暑假作业08 分式及其运算（巩固培优）八年级数学新教材北师大版

**基本信息** 以“分式概念-性质-运算-应用”为逻辑主线，融合判定要点、硬约束等方法提炼，精选8类中考题型，实现知识建构与解题能力的系统突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |分式概念与性质|2知识点+2题型|分式判定看分母、值为0需分子为0且分母不为0；基本性质三约束|从定义（整式与分式区别）到性质（乘除变形规则），构建概念基础| |分式运算|3知识点+4题型|约分“先分解再约公因式”、通分“取最简公分母三要素”、混合运算“括号优先+层级顺序”|从基本运算到综合运算，形成运算能力与推理意识| |分式应用|2题型|化简求值“先化简再代入”、最值问题“均值不等式建模”|从代数求值到实际应用，体现模型意识与应用意识|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业08 分式及其运算 【知识点1 分式】 1. 定义：若a、b为整式，且b中含有字母，则称为分式。 (1) 整式与分式统称有理式。 (2) 判定要点：看分母：分母里有字母才是分式；分子有没有字母不影响它是不是分式。 2. 有意义/无意义 (1) 分式有意义⇔分母＝0（把分母当作代数式，解b＝0） (2) 分式无意义⇔分母＝0 3. 分式的值为0：⇔a＝0且b≠0，必须“分子为0”与“分母不为0”同时满足；只算分子＝0就写答案是高频扣分点。 【知识点2 分式的基本性质】 1. 分式乘除： 2. 三条硬约束（学生必背） (1) 同时：分子、分母一起乘/除 (2) 同一个：乘/除的是同一个因式/整式 (3) 不为零：所乘/除的整式取值不能为0（代数意义上就写M≠0） 【知识点3 约分与“最简分式”】 1. 什么叫约分：用基本性质把分子、分母的公因式约去。 2. 操作步骤 (1) 能分解就先分解（字母约最低次幂、多项式先因式分解） (2) 再约去分子分母的公共因式 (3) 结果写成最简分式（分子分母不再有公因式）或整式 【知识点4 通分与最简公分母】 1. 什么叫通分：把几个异分母分式化为同分母分式（通常取最简公分母）。 2. 最简公分母取法（教材标准法） 3. 对每个分母先因式分解，然后取： (1) 系数：各分母系数的最小公倍数 (2) 因式：出现过的一切（不可再分）因式 (3) 次数：每个因式取最高次数 【知识点5 分式的混合运算】 1. 分式加减： 2. 混合运算的“运算顺序” (1) 先看层级：括号最优先 (2) 乘方→乘除→加减 (3) 乘除以外一旦出现“加减”，多半需要： 1 把整式写成“分母=1”的分式再通分；或 2 把除化乘（颠倒）后再统一处理 题型01 分式有/无意义的条件 1．（2026·贵州·三模）当______时，分式无意义． 【答案】 【详解】解：根据分式无意义的条件，当分母为时，分式无意义． ∴， ∴. 2．（25-26八年级下·福建泉州·期中）在函数中，自变量的取值范围_________． 【答案】 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分母不为零，列出不等式求解即可． 【详解】解：， 解得：． 题型02 分式值为零的条件 1．（25-26八年级上·山东聊城·阶段检测）若分式，则x的值为______． 【答案】－1 【分析】根据分式值为零的条件，需同时满足分子等于零，分母不等于零，先求解分子得到的可能取值，再排除使分母为零的取值，即可得到最终结果． 【详解】解：由题意可得 解，得，即， 由，得， ． 2．（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）若分式的值为0，则x的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查分式值为的条件，分式值为需同时满足分子为且分母不为，即：且，故x的值为． 【详解】解：由题意得， 解方程，得， 当时，，满足分母不为的条件， 故的值为． 题型03 有条件分式求值 1．（2026·河南南阳·二模）若分式的值为正数，则实数x的取值范围是_____． 【答案】 【详解】解：分式的值为正数， 分子与分母同号， 对于任意实数，都有， ，即分母恒为正数， ． 2．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）已知分式的值为整数，则所有满足条件的整数的值为___________． 【答案】 【分析】先对分式进行化简，再结合整数的条件分别求解即可． 【详解】解：分式， ∵该分式的值为整数，且为整数， ∴为整数， ∴当时，，分式的值为是整数， 当时，，分式的值为是整数， 当时，，分式的值为是整数， 当时，，分式的值为是整数， 综上，所有满足条件的整数的值为． 题型04 分式的乘除与乘方 1．（25-26八年级下·江西九江·阶段检测）观察下列分式：，，，，…（其中，），用任意一个分式除以它前面一个分式得到的结果是_____，根据规律，请写出第2026个分式_____． 【答案】 【分析】先计算后一个分式除以前一个分式，得出第一个空的结果，再分别从符号，分子的次数，分母系数，分母的次数四个维度总结第个分式的规律，将代入规律得到第2026个分式； 【详解】解：计算任意分式除以它前面一个分式：取第二个分式除以第一个分式：， 验证第三个分式除以第二个分式：， ∴任意一个分式除以它前面一个分式的结果为； 第个分式（为正整数）的规律：第个分式的符号为，分子部分：的次数为，分母部分：系数为，的次数为， ∴第个分式可表示为， ∴第2026个分式为． 2．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）_________． 【答案】 【分析】先算乘方，再利用分式的乘除混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 题型05 分式的加减 1．（25-26八年级上·北京通州·期中）甲是容积为立方分米无盖的长方体盒子．如图，甲盒子底面是边长为分米的正方形，这个盒子的高是______分米；这个盒子的表面积是______平方分米．（用含有的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查列代数式，熟记长方体体积公式、表面积求法是解决问题的关键． 由长方体体积公式得到盒子的高，再由表面积结构求解即可得到答案． 【详解】解：甲盒子底面是边长为分米的正方形， 盒子的底面积为平方分米， 则这个盒子的高是分米，这个盒子的表面积是平方分米， 故答案为：，． 2．（25-26八年级下·山东青岛·阶段检测）分式计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型06 分式的混合运算 1．（2026·陕西汉中·模拟预测）化简：． 【答案】 【分析】先把括号里面的通分相加，然后再根据分式的除法法则进行计算． 【详解】解： ． ． 2．（25-26八年级上·吉林辽源·期末）先化简，再从，，0，1，2中选择一个合适的数作为a的值代入求值． 【答案】，当时，原式．当时，原式．当时，原式 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式加减混合运算，分式化简求值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 先将小括号里面的通分，再将除法转化为乘法计算，化为最简后，根据分式有意义的条件，得出a可以取，0，2，任取一个代入求值即可． 【详解】解：原式 ， ∵且， ∴从，，0，1，2中，a可以取，0，2， 当时， 原式． 当时， 原式． 当时， 原式．(只需任取一个代入求值) 题型07 分式的化简求值 1．（2026·吉林长春·三模）先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【详解】解： 当时，原式． 2．（2026·福建漳州·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先通分计算括号内的分式的减法，然后把除法转化为乘法，分子、分母因式分解后约分化成最简分式后，把x的值代入再分母有理化即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 题型08 分式的最值 1．（25-26八年级下·山东日照·期中）已知a，b为非负实数，， ∴，当且仅当“”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知，求代数式最小值． 解：令，则由，得． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： (1)已知，则当______时，代数式到最小值，最小值为______； (2)用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ (3)已知，则自变量取何值时，代数式取到最大值？最大值为多少？ 【答案】(1)， (2)这个矩形花园的长、宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米 (3)当时， 取最大值，最大值为 【分析】（1）根据例题，可得，故当且仅当时，代数式取到最小值，最小值为，即可获得答案； （2）设这个矩形的长为米，篱笆周长为米，可得，根据例题，即可获得答案； （3）将代数式变形为，由取最小值，即可确定自变量取何值时，代数式取到最大值，并求得最大值． 【详解】（1）解：∵， ∴， 当且仅当时，取等号， ∴当时，代数式取到最小值，最小值为． （2）解：设这个矩形的长为米，篱笆周长为米， 根据题意，用篱笆围一个面积为的矩形花园， 则矩形的宽为米， ∴， 当且仅当时，取等号，即当时，有最小值，最小值为40， ∴这个矩形花园的长、宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米； （3）解：∵， ∴， ∵， 当且仅当时，即当时，取最小值，最小值为， ∴此时代数式有最大值，最大值为， ∴当时，取最大值，最大值为． 2．（25-26八年级下·广东江门·期中）【阅读材料】我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现： 当时： ∵， ∴． ∴，当且仅当时取等号，即当时，有最小值为． 【学以致用】根据上面材料回答下列问题： (1)____________，式子的最小值为____________；（用或填空） (2)求分式的最小值； (3)应用：小明同学要做一个面积为平方厘米，对角线互相垂直的四边形风筝（如图所示），则用来做对角线（）的竹条至少要多长？ 【答案】(1)， (2) (3)厘米 【分析】（）根据阅读材料解答即可求解； （）把分式转化为，根据阅读材料解答即可求解； （）根据四边形的面积可得 ，再根据阅读材料解答即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，，， ∴式子的最小值为， 故答案为：，； （2）解：， ∴分式的最小值为； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， 答：用来做对角线的竹条至少要厘米长． 1．（25-26七年级下·全国·期末）下列从左到右的分式变形中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分式的基本性质为：分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变，据此逐一判断各选项即可． 【详解】解：对于A，分式的分子分母同时加上同一个整式，不满足分式基本性质，值不一定相等，例如取，左边为，右边为，，因此A错误； 对于B，该变形是分子分母同乘，但未说明，当时，右侧分母为0，无意义，因此B错误； 对于C，原式分母为，，分子分母同时约去公因式，可得，变形正确，因此C正确； 对于D，该变形不符合分式基本性质，值不一定相等，例如取，左边为，右边为，，因此D错误． 2．（2026·河南洛阳·三模）已知，则代数式的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将化为，对所求代数式进行化简，再利用已知条件整体代入求值即可． 【详解】解：， ， ∴ ． 3．（2026·山西临汾·三模）若，，则代数式的值为（    ） A．2020 B．2025 C．2022 D．2030 【答案】C 【分析】先将所求代数式中的分式通分变形，再把已知的和的值整体代入计算即可． 【详解】解： ． 4．（2026·天津东丽·二模）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：原式 ． 5．（2026·宁夏吴忠·一模）化简的结果为______． 【答案】 1 【详解】先将原式变形为同分母分式，再根据同分母分式的加减法则计算，最后约分得到结果． 解： ． 6．（25-26八年级下·山东青岛·阶段检测）分式，当______时分式的值为零． 【答案】 【分析】根据分式值为零的条件，需满足分子等于零且分母不等于零，先求解使分子为零的的值，再舍去使分母为零的值，即可得到结果． 【详解】解：若分式的值为零，则需满足 且， 解，，解得或， 解，因式分解得 ，解得， ∴． 7．（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）已知，且a，b，c不全为0，则的值为_________． 【答案】/ 【分析】本题采用设参数法，将a，b，c用含同一参数的代数式表示，即设，将，，代入所求分式约分后即可得到结果． 【详解】解：设，根据等式的基本性质，可得，，， 将，，代入分式得． 8．（2026·北京密云·二模）已知：，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查分式的化简和整体代入求值．将分式的分子、分母因式分解后约分，完成化简，由得，整体代入求值即可． 【详解】解：原式 ， ， ， 原式． 9．（25-26八年级下·福建泉州·期末）按要求完成各题： (1)计算：； (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据二次根式的性质、零指数幂、负整数指数幂计算即可； （2）先化简原分式，再将代入化简结果计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ， 当时，原式． 10．（25-26七年级下·全国·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解：原式 ， 当时，． 1．（25-26七年级下·重庆·阶段检测）已知整式，其中n为正整数，，，…，，均为整数，满足：，，，则下列说法： ①当时，满足条件的整式M共有10个； ②满足条件的任意一个整式M所对应的方程都有一个解是； ③要使满足条件的整式M存在，则且p为偶数． 其中正确的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】逐个判断三个结论，利用多项式求值判断②，根据系数性质推导的特征判断③，列举法验证①，最后统计正确个数。 【详解】解：判断②：当时，， 一定是方程的解，故②正确； 判断③：设所有正系数的和为，由系数和为，可得非正系数的绝对值和也为，因此，故一定是偶数。为正整数，时仅有两个系数，由和得，矛盾，不存在； 时至少有个系数，最小的三个不同整数绝对值和为，不存在更小的符合条件的组合，故，因此③正确； 判断①：时，，所有系数绝对值和为，找递增正整数序列，要求存在子集和为： 三个绝对值：仅和符合条件，每个组合对应个不同整式，共个； 四个绝对值：仅符合条件，对应个不同整式，共个； 长度的序列最小和为，不存在； 合计共个整式，不是个，故①错误． 2．（2026·四川成都·模拟预测）由完全平方公式可知：对于任意实数，，有．将不等式左边展开变形，可得，整理后，得．当，，且为定值时，可取最大值．如：，，，则，即，，的最大值为．若，则的最大值为_________；若，则的最小值为_________． 【答案】 【分析】仿照题中所给方法进行求值即可． 【详解】解：∵， ∴， 由题意可知：， ∴，即， ∴， ∴， ∴的最大值为； ， ∵， ∴， 由可得： ， ∴的最小值为． 3．（25-26八年级下·河南郑州·期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 例如：，则就是“和谐分式” (1)判断是否为“和谐分式”，并说明理由； (2)已知“和谐分式”的值为整数，且x为整数，求出所有符合条件的x的值． 【答案】(1)是“和谐分式”，理由见解析 (2)所有符合条件的的值为 【分析】（1）根据题意进行变形即可； （2）根据题意可得和，进而得出答案． 【详解】（1）解： ， 所以，能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式， 因此，是“和谐分式”； （2）解： ， 因为“和谐分式”的值为整数，且x为整数，所以必是整数，即是3的整数因数， ∵3的整数因数是和， ∴和， ∴． / 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 完成时间： 月 日 今日打卡：口已完成 用时： min 自评勋章： 恩恩图 暑假作业08分式及其运算 知识复盘卡 【知识点1分式】 1.定义：若a、b为整式，且b中含有字母，则称4为分式。 ()整式与分式统称有理式。 (2)判定要点：看分母：分母里有字母才是分式；分子有没有字母不影响它是不是分式。 2. 有意义/无意义 (1)分式有意义一分母=0（把分母当作代数式，解b=0) (2)分式无意义÷分母=0 3. 分式的值为0：9=0台a=0且b≠0，必须“分子为0”与“分母不为0”同时满足；只算分子=0 h 就写答案是高频扣分点。 【知识点2分式的基本性质】 1. 分式乘除： a c ac a c a dad b d bd'b d b c be 2. 三条硬约束（学生必背） (1)同时：分子、分母一起乘/除 (2)同一个：乘/除的是同一个因式/整式 (3)不为零：所乘/除的整式取值不能为0（代数意义上就写M≠0） 【知识点3约分与“最简分式”】 1.什么叫约分：用基本性质把分子、分母的公因式约去。 2.操作步骤 (1)能分解就先分解（字母约最低次幂、多项式先因式分解） (2)再约去分子分母的公共因式 (3)结果写成最简分式（分子分母不再有公因式）或整式 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【知识点4通分与最简公分母】 1. 什么叫通分：把几个异分母分式化为同分母分式（通常取最简公分母）。 2.最简公分母取法（教材标准法） 3.对每个分母先因式分解，然后取： (1)系数：各分母系数的最小公倍数 (2)因式：出现过的一切（不可再分）因式 (3)次数：每个因式取最高次数 【知识点5分式的混合运算】 1. 分式加减：口±b-a±b CCC 2. 混合运算的“运算顺序” (1)先看层级：括号最优先 (2)乘方一乘除→加减 (3)乘除以外一旦出现“加减”，多半需要： ①把整式写成“分母=1”的分式再通分；或 ②把除化乘（颠倒）后再统一处理 培优拓展训练 ★巩固提升练 题型01分式有/无意义的条件 1.(2026贵州三模)当x= 时，分式写无意义 2. ②5-26八年级下福建泉州期中)在函数)4中，自变量x的取值范围 题型02分式值为零的条件 1.(25-26八年级上山东聊城阶段检测)若分式=0，则x的值为一 r-1 2. (25.26八年级下江苏泰州阶段检)若分式x+2的值为0，则x的值为 x-2 题型03有条件分式求值 1。(2026河南南阳二模)若分式的值为正数，侧实数x的取值范围是 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.(25-26八年级下江苏泰州期中)已知分式4-2的值为整数，则所有满足条件的整数a的值为 题型04分式的乘除与乘方 526八年级西阶段D观察下列分式：名，2广寺←其中0 c≠0)，用任意一个分式除以它前面一个分式得到的结果是，根据规律，请写出第2026个分式 题型05分式的加减 1.(25-26八年级上北京通州期中)甲是容积为"立方分米无盖的长方体盒子.如图，甲盒子底面是边长 为a分米的正方形，这个盒子的高是分米；这个盒子的表面积是平方分米.（用含有，V 的式子表示) 甲 2.(25-26八年级下·山东青岛阶段检测)分式计算 x-3x-3 (2),20-a-b4-2b 一十 2a-b b-2a 2a-b (3)2 -x+1 x+1 品+ 题型06分式的混合运算 1(3s肉西汉中预级预测》化的：行4--局副 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.(25-26八年级上·吉林辽源期末)先化简1- 2）÷。-2a+1,再从-2，-1,0,1,2中选择一个 a+1a+1 合适的数作为a的值代入求值. 题型07分式的化简求值 1.(2026吉林长春·三模)先化简，再求值： 2x, 其中x=6. 2. (2026福建漳州模拟预测)先化简，再求值：-x 1122,,,其中x=√5. 题型08分式的最值 1.(25-26八年级下山东日照期中)已知a,b为非负实数， :a+b-2Vab=(a)}2+(b)2-2aVb=(a-b)2≥0， ∴a+b≥2Vab,当且仅当“a=b”时，等号成立. 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用. 例：已知x>0,求代数式x+4最小值. 解：令a=x,b=4,则由a+b22,得x+4之2，马=4 x V x 当且仅当x=4,即x=2时，代数式取到最小值，最小值为4. 根据以上材料解答下列问题： (①)已知x>0,则当x=时，代数式+6到最小值，最小值为 (2)用篱笆围一个面积为100m的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？ 最短的篱笆的长度是多少米？ (3)已知x>0,则自变量x取何值时，代数式7-2x+4 取到最大值？最大值为多少？ 2.(25-26八年级下·广东江门期中)【阅读材料】我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的 你可以发现： 当a>0,b>0时： :(a-b≥0， .a-2Vab+b≥0. a+b≥2√ab,当且仅当a=b时取等号，即当a=b时，a+b有最小值为2ab. 【学以致用】根据上面材料回答下列问题： 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)3+5 2√3×5，式子x+二的最小值为 (用>或<填空) (2求分式+9的最小值： x (3)应用：小明同学要做一个面积为1800平方厘米，对角线互相垂直的四边形风筝（如图所示），则用来 做对角线(AC,BD)的竹条至少要多长？ B ★能力培优练 1.(25-26七年级下·全国·期末)下列从左到右的分式变形中，正确的是() A.b=b+c B.b62 aa+c a ab e路日 D.2a-b_2 a2-b a 2.(2026河南洛用三模)已知a+b-3=0,则代数式4a-b+8b 的值是() a2+2ab+b2 B.4 c D.4 3. (2026山西临汾三模)若a-b=4,ab=1,则代数式1+2026的值为（） a b A.2020 B.2025 C.2022 D.2030 4.(2026天津东丽二模)计算1 2的结果是() 1 A.2-4 B. 1 D.x+2 x-2 x+2 5.(2026宁夏吴忠一模)化简2-3的结果为 x-11-x 6.(25-26八年级下山东青岛阶段检测)分式-1 ,当a=时分式的值为零. a2-2a+1 又(2公5八年级下江苏类州阶段检测》已如号号子且0,6，c不个为则，9的值为 a+2b-3c 、3x2+6xy+3y2 8.（2026北京密云二模)已知：-4+y=0,求代数式4-2x-的值. 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 9.(25-26八年级下福建泉州期末)按要求完成各题： 讲第+-： (2)先化简，再求值：m2-2m+ 3m+1 -1+ 其中m=-3. m-1 10.(25-26七年级下·全国期末)先化简，再求值： a--a ,其中a=-3 ★创新拓展练 1.(25-26七年级下·重庆阶段检测)已知整式M=anx"+am-x"-+…+ax+a,其中n为正整数，an, a1,,a,a均为整数，满足：a<a1<…<an，a+a+…+an=0,a+a,+…+an=p,则下 列说法： ①当p=10时，满足条件的整式M共有10个： ②满足条件的任意一个整式M所对应的方程M=0都有一个解是x=1; ③要使满足条件的整式M存在，则p≥6且p为偶数. 其中正确的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 2.(2026四川成都模拟预测)由完全平方公式可知：对于任意实数a,b,有(a-b)2≥0.将不等式左边 展开变形，可得a2-2ab+b2≥0，整理后，得a2+b2≥2ab.当a>0,b>0,且a2+b2为定值时，ab可 取最大值.如：x>0,y>0,x2+y2=2,则x2+y2≥2xy,即2≥2y,∴y≤1，.y的最大值为1.若 x+9y=4(x>0,y>0),则y的最大值为 ,若x>3,则4-12x+1的最小值为 2x-6 3.(25-26八年级下·河南郑州期中)定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的 形式，则称这个分式为“和谐分式” 例如：。-2a+3_(a-l°+2_(a-l+2 a-1 。,一三一+二，=一1十一’则1一凯足州培分式” a-1 a-1 )判断+6x-5是否为和谐分式”，并说明理由： x-1 (2②已知和谐分式+3x-1的值为整数，且x为整数，求出所有符合条件的x的值。 x+1