2.2基本不等式同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本练习通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，实现基本不等式从单一应用到综合证明的递进，培养抽象能力与推理意识，适配新授课知识内化需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|基本不等式直接应用|单选题1-3、填空题12-13，考查最值计算与条件判断，强化概念理解| |提升层|条件变形与多变量问题|单选题4-6、多选题9-11，涉及“1”的代换与参数范围，发展运算能力| |综合层|证明与实际应用|解答题17-19，需构造不等式链与模型转化，培养逻辑推理与模型观念|

人教A版必修第一册基本不等式专题练习 一、单选题 1．已知，那么函数有（    ） A．最大值2 B．最小值2 C．最小值4 D．最大值4 2．下列各式中，对任何实数都成立的一个式子是（    ）. A． B． C． D． 3．已知，，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．已知正数a，b满足，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 5．已知a，b为正整数且，实数x､y满足.若的最大值为40，则满足条件的数对的数目为（    ） A．5 B．9 C．10 D．11 6．给出下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则；⑥若，则.其中正确的命题有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 7．下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 8．已知，，当时，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知，且，则（    ） A． B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最大值是1 10．已知，且，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为8 D．的最大值为8 11．设正实数满足，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．已知，则的最小值为______. 13．已知为非负数，且满足，则的最大值为___________. 14．已知，，，且，、是互不相等的实数，那么与的大小关系是_____________. 四、解答题 15．求函数的最小值. 16．已知，，且． (1)求xy的最大值； (2)求的最小值． 17．已知、，且.求证： （1）； （2）. 18．已知，，均为正数，且，证明： (1)； (2)若，则. 19．求函数的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《人教A版必修第一册基本不等式专题练习》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C A B A D C B ABD BC 题号 11 答案 BCD 1．B 【分析】利用基本不等式，即可得到答案； 【详解】 ，等号成立当且仅当， 函数的最小值2， 故选：B. 2．C 【分析】取特殊值可得选项A,B,D不恒成立，由可得选项C对应的不等式恒成立，得解. 【详解】解：对于A，当时，根式无意义，故A不恒成立； 对于B，当时，，故B不恒成立； 对于C，，所以成立，故C成立； 对于D，当时，，故D恒不成立， 即对任何实数都成立的一个式子是， 故选C. 【点睛】本题考查了均值不等式的前提，重点考查了运算能力，属基础题. 3．A 【分析】利用基本不等式可求的最大值. 【详解】由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最大值为. 故选：A. 4．B 【分析】将变形为，代入，再通过常数代换和基本不等式可得. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为9. 故选：B 5．A 【分析】利用基本不等式化简已知条件，求得，由此确定正确选项. 【详解】依题意可知 由两边平方并化简得 ， 由基本不等式得， 所以， ， 依题意， 对于，其对称轴， 所以当时取得最大值. 故当时，， 故. 由于a，b为正整数且，所以共组. 故选：A 6．D 【分析】利用不等式的基本性质和基本不等式逐一判断即可． 【详解】| ①. 由，则.故①不正确． ②. 由，则，，所以，故②正确． ③．由，则，所以，故③正确． ④．由，所以，则，即，故④正确． ⑤．由，所以，则，所以，  故⑤正确． ⑥．由，，由，所以故，当且仅当 时取等号，⑥正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质和基本不等式，属中档题． 7．C 【分析】根据作差法判断AC，举反例判断BD. 【详解】由于，可得，当且仅当a=b时，等号成立，可知选项A错误； 若可得则，可知选项B错误； 由于，可得，可知选项C正确； 若可得则，可知选项D错误； 故选：C. 8．B 【解析】根据，，，利用“1”的代换，结合基本不等式求得的最小值，然后根据不等式恒成立，由求解. 【详解】因为，，， 所以， ， 当且仅当，即时，取等号， 又因为不等式恒成立， 所以， 即， 解得，即 ， 故选：B 【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，一元二次不等式的解法以及不等式恒成立问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 9．ABD 【分析】易求得，可判断A；利用基本不等式可得，可判断B；由，可求得最大值与最小值，可判断CD. 【详解】由，可得，因为，所以，解得， 又，所以，即，故A正确； 因为，所以，所以， 当且仅当时取等号，故B正确； 由，可得，所以， 当时，取最小值，最小值是，故C错误； 当或时，取最大值，最大值是，故D正确. 故选：ABD. 10．BC 【分析】利用基本不等式求的最大值和的最小值. 【详解】由已知，， 所以，当且仅当时，等号成立，B正确；       ，当且仅当时，等号成立，C正确. 故选：BC 11．BCD 【分析】利用基本不等式判断各选项． 【详解】对于A选项，， 当且仅当时取得等号，故A错误； 对于B选项，，故， 当且仅当时取得等号，故B正确； 对于C选项，， 当且仅当时取得等号，故C正确； 对于D选项， ， 当且仅当时取得等号成立，故D正确． 故选：BCD. 12．13 【分析】构造乘积为定值的式子利用基本不等式即可求解. 【详解】由题意得， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为:13. 13． 【分析】根据，再利用基本不等式即可得解. 【详解】解： ， 因为， 所以， 当且仅当时，取等号， 所以的最大值为. 故答案为：. 14． 【分析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可得出与的大小关系. 【详解】，，且，、是互不相等的实数，则. ，因此，. 故答案为. 【点睛】本题考查利用基本不等式比较代数式的大小关系，本题的关键在于在代数式上乘以，充分利用到了的应用，考查分析问题的和解决问题的能力，属于中等题. 15．5 【分析】式子化为，再利用基本不等式即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以， 当且仅当即时取等号，此时取得最小值5. 16．(1) (2)8 【分析】（1）利用基本不等式可得，即可求解； （2）利用“1”的妙用，结合基本不等式，即可求解． 【详解】（1）， ， ，即， 当且仅当，即时，取得最大值； （2） ， 当且仅当，即时，取得最小值． 17．（1）详见解析（2）详见解析 【分析】（1）将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可证明出； （2）先证明出，将代数式变形为，再利用不等式的性质可证明出不等式成立. 【详解】（1）、，且， 由基本不等式得， 当且仅当时，等号成立，因此，； （2）、，且，由基本不等式得， 又，. 由不等式的性质得. 当且仅当时，等号成立，因此， 【点睛】本题考查利用基本不等式与不等式的性质证明不等式，解题的关键就是对代数式进行配凑，考查逻辑推理能力，属于中等题. 18．(1)因为 ，当且仅当时取等号， 所以， 又因为，，均为正数，所以. (2)因为，由条件可得，即， 所以 ， 当且仅当时取等号，此时，解得， 把和，代入，求得， 所以当且仅当，，时，取得等号. 【分析】（1）由展开，结合已知条件，利用基本不等式计算即可得出结果； （2）由，将，化简可得，借助“1”的替换，利用基本不等式即可得出结果. 【详解】（1）略 （2）略 19． 【分析】转化为，结合为定值，结合均值不等式即得解. 【详解】由，故， ， 又，所以， 当且仅当，即时取等号．故. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $