余质量差即可得到结果． 【详解】解：设甲堆原有吨，甲比乙多20吨，则乙堆原有吨， ∵各运出， ∴甲堆剩余质量为吨，乙堆剩余质量为吨， 两堆相差：(吨)． 【典例2】（25-26七年级上·重庆·期末）幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，如图是一个三阶幻方，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，根据题意完善三阶幻方是解题的关键．根据三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，可得，变形即可得出结果． 【详解】解：由题意得：， ∴． 故答案为：． 【变式1】如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为x的正方形后，剩余部分可剪拼成一个长方形，则拼成的长方形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图形，求出长方形的长和宽，再根据面积公式进行计算即可． 【详解】解：由图可知，长方形的长为，宽为， ∴拼成的长方形的面积为． 【变式2】（25-26七年级上·辽宁朝阳·期末）如果整式A与整式B的和为整数a，我们称A，B为a的“友好整式”，例如：与为1的“友好整式”； 与为7的“友好整式”．若关于x的整式与为n的“友好整式”，则n的值为______． 【答案】 6 【分析】本题主要考查整式的加减运算，根据“友好整式”的定义，两个整式的和应为常数n，因此合并后x的系数必须为零，从而求出k的值，再代入常数项得到n的值． 【详解】解： ， 根据“友好整式”的定义， 令的系数，得， ∴， 故答案为：6． 【变式3】交换一个两位数的十位数字和个位数字，可以得到一个数，请利用整式的相关知识说明原数与新数的和一定能被整除． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是整式的加减运算，运用代数式表示数是解题的关键。通过设十位数字和个位数字分别为、，将原数和新数用代数式表示并求和，即可发现其和为，从而证明能被整除． 【详解】解：设，分别表示一个两位数的十位数字和个位数字，那么这个两位数可以表示为，交换这个两位数的十位数字和个位数字，得到的数是，这两个数相加，得，所以和能被整除． 【变式4】（25-26七年级上·黑龙江大兴安岭·期末）小明的妈妈在菜市场买回3斤萝卜、2斤排骨，准备做萝卜排骨汤，下面是爸爸妈妈的对话： 妈妈：“上个月萝卜的单价是a元/斤，排骨的单价比萝卜的7倍还多2元”； 爸爸：“今天，报纸上说与上个月相比，萝卜的单价上涨了，排骨的单价上涨了”； 请根据上面的对话信息回答下列问题： (1)列式表示今天买的萝卜和排骨比上月买同重量的萝卜和排骨一共多花多少元？(结果要求化成最简) (2)当时，求今天买的萝卜和排骨比上月买同重量的萝卜和排骨一共多花多少元？(精确到0.1) 【答案】(1)一共多花元； (2)今天买的萝卜和排骨比上月买同重量的萝卜和排骨一共多花元 【分析】本题考查了列代数式，整式加减的应用，已知字母的值求代数式的值等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据今天萝卜的单价上涨的百分比与上个月萝卜的单价，求出这个月萝卜的单价；根据今天排骨的单价上涨的百分比与上个月排骨的单价，求出这个月排骨的单价；再根据萝卜和排骨的单价与数量，分别求出上个月萝卜和排骨的总费用与这个月萝卜和排骨的总费用，相减即可求解； （2）根据（1）求得的式子，代入求值即可． 【详解】（1）解：上个月买3斤萝卜、2斤排骨的总价为元， 这个月买3斤萝卜、2斤排骨的总价为元， 元， 答：一共多花元； （2）解：当时， (元) 答：今天买的萝卜和排骨比上月买同重量的萝卜和排骨一共多花元． 题型09 整式加减中规律探究题 【典例1】（25-26八年级上·广东佛山·期中）我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”，我们把第2行从左到右数第1个定为，我们把第4行从左到右数第3个定为，由图我们可以知道：，，按照图中数据规律，的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数字类规律探索，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据“杨辉三角”呈现的数据规律，确定与的值，再将这两个值相加，从而得到的结果． 【详解】解：是第2行从左到右数第1个数字， 即； 是第4行从左到右数第3个数字， 即． 观察“杨辉三角”的规律，我们发现第n行从左到右第个数等于． 对于，这里，它是第行从左到右第个数，根据上述规律可得， ，这里，它是第行从左到右第个数，根据上述规律可得． 那么． 故选：A． 【变式1】在月历表上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图，这是2025年10月份的月历表，我们用如图所示的四边形在表格中框出五个数． 若月历表七列保持不变，行数向下不断延伸，把按照原表格中数字的规律填入表格，则被四边形框出的五个数之和的最大值为（    ） A．10100 B．10090 C．10095 D．10085 【答案】B 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及整式加减的应用，能根据所给排列方式发现数2025 的位置是解题的关键． 根据所给排列方式，得出数2025的位置，据此得出框出5个数的最大值即可． 【详解】解：由题知， 因为余 5 ， 所以数2025在周四这一列， 设四边形框中的最小的数是，则5个数分别为， 故四边形框中的5个数的和为， 所以当框出的最小数为，最大数为2025时，被四边形框出的五个数之和最大， 则， 所以被四边形框出的五个数之和的最大值为10090． 故选：B． 【变式2】如下列图表所示，数字2在第1行第2列，2020在m行第n列， _______ ． 【答案】 【分析】此题考查了数字类规律，根据题意得到2020在第61行第4列，即可得到答案． 【详解】解：把1叫做第一条对角线上的数，2，3叫做第二条对角线上的数，4,5,6叫做第三条对角线上的数，依次类推，则第63条对角线上的最大数为， ∴是第64条对角线上的数，由图可知，2020在第61行第4列，即， 故答案为： 1．（25-26七年级上·广东东莞·期中）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A中，与相同字母的指数不同，不是同类项，不能合并，故A计算错误，不符合题意； 选项B中，与所含字母不同，不是同类项，不能合并，故B计算错误，不符合题意； 选项C中，与相同字母的指数不同，不是同类项，不能合并，故C计算错误，不符合题意； 选项D中，与是同类项，合并得，计算正确，D符合题意． 2．（2026·广东惠州·二模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：选项A中，与不是同类项，不能合并，∴A错误； 选项B中，根据合并同类项法则，，运算正确，∴B正确； 选项C中，根据去括号法则，，∴C错误； 选项D中，根据去括号法则，，∴D错误. 3．（25-26七年级上·宁夏吴忠·期末）已知单项式与的和是单项式，那么的值是（     ） A．6 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】两个单项式的和是单项式，说明这两个单项式是同类项，根据同类项定义“所含字母相同，相同字母的指数相同”，即可求出和的值，再计算即可． 【详解】解：∵单项式与的和是单项式， ∴与是同类项， ∴，， ∴． 4．（2026·江苏无锡·二模）下列各组代数式中，属于同类项的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】根据同类项的定义逐个判断即可，所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式为同类项． 【详解】解：A、与所含字母相同，但相同字母x的指数不相等， ∴不是同类项，不符合题意； B、与所含字母都是，且相同字母的指数都相等，符合同类项定义， ∴是同类项，符合题意； C、只含字母，含字母和，所含字母不同， ∴不是同类项，不符合题意； D、含字母，含字母，所含字母不同， ∴不是同类项，不符合题意． 5．（2026·重庆·一模）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有16个正方形，……，按此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（   ） A．64 B．72 C．81 D．100 【答案】D 【分析】根据已知图形得出第个图形中正方形的个数为，据此求解可得． 【详解】解：图①中正方形的个数， 图②中正方形的个数， 图③中正方形的个数， 则第个图形中正方形的个数为， 故第⑨个图案中正方形的个数为． 6．（25-26七年级上·上海·期中）整式按a降幂排列的结果是________________． 【答案】 【分析】本题考查多项式的降幂排列，解题思路是先确定多项式中每一项的指数，再按照的指数从高到低排列各项，排列时保留各项原有的符号，不要遗漏项． 【详解】解：确定多项式中各项的指数分别为，按照的降幂排列，即按的指数从大到小排列各项， 可得 7．九（1）班小颖统计了本班同学“五一”参与劳动的人数：男生有人，女生人数比男生的2倍多1人，则本班“五一”参加劳动的总人数是____________． 【答案】 / 【分析】先根据题意用含的代数式表示出女生人数，再将男生人数与女生人数相加，合并同类项即可得到总人数. 【详解】解：由题意得，男生人数为人，女生人数为人， 则总人数为. 8．化简： 【答案】 【详解】解： ． 9．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 10．先化简，再求值：．其中． 【答案】； 【详解】解：， 当时，原式． 11．已知多项式． (1)若，求的值． (2)若多项式的值与字母的值无关，求的值， 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的知识，解题的关键是掌握整式的加减，合并同类项，进行化简代数式，即可． （1）先根据非负性，求出，；再将多项式化简为，最后把，的值代入计算即可； （2）将多项式化简为，再根据多项式的值与字母的值无关，即可计算出的值． 【详解】（1）解：∵且， ∴， ∴，， ∵， ∴当，时，； （2）解：由（1）得：， ∵的值与字母的值无关， ∴， ∴． 1．如果关于x的多项式中不含项，则k的值为（   ） A．0 B．3 C． D．3或 【答案】D 【分析】根据不含项即该项系数为0，先合并同类项再列方程求解． 【详解】解：， ∵多项式不含项， ∴， ∴， ∴或． 2．在等式的括号内依次填入的代数式是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据添括号法则对原式两个因式分别变形，即可得到括号内的代数式，添括号时括号前是正号，括入项符号不变；括号前是负号，括入项符号都改变． 【详解】解：对第一个因式变形：， 第一个括号内应填； 对第二个因式变形：， 第二个括号内应填； 综上所述，括号内依次填入和． 3．（2026·山西·中考真题）用、分别表示一个两位数的十位数字和个位数字，将其十位数字的3倍与个位数字的8倍相加得到一个新数，新数与原两位数的差可能是（     ） A．6 B．13 C．31 D．56 【答案】D 【分析】先根据数位表示法写出原两位数，再根据题意写出新数，计算两者的差，整理后可得差是7的倍数，再判断选项中符合的结果即可． 【详解】解：∵原两位数的十位数字为，个位数字为， ∴原两位数可表示为 ，其中，，，均为整数， 由题意得新数为 ， 则新数与原数的差为： ∵，是整数， ∴差一定是的整数倍， 观察选项，只有是的倍数，因此答案选D． 4．若单项式与的和是单项式，则_______． 【答案】18 【分析】根据合并同类项法则得出且，求出m、n的值，再代入求出即可． 【详解】解：∵单项式与的和是单项式， ∴且， 解得：，， ∴． 5．为落实“健康第一”的教育理念，某中学开展校园“阳光慢跑”打卡活动．根据学生体质健康标准，制定科学锻炼计划：第1天慢跑4000步，前10天每天比前一天多跑150步，10天后运动量趋于稳定．若用n表示第n天（，且n为整数），则第n天的慢跑步数可用含n的代数式表示为______． 【答案】 【分析】根据题意可得第天比第一天多跑了步，结合第一天的步数即可列出代数式并化简． 【详解】解：由题意得，第一天慢跑步，时，每天比前一天多跑了步， ∴第天比第一天多跑了步， ∴第天步数为：． 6．（2026·山西晋中·二模）园艺工人计划用两种不同的花卉布置广场，设计方案时，用全等的圆点和全等的三角形分别代表万寿菊和一品红的盆数，按如图所示的规律摆放，则第20个图形中花卉的总盆数为________． 【答案】440 【分析】将每个图形的花卉分为圆点和三角形两部分；圆点数量规律为第个图形有个；三角形数量规律为第个图形有个；将两部分数量相加，，得到第个图形的总盆数，再将代入即可． 【详解】解：第一部分是用圆点表示的图形，数量规律是1，2，3，4，…； 圆点数量规律为第个图形有个； 第二部分是用三角形表示的部分，数量规律是，，，，…， 三角形数量规律为第个图形有个； ∴图中的花卉盆数是， 当时，． 7．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）合并同类项即可得出结果； （2）先去括号，再合并同类项即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 8．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 9．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： ， 把代入得： 原式 ． 10．已知，． (1)求； (2)若的值与x无关，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据整式的加减计算法则求解即可； （2）根据的值与x无关可得，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵的值与x无关，且， ∴， ∴． 11．（25-26七年级下·辽宁·期中）我们定义：如果两个多项式与的和为常数，则称与互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如与互为对消多项式”，它们的“对消值”为5． (1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是___________（填序号）； ①与；②与；③与； (2)多项式与多项式（，为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消值”． 【答案】(1)②③ (2) 【分析】（1）判断和是否为常数即可得到结果； （2）根据和为常数，可知所有含未知数项的系数均为0，求出的值后计算常数项即可得到对消值. 【详解】（1）解：，和不是常数，故①不是“对消多项式”； ，和为常数，故②是“对消多项式”； ，和为常数，故③是“对消多项式”； （2）解：∵ ； ∵与互为“对消多项式”，和为常数， ∴， ∴ 解得， ∴，即它们的对消值为. 12．（25-26九年级下·浙江温州·期中）【阅读材料】 定义：如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，并且满足，那么称这个四位数为“和谐数”． 注： 举例①：四位数1538． 因为，所以1538是“和谐数”． 举例②：四位数2637． 因为，所以2637是“和谐数”． (1)【类比推理】请判断四位数3846是否为“和谐数”，并说明理由； (2)【探究性质】小明经观察发现“和谐数”1538中，；“和谐数”2637中，．于是猜想：对于任意一个“和谐数”，都有．请你判断小明的猜想是否正确，并说明理由． 【答案】(1)是，理由如下： 是“和谐数” (2)猜想正确，理由如下： ，， ， ， 由可得， 因此是的倍数。 又因为， 是9的倍数 ，且 【分析】（1）根据题意验证四位数3846是否满足“和谐数”的定义即可； （2）根据得到，再变形成，得到是9的倍数，再根据a与d的取值范围得到，从而得到． 【详解】（1）略 （2）略 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $