21.2.2 平行四边形的判定 学案 2025--2026学年人教版八年级数学下册

该初中数学中考复习学案聚焦“平行四边形的判定”核心考点，整合5种判定方法及与三角形、全等知识的综合应用，通过知识网格构建“基础判定-性质关联-综合应用”递进体系，以典例引航和跟踪专练引导学生自主梳理选择、填空、证明等题型的解题逻辑。 亮点在于“问题驱动-分层训练”设计，如存在性问题通过中点坐标公式分类讨论培养推理意识，作图题结合网格强化几何直观，每个考点配套专训题供学生自主诊断，助力个性化提升，教师可依据训练反馈实施精准教学，有效培养学生自主复习能力。

21.2.2平行四边形的判定考点分析与训练第3课时学案 班级： 姓名： 学习目标 1. 熟练掌握平行四边形的5种判定方法. 2.能根据题目条件灵活选择判定方法，并规范书写推理过程， 3.掌握平行四边形与三角形、全等知识的综合运用. 知识网格： 定义法：两组对边分别平行： 符号语言：：AB‖CD,ADII BC,.四边形ABCD是平行四边形： 定理法1：两组对边分别相等： 符号语言：：AB=C①，AD=BC,.四边形ABCD是平行四边形： 边 定理法2：一组对边平行且相等： 符号语言：AB‖C①，AB-C①，.：四边形ABCD是平行四边形： .ADII BC,ADBC.四边形AB①是平行四边形： [定理法3：两组对角分别相等； 平行四边形的判定方法{角 符号语言：·∠A=∠C,∠B∠D,.四边形ABCD是平行四边形： [定理法4：对角线互相平分： 对角线 符号语言：设对角线AC,BD交于点O,:OA=OC,OBOD.:.四边形BD是平行四边形： 典例引航： 选择题，是常见的题型，也是平行四边形判定应用的重要载体之一，要全面掌握，仔细学 习吧！ 考点1选择题 例1如图1，在平行四边形ABCD中，E,F是对角线BD上两个动点，给出下列四个条 件：①BE=DF;②AE⊥BD,CF⊥BD:③AE,CF分别平分∠BAD,∠BCD: ④CF=AE.选择其中一个条件，能判断四边形AECF是平行四边形的有() D 图1 A.3个B.4个C.1个 D.2个 分析：利用平行四边形的判定，三角形全等的判定和性质，解答即可： 解：如图2，当BE=DF时：连接AC交BD于点O, 图2 ,四边形ABCD是平行四边形，∴.OB=OD,OA=OC .BE DF,..OB-BE OD-DF,:OE=OF, “四边形AECF是平行四边形.故①能： 当AE⊥BD,CF⊥BD时，：四边形ABCD是平行四边形， :ABDC,AB=DC,A∠ABE=∠CDF,:AE⊥BD,CF⊥BD ∠ABE=∠CDF ∠BEA=∠DFC=90° AEI‖ICF∠BEA=∠DFC=90°AB=CD :△ABE≌ACDF(AAS) :CF=AE,四边形AECF是平行四边形.故②能： 当AE,CF分别平分∠BAD,∠BCD,:四边形ABCD是平行四边形， :4BDC,AB=DC,∠BAD=∠BCD.÷∠ABE=∠CDF :E.CF分别Y分B4D.∠BC0.2B5-B0∠Dr=BCD 2 「∠ABE=∠CDF AB=CD ∠BAE=∠DCF ∠BAE=∠DCF△ABE≌ACDF(ASA) CF=AE,∠AEB=∠DFC,.18O°-∠AEB=180°-∠DFC,. ∠AEF=∠CFE.AE IICF ,·四边形AECF 是平行四边形.故③能： 当CF=AE时，无法证明四边形AECF是平行四边形.故④不能. 故选：A; 跟踪专练1：1如图3，四边形1BCD中 .AC,BD 中，对角线 相交于点，下列四组条件中 不能判定四边形ABCD为平行四边形的是() 图3 A ABICD.∠ABC=∠ADC AB=CD,AD=BC B. C.AB=CD BCIIAD AO=CO,BO=DO D. 2在口ABCD中，AD>AB,∠ABC为锐角.要在对角线BD上找点N,M,使四边 形ANCM是平行四边形.如图4，有甲、乙、丙三种方案，其中正确的方案有() B 甲方案：在BD上取 乙方案：作AN⊥BD于 BN=MD 点N,CM⊥BD于点M D 丙方案：作AN,CM分别平分∠BAD,∠BCD 图4 A.甲、乙、丙 B.甲、乙 C.甲、丙 D.乙、丙 填空题，也是平行四边形的判定考题形式之一，也是需要同学们熟练掌握的。 考点2填空题 例2如图5，在梯形ABCD中，AD=8,BC=12.点P从点A出发，以每秒1个单位长 度的速度沿A→D运动，同时点Q从点C出发，以每秒4个单位长度的速度沿 C→B→C→…往复运动，当点P到达端点D时，点随之停止运动.设点P,的 运动时间为s,在此运动过程中当四边形PQCD为平行四边形时，t的值为 B 图5 分析：设点P,P的运动时间为5，根据题意，得4P=1,C0=4, PD=AD-AP=8-t ，然后分类计算即可.本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判 定是解题的关键 解：设点P,2的运动时间为S,根据题意，得AP=1,C0=, PD=AD-AP=8-t,根据题意，得 PD∥QC 8 =(s) 当PD=QC时，四边形PQCD为平行四边形，此时41=8-t,解得5 当Q第一次越过点B返回向点c运动时，此时QC=12-(4t-12）=24-41 16 根据四边形P2CD为平行四边形，此时24-41=8-1，解得1=3() t=- QC=4t-24 POCD 当Q第一次越过点C返回向点B运动时，此时 ,根据四边形 为平行四 32 边形，此时41-24=8-1，解得=5（包。 t=- 当9第二次越过点8返回向点c运动时，此时DC=12-(41-36)=48-4 t= 很据边P0CD为平行阳边形，中时48=8，保程胃何大太于8附 81632 去，故答案为：5或3或5. 专训2：如：6，在四边形ABCD中，AB‖CD,BC⊥CD,AB=8cm,CD=10cm, E是DC上一点，且DE=3cm,P从A点出发以lCm/s的速度向B点运动，同时Q从D点 出发以2Cm/s的速度向C点运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止，设运动时 间为s),当t= 时，以A、R尽Q为顶点的四边形是平行四边形. B DQE图6C 考点3证明题 例3已知：如图7，将口ABCD纸片折叠，使得点C落在点A的位置，折痕为EF,连接 CE,求证：四边形AFCE为平行四边形. D 图7 分析：根据折叠的性质，平行四边形的性质和判定证明即可. 本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质和判定，等腰三角形的判定，熟练掌握性质和 判定是解题的关键 证明：四边形ABCD是平行四边形， ∴.AE‖ICF ∴.∠AEF=∠CFE 由折叠过程可知，∠CFE=∠AFE,AF=CF, ∴.∠AEF=∠AFE」 ,AF=AE」 .AE=CF. ∴.四边形AFCE为平行四边形. 专训3：：1.如图8，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,点E、F分别在 OA OC 上，送接DF、BE,且E=CF.求证： BEDF D 图8 2.如图9，已知点E,F分别是平行四边形ABCD的边BC,AD上的点，且BE=DF, 求证：AE=CF, B E图9 3.如图1O,平行四边形ABCD的对角线ACBD交于O,BE=DF,连接 AE、EC、CF、FA 图10 (1)求证四边形AECF是平行四边形：(2)若点E是OB的中点，△ABE的面积为2， 求四边形AECF的面积. 考点4平行四边形的作图题 例4在如图11所示的网格中，每个小正方形的边长都为1. B 图11 分析：根据勾股定理，平行四边形的判定：两组对边相等的四边形是平行四边形证明作图 即可 解：如图12，根据题意，得AB=V32+1P=V0=CD,CB=32+P=V0=AD 则四边形ABCD是平行四边形， 图12 则四边形ABCD即为所求. 专训41.如图13，在5×7的方格纸ACD中，每个小正方形的顶点称为格点，请按要求 画出符合要求的格点三角形（即顶点均在格点上的三角形）.在图13中画△PQ,使点 P,Q分别落在线段AB,CD上，且EF平分△EPQ的面积. 图13 2在如图14所示的正方形网格中，网格中纵向和横向线段的交点叫做格点，点AB、C均 在格点上.按下述要求画图（仅用无刻度直尺）：过点B画AC的平行线BD: B 图14 考点5平行四边形的存在性问题 以坐标的形式或与一次函数融合，生成平行四边形，这就需要灵活选择平行四边形的判定 方法，去规范求解，不能漏解，也不能重复，这一点很重要！ 侧5如国近宜线y+与箱交于有队商终：y=+ 与x轴交于点A,且 经过定点B(-1,5),直线4与4交于点C(2,m) 图1 备用图 (1)求△ADC的面积； (2)在x轴上是否存在一点B,使△BCE的周长最短？若存在，请求出点E的坐标；若不 存在，请说明理由； (3)平面内是否存在点Q,使得以ACDQ为顶点的四边形为平行四边形，若存在， 请直接写出点Q的坐标. 1 分析：1确定C(2,2),4:y=c+1的解折武为：y=2+1.D(-2,0),A〔4,0). 得到4D=4-(2)=6,根能5.c4D 计算即可；； (2)根据题意，BC是定长，要使△BCE的周长最短，只需BE+CE最短，作点C关于 x轴的对称点C',连接C"B交x轴于点E,则点E就是使△BCE的周长最短的位置处，利 用待定系数法求解即可； (3)设(m,m),分AC为对角线，AD为对角线，4为对角线：由中点坐标公式， 构造方程组求解即可. 解：（1)根据题意，得m=-2+4=2,C(2,2),把C(2,2)代入4y=x+1,得 1 1 k=- 2=2k+1,解得2，故4：y=x+1的解析式为 :y=。x+1 2 1 令y=0,得 x+1=0 +0,解得x=-2,故D(-2,0),直线2：y=-x+4与x轴交于点 4且经过定点B(-1,5),赦4(4,0)，故4D=4-(-2)=6 5m40x6x2=6 1 (2),解：根据题意，BC是定长，要使△BCE的周长最短，只需BE+CE最短，作点 C关于x轴的对称点C',连接CB交x轴于点E,则点E就是使△BCE的周 D 图16 长最短的位置处，C(2,2),C(2,-2）,设直线BC的解析式为y=pr+9,根据题 3 意， 「-p+q=5,解得。8∴直线 的解析式为78，令，得 2p+9=-2 g=3 BC y= 3y=0 8 3 A(4,0),C(2,2),D(-2,0) (3)解： ,庙点与点14,0C2,2D-20 构成一个平 行四边形，设(m,m）,当AC为对角线时，由中点坐标公式得： [4+2=-2+m 2 2 0+2_0+n,解得：m=8, 122 n=2’g(8,2) 当AD为对角线时，由中点坐标公式得： [4-2_2+m 22 ”-2解得：9Q.0,-2) 22 AO 当为对角线时，由中点坐标公式得： 4+m_2-2 22 0+n_2+0解得：∫m=-4，. 122 n=2’2(-4,2) 综上所述，满足条件的点Q坐标为⑧，2），(0，-2).（-4,2) 点评：确定平行四边形的主要依据是对角线互相平分，利用中点坐标公式，完成求解。 专训5 y=2x+2 的图象与轴交于点A,与'轴交于点B. y 1.已知一次函数 (1)求点B的坐标；(2)已知点 D(3,0) 存在点C使得四边形ABCD为平行四边形， 求点C的坐标 y=-x+6 2.如图17，在平面直角坐标系中，直线 与x轴、y轴分别交于点DC,直线 AB与y轴交于点B(0,-3),与直线CD交于点A(m,3) 图17 (1)求直线AB的解析式： (2)点是射线CD上一动点，过点E作 Fy抽，交直线MB于点尺若以AC区 F为顶点的四边形是平行四边形，请求出点E的坐标： 3.点C与点A0,4),B(,-),D(6,0)构成一个平行四边形，当AB取得最小值时，点C的坐 是 4.如图18，直角三角形AOB在平面直角坐标系中，直角边OB与x轴重合，直角边OA与 OA=6 OB=8 8,将1B折叠，使它落在'辅上，得到1C,折痕为1D, AC 轴重合， 动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线段OA一AB运动，点P运动到点B 时停止.设运动时间为秒(0<t<8). 图18 (1)求D点坐标；(2)设△BPD的面积为S,求S与t的关系式，并直接写出自变量的取 值范围： A,B,C (3)在平面内是否存在点Q,使以 ,Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请 直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 5.如图19，在平面直角坐标系中，AD‖BC,E是BC的中点，BC=12,点A坐标是 (0,4),CD所在的直线的函数关系式为y=-x+9,点P是BC上的一个动点. y B PO E 图19 C (1)点D的坐标是 一，点E的坐标是 (2)当点P在线段BC上运动过程中，以点P,A,D,E为顶点的四边形是平行四边形， 求BP的长： 参考答案： 专训1：1.C解： ,ABIICD.∠ACD=∠CAB ∠ADC=∠ABC ∠ACD=∠CAB,: AC=CA △ADC≌△CBA(ASA) AB=CD .四边形ABCD是平行四边形.选项A不符合要求； AB=CD,AD=BC ·四边形ABCD 是平行四边形，故选项B不符合要求. ,无法判定四边形ABCD是平行四边形.选项C符合要求. ,A0=C0,B0=D0、ADI‖BC,AD=BC,四边 ABCD是平行四边形. 选项D不符合要求. 2.A解：甲方案：连接AC交BD于点O, .口ABCD,.OB=OD,OA=OC .BN MD,..OB BN OD MD. .ON=OM,∴.四边形ANCM是平行四边形. 乙方案：四边形ABCD是平行四边形， .AB∥DC,AB=DC, .∠ABN=∠CDM,.CM⊥BD,AN⊥BD, 「∠ABN=∠CDM ∠BNA=∠DMC=90° CM∥AN∠BNA=∠DMC=90° AB=CD D △ABN≌ACDM(AAS) .CM=AN,∴：.四边形ANCM是平行四边形. 丙方案：：四边形ABCD是平行四边形， :.AB∥DC,AB=DC,∠BAD=∠BCD, .∠ABN=∠CDM,:CM平分∠BCD,AN平分∠BAD, ∠ABN=∠CDM M AB=CD ∠BAN=∠DCM ∠BAN=∠DCM :△ABN≌aCDM(ASA) :.CM=AW,∠ANB=∠DMC,∠ANM=∠CMN, :ANICM,四边形MNCM 平行四边形. 专训2：1s或3s 解：当点Q在AE的左侧时，设运动时间为()，根据恩意，得AP=1cm,DQ-2cm, DE=3cm OE=(3-21)cm .4BICD :4OE,故当1P=QE时 时，以A、R尽Q为顶点的四边形是平行四边形， 1=3-21解得1=1(S 当点9在AE的右侧时，设运动时间为(S),根据愿意，得MP=cm,DQ2cm, DE=3cm,OE=(21-3)cm ABI CD :P川OE故当AP=QE ，故当 时，以A、RBQ为顶点的四边形是平行四边形， :1=21-3解得1=3(S).故答案为：15或38. 专训3 DE,BF 1.证明：连接 ,四边形ABCD是平行四边形， D .OB=OD,OA=OC.AE =CF,OA-AE OC-CF, :OE=OF,四边形BEDF BE DF 是平行四边形， 2.证明：：四边形ABCD是平行四边形， .AD=CB,ADIBC BE-DF CE=AF AFNE ,四边形1BCF是平行四边形，：1E=CF 3(1)证明：：ABCD为平行四边形， ∴.OA=OCOB=OD BE=DF, ∴.OE=OF .四边形AECF是平行四边形. (②)解：当B为OB中点时，△AOE的面积=△ABE的面积=2. .OE=OF∴.△AOF 的面积 的面积2 =△AO :OA=OC∴.ACOF =△AO 的面积 的面积2 ACOE 的面积4A0 的面积2.：四边形 ECF 2+2+2+2=8 的面积 专训41.解：利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，构造平行四边形EPFQ即 可，构造方法如下： AB=CD,AB CD 2.根据题意，使得 B A 5 a D 则BD即为所求. 专训5 1.(1)解：令x=0,得V=2×0+2=2,故B(0,2） DC‖AB BCI‖AD (2)解：过点D作 ,过点B作 ,二线交于点C,则四边 ABCD为平 行四边形，故点C即为所求， y↑ B C 1 x ..B,C 两点的纵坐标相同， B(0,2) .C点的纵坐标为2， 令y=0,得2x+2=0,解得x=-1,故1(-1,0)，D(3,0) DA=3-()=4,由四边形ABCD为平行四边形，CB=DA=4, OB1DM,BC4D,OB⊥BC,故点C的横坐标为4，故C(4,2): 2.(1)解：：直线y=-x+6过点A(m,3),:点A(3,3), :直线AB过点B(0,-3),设直线AB的解析式为=+b, 3k+b=3 「k=2 ∴.b=-3,解得：b=-3,.直线4B的解析式为y=2x-3. (2):直线4B的解析式为' ,y=2x-3my=-x+6 ，直线 与x轴、y轴分别交于点DC, :C(0.6).D(6,0),设E(m-m+6).则F(m2m-3). :EF=十m+6-(2m-3=3m-9,C(0.6)】 :OC=6,:以Q,G尽、P为顶点的四边形是平行四边形， EF/y轴， :CB=EF=6,:3m-9=6,.m-3=2 解得m=5或m=1,故E(1,5)或E(5,1) 3.解：·A0,4,B6,-t,D6,0) .AB2=(t-0)2+(-t-4)=12+t2+81+16=22+8t+16 =2(2+4t)+16=2(t+2)2+8 a=2>0, ·AB2=2(t+2+8有最小值，且当1=-2时，AB取得最小值， .A(0,4),B(-2,2),D(6,0) A0,4),B(-2,2),D(6,0) 由点C与点 构成一个平行四边形， 设C(m,n) 当AB为对角线时，由中点坐标公式得： 6+m=-2 0+n=4+2=6 m=-8 解得：n=6· :G(8,6) 当AD为对角线时，由中点坐标公式得： [-2+m=6 2+n=4+0=4 m=8 解得： n=2, :C(8,2) 当AC为对角线时，由中点坐标公式得： [0+m=6-2 4+n=2+0=2 m=4 解得： n=-2, :℃(4，-2) 综上所述，满足条件的点c的坐标为(8,6)，(8,2).(4，-2) 4.(1)解：OA=6,OB=8, ..AB=042+OB2=10. 根据题意，得AC=AB=I0,DC=DB, 故OC=AC-OA=4, 故4(0,6)，B(8,0),C(0,-4), 设OD=x,则DC=DB=OB-OD=8-x, 根据勾股定理，得OD+0C2=DC2 故4+r=(8-. 解得x=3, 故D(30), (2)解：设运动时间为t秒，则OP=2t, 根据题意，得BD=8-3=5, 当01s3时.5-0P-BD=x2rx5=5 2 当3<<8时，过点D作DM⊥AB于点M连接PD,根据题意，得 AB:DM-BD-0A PB=04+48-0216 2 DM=6x5 =3 10 5-Pc-DM=x3x06-20=24-3 2 ∫5t,0<t≤3 综上所述， 5=24-3t,3<t<8 Q(m,n),A(0,6),B(8,0),C(0,-4) (3)解：根据题意，设点 与点 构成一个平行四边形， 当AB为对角线时，由中点坐标公式得： 0+m0+8 2 2 6+n0-4 、2 2 m=8 解得：n=l0, :g(8,10) 当AD为对角线时，由中点坐标公式得： 0+m0+8 2 2 6+n0-4 2=2 了m=8 解得：n=-10 :9(8,-10) 当AC为对角线时，由中点坐标公式得： 8+m0+0 2 2 0+n-4+6 2 2 m=-8 解得：n=2, 9(-82) 综上所述，满足条件的点9的坐标为0（⑧，10）或9，（⑧，-10）或0，(-8,2) 5(1)解：ADI川BC,且A(0,4) ·点D的纵坐标为4，设D(:,4), ：CD y=-x+9 所在的直线的函数关系式为 :4=-+9 解得5 :D(54) 过点D作DN上x轴于点M B PO 0W=5, “直线的解析式'=-X+9 :C(9,0):0c=9. .WC=4, E是BC的中点，BC=12, .EC-38C-6 2 .EW=2, ..OE =ON-EN=3. E3,0) 故答案为：(5,4).(3,0) 2)解：E(6,0),EB=号BC=6 ..OB=BN-ON =3. :B(-3,0) 设P.0),40,4),点D(5,4).E(3.0), 当AE为对角线时， 5+t=0+3 由中点坐标公式得： 4+0=0+4 解得：t=-2, :P(-2,0) :BP=-2-(-3)=1 设P,0),A0,4),点D(5,4),E(3,0), 当AP为对角线时， 0+t=5+3 由中点坐标公式得：14+0=0+4 解得：t=8, P(8,0) :BP=8-(-3)=11 综上所述，BP的长为1或11.