第2章随机事件的概率 章末重难点专训 简单事件的概率-游戏的公平问题 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦简单事件的概率与游戏公平性，通过基础概念辨析、情境化应用到跨知识点综合，构建"概念理解-方法运用-综合拓展"的三阶巩固路径，培养数学抽象与逻辑推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础概念|游戏公平性标准、概率基本原理|选择题1-2直接考查定义，如三角形垂直平分线性质与公平判定标准| |简单应用|等可能事件概率计算|填空题3-4结合硬币、同心圆情境，训练基础概率模型应用| |综合提升|树状图/列表法解决复杂情境|解答题5-11以摸牌、掷硬币等生活场景，强化分步计数与概率比较| |拓展延伸|概率与几何、方程结合|综合题12-15融入转盘面积、根的判别式，实现跨知识点迁移|

第2章随机事件的概率 章末重难点专训 简单事件的概率-游戏的公平问题 一、选择题 1．在联欢会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的（　　） A．三边中线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边上高的交点 2．甲乙两人玩一个游戏，判定这个游戏公平不公平的标准是（　　） A．游戏的规则由甲方确定 B．游戏的规则由乙方确定 C．游戏的规则由甲乙双方商定 D．游戏双方要各有50%赢的机会 二、填空题 3．甲、乙两班进行篮球比赛，裁判员采用同时抛掷两枚完全相同硬币的方法选择比赛场地：若两枚硬币朝上的面相同，则甲班先选择场地；否则乙班先选择场地．为了判断这种方法的公平性，明明画出树状图如图所示，根据树状图，这种选择场地的方法对两个班级　 　．（填“公平”或“不公平”） 4．广广和雅雅在操场做游戏，他们先在地上画了半径分别是和的同心圆，然后每人蒙上眼在一定距离外向圈内掷小石子，掷中阴影部分小红胜，否则小明胜，未掷入圈内不算或掷中两圆的边界线重掷，如果你是裁判，你认为游戏公平吗？　 　.（填“公平”或“不公平”） 三、解答题 5．2023年电影五一档期表现超预期，优质供给引爆观影热情．电影《人生路不熟》和《长空之王》分别夺得五一档票房的冠、亚军．乐乐和爸爸准备一起去看电影，乐乐想看《人生路不熟》，但是爸爸想看《长空之王》，于是他们决定采用摸牌的办法决定去看哪部电影。摸牌规则如下：从一副新扑克牌中取出正面印有红桃3，4，5，6的四张扑克牌，将它们洗匀后背面朝上放置在桌面上，乐乐先从中随机摸出一张牌，记下数字后不放回，爸爸再从中摸出一张牌，记下数字，若两次数字之和为奇数，则看《人生路不熟》；若两次数字之和为偶数，则看《长空之王》。 （1）请用画树状图或列表的方法表示出两数之和的所有可能的结果； （2）请问这个摸牌规则是否公平？并说明理由。 6．甲、乙两位同学相约打乒乓球． （1）有款式完全相同的4个乒乓球拍分别记为，，，，若甲先从中随机选取1个，乙再从余下的球拍中随机选取1个，求乙选中球拍C的概率； （2）双方约定：两人各投掷一枚质地均匀的硬币，如果两枚硬币全部正面向上或全部反面向上，那么甲先发球，否则乙先发球这个约定是否公平？为什么？ 7．在一个不透明的纸箱里装有红、黄、蓝三种颜色的小球，它们除颜色外完全相同，其中红球有2个，黄球有1个，蓝球有1个. 现有一张电影票，小明和小亮决定通过摸球游戏定输赢（赢的一方得电影票）．游戏规则是：两人各摸1次球，先由小明从纸箱里随机摸出1个球，记录颜色后放回，将小球摇匀，再由小亮随机摸出1个球．若两人摸到的球颜色相同，则小明赢，否则小亮赢．这个游戏规则对双方公平吗？请你利用树状图或列表法说明理由． 8．甲乙两名同学做摸球游戏，他们把三个分别标有1，2，3的大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中. （1）求从袋中随机摸出一球，标号是1的概率； （2）从袋巾随机摸出一球后放回，摇匀后再随机摸出一球，若两次摸出的球的标号之和为偶数时，则甲胜；若两次摸出的球的标号之和为奇数时，则乙胜；试分析这个游戏是否公平？请说明理由. 9．小明、小颖和小凡做“剪刀、石头、布”游戏．游戏规则如下：由小明和小颖做“剪刀、石头、布”的游戏，如果两人的手势相同，那么小凡获胜；如果两人手势不同，那么按照“石头胜剪刀，布胜石头，剪刀胜布”的规则决定小明和小颖中的获胜者．假设小明和小颖每次出这三种手势的可能性相同． （1）利用画树状图或列表的方法表示小明和小颖做“剪刀、石头、布”游戏的所有可能出现的结果（其中剪刀、石头、布分别用序号①、②、③表示）； （2）在（1）的基础上，试说明该游戏对三人是否公平？ 10．已知甲同学手中藏有三张分别标有数字，，1的卡片，乙同学手中藏有三张分别标1，3，2的卡片，卡片外形相同.现从甲乙两人手中各任取一张卡片，并将它们的数字分别记为，. （1）请你用树形图或列表法列出所有可能的结果. （2）现制定这样一个游戏规则：若所选出的，能使得有两个不相等的实数根，则称甲获胜；否则称乙获胜.请问这样的游戏规则公平吗?请你用概率知识解释. 11．小明和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏：A，B是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形．同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色．若配成紫色，则小明去观看，否则小亮去观看． （1）转动转盘B一次，转出蓝色的概率是　 　； （2）这个游戏对双方公平吗？请说明理由．（用树状图或列表法） 四、综合题 12．小明和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏：，是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形．同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色．若配成紫色，则小明去观看，否则小亮去观看． （1）转动转盘一次，转出蓝色的概率是　 　； （2）这个游戏对双方公平吗？请说明理由（用树状图或列表法）． 13．有一张明星演唱会的门票，小明和小亮都想获得这张门票，亲自体验明星演唱会的热烈气氛，小红为他们出了一个主意，方法就是：从印有1、2、3、4、5、4、6、7的8张扑克牌中任取一张，抽到比4大的牌，小明去；否则，小亮去． （1）求小明抽到4的概率； （2）你认为这种方法对小明和小亮公平吗？请说明理由；若不公平，请你修改游戏规则，使游戏对双方都公平 14．甲、乙两人用如图所示的两个转盘做游戏，转盘被等分为三份，分别标有数字1，2，-3；转盘也被等分成三份，分别标有数字-1，-2，3．甲乙两人同时转动转盘，当转盘停止转动时，记下两个转盘指针所指的数字之和．若指针所指数字之和为正数，则甲胜；指针所指数字之和为负数，则乙胜． （1）转动转盘一次，指针所指数字为负数的概率是　 　； （2）请用列表或画树状图的方法说明这个游戏对甲乙两人是否公平． 15．甲、乙两名同学玩一个游戏：在一个不透明的口袋中装有标号分别为1，2，3，4的四个小球(除标号外无其它差异).从口袋中随机摸出一个小球，记下标号后放回口袋中，充分摇匀后，再从口袋中随机摸出一个小球，记下该小球的标号，两次记下的标号分别用x、y表示.若x＋y为奇数，则甲获胜；若x＋y为偶数，则乙获胜. （1）用列表法或树状图法(树状图也称树形图)中的一种方法，求(x，y)所有可能出现的结果总数； （2）你认为这个游戏对双方公平吗？请说明理由. 答案解析部分 1．【答案】B 【解析】【解答】解：∵三角形的三条垂直平分线的交点到中间的凳子的距离相等， ∴凳子应放在△ABC的三条垂直平分线的交点最适当． 故选B． 【分析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上． 2．【答案】D 【解析】【解答】解：根据游戏是否公平不在于谁定游戏规则，游戏共是否公平的取决于游戏双方要各有50%赢的机会， ∴A．游戏的规则由甲方确定，故此选项错误； B．游戏的规则由乙方确定，故此选项错误； C．游戏的规则由甲乙双方商定，故此选项错误； D．游戏双方要各有50%赢的机会，故此选项正确． 故选：D． 【分析】根据游戏共是否公平的取决于游戏双方要各有50%赢的机会，游戏是否公平不在于谁定游戏规则，分别判定即可． 3．【答案】公平 【解析】【解答】解：根据所画树状图，共有4种情况，其两枚硬币朝上的面相同的有2种情形， 两枚硬币朝上的面不相同的有2种情形， 所以P（甲班优先选择场地）=， P（乙班优先选择场地）=， 故这两个队优先选择比赛场地的概率相等， ∴这种选择场地的方法对两个班级公平； 故答案为：公平． 【分析】根据所画树状图，分别求出P（甲班优先选择场地），P（乙班优先选择场地），比较两个概率的大小来判断是否公平． 4．【答案】不公平 【解析】【解答】解：∵半径分别是3m和2m的同心圆， ∴半径是3m的圆的面积为；半径是2m的圆的面积为，则阴影部分的面积为， ∵， 故答案为：不公平. 【分析】利用圆的面积公式算出大小两圆的面积，进而根据阴影部分的面积等于大小两圆的面积差，求出阴影部分圆的面积，最后将阴影部分的面积与小圆面积比大小即可得出答案. 5．【答案】（1）列表如下． 乐乐 爸爸 和 3 4 5 6 3 　 7 8 9 4 7 　 9 10 5 8 9 　 11 6 9 10 11 　 （2）这个摸牌规则不公平，理由如下： 由表格可知，共有12种等可能的结果，其中和为奇数的有8种结果，和为偶数的有4种结果， 看《人生路不熟》的概率为，看《长空之王》的概率为， ， 这个摸牌规则不公平． 【解析】【分析】（1）先利用列表法求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。 （2）先利用概率公式分别求出看 《人生路不熟》 和 《长空之王》 的概率，再比较大小即可. 6．【答案】（1）解：画树状图如下： 一共有种等可能的结果，其中乙选中球拍有种可能的结果， ∴P（乙选中球拍）； （2）解：公平．理由如下： 画树状图如下： 一共有种等可能的结果，其中两枚硬币全部正面向上或全部反面向上有种可能的结果， ∴P（甲先发球）， ∴P（乙先发球）， ∵ P（甲先发球）=P（乙先发球）， 这个约定公平． 【解析】【分析】（1）此题是抽取不放回类型，根据题意画出树状图，由图可知：一共有12种等可能的结果，其中乙选中球拍C有3种可能的结果，从而根据概率公式计算可得答案； （2）此题是抽取放回类型，根据题意画出树状图，由图可知：一共有4种等可能的结果，其中两枚硬币全部正面向上或全部反面向上有2种可能的结果，从而根据概率公式分别算出甲与乙先发球的概率，再比较两个概率的大小即可. 7．【答案】此游戏不公平． 理由如下：列树状图如下， 列表如下， 【解析】【解答】游戏是否公平，关键要看游戏双方获胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等。 【分析】此题考查了树状图的列法和利用概率说明游戏的公平性问题。 8．【答案】（1）解：三个分别标有1，2，3的大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中，从袋中随机摸出一球，标号是1的概率为： （2）解：这个游戏不公平. 画树状图得： 共有9种等可能的结果，两次摸出的球的标号之和为偶数的有5种情况，两次摸出的球的标号之和为奇数的有4种情况， （甲胜），（乙胜），（甲胜）（乙胜）， 这个游戏不公平. 【解析】【分析】（1）用概率公式可求解； （2）根据题意画出树状图，然后由树状图的信息可知：共有9种等可能的结果，两次摸出的球的标号之和为偶数的有5种情况，两次摸出的球的标号之和为奇数的有4种情况，根据概率公式计算甲胜和乙胜的概率，比较大小即可判断游戏的公平性. 9．【答案】（1）解：树状图如下图所示； （2）解：该游戏对三人公平，理由如下： 由树状图可知，一共有9种等可能性的结果数，其中小明、小颖、小凡获胜的结果数都为3中， ∴， ∴该游戏对三人公平． 【解析】【分析】（1）根据题意画出树状图即可求解； （2）根据树状图即可得到一共有9种等可能性的结果数，其中小明、小颖、小凡获胜的结果数都为3中，进而根据等可能事件的概率结合题意即可求解。 10．【答案】（1）解：画树状图得： 的可能结果有、、、、、、、及， 取值结果共有9种 （2）解：这样的游戏规则不公平. 将（1）中结果分别代入中得 ，7，2，0，8，3，-3，5或0 （甲获胜）（乙获胜）， （甲获胜）（乙获胜）， 这样的游戏规则对甲有利，不公平. 【解析】【分析】（1）根据题意画出树状图，即可求解； （2）将（1）中结果分别代入根的判别式中求得相对应的值，从而求出甲获胜的概率与乙获胜的概率，从而求解. 11．【答案】（1） （2）解：这个游戏公平，理由如下： 用列表法表示所有可能出现的结果如下： 蓝 蓝 红 蓝 蓝蓝 蓝蓝 蓝红 红 红蓝 红蓝 红红 共有6种可能出现的结果，其中配成紫色的有6种， ∴P（小明）＝＝， P（小亮）＝＝， 因此游戏是公平． 【解析】【解答】解：（1）解：转动转盘B一次，转出蓝色的概率是， 故答案为：； 【分析】（1）根据概率的定义，某一事件的概率=，即可求出； （2）根据列表法将所有情况列入表格中，根据概率的定义分别算出小明和小亮获胜的概率，比较概率的大小即可判断游戏是否公平. 12．【答案】（1） （2）解：这个游戏公平，理由如下： 用列表法表示所有可能出现的结果如下： 共有6种可能出现的结果，其中配成紫色的有3种，配不成紫色的有3种， ， ， 因此游戏是公平． 【解析】【解答】解：（1）转动转盘一次，转出蓝色的概率是， 故答案为：； 【分析】（1）求出转出蓝色的概率是，即可作答； （2）先列表，再求出 共有6种可能出现的结果，其中配成紫色的有3种，配不成紫色的有3种， 最后求解即可。 13．【答案】（1）解：P（小明抽到4的）== （2）解：不公平，因为：P(小明抽到大于4的)=＜P(小亮抽到大于等于4的)=， ∴ 游戏不公平．规则可以改为，如小明抽到奇数，小明去；否则，小亮去． 【解析】【分析】（1）根据概率的计算公式，计算即可； （2）比较游戏是否公平，只需计算每名玩家获胜的概率是否相同，分别计算小明、小亮获胜的概率是否相等即可. 14．【答案】（1） （2）解：这个游戏对甲乙两人公平，理由如下： 根据题意，列表如下： 　 1 2 -3 -1 -2 3 所以一共有12种等可能结果，其中指针所指的数字之和为正数的结果有3种，指针所指的数字之和为负数的结果有3种， 所以甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ， 因为 ， 所以这个游戏对甲乙两人公平． 【解析】【解答】解：（1） 转动A转盘一次，指针所指数字为负数的概率是：； 故答案为：； 【分析】（1）根据概率公式，用A转盘中标的负数的个数除以转盘的等份数即可求出答案； （2）这个游戏对甲乙两人公平，理由如下：利用列表法列出所有等可能的结果数，由表格可知，一共有12种等可能结果，其中指针所指的数字之和为正数的结果有3种，指针所指的数字之和为负数的结果有3种，从而根据概率公式分别求出甲与乙获胜的概率，再比大小即可得出结论. 15．【答案】（1）解：列表如下： 　 1 2 3 4 1 (1，1) (1，2) (1，3) (1，4) 2 (2，1) (2，2) (2，3) (2，4) 3 (3，1) (3，2) (3，3) (3，4) 4 (4，1) (4，2) (4，3) (4，4) 由表格可知(x，y)所有可能出现的结果共有16种 （2）解：这个游戏对双方公平，理由如下： 由列表法可知，在16种可能出现的结果中，它们出现的可能性相等， ∵x＋y为奇数的有8种情况，∴P(甲获胜)＝ ， ∵x＋y为偶数的有8种情况，∴P(乙获胜)＝ ， ∴P(甲获胜)＝P(乙获胜)， ∴这个游戏对双方公平. 【解析】【分析】（1）根据题意列出表格，由表可知： (x，y)所有可能出现的结果共有16种 ； （2） 由列表法可知，在16种可能出现的结果中 ， x＋y为奇数的有8种情况 ， x＋y为偶数的有8种情况 ，根据概率公式即可算出它们各自获胜的概率，再比较即可得出答案。 1 学科网（北京）股份有限公司 $