重难点专训05 利用导函数研究函数的极值点偏移问题（专项训练）（天津专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 以导数为工具，通过对称化构造与比值代换两大通法系统破解极值点偏移问题，构建"方法提炼-题型突破-分层训练"的完整逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题方法提炼|1|对称化构造法（六步流程）、比值代换法（消参减元）|导数判定单调性→确定极值点→双变量转化为单变量| |题型通法|4典例+4变式|加法/乘积型偏移证明，含隐零点代换技巧|覆盖5类偏移类型，衔接天津高考压轴考法| |分层过关练|12题|步骤规范指引，易错点警示|从基础证明到创新拓展，梯度提升逻辑推理与运算能力|

重难点专训05 利用导函数研究函数的极值点偏移问题 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型1 极值点偏移（对称化构造法） 2 题型2 极值点偏移（比值代换法） 7 重难专题分层过关练 14 巩固过关 14 创新提升 25 解题方法及技巧提炼 极值点偏移核心是已知(f(x1)=f(x2))、(x1≠x2)，证明(x1+x2>2x0)或(x1x2>x02)类不等式，天津高考压轴常考对称构造模板。第一步先明定义域，求导确定唯一极值点(x0)，划分单调区间，判断(x1,x2)分居(x0)两侧。 主流解法为对称构造法：设(F(x)=f(x)-f(2x0-x))，求导判定单调性，结合(F(x_0)=0)判断符号，将(f(x2))转化为(f(2x0-x1))，再利用原函数单调性脱去f，证双变量不等式。 辅助技巧有比值换元、对数平均不等式（选填速解，大题慎用），复杂题型配合隐零点代换。答题务必规范写出单调性推导，区分偏移方向；易错点是忽略定义域、构造区间选错，天津命题常结合对数、指数函数载体，多与零点问题融合考查，书写时分步拿满步骤分。 极值点偏移问题 极值点偏移问题大体可分为加法型、减法型、乘积型、平方型及商型5个类型，考查学生化归与转化思想，逻辑思维能力、运算求解能力，是历年高考中题的一个难点. 处理极值点偏移问题中的类似于（为的两根）的问题的基本步骤如下： ①求导确定的单调性，得到的范围； ②构造函数，求导后可得恒正或恒负； ③得到与的大小关系后，将置换为； ④根据与所处的范围，结合的单调性，可得到与的大小关系，由此证得结论. 由此，其它类型可模仿上面步骤进行变形及构造. 题型通法及变式提升 题型1 极值点偏移（对称化构造法） 【典例1-1】（2026·天津·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，有两个极值点，且， （ⅰ）求t的范围； （ⅱ）证明： 【答案】(1)(2)（ⅰ）（ⅱ）证明见解析 【详解】（1）当时，函数，求导得，则， 而，所以曲线在处的切线方程为. （2）（ⅰ）当时，函数，求导得， 由是函数的两个极值点，得是方程的两个不等实根， 由，得，令函数，则， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 而，所以. （ⅱ）有两解，即，两边取对数得, 则当时，， 令，则，，因此， 不等式等价于，令函数， 求导得，函数在上单调递增， 则，即 ，，于是. 主要用来解决与两个极值点之和，积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下： (1)定函数(极值点为)，即利用导函数符号的变化判断函数的单调性，进而确定函数的极值点． (2)构造函数，即对结论型，构造函数或； (3)对结论型，构造函数，通过研究的单调性获得不等式． (4)判断单调性，即利用导数讨论的单调性． (5)比较大小，即判断函数在某段区间上的正负，并得出与的大小关系． (6)转化，即利用函数f(x)的单调性，将与的大小关系转化为与之间的关系，进而得到所证或所求． 【典例1-2】（2026·天津河北·二模）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，，求实数的取值范围； (3)若，且存在，，使得，证明：． 【答案】(1)(2)(3)证明见解析 【详解】（1）若，则，， ，又， 故曲线在点处的切线方程为； （2）由时，，即，整理得， 令，，则， 故在上单调递减，则，即； （3）若，则，， 故当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 又时，，时，， 则，不妨设，则， 由，则， 两边同取对数，可得， 故，令，则， 即，，故， 要证，只需证，即只需证， 令， 则， 故在上单调递增，则， 即有恒成立，即得证. 【变式1-1】（2026·天津·二模）【答案】(1) .(2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【详解】（1）当时，，则 ， ，切线方程为 ，即. （2）（ⅰ）当时，若函数有个不同的零点，， ∴恰有个正实根，，即方程恰有个正实根，， 令，则与有两个不同交点， ∴， ∴当时，；当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增，又， 当从的右侧无限趋近于时，趋近于； 当无限趋近于时，的增速远大于的增速，则趋近于， 则图象如下图所示， ∴当时，与有两个不同交点， ∴实数a的取值范围为． （ⅱ）由（ⅰ）知：，， ∴，， ∴，则， 不妨设， 要证，则需证， ∵，∴，∴，则只需证， 令，则只需证时，恒成立， 令， ∴， ∴在上单调递增，∴， ∴当时，恒成立， ∴原不等式得证． 【变式1-2】（2026·天津河西·二模）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，存在不相等的、，满足，证明：； (3)对任意的，恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在单调递减，在单调递增. (2) 当时，由（1）可得，在上单调递减，在上单调递增. 不妨设，要证，即证，即证. ，即证. 令， 在上单调递增，，. ，，，证毕. (3) 【分析】（1）对进行求导，然后分和两种情况确定的单调性； （2）当时，由（1）可知在上单调递增，转化为证明，然后利用极值点偏移证明； （3）将问题转化为来求解. 【详解】（1）的定义域为，. （i）当时，，此时在上单调递增. （ii）当时，令，得. 当时，；当时，. 在单调递减，在单调递增. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在单调递减，在单调递增. （2）略 （3），. 分离参数可得：，对都成立，即求右侧函数最小值. 令，则. 令，则， 在上单调递增，又，， 故存在唯一的，使得，. 令，，在上单调递增， ，，. 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增. ， . 题型2 极值点偏移（比值代换法） 【典例2-1】（2026·天津河西·模拟预测）用表示函数的导函数，若对定义域内任意不相等的两个数，都有成立，则称函数为函数；若对定义域内任意不相等的两个数，都有不等式（或都有不等式）成立，则称函数为函数. (1)证明：若，则为函数； (2)若（为自然对数的底数），问是函数还是函数？证明你的结论. (3)若有两个不同的零点. （i）求实数的取值范围； （ii）证明. 【答案】(1)证明见解析(2)是函数，证明见解析(3)（i） （ii）法1，由题意，则.由（2）知， 故且两式相乘得： ，故得证. 法2，不妨设，要证，即证. 因为在上单调递减，所以只需证. 又因为，所以只需证， 即证，令， 对求导，得 令，， 对求导得， 所以在上单调递增. ，故. 故在上单调递增，. 即，所以，所以， 即. 【详解】（1）由可得， 因，而， 即成立， 故为函数； （2）是函数.证明如下： 因.要证明，即证. 不妨设，只需证， 令，则需证. 考虑函数， ， 则函数为上的增函数， 当时，，即 ∴函数是函数； （3）法1， （i）有两个不同的零点等价于 方程有两个不同的解. 又.令，则. 因为函数是上的增函数， 所以有两个不同的解等价于直线与函数的图象有两个不同交点. ，当时，；当时，. 则在上单调递减，在上单调递增.故. 当时，时，. 故若直线与函数的图象有两个不同交点， 则. 又因为，是上的增函数， 故得，故实数的取值范围为. （ii）略 法2 （i）函数的定义域为. 对求导得. 令，即，解得. 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增. 由上述单调性可知，在处取得极小值，也是最小值为. 当时，，当时，. 因为函数有两个零点，故只需，解得. 故的取值范围是. （ii）略 比值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点的比值作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值(一般用表示)表示两个极值点，即，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于的函数问题求解． 【典例2-2】定义：若函数与在公共定义域内存在，使得，则称与为“契合函数”，为“契合点”． (1)若与为“契合函数”，且只有一个“契合点”，求实数a的取值范围． (2)若与为“契合函数”，且有两个不同的“契合点”． ①求b的取值范围； ②证明：． 【答案】(1)； (2)①； ②由（1）知，当时，，令， 求导得， 令，求导得， 当时，，函数在上单调递减，，， 函数在上单调递减，，因此当时，， 而，则，又，于是， 又，函数在上递减，则， 所以. 【详解】（1）由与为“契合函数”，得，使 ，令，依题意，方程有唯一解， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，则， 当时，，时，，， 又和只有一个“契合点”，则直线与函数的图象只有1个交点，则或， 所以实数a的取值范围是. （2）①由与为“契合函数”，且有两个不同的“契合点”， 得存在，使， 即关于的方程有两个相异正根，令函数， 求导得， 由，得，得当时，；当时，， 则函数在上递增，在上递减，则， 当从大于0的方向趋近于0时，；当时，， 因此当时，直线与函数的图象有两个不同交点， 所以b的取值范围是. ②略. 【变式2-1】（2026·天津南开·模拟预测）已知函数（是自然对数的底数）. (1)讨论函数的单调性； (2)若有两个零点分别为. ①求实数的取值范围； ②求证：. 【答案】(1) 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. (2)①； ②因为，不等式两边同时取对数化简可得， 要证即证：， 即证，由（2）中①知，，∴只需证. ∵，，∴，， ∴ ，只需证. 设，令， 则，∴只需证 ， 即证 ， 令，，则 ，， 即当时， 成立.∴，即. 【分析】（1）根据题意，求导即可得到结果； （2）①根据题意，将问题转化为有两个零点，然后利用导数，分类讨论即可得到的取值范围； ②根据题意，将问题转化为，再由①中的结论，即只需证，然后构造函数求导即可得到证明. 【详解】（1）由题意可得，， 当时，，在上单调递增； 当时，由解得，由解得， 所以，在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）①等价于有两个零点， 令，则，在时恒成立，∴在时单调递增， ∴有两个零点，等价于有两个零点. ∵ ，∴当时，，单调递增，不可能有两个零点； 当时，令，得，单调递增， 令，得，单调递减，∴， 若，得，此时恒成立，没有零点； 若，得，此时有一个零点； 若，得，∵，， 记，则， 记，则， 所以在上单调递增，所以，即， 故在上单调递增，所以， 即， ∴在，上各存在一个零点，符合题意， 综上，的取值范围为. ②略 【变式2-2】已知函数 (1)求函数单调区间； (2)设函数，若是函数的两个零点， ①求的取值范围； ②求证：． 【答案】(1)单调递增区间为；单调递减区间为 (2)①；②证明见解析 【分析】（1）求导后，根据正负即可得到的单调区间； （2）①将问题转化为与在上有两个不同的交点，采用数形结合的方式可求得结果； ②由①可得，设，利用导数可求得，进而得到，即，根据的范围和单调性可得结论. 【详解】（1）定义域为，， 当时，；当时，； 的单调递增区间为；单调递减区间为. （2）①若是的两个不同零点，则与在上有两个不同交点； 由（1）知：，又， 在的图象如下图所示， 由图象可知：，，即的取值范围为. ②不妨设，由①知：， ，， 在上单调递增，在上单调递减； 设，则， 在上单调递减，，， 又，，又，； ，，在上单调递增， ，则. 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（2026·天津·模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)设a，b为两个不相等的正数，且，证明：. 【答案】(1)单调递减区间是，单调递增区间是 (2)证明：. 令，，设，则. 故问题等价于证明：. 不妨设，则. 先证明左边：. 证明：设，. 则， 因为，设 于是. 所以在上单调递增，故，从而在上单调递减，所以，即. 又，且，所以. 又因为，，且在上单调递增， 所以，故. 再证明右边不等式：. 证明：有，可得，，所以. 令，，，其中，. 当时，显然有. 下面讨论的情形. 因为，易知当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以. 记，，则. 记，则 . 记，则 ， 所以在上单调递增，得，所以，故在上单调递减， 所以，即，所以在上单调递减，故，得证. 2．（2026·天津·一模）已知. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)已知是的导函数，若存在，使得对任意成立，求的取值范围； (3)若有两个极值点，且，求证：. 【答案】(1) (2) (3) 解法一：由（2）可得，在上单调递增，在上单调递减， 若有2个极值点，需满足，且. 因为有2个极值点， ， 所以等价于方程的两根为，且， 即方程的两根为， 令，则等价于方程的两根为， 所以，即 因为 令，则即证 因为，所以在上单调递增， 下证： ，所以可得 即，即证， 因为，即，因此即证， 令， 则， 因此在上单调递增，，所以得证. 因为，所以， 又发现且在上单调递增， 因此 即得证. 解法二：由（2）问可得，在上单调递增，在上单调递减， 若有2个极值点，需满足，且. 设 则， 令， 因为，所以， 故，即， 所以在上单调递增，故，所以在上单调递增， 故， 下证： 因为，即， 故， 又，所以，即， 因为在上单调递减， 所以， 又因为，所以， 又因为在上单调递增，在上单调递减， 且的两个零点为， 所以在上，即在上单调递增， 所以， 因为，即，且 所以， 故得证. 【详解】（1）当时，. 因为，所以，. 曲线在点处的切线方程. 即. （2）解法一：因为， 所以， 因为， 当时，，当时，， 即在上单调递增，在上单调递减 故在处取得最大值，最大值为. 因为存在，对于任意，都有 成立 所以，即 恒成立，等价于 ， 即对任意，恒成立. 设，则 令，则 . ①当时，因为，则显然有， 可知在上单调递减，则， 所以在上单调递减， 所以，即对任意恒成立， 所以 满足题意; ②当时，令，解得：， 当时， ，则单调递增， 此时，则在上单调递增，所以， 即当 时， ，即不恒成立， 可知不合题意. 综上所述， . 解法二：由（1）得，， 所以，因为， 当时，，当时，， 即在上单调递增，在上单调递减 故在处取得最大值，最大值为. 因为存在，对于任意，都有成立 即恒成立，等价于， 即对任意恒成立. 即恒成立，令 令 ，令 ，因为，所以， 即在上单调递增，所以， 所以在上单调递增，所以，即 所以在上单调递增 由洛必达法则（如果直接使用洛必达法则求解且结果正确扣两分）. 所以，即. 3．（2026·天津·模拟预测）已知函数．若函数有两个零点、，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性，结合函数有两个零点、，得出，，将所证不等式变形为证明，然后构造函数，利用函数的单调性可证得结论成立. 【详解】因为，该函数的定义域为，， ①若，则恒成立，不可能有两个零点； ②若，， 令，令，可得，令， 由可得，由可得， 故在单调递增，在单调递减， 且，则， 时符合题意， 因为函数有两个零点、， 则，可得，同理可得， 要证，即证，即证，即证， 即证，即证， 故只需证，即证． 构造函数，则， 令，其中，则， 由可得，由可得， 所以在单调递减，在单调递增，则， 即，在上单调递增， 因为，故，即，故原不等式得证. 4．（2026·天津·模拟预测）已知函数，若存在两个极值点，，证明：. 【答案】证明见解析 【分析】由极值点的定义得且，然后把消去，再由分析法得出只要证明，设，由导数证明此结论成立后即得． 【详解】的定义域是， 由题意，有两个不等正实根， 即有两个不等正实根， ，且，，所以， 不妨设，则，又，，， 所以 ， 要证，只需证，只需证， 设,在时恒成立， 所以在上是减函数， 所以时，， 所以得证！ 5．（2026·天津·模拟预测）已知函数， (1)讨论函数的单调区间； (2)当时，设，为两个不相等的正数，且，证明：. 【答案】(1)上单调递增，上单调递减. (2),, 在上单调递增，上单调递减. ， ， 因为，所以函数在区间上为上凸函数， 函数在区间的图象如图所示. 不妨设，则.      连接和点的直线l2的方程为：, 当时，, 由图可知,所以要证明，只需证明，即只需证明， 连接的直线的方程为,设函数的图象的与平行的切线是直线， ，， 直线的方程为,即， 令,得直线与直线的交点横坐标为, 由图可知，， 故要证不等式成立. 【详解】（1）,, ,, 上单调递增，上单调递减. （2）略 6．（2026·天津·模拟预测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若，且，证明：，且． 【答案】(1) 当时，在上单调递增； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增． (2)证明：由，得，是方程的两个实数根， 即是方程的两个实数根． 令，则， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以． 因为当时，；当时，，，所以． 不妨设，因为，是方程的两个实数根，则． 要证，只需证． 因为，， 所以只需证． 因为， 所以只需证． 令，， 则 在恒成立． 所以在区间上单调递减， 所以， 即当时，． 所以， 即成立． 【详解】（1）的定义域为R， 由题意，得，， 当时，恒成立，在上单调递增； 当，且当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 综上，当时，在上单调递增； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增． 创新提升 1．（2025·天津·模拟预测）已知函数有两个零点． (1)求a的取值范围； (2)设是的两个零点，证明：． 【答案】(1)； (2)证明：不妨设， 由（1）知，则，，， 又在上单调递增， 所以等价于，即． 设， 则． 设，则， 设，则，当时，，单调递减， 当时，，单调递增，又因为，，， 所以存在，使得，当时，，即， 当时，，即， 所以在上单调递减，在上单调递增． 又因为，， 所以当时，，当时，， 所以当时，，单调递减， 因为，所以， 所以，即原命题得证． 【分析】（1）等价于有两个零点，设，求出函数的最小值利用零点存在性定理分析即得解； （2）不妨设，等价于证明，再利用极值点偏移的方法证明. 【详解】（1）解：由，得， 设，则，， 因为，所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 又因为，所以， ， ， 所以a的取值范围是． 2．（2025·天津·模拟预测）已知函数． (1)若，证明：； (2)若有两个不同的零点，求a的取值范围，并证明：． 【答案】(1)证明见详解； (2),证明见详解． 【分析】（1）令，利用导数分析其单调性求出最大值即可证明； （2）令，通过求导分析单调性，结合的单调性从而证明结结论． 【详解】（1）当时，，定义域为 令，则 当时，；当时，； 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 故，所以，得； （2）因为有两个不同的零点，则在定义域内不单调； 由 当时，在恒成立，则在上单调递减，不符合题意； 当时，在上有，在上有， 所以在上单调递增，在上单调递减． 故，所以, 而为增函数，且，故. 而当时，，时，， 故时，确有两个零点. 不妨设 令 则 当时，，则在上单调递增 所以 故，因为 所以，又， 则，又在上单调递减， 所以，则． 3．（2025·天津·模拟预测）已知函数，其中为自然对数的底数. （1）求函数的单调区间和极值； （2）设方程的两个根分别为，，求证：. 【答案】（1）的单调递增区间为，；单调递减区间为，极大值为，极小值为；（2）证明见解析. 【分析】（1）求导后，根据的正负可确定的单调区间；由极值的定义可求得极值； （2）根据的根可确定两根所处的范围；设，利用导数可求得的单调性，从而得到，结合可得到，结合单调性可证得结论. 【详解】（1）由题意得：，令，解得：，， 当时，；当时，； 的单调递增区间为，；单调递减区间为； 的极大值为；极小值为； （2）当时，，令，解得：， 当时，方程的两个根在区间内. 设函数， 则 ，. 令，，则， 在上为增函数，又， 则当时，；当时，； 当时，，当时，，当时，， 在上单调递减. 不妨设， 在上单调递减，在上单调递增，， ，，又，， ，，由（1）知：在上单调递增，， . 4．（2025·天津·模拟预测）已知函数． （1）判断函数的单调性； （2）若方程有两个不同的根，求实数的取值范围； （3）如果，且，求证：． 【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减.；（2）； （3）证明：由，，不妨设， 构造函数，，， 则， 所以在，上单调递增，， 也即对，恒成立． 由，则，， 所以， 即，又因为，，且在上单调递减，所以， 即证． 即． 【详解】解：（1）因为，所以，令，解得，令，解得， 即函数在上单调递增，在上单调递减． （2）由（1）可得函数在处取得最大值，， 所以函数的图象大致如下： 易知函数的值域为． 因为方程有两个不同的根， 所以，即，，解得． 即实数的取值范围为． （3）略 5．（2026·山西太原·阶段检测）已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程. （2）若正实数满足，求证：. 【答案】（1）（2）见解析 【分析】（1）首先计算求出切点坐标，再求导计算，最后利用点斜式即可求出切线方程. （2）首先将化简为，令， ，，再求出，得到，解不等式即可证明. 【详解】（1），切点为. ，. 切线为：，即. （2） . 令， ，， ， ，，为减函数， ，，为增函数， ，所以. 即. 得：， 得到，即：. 6．（2025·天津·二模）已知. (1)讨论的单调性； (2)若为方程的两个相异的实根，求证：. 【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析 【详解】（1）由于， 当，，故在上递增； 当时，令，则，当 ，，故单调递增，当时，，单调递减， （2）由（1）知当时，在上递增，此时至多一个根, 故. . 令，则，当时，，在单调递减，当，，所以在单调递增. 设. ，所以单调递减，， 故，即. 因为，设. . 由于，故又， 且在单调递增. 所以，即可. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专训05 利用导函数研究函数的极值点偏移问题 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型1 极值点偏移（对称化构造法） 2 题型2 极值点偏移（比值代换法） 3 重难专题分层过关练 4 巩固过关 4 创新提升 5 解题方法及技巧提炼 极值点偏移核心是已知(f(x1)=f(x2))、(x1≠x2)，证明(x1+x2>2x0)或(x1x2>x02)类不等式，天津高考压轴常考对称构造模板。第一步先明定义域，求导确定唯一极值点(x0)，划分单调区间，判断(x1,x2)分居(x0)两侧。 主流解法为对称构造法：设(F(x)=f(x)-f(2x0-x))，求导判定单调性，结合(F(x_0)=0)判断符号，将(f(x2))转化为(f(2x0-x1))，再利用原函数单调性脱去f，证双变量不等式。 辅助技巧有比值换元、对数平均不等式（选填速解，大题慎用），复杂题型配合隐零点代换。答题务必规范写出单调性推导，区分偏移方向；易错点是忽略定义域、构造区间选错，天津命题常结合对数、指数函数载体，多与零点问题融合考查，书写时分步拿满步骤分。 极值点偏移问题 极值点偏移问题大体可分为加法型、减法型、乘积型、平方型及商型5个类型，考查学生化归与转化思想，逻辑思维能力、运算求解能力，是历年高考中题的一个难点. 处理极值点偏移问题中的类似于（为的两根）的问题的基本步骤如下： ①求导确定的单调性，得到的范围； ②构造函数，求导后可得恒正或恒负； ③得到与的大小关系后，将置换为； ④根据与所处的范围，结合的单调性，可得到与的大小关系，由此证得结论. 由此，其它类型可模仿上面步骤进行变形及构造. 题型通法及变式提升 题型1 极值点偏移（对称化构造法） 【典例1-1】（2026·天津·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，有两个极值点，且， （ⅰ）求t的范围； （ⅱ）证明： 主要用来解决与两个极值点之和，积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下： (1)定函数(极值点为)，即利用导函数符号的变化判断函数的单调性，进而确定函数的极值点． (2)构造函数，即对结论型，构造函数或； (3)对结论型，构造函数，通过研究的单调性获得不等式． (4)判断单调性，即利用导数讨论的单调性． (5)比较大小，即判断函数在某段区间上的正负，并得出与的大小关系． (6)转化，即利用函数f(x)的单调性，将与的大小关系转化为与之间的关系，进而得到所证或所求． 【典例1-2】（2026·天津河北·二模）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，，求实数的取值范围； (3)若，且存在，，使得，证明：． 【变式1-2】（2026·天津河西·二模）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，存在不相等的、，满足，证明：； (3)对任意的，恒成立，求a的取值范围． 题型2 极值点偏移（比值代换法） 【典例2-1】（2026·天津河西·模拟预测）用表示函数的导函数，若对定义域内任意不相等的两个数，都有成立，则称函数为函数；若对定义域内任意不相等的两个数，都有不等式（或都有不等式）成立，则称函数为函数. (1)证明：若，则为函数； (2)若（为自然对数的底数），问是函数还是函数？证明你的结论. (3)若有两个不同的零点. （i）求实数的取值范围； （ii）证明. 比值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点的比值作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值(一般用表示)表示两个极值点，即，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于的函数问题求解． 【典例2-2】定义：若函数与在公共定义域内存在，使得，则称与为“契合函数”，为“契合点”． (1)若与为“契合函数”，且只有一个“契合点”，求实数a的取值范围． (2)若与为“契合函数”，且有两个不同的“契合点”． ①求b的取值范围； ②证明：． 【变式2-1】（2026·天津南开·模拟预测）已知函数（是自然对数的底数）. (1)讨论函数的单调性； (2)若有两个零点分别为. ①求实数的取值范围； ②求证：. 【变式2-2】已知函数 (1)求函数单调区间； (2)设函数，若是函数的两个零点， ①求的取值范围； ②求证：． 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（2026·天津·模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)设a，b为两个不相等的正数，且，证明：. 2．（2026·天津·一模）已知. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)已知是的导函数，若存在，使得对任意成立，求的取值范围； (3)若有两个极值点，且，求证：. 3．（2026·天津·模拟预测）已知函数．若函数有两个零点、，求证：． 4．（2026·天津·模拟预测）已知函数，若存在两个极值点，，证明：. 5．（2026·天津·模拟预测）已知函数， (1)讨论函数的单调区间； (2)当时，设，为两个不相等的正数，且，证明：. 6．（2026·天津·模拟预测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若，且，证明：，且． 创新提升 1．（2025·天津·模拟预测）已知函数有两个零点． (1)求a的取值范围； (2)设是的两个零点，证明：． 2．（2025·天津·模拟预测）已知函数． (1)若，证明：； (2)若有两个不同的零点，求a的取值范围，并证明：． 3．（2025·天津·模拟预测）已知函数，其中为自然对数的底数. （1）求函数的单调区间和极值； （2）设方程的两个根分别为，，求证：. 4．（2025·天津·模拟预测）已知函数． （1）判断函数的单调性； （2）若方程有两个不同的根，求实数的取值范围； （3）如果，且，求证：． 5．（2026·山西太原·阶段检测）已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程. （2）若正实数满足，求证：. 6．（2025·天津·二模）已知. (1)讨论的单调性； (2)若为方程的两个相异的实根，求证：. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $