26.2.2 第3课时 y=a(x-h)² +k 的图象和性质 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数\(y=a(x-h)^2+k\)的图象和性质，课堂导入通过回顾\(y=ax^2\)等已学抛物线表达式，提出平移规律问题，搭建旧知到新知的学习支架，帮助学生衔接知识脉络。 其亮点在于通过列表描点画图象培养几何直观，对比\(a\)的符号推理性质，结合石拱桥实例强化模型意识。采用表格化知识回顾、步骤化平移讲解，小结结构化。助力学生提升数学思维，方便教师高效教学与中考衔接。

第二十六章 二次函数 26.2.2 二次函数的图象和性质 第3课时 的图象和性质 目 录 1. 学习目标 4. 知识点1 二次函数 的图象 7. 课堂小结 8. 当堂小练 CONTENTS 10. 拓展与延伸 3. 新课导入 2. 知识回顾 5. 知识点2 二次函数 的性质 9. 对接中考 6. 知识点3 抛物线 与 间的关系 1. 会画二次函数 的图象. 2. 掌握二次函数 的性质并会应用. 3. 理解 与 之间的联系. 学习目标 知识回顾 a，h的符号 a>0，h>0 a>0，h<0 a<0，h>0 a<0，h<0 图象 开口方向 对称轴 顶点坐标 函数的增减性 最值 向上 向下 直线 x=h （h，0） 当 x<h 时，y 随 x 的增大而减小；当 x>h 时，y 随 x的增大而增大. 当 x<h 时，y 随 x的增大而增大；当 x>h 时，y 随 x的增大而减小. x=h 时，y最小值=0. x=h 时，y最大值=0. 二次函数 y=a(x-h)2 的图象和性质 O x y O y x O y x O y x 新课导入 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k 问题 说说抛物线y=ax2的平移规律. 新课讲解 知识点1 二次函数 的图象 探究1 画出函数的图象.指出它的开口方向、对称轴和顶点. 列表 x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 … y=-(x+1)2-1 … … -5.5 -5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 描点、连线： 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 1 y O -1 -2 -3 -4 -5 -10 直线 开口方向向下；对称轴是直线 ；顶点坐标 y=(x+1)21 新课讲解 探究2 在同一平面直角坐标系中，画出二次函数，的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点. 如图所示 可以看出，抛物线的开口向上，对称轴是直线，顶点是 (，). O x y -2 2 3 1 -1 4 -4 5 直线 新课讲解 一般地，当 a>0 时，抛物线的开口向上，对称轴是直线，顶点是(，)，顶点是抛物线的最低点. 一般地，当 a<0 时，抛物线的开口向下，对称轴是直线；顶点是(，)，顶点是抛物线的最高点. 越大，抛物线的开口越小. 归纳 新课讲解 例 1. 二次函数 的大致图象是 ( ) D A. B. C. D. 新课讲解 练一练 1. 关于二次函数 的最值情况，下列说法正确的是 ( ) C A. 有最大值 B. 有最小值 C. 有最大值6 D. 有最小值6 新课讲解 练一练 2. 抛物线 的顶点一定不在 ( ) B A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 解：由 知，该抛物线的顶点坐标为. 当时， ，此时顶点在第一象限，故A不符合题意； 当时， ,此时顶点在第四象限，故D不符合题意； 当时， ，此时顶点在第三象限，故C不符合题意. 新课讲解 知识点2 二次函数 的性质 从二次函数的图象可以看出： 在对称轴的_____，抛物线从左到右下降； 在对称轴的_____，抛物线从左到右上升. 也就是说，当时，y随x的增大而_____； 当时，y随x的增大而_____. 左侧 右侧 减小 增大 你还能从图象中看出什么？ 思考 O x y -2 2 3 1 -1 4 -4 5 直线 新课讲解 从二次函数的图象可以看出： 在对称轴的_____，抛物线从左到右上升； 在对称轴的_____，抛物线从左到右下降. 也就是说，当时，y随x的增大而_____； 当时，y随x的增大而_____. 左侧 右侧 减小 增大 你还能从图象中看出什么？ 思考 一般地，当 a>0 且 x<h 时，y随x的增大而减小；当 x>h 时，y 随 x 的增大而增大. 一般地，当 a<0 且 x<h 时，y随x的增大而增大；当 x>h 时，y 随 x 的增大而减小. 归纳 O x y -2 2 -2 -4 -6 4 -4 直线 新课讲解 例 2. 对于抛物线 y= － ( x＋1 ) 2＋3，下列结论： ①抛物线的开口向下； ②对称轴为直线 x=1； ③顶点坐标为(－ 1，3 ) ； ④当 x>1 时， y 随 x 的增大而减小 . 其中正确结论有_________ . ①③④ 解：因为 a= － 1<0，所以抛物线的开口向下，故①正确； 对称轴为直线 x= － 1，故②错误； 顶点坐标为( － 1， 3 ) ，故③正确； 当 x>1 时， y 随 x 的增大而减小，故④正确 . 新课讲解 练一练 A. 或4 B. 或 C. 或4 D. 或4 1. 已知二次函数 ，当时，的最小值为，则 的值为 ( ) D 新课讲解 练一练 2. 二次函数，当时，随 的增大而减小，则实数和 满足 ( ) B A. ， B. ， C. ， D. ， 解：抛物线的对称轴为直线 当时， 随的增大而减小， 抛物线开口向下，， ． 新课讲解 从 中可以直接看出抛物线的顶点坐标是 ()，所以通常把它称为二次函数的顶点式. a，h决定增减性 h，k决定顶点坐标 a决定开口方向和大小 h决定对称轴 k决定最值 新课讲解 总结 二次函数 的图象和性质 y=a(x-h)2+k a＞0 a＜0 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 向上 向下 直线 x=h （h，k） 当 x=h 时，y最小值=k. 当 x=h 时，y最大值=k. 当 x＜h 时，y 随 x 的增大而减小；x＞h 时，y 随x 的增大而增大. 当 x＞h 时，y 随 x 的增大而减小；x＜h 时， y随 x 的增大而增大. 新课讲解 知识点3 抛物线 与 间的关系 思考 抛物线与抛物线有什么关系？ 向左平移1 个单位长度 平移方法1 向下平移1 个单位长度 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 1 y O -1 -2 -3 -4 -5 -10 新课讲解 思考 抛物线与抛物线有什么关系？ 平移方法2 向左平移1个单位长度 向下平移 1个单位长度 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 1 y O -1 -2 -3 -4 -5 -10 新课讲解 二次函数 y=ax2 与 y=a(x-h)2+k 图象间的关系 可以互相平移得到： y = ax2 y = ax2 + k y = a(x - h )2 y = a( x - h )2 + k 上下平移 左右平移 上下平移 左右平移 函数平移有规律，左加右减自变量，上加下减常数项. 新课讲解 例 3. 把抛物线 先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，可得到抛物线.求，， 的值. 解：抛物线的顶点坐标为，把点 先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到点的坐标为 ，即原抛物线的顶点坐标为 . 又 两个抛物线的形状相同， 原抛物线的解析式为 . ，， . 新课讲解 练一练 1. 若将抛物线平移后得到抛物线 ，则它的平移过程可以是 ( ) A A. 先向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度 B. 先向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度 C. 先向左平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度 D. 先向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度 解：将抛物线的平移看作顶点的平移. 抛物线 的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为 . ∵ 到 的平移方式是先向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度， ∴ 将抛物线 先向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度得到抛物线 . 新课讲解 练一练 A 2. 在平面直角坐标系中，如果抛物线 不动，而把轴、 轴分别向上、向右平移3个单位长度，那么在新坐标系中，抛物线的解析式是 ( ) A. B. C. D. 新课讲解 平移前 平移方式 平移后 规律 顶点式 向左平移 个单位长度 左加 向右平移 个单位长度 右减 向上平移 个单位长度 上加 向下平移 个单位长度 下减 二次函数图象的平移 归纳 课堂小结 增减性结合开口方向和对称轴才能确定 二次函数 的图象和性质 图象 性质 与抛物线y=ax2的关系 1. 开口方向由a的符号决定； 2. h决定对称轴的位置； 3. 顶点坐标 (h，k) 平移规律： 左加右减，上加下减. 当堂小练 1. 关于二次函数y=2(x-4)2 +6，下列说法正确的是_________(填序号). ①图象的开口向上；②图象的对称轴为直线x=4； ③最小值为6；④ 当x>0 时，y 随x 的增大而增大. ①②③ 当堂小练 2. 若二次函数的最小值为 ，则其图象的顶点坐标为_________. 当堂小练 3. 如图是抛物线 的一部分，该抛物线在轴右侧部分与 轴的交点坐标是 ( ) A. B. C. D. 解：抛物线的对称轴是直线 ， 由题图知抛物线与轴的一个交点坐标为， 则抛物线在 轴右侧部分与轴的交点坐标是 . B 当堂小练 4. 若二次函数 ，当时，随的增大而减小，则 的取值范围为 ( ) A. B. C. D. A 当堂小练 5. 将抛物线 先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到的抛物线的解析式是 ( ) A. B. C. D. A 当堂小练 A. 第一、第二、第三象限 B. 第一、第二、第四象限 C. 第一、第三、第四象限 D. 第二、第三、第四象限 6. 二次函数 的图象如图所示，则一次函数 的图象经过 ( ) D 解：由题中图象，得抛物线的顶点 在第四象限， ，， ，， 一次函数 的图象经过第二、第三、第四象限． 当堂小练 7. 如果将抛物线向右平移10个单位长度，那么此抛物线与轴的交点 在平移过程中的位置变化情况符合下列哪种情形？( ) A. 持续向上 B. 持续向下 C. 先向上再向下 D. 先向下再向上 解：对于，令，则 ，即抛物线与轴的交点的坐标为 .根据“左加右减，上加下减”的平移规律， 设此抛物线向右平移个单位长度， 新抛物线的解析式为， 抛物线与轴的交点 的坐标为， 当时，点 的纵坐标取最大值，为8. 又， 点 位置的变化为先向上再向下. C 当堂小练 8. 长春南湖公园的石拱桥以石块筑成，搭配精致栏杆，造型典雅.桥体采用大拱与两侧小拱的设计，如图1.桥中间的大拱截面 可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽，桥拱顶点到水面的距离是 . (1) 按如图2所示建立平面直角坐标系，求大桥拱部分抛物线的解析式. 解：(1) ，桥拱顶点到水面的距离是 ， 顶点的坐标为 . 设大桥拱部分抛物线的解析式为 ， 把点的坐标代入解析式，得 ， 解得 ， 大桥拱部分抛物线的解析式为 . 当堂小练 8. 长春南湖公园的石拱桥以石块筑成，搭配精致栏杆，造型典雅.桥体采用大拱与两侧小拱的设计，如图1.桥中间的大拱截面 可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽，桥拱顶点到水面的距离是 . (1) 按如图2所示建立平面直角坐标系，求大桥拱部分抛物线的解析式. (2) 同一时刻，一名环卫工人驾驶打捞船恰好停在大桥拱下方且距 点处清理垃圾，若环卫工人身高 ，请通过计算说明他直立时头顶是否会触碰到大桥拱（假设船底与水面齐平）. 解：(2) 把代入解析式，得 . ， 工人直立时头顶不会触碰到大桥拱. . 对接中考 已知点，， 都在二次函数的图象上，则，， 的大小关系是 ( ) C 解： (代数法) 把，， 分别代入， 得， ， ， . (距离法) 抛物线 的开口向下，对称轴为直线， 在抛物线上离对称轴越近的点，其对应的函数值越大. 点，，离对称轴的距离分别为 ，，， ， . 拓展与延伸 1. 已知点，， 都在抛物线上，点在点 左侧，下列选项正确的是 ( ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 解：由题意可知，抛物线的对称轴为直线 ，开口向上， 当时，随的增大而增大，当时，随 的增大而减小. 点，，都在抛物线上，点 在点左侧， 若，则，故选项A，B均不符合题意； 若 ，则 ，故选项C不符合题意，选项D符合题意． D 拓展与延伸 2. 在平面直角坐标系中，设二次函数（ 是实数）. (1) 当时，若点在该函数的图象上，求 的值. (2) 小明说该二次函数图象的顶点在直线 上，你认为他的说法对吗? 为什么? 解：(1) 当时， . 点 在该函数的图象上， ，即 . (2) 小明的说法对.理由如下： ， 二次函数图象的顶点为 ， 当时， ， 顶点在直线 上. 拓展与延伸 2. 在平面直角坐标系中，设二次函数（ 是实数）. (3) 已知点， 都在该二次函数的图象上.求证： . 解：(3) 证明： 点， 都在该二次函数的图象上， 二次函数图象的对称轴为直线 （点，的纵坐标相等，则， 两点关于抛物线的对称轴对称）. 由题意可得，该二次函数图象的顶点为 ， ，， ， 将 代入二次函数的解析式，得 . ， ， . $