21.2.2 平行四边形的判定 第2课时 通过一组对边判定平行四边形 课件 2025--2026学年人教版八年级数学下册

第二十一章 四边形 21.2 平行四边形 21.2.2 平行四边形的判定 第2课时 通过一组对边判定平行四边形 目 录 1. 学习目标 4. 知识点 通过一组对边判定平行四边形 5. 课堂小结 3. 新课导入 6. 当堂小练 CONTENTS 7. 对接中考 8. 拓展与延伸 2. 知识回顾 1. 理解 “一组对边平行且相等的四边形是平行四边形” 这一判定定理，能通过逻辑推理证明该定理. 2. 会运用 “一组对边平行且相等” 的判定方法，解决平行四边形相关的证明问题. 学习目标 知识回顾 平行四边形的判定定理1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 平行四边形的判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形. 平行四边形的判定定理2 两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 新课导入 根据平行四边形的定义和它的判定定理可知，两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形. 如果只考虑四边形的一组对边，那么它们满足什么条件时这个四边形是平行四边形呢？ 新课讲解 知识点 通过一组对边判定平行四边形 思考 对于平行四边形的一组对边，从它们的位置关系和数量关系考虑，你能得到什么结论？类似于前面利用平行四边形的性质发现平行四边形的判定，你能得到利用一组对边判定一个四边形是平行四边形的方法吗？ 性质： 如果一个四边形是平行四边形，那么它的任意一组对边平行且相等. 进而猜想： 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 新课讲解 如图，在四边形ABCD中，AB CD. 求证：四边形ABCD是平行四边形. 1 2 证明：连接 AC. ∵ AB ∥ CD， ∴ ∠1 = ∠2. 又 AB = CD，AC = CA， ∴ △ABC≌△CDA. ∴ BC = DA. 又 AB = CD， ∴四边形ABCD是平行四边形. 新课讲解 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 平行四边形的判定定理4： 符号语言： ∵ AD BC，(或 AB CD) ∴四边形ABCD是平行四边形. 新课讲解 例 1. 如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点. 求证：四边形EBFD是平行四边形. A B C D E F 证明： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ AB=CD， AB // CD即EB//FD， 又∵E，F分别是AB，CD的中点， ∴ EB=FD， ∴四边形EBFD是平行四边形. 平行四边形的判定方法4 新课讲解 例 2. 如图，在▱ABCD中，延长AB到E，延长CD到F，使得BE＝DF，试猜测AC与EF有什么关系，并加以证明. 解：AC与EF互相平分. 证明如下： 如图，连接AF，CE. ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴ DC∥AB，DC＝AB. ∵ DF＝BE， ∴ CF＝AE. 又∵ CF∥AE. ∴四边形AECF 为平行四边形. ∴ AC 与EF 互相平分. 新课讲解 练一练 1. 已知：如图，在▱ ABCD中，E为BA延长线上一点，F为DC延长线上一点，且AE=CF，连接 BF，DE.求证：四边形BFDE是平行四边形. A C D B E F 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥ CD，AB=CD. 又∵AE=CF， ∴BE=BA+AE=DC+CF=DF. 又BE∥ DF， ∴四边形BFDE是平行四边形． 新课讲解 练一练 2. 如图，在▱ABCD中，BD是它的一条对角线，过A，C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F.求证：四边形 AFCE 是平行四边形. D E C F B A 证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AD BC，∴ ∠ADE = ∠CBF. ∵ AE ⊥ BD，CF ⊥ BD， ∴ ∠AED = ∠CFB = 90°， ∴ △AED≌△CFB，∴ AE = CF. ∵∠AEF = ∠CFE = 90°，∴ AE ∥ CF， ∴ 四边形 AFCE 是平行四边形. 课堂小结 平行四边形的判定定理 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 当堂小练 1. 观察图，根据所标注的数据能判断其一定是平行四边形的是 ( ) A. ③ B. ②③ C. ①② D. ①②③ A 解：①一组对边平行，另一组对边不平行，不是平行四边形； ②一组对边平行，另一组对边相等，不能判断其一定是平行四边形； ③一组对边平行且相等，能判断其一定是平行四边形. 所以根据所标注的数据能判断其一定是平行四边形的只有③ . 当堂小练 2. 判断对错： (1)有一组对边平行的四边形是平行四边形. ( ) (2)有两条边相等，并且另外的两条边也相等的四边形一定是平行四边形. ( ) (3)对角线互相平分的四边形是平行四边形. ( ) (4)一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形. ( ) (5)有一组对角相等且一组对边平行的四边形是平行四边形. ( ) √ × × × √ 当堂小练 3. 如图，为了保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使互相平行的夹在铁轨之间的枕木长相等就可以了.你能说出其中的道理吗？ 解：因为互相平行的夹在铁轨之间的枕木长相等，由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可以判定：两根枕木及两条铁轨组成的四边形是平行四边形，所以两条直铺的铁轨互相平行. 当堂小练 4. 问题：如图所示，在四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，_____，求证：四边形AECF是平行四边形．你能在横线上填上最少且简捷的条件使结论成立吗？ ①BE=DF，②∠B=∠D，③∠BAE=∠DCF，④四边形ABCD是平行四边形. 其中所填条件符合题目要求的是(　　) A．①②③④ B．①②③ C．①④ D．④ C 当堂小练 5. 如图，由六个全等的正三角形拼成的图形中，有多少个平行四边形？为什么？ 解：如图所示，有6个平行四边形，分别为 ▱AFOB、▱AOEF、▱FODE、▱COED、▱BODC、▱ABCO. 理由如下： 由题意知六个三角形是全等的正三角形， 即 AF = OB，OF = AB， 所以四边形 AFOB 是平行四边形.(其他证明略) 当堂小练 6. 如图，已知AD为△ABC的中线，点E为AC上一点，连接BE 交AD 于点F，且AE＝FE. 求证：BF＝AC. 证明：如图，延长AD到点G，使DG＝AD，连接BG，CG. ∵ AD为△ABC 的中线，∴ BD＝DC. 又∵ DG＝AD，∴四边形ABGC 是平行四边形. ∴ AC BG. ∴∠1 ＝ ∠2. 又∵ AE＝FE，∴∠1 ＝ ∠3. ∴∠2＝ ∠3＝ ∠BFG. ∴ BG＝BF. 又∵ BG＝AC，∴ BF＝AC. 当堂小练 D A B C 7. 如图所示，是的一条对角线，于点，于点， 求证：四边形是平行四边形. O M N 证明：连接BD交AC于点O， ∵DN⊥AC，BM⊥AC， 又∵ ∠DON =∠BOM，OD=OB， ∴∠ OND =∠OMB = 90°. ∴△DON≌△BOM， ∴四边形BMDN是平行四边形． ∴ON=OM， 当堂小练 8. 如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AD，BC的中点，对角线 AC 分别交BE，DF于点G，H. 求证：AG=CH. A B C D E F G H 可先证四边形BFDE是平行四边形再证△AEG≌△CFH得到AG=CH . 证明： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD//BC， ∴∠ADF=∠CFH， ∠EAG=∠FCH. ∵E，F分别为边AD，BC的中点， ∴ ∴DE//BF， DE=BF， ∴ BE//DF， ∴四边形BFDE是平行四边形， ∴∠AEG=∠ADF. ∵∠AEG=∠CFH， AE=CF， ∠EAG=∠FCH， ∴ △AEG≌△CFH， ∴ AG=CH. ∴∠AEG=∠CFH. ∵∠ADF=∠CFH， 对接中考 1. 如图，在四边形ABCD中，AB∥ CD，点E在边AB上，________. 请从“① ∠B＝ ∠AED；② AE＝BE，AE＝CD”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上(填序号)，并证明四边形BCDE是平行四边形. 解：①(或②) 证明： 若选择①：∵∠B＝ ∠AED，∴ BC∥DE. 又∵ AB∥CD，∴四边形BCDE 为平行四边形. 若选择②：∵ AE＝BE，AE＝CD，∴ BE＝CD. 又∵ AB∥CD，∴四边形BCDE 为平行四边形. 对接中考 2. 如图，C是线段AB的中点，∠A＝∠ECB，CD∥BE． (1)求证：△DAC≌△ECB； (2)连接DE，若AB＝16，求DE的长. 解：(1)证明：∵C是线段AB的中点， ∴AC＝CB＝AB． ∵CD∥BE， ∴∠DCA＝∠B． 在△DAC和△ECB中， ∴△DAC≌△ECB(ASA). (2) ∵AB＝16， ∴BC＝AB＝8． ∵△DAC≌△ECB， ∴CD＝BE． 又∵CD∥BE， ∴四边形BCDE是平行四边形. ∴DE＝BC＝8． 对接中考 3. 在如图所示的▱ABCD中，E，G分别为边AD，BC的中点，点F，H分别在边AB，CD上移动(不与端点重合)，且满足AF＝CH，则下列为定值的是(　　) A．四边形EFGH的周长 　B．∠EFG的大小 C．四边形EFGH的面积 　D．线段FH的长 同理四边形DCGE是平行四边形， ∴DC＝EG，DC∥EG. ∴AB＝EG＝DC. 易知△GEF与△GEH的面积分别为▱ABGE与▱EGCD面积的一半． ∵四边形EFGH的面积＝S△GEF＋S△GEH， ∴四边形EFGH的面积始终为▱ABCD面积的一半，是定值． 选项A：EF，FG等边长随F，H移动变化，周长不定，错误． 选项B：∠EFG的大小随F位置改变，错误． 选项D：FH长度随F，H移动变化，错误．综上，四边形EFGH的面积是定值，故选C. C 拓展与延伸 1. 如图，E是▱ABCD的边AB上的点，Q是CE的中点，连接BQ并延长交CD于点F，连接AF与DE相交于点P，若S△APD＝3 cm2，S△BQC＝7 cm2，则阴影部分的面积为 (　　) A．24 cm2 B．17 cm2 C．13 cm2 D．10 cm2 解：连接EF，如图． ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD.∴∠BEC＝∠FCE. ∵Q是CE的中点，∴EQ＝CQ. 又∵∠BQE＝∠FQC， ∴△BEQ≌△FCQ(ASA). ∴BE＝CF.∴四边形BCFE为平行四边形． ∴易知S△BEF＝2S△BQC＝14 cm2. ∵AE∥FD，AB－BE＝CD－CF，即AE＝FD， ∴四边形ADFE为平行四边形．∴S△PEF＝S△APD＝3 cm2. ∴阴影部分的面积＝S△BEF＋S△PEF＝14＋3＝17(cm2). B 拓展与延伸 2. 如图，在▱ABCD中，AB＝6 cm，AD＝10 cm，点P在边AD上以1 cm/s的速度从点A向点D运动．点Q在边BC上以4 cm/s的速度从点C出发，在点C， B之间往返运动．两点同时出发，当点P到达点D时停止（同 时点Q也停止运动），设运动时间为t s．若5<t<10，则当t为 何值时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形？ 解：如图，连接EG.∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD∥BC且AD＝BC. ∵E，G分别为AD，BC的中点， ∴AE＝AD，BG＝BC.∴AE＝BG. 又∵AE∥BG，∴ 四边形ABGE是平行四边形， ∴AB＝EG，AB∥EG. 解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴PD∥BQ. 若要以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形，则PD＝BQ. 当5<t≤时，AP＝t cm，PD＝(10－t)cm，BQ＝(30－4t)cm， ∴10－t＝30－4t，解得t＝； 当<t≤10时，AP＝t cm，PD＝(10－t)cm，BQ＝(4t－30)cm， ∴10－t＝4t－30，解得t＝8. 综上所述，当t的值为或8时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形． $