第5章《分式与分式方程》暑假复习 2025--2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦分式与分式方程核心知识，以概念辨析-运算求解-综合应用为逻辑主线，系统覆盖基础与拓展题型，培养运算能力、推理意识及模型意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|单选1-3、填空11-12|分式性质、值为0、最简分式辨析|从分式定义出发，构建概念认知框架| |运算求解|单选4-6、填空13、解答16-18|分式化简、求值、方程求解（含增根）|以运算法则为核心，强化步骤规范性与推理严谨性| |综合应用|单选7-10、填空14-15、解答19-25|实际问题（古代数学、经济）、跨知识结合（不等式组）|从数学模型角度，实现知识向现实问题的迁移应用|

北师大版八年级下册暑假综合练习 第5章 分式与分式方程 一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 4 分 ，共计40分 ）   1.若分式中的和都扩大为原来的倍后，分式的值不变，则可能是（     ） A. B. C. D. 2.若分式 的值为0，则x的值为（        ） A. B. C. D. 3.下列代数式中，是最简分式的是（        ） A. B. C. D. 4.下列计算正确的是（       ） A. B. C. D. 5.已知其中A，B为常数，则的值为（     ） A.7 B.9 C.13 D.5 6.嘉嘉在做“先化简、再求值：，其中．”时，误将中2x前的系数2漏掉，那么他的计算结果与正确结果（       ） A.相等 B.相差 C.和为0 D.积为 7.《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共丈（丈尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入文，绫布和罗布各出售尺共收入文．问两种布每尺各多少钱？若设每尺绫布值文，根据题意可列方程是（        ） A. B. C. D. 8.若关于x的分式方程 无解，则的值为（     ） A.0 B.1 C.2 D.3 9.能使分式的值为整数的整数的值的个数为（       ） A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 10.若实数使关于的不等式组有解且至多有个整数解，且使关于的分式方程 有整数解，则满足条件的整数的个数为（        ） A.2 B.1 C.4 D.3 二、 填空题（本题共计 5 小题 ，每题 4 分 ，共计20分 ） 11.约分：________． 12.若不论x取何实数时，分式总有意义，则a的取值范围是________． 13.已知关于的方程有增根，则的值是______． 14.，其中，且取整数，求所有符合条件的的分式值之和是________ 15.若关于的一元一次不等式组有解，且关于的分式方程的解是非负整数，则所有满足条件的整数的值之积为________． 三、 解答题（本题共计 10 小题 ，共计90分 ） 16.(6分) 计算： （1） （2）． 17.(6分) 解方程、化简求值 （1）解方程：． （2）先化简，再求值：，其中． 18.(8分) 已知分式． （1）若分式的值为0，则的值为_____． （2）若分式的值为正数，求的取值范围． 19.(7分) 多多在一本数学课外书上看到这样一道题，已知，求分式的值．该题没有给出，的值，怎样求出分式的值？数学课外书上介绍了两种方法： 方法：，，，， ． 方法：，将分式的分子、分母同时除以，得： … （1）“方法”中运用了“分式与分式方程”这一章的数学依据是____ （2）请你将“方法”中剩余的解题过程补充完整． 20.(10分) 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，这样的分式就是假分式；，这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式） 如：； 解决下列问题： （1）分式是_____分式（填“真”或“假”）； （2）将假分式化为带分式； （3）求所有符合条件的整数x的值，使得的值为整数． 21.(10分) 观察下列式子，并探索它们的规律： ； ． （1）根据以上式子填空： ①        ． ②        ． （2）求分式的最小值． （3）已知为整数，求能使分式的值为整数的所有值的和． 22.(10分) 某水果店积极参与助农惠农活动，从果农处采购优质苹果助力乡村振兴．该水果店第一次花费500元购进一批苹果，由于销售状况良好，又花费1000元以相同的价格购进该品种苹果，所购质量比第一次购进质量多100千克． （1）求这种苹果的进价是多少元每千克？ （2）已知该水果店内苹果和香蕉的单价分别为元每千克和元每千克，甲共购买了千克水果，其中苹果千克，香蕉千克；乙共花费了元，其中买苹果元，买香蕉元．若甲和乙的花费相同，通过计算说明甲、乙两人谁购买水果的总质量更大． 23.(10分) 对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，且）则称点为点P的“系雅培点”；例如：的“3系雅培点”为，即． （1）点的“2系雅培点”，则的坐标为         ； （2）已知点在第四象限，且满足，点A是点的“系雅培点”； ①求m与n之间的数量关系； ②若分式方程无解，求的值． 24.(11分) 根据信息，完成下列活动任务： 素材：商店通常用以下方法来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格：设种糖的单价为元千克，种糖的单价为元千克，则千克种糖和千克种糖混合而成的什锦糖的单价为元千克（平均价）． （1）任务若，，求千克种糖和千克种糖混合而成的什锦糖的单价； （2）任务：在任务的前提下，商店要使什锦糖的价格降低元，则需加入哪一种糖，多少千克？ （3）任务：现有甲、乙两种什锦糖，均由、两种糖混合而成．其中甲种什锦糖由相同质量的，两种糖混合而成，乙种什锦糖由相同总价的，两种糖混合而成，请比较甲、乙两种什锦糖的单价． 25.(12分) 如果两个实数使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”，如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． （1）判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”．（直接判断是否即可，无需书写过程） ； ； （2）若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值； （3）若数对（且，）是关于的分式方程的“关联数对”．当k为整数时，求整数的值． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版八年级下册暑假综合练习 第5章 分式与分式方程 一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 4 分 ，共计40分 ）   1.若分式中的和都扩大为原来的倍后，分式的值不变，则可能是（     ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 将x和y都扩大为原来的3倍，先确定分母的变化情况，再结合分式值不变的条件，推导得到A需要满足的要求，再判断选项即可. 【解答】 解： x和y都扩大为原来的3倍， 分母变为 ，即分母扩大为原来的3倍， 分式的值不变， 新的分子应扩大为原来A的3倍， A、若 ，新分子为 ，符合要求； B、若 ，新分子为 ，不符合要求； C、若 ，新分子为 ，不符合要求； D、若 ，新分子为 ，不符合要求. 故选：． 2.若分式 的值为0，则x的值为（        ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 分式值为0需同时满足分子等于0，分母不等于0，根据这两个条件求解即可. 【解答】 解：分式 的值为0， 分子 ，且分母 , 解方程 得 ， 由 得 ， . 故选：． 3.下列代数式中，是最简分式的是（        ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 本题根据最简分式的定义判断即可，最简分式是分子与分母没有公因式，不能再约分的分式，先判断是否为分式，再验证是否可约分得到结果。 【解答】 选项A中分母不含字母，是整式，不是分式，排除A； 选项B中，分子分母有公因式x，可约分，不是最简分式，排除B； 选项C中分子分母有公因式2，可约分，不是最简分式，排除C； 选项D中分子分母没有公因式，无法约分，D选项是最简分式。 故选：． 4.下列计算正确的是（       ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．依次对每个选项进行分式的运算，判断其计算是否正确即可． 【解答】 解： ，故项错误，不符合题意； ，故项正确，符合题意； ，故项错误，不符合题意； ，故项错误，不符合题意； 故选：． 5.已知其中A，B为常数，则的值为（     ） A.7 B.9 C.13 D.5 【答案】 C 【解析】 先对等式右侧通分，根据分式恒等式的性质，分子对应系数相等得到方程组，求解A，B后计算4A-B的值． 【解答】 解：， ， ， ， ，且， ，， . 故选：C．  6.嘉嘉在做“先化简、再求值：，其中．”时，误将中2x前的系数2漏掉，那么他的计算结果与正确结果（       ） A.相等 B.相差 C.和为0 D.积为 【答案】 B 【解析】 根据分式的加减混合运算法则求出两个分式的化简式，再代入求值进行比较即可. 【解答】 当x=1时 原式 当x=1时 原式 故答案选B 7.《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共丈（丈尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入文，绫布和罗布各出售尺共收入文．问两种布每尺各多少钱？若设每尺绫布值文，根据题意可列方程是（        ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 利用“长度 = 总价 ÷ 单价”表示出两种布的长度，再根据总长度列方程. 【解答】 解：∵ 设每尺绫布值x文，绫布和罗布各1尺共值钱120文， ∴ 每尺罗布值(120-x)文， ∵ 绫布总价为896文，罗布总价为896文， ∴ 绫布总长度为尺，罗布总长度为尺， 又∵ 绫布和罗布总长度共3丈 = 30尺，总长度等于两种布长度之和， ∴ 列方程得. 故选：． 8.若关于x的分式方程 无解，则的值为（     ） A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】 D 【解析】 分式方程无解的原因是整式方程的解为原分式方程的增根，增根使原方程分母为0，先确定增根，再代入整式方程求m的值即可. 【解答】 解：方程两边同乘去分母得 展开化简得 原分式方程无解 原方程分母为0，即整式方程的解为增根 把代入得 解得. 故选：D． 9.能使分式的值为整数的整数的值的个数为（       ） A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 【答案】 B 【解析】 本题考查分式化简与整数解的问题．首先对分式进行因式分解并化简，得到一个更简单的表达式，然后根据整数条件分析分母可能的取值情况，从而确定满足条件的整数x的个数．需要注意原分式在x=1时无定义，需排除该情况． 【解答】 解：整理得：． 设 （k为整数）， 则 ， 为整数，为整数，故 为整数， 为2的约数，即 ． 当 时，，； 当 时，，； 当 时，，； 当 时，，． 所有x均满足 ， 整数x的值有4个． 故选：． 10.若实数使关于的不等式组有解且至多有个整数解，且使关于的分式方程 有整数解，则满足条件的整数的个数为（        ） A.2 B.1 C.4 D.3 【答案】 A 【解析】 先解不等式组，根据不等式组有解且至多2个整数解得到k的取值范围，再解分式方程，根据分式方程有整数解筛选出符合条件的整数k，统计个数即可. 【解答】 解： 解不等式①，两边同乘3得， 移项整理得， ; 解不等式②得， 不等式组的解集为； 不等式组有解且至多有2个整数解， ， 解得; 解分式方程， 两边同乘得， 整理得， 当k=3时，方程为0=2，即方程无解，舍去； 当k≠3时，， 分式方程分母不为0， ，即，解得， 方程有整数解，k为整数， 是2的整数因数，即， 解得， ， 符合条件的整数k为1, 2，共2个. 故选：． 二、 填空题（本题共计 5 小题 ，每题 4 分 ，共计20分 ） 11.约分：________． 【答案】 【解析】 首先把分子分母分解因式，然后约去公因式即可． 【解答】 解：原式， 故答案为：． 12.若不论x取何实数时，分式总有意义，则a的取值范围是__a<-1______． 【答案】 a<-1 【解析】 本题考查了分式有意义的条件，利用完全平方公式进行配方等知识，难度较大。根据分式 总有意义，得到 变形为 即可得到 从而得到 【解答】 解： 分式 总有意义， 故答案为 a<-1 13.已知关于的方程有增根，则的值是____ ____． 【答案】 【解析】 增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出的值． 【解答】 解：方程两边都乘，得， ∵ 原方程增根为， ∴ 把代入，得． 故答案为． 14.，其中，且取整数，求所有符合条件的的分式值之和是___ _____ 【答案】 -3 【解析】 本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式化简的步骤和分式的运算法则。对分式进行化简，然后确定 的取值，最后代入求值即可。 【解答】 解： 的整数值可取 当 时， 当 时， 故答案为：-3. 15.若关于的一元一次不等式组有解，且关于的分式方程的解是非负整数，则所有满足条件的整数的值之积为___0_____． 【答案】 0 【解析】 先根据不等式组有解求出a的取值范围，再结合分式方程的解是非负整数且分母不为零，找出符合条件的整数a，最后计算乘积. 【解答】 解：解不等式3+2x≥1，得：x≥-1， 解不等式x-a<0，得x∵ 一元一次不等式组有解， ∴ a>-1, 分式方程两边同乘(y-1)去分母，得：y+2-a=2(y-1), 解得y=4-a, 由分式方程分母不为0得y≠1，即4-a≠1, 解得a≠3, ∵ 分式方程的解是非负整数， ∴ 4-a≥0, 解得a≤4, ∴ -1∴ 符合条件的整数a为0，1，2，4 ∴ 所有满足条件的整数a的值之积为0×1×2×4=0. 故答案为：0. 三、 解答题（本题共计 10 小题 ，共计90分 ） 16.(6分) 计算： （1） （2）． 【答案】 3 x+2 【解析】 此题暂无解析 【解答】 （1）解： （2）   17.(6分) 解方程、化简求值 （1）解方程：． （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】 无解 【解析】 此题暂无解析 【解答】 （1）解： 方程两边同时乘以得， 去括号得， 解得, 检验：当时，， 是原方程的增根， 原方程无解； （2）解： ， 当时，原式. 18.(8分) 已知分式． （1）若分式的值为0，则的值为_____． （2）若分式的值为正数，求的取值范围． 【答案】 2 m<2且m≠0 【解析】 （1）根据分式为0，得出分母不为0，分子为0进行列式计算，即可作答. （2）根据分式的值为正数，得出m^2>0，4-2m>0，再解得m<2且m≠0，即可作答. 【解答】 （1）解：分式的值为0， 即若分式的值为0，则m的值为2; （2）解：分式的值为正数， 分式有意义， 分式的值为正数， 且m≠0.  19.(7分) 多多在一本数学课外书上看到这样一道题，已知，求分式的值．该题没有给出，的值，怎样求出分式的值？数学课外书上介绍了两种方法： 方法：，，，， ． 方法：，将分式的分子、分母同时除以，得： … （1）“方法”中运用了“分式与分式方程”这一章的数学依据是__分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变__ （2）请你将“方法”中剩余的解题过程补充完整． 【答案】 分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变 原式 原式 【解析】 （1）根据分式的基本性质进行求解即可； （2）根据分式基本性质进行化简，然后代入数值，计算即可. 【解答】 （1）解：“方法1”中运用了“分式与分式方程”这一章的数学依据是：分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变. （2）原式 原式   20.(10分) 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，这样的分式就是假分式；，这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式） 如：； 解决下列问题： （1）分式是__真___分式（填“真”或“假”）； （2）将假分式化为带分式； （3）求所有符合条件的整数x的值，使得的值为整数． 【答案】 真 1+ 【解析】 （1）根据“真分式”和“假分式”定义判断即可; （2）将分子写成x+2+1，然后进行变形即可解答; （3）先将分式化为带分式，根据结果为整数求出x的值，并检验x的取值是否符合题意. 【解答】 （1）解：2026的次数为0，x-1的次数为1， 是真分式. 故答案为：真. （2）解：. （3）解： 2+与x均为整数， 或或1或; 或或0或; , . . 21.(10分) 观察下列式子，并探索它们的规律： ； ． （1）根据以上式子填空： ①        ． ②        ． （2）求分式的最小值． （3）已知为整数，求能使分式的值为整数的所有值的和． 【答案】 ①② -4 -4 【解析】 （1）根据所给的规律对①②$进行运算即可； （2）结合所给的规律进行求解即可； （3）结合所给的规律进行求解即可. 【解答】 （1） 解：① 故答案为：； ②= ； （2）要求原式的最小值，则的值最大， 当x=0时，， 的最小值为：2-6=-4； （3）$ 要使结果为整数， 则为整数， 的值为：-6或-2或0或4， 其和为：-6-2+0+4=-4.  22.(10分) 某水果店积极参与助农惠农活动，从果农处采购优质苹果助力乡村振兴．该水果店第一次花费500元购进一批苹果，由于销售状况良好，又花费1000元以相同的价格购进该品种苹果，所购质量比第一次购进质量多100千克． （1）求这种苹果的进价是多少元每千克？ （2）已知该水果店内苹果和香蕉的单价分别为元每千克和元每千克，甲共购买了千克水果，其中苹果千克，香蕉千克；乙共花费了元，其中买苹果元，买香蕉元．若甲和乙的花费相同，通过计算说明甲、乙两人谁购买水果的总质量更大． 【答案】 这种苹果的进价是5元每千克 乙购买水果的总质量更大 【解析】 （1）通过设单价是x元每千克，列出分式方程，解分式方程即可； （2）通过作差法计算两个代数式的差，化简后根据已知条件判断正负，从而比较大小. 【解答】 （1）解：设这种苹果的进价是x元每千克，根据题意可得： 经检验，x=5是原分式方程的根， 所以，这种苹果的进价为5元每千克； （2）由题意可知，甲共购买了2m千克水果，花费(ma+mb)元， 甲和乙的花费相同，所以乙花费(ma+mb)元，则ma+mb=2n，所以n=, 乙共购买了千克水果， 因为， 所以乙购买水果的总质量更大.  23.(10分) 对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，且）则称点为点P的“系雅培点”；例如：的“3系雅培点”为，即． （1）点的“2系雅培点”，则的坐标为         ； （2）已知点在第四象限，且满足，点A是点的“系雅培点”； ①求m与n之间的数量关系； ②若分式方程无解，求的值． 【答案】 (8,4) ①；②2或-4 【解析】 (1) 根据新定义的运算法则，即可求出 的坐标； (2) ①根据点 是点 的 “-3系雅培点”，且点 在第四象限，结合 ，即可求解；②由 ①可得出 的值，代入方程，再根据分式方程无解，即可求出 的值. 【解答】 (1) 解：(1) ， 点 的 “2系雅培点” 的坐标为 ， 的坐标为 . (2) 解：①点 是点 的 “-3系雅培点”，同理可得：点 ， ，故 ，即 ， 点 在第四象限，故 ， . ②由 ①得 ，代入分式方程得 ， 整理得 ， 当 时，方程无解； 当 时，则 ， 该方程无解，即方程有增根为3， ，即 ， 解得 ， 综上所述， 或 -4. 24.(11分) 根据信息，完成下列活动任务： 素材：商店通常用以下方法来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格：设种糖的单价为元千克，种糖的单价为元千克，则千克种糖和千克种糖混合而成的什锦糖的单价为元千克（平均价）． （1）任务若，，求千克种糖和千克种糖混合而成的什锦糖的单价； （2）任务：在任务的前提下，商店要使什锦糖的价格降低元，则需加入哪一种糖，多少千克？ （3）任务：现有甲、乙两种什锦糖，均由、两种糖混合而成．其中甲种什锦糖由相同质量的，两种糖混合而成，乙种什锦糖由相同总价的，两种糖混合而成，请比较甲、乙两种什锦糖的单价． 【答案】 混合什锦糖的单价为27元/千克； 需加入A种糖，加入5千克； 当a≠b时，甲种什锦糖的单价较高；当a=b时，甲、乙两种什锦糖单价相等。 【解析】 （1）直接代入题目给出的什锦糖单价公式计算即可； （2）分加入A种糖、加入B种糖两种情况，根据降价要求列分式方程，舍去不合题意的解后得到结论； （3）分别表示出甲、乙两种什锦糖的单价，用初中作差法比较大小得到结论。 【解答】 （1）解：， 代入得 （元/千克）， 答：10千克A种糖和30千克B种糖混合而成的什锦糖的单价为27元/千克； （2）解：设加入x千克A种糖， 根据题意得 ， 整理得 ， 解得x=5， 经检验，x=5是原方程的解，符合题意； 若加入y千克B种糖， 根据题意得 ， 整理得 ， 解得y=-10， 经检验，y=-10是原方程的解，但质量不能为负，不符合题意，舍去， 答：需加入A种糖，加入5千克； （3）解：设甲种什锦糖中A、B两种糖的质量都为k千克（k>0），则甲的单价为 ，设乙种什锦糖中A、B两种糖的总价都为s元（s>0），则A的质量为 千克，B的质量为 千克，乙的单价为 ， ， ， ， 又， 当a≠b时， ，即 ，甲种什锦糖单价较高； 当a=b时， ，即 ，两种什锦糖单价相等。  25.(12分) 如果两个实数使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”，如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． （1）判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”．（直接判断是否即可，无需书写过程） ； ； （2）若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值； （3）若数对（且，）是关于的分式方程的“关联数对”．当k为整数时，求整数的值． 【答案】 ①不是，①是 或 【解析】 （1）根据“关联数对”定义分别判断即可； （2）根据“关联数对”定义得到 ，然后求解即可； （3）根据“关联数对”定义得到 ，然后根据为整数求解即可. 本题考查了新定义，分式方程的解，解分式方程，理解“关联数对”的定义是解题的关键. 【解答】 （1）解：①若，，则分式方程 的解为无解，不符合“关联数对”的定义， 不是关于的分式方程 的“关联数对”； ②若，，分式方程 的解为 ，符合“关联数对”的定义， 是关于的分式方程 的“关联数对”； （2）解：数对 是关于的分式方程 的“关联数对”， ， ， 整理得：， 解得：； （3）解：数对 （且，）是关于的分式方程 的“关联数对”， ，， ， ， 为整数 为整数 为整数 或， 解得或或0或1。 ， ， 且， 或. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $