课后作业74 概率、统计的综合问题-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦概率统计综合问题，分层设计从基础方法应用到复杂模型探究，通过真实情境问题链巩固知识，培养数据观念与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础应用层|独立性检验、分层抽样|以教师培训考核为情境，直接应用统计方法，巩固概念理解| |综合提升层|频率分布直方图、正态分布|结合学生检测数据，综合数据描述与概率模型，提升数据处理能力| |拓展探究层|回归模型选择、二项分布|通过蝗虫产卵数据建模，融合残差分析与导数应用，发展模型观念与推理能力|

课后作业(七十四)　概率、统计的综合问题 说明：本试卷共45分 1．(15分)(2026·湖北武汉模拟)在深化课程改革、推动教育高质量发展的新阶段，命题能力已成为教师专业发展的关键能力．某省开展2025年学科教师命题能力高质量研修提升培训会，参会人员包括300名经验丰富教师(年龄在35岁及以上的教师)，200名经验不丰富教师(年龄在35岁以下的教师)，会后均参加相关知识考核，考核结果为优秀、合格两种情况，统计并得到如下列联表： 单位：人 考核 结果 参会人员 合计 经验丰富教师 经验不丰富教师 优秀 200 150 350 合格 100 50 150 合计 300 200 500 (1)根据小概率值α＝0.01的独立性检验，分析这次考核结果是否与经验丰富有关？ (2)若从参会人员中，采用分层随机抽样的方法随机抽取10名教师，再从这10名教师中随机抽取4人进行调研，设抽取的4人中经验不丰富教师的人数为X，求X的分布列和数学期望． 附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d． α 0.1 0.05 0.01 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 10.828 2．(15分)(2025·陕西西安二模)某校为了解学生数学学科核心素养发展水平，组织本校2 000名学生进行针对性检测(检测分为初试和复试)，并随机抽取了100名学生的初试成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示． (1)根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值；(同一组数据用该区间的中点值作代表) (2)根据频率分布直方图，求样本的80%分位数(四舍五入精确到整数)； (3)若所有学生的初试成绩X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ为样本平均数的估计值，σ≈14．初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数(四舍五入精确到整数)． 附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3． 3．(15分)蝗虫能对农作物造成严重伤害，每只蝗虫的平均产卵数y(单位：个)和平均温度x(单位：℃)有关．现收集到一只蝗虫的产卵数y个和温度x ℃的8组观测数据，制成图1所示的散点图．现用两种模型①y＝ebx+a，②y＝cx2＋d分别进行拟合，由此得到相应的经验回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图． 根据收集到的数据，计算得到如下值： (xi－)2 (ti－)2 (zi－)· (xi－) (yi－)·(ti－) 24 2.9 646 168 422 688 50.4 70 308 表中zi＝ln yi，zi，ti＝ti． 附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其经验回归直线u＋的斜率和截距的最小二乘估计分别为：． (1)根据残差图，比较模型①②的拟合效果，判断哪个模型比较合适？根据所选择的模型，利用上表中的参考数据，求出y关于x的经验回归方程． (2)根据以往统计，该地每年平均温度达到30 ℃以上时蝗虫会对农作物造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治．设该地每年平均温度达到30 ℃以上的概率为p(0<p<1)，该地今后n(n≥3，n∈N*)年恰好需要2次人工防治的概率为f (p)． ①求f (p)取得最大值时对应的概率p0； ②当f (p)取最大值时，设该地今后5年需要人工防治的次数为X，求X的均值和方差． 课后作业(七十四) 1．解：(1)零假设为H0：这次考核结果与经验丰富无关， 由题意χ2＝≈3.968<6.635＝x0.01， 所以根据小概率值α＝0.01的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即认为这次考核结果与经验丰富无关． (2)由题意，10名教师中经验丰富的教师人数为10×＝6(人)，经验不丰富的教师人数为10×＝4(人)， 则X可取的值有0，1，2，3，4， P(X＝0)＝，P(X＝1)＝， P(X＝2)＝，P(X＝3)＝， P(X＝4)＝， X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×． 2．解：(1)设样本平均数的估计值为＝10(40×0.01＋50×0.02＋60×0.03＋70×0.024＋80×0.012＋90×0.004)＝62． 所以样本平均数的估计值为62． (2)由题图可知，前三组的频率和为0.1＋0.2＋0.3＝0.6，第四组的频率为0.24，所以样本的80%分位数为65＋×10＝65＋≈73． (3)由(1)可知，样本平均数的估计值μ＝62， 所以μ＋2σ≈62＋2×14＝90， 则P(X≥90)＝P(X≥μ＋2σ)＝(1－0.954 5)＝0.022 75． 所以估计能参加复试的人数为 2 000×0.022 75≈46． 3．解：(1)模型①更合适，理由如下： 模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状区域宽度窄， 所以模型①的拟合效果更好，故选模型①比较合适． 令z＝ln y，则x， 由所给的参考数据可得， ＝0.3， 所以＝2.9－0.3×24＝－4.3， 因此z关于x的经验回归方程为＝0.3x－4.3， 即ln y＝0.3x－4.3， 所以产卵数y关于温度x的经验回归方程为＝e0.3x-4.3． (2)①由题意得，f (p)＝p2(1－p)n-2(0<p<1，n≥3，n∈N*)， 所以f '(p)＝2p(1－p)n-2－(n－2)p2(1－p)n-3＝p(1－p)n-3[2(1－p)－(n－2)p]＝p(1－p)n-3(2－np)， 令f '(p)＝0，得p＝， 当p∈时，f '(p)>0； 当p∈时，f '(p)<0． 所以f (p)在内单调递减， 所以f (p)取得最大值时对应的概率p0＝(n≥3，n∈N*)． ②由①知，当p0＝(n≥3，n∈N*)时，f (p)取最大值， 所以当n＝5时，p0＝， 由题意可知每年需要人工防治的概率为p＝，且X服从二项分布B， 所以E(X)＝np＝5×＝2，D(X)＝np(1－p)＝5×． 3/3 学科网（北京）股份有限公司 $