专题06 线段中的五类动态模型（几何模型讲义）数学苏科版2024七年级上册

专题06.线段中的五类动态模型 线段中的动态模型一直都是一大难点和常考点，它经常以压轴题的形式出现。考查样式也是很丰富，和平时所学的内容结合在一起考。本专题就线段中的动态模型（‌中点与和差倍分模型、‌定值模型、存在性模型‌、分类讨论模型、新定义模型等）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 4 模型1.动态线段中的和差倍分模型（求值模型） 4 模型2动态线段中的‌定值模型 7 模型3.动态线段中的存在性模型（探究型） 10 模型4.动态线段中的分类讨论模型 13 模型5.动态线段中的新定义模型 16 21 动态模型的思想可追溯至古希腊几何学，欧几里得《几何原本》中已隐含线段分割与比例关系的动态分析‌。17世纪笛卡尔坐标系建立后，线段动态问题开始与代数结合；19世纪柯西、魏尔斯特拉斯等完善极限理论，为动态模型的严格化提供工具。现代初中数学教育工作者将线段动态问题被归纳为五类核心模型，即：‌中点与和差倍分模型、‌定值模型、存在性模型‌、分类讨论模型、新定义模型。 （24-25七年级上·湖南怀化·期末）已知：如图1，M是定长线段上一定点，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上）．                (1)若，当点C、D运动了，求的值； (2)若点C、D运动时，总有，直接填空：_______； (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，求的值． （24-25七年级上·江苏南京·期中）【概念学习】点在线段上，若，则称是点在线段上的“分点值”，记作．例如，如图1，若，则点在线段上的“分点值”是，记作；若，则，故点在线段上的“分点值”是，记作． 【理解与应用】(1)已知点线段上．若，，则______；若，，则_____． (2)如图2，线段，是线段上一点，、两点分别从点、出发以，的速度同时向点运动，运动的时间为，当其中一点到达点时，两点都停止运动． ①若点在上运动时，总有，求出的值；②若，则当t为何值时，；③若时，，则_____． 1、在与线段长度有关的问题中，常会涉及线段较多且关系较复杂的问题，而且题中的数据无法直接利用，常设未知数列方程。 2、线段的动态模型解题步骤： 1）设入未知量t表示动点运动的距离； 2）利用和差（倍分）关系表示所需的线段； 3）根据题设条件建立方程求解； 4）观察运动位置可能的情况去计算其他结果。 模型1.动态线段中的和差倍分模型（求值模型） 例1（24-25七年级上·河北廊坊·期末）如图，，点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，为的中点，设运动时间为秒． (1)当点在线段上运动时．①求的值；②出发多少秒后，？ (2)当点在线段的延长线上运动时，为的中点，求的值． 例2（24-25七年级上·云南红河·期末）如图，在射线上有三点，满足．点从点出发，沿方向以的速度运动；点从点出发在线段上向点匀速运动（点运动到点时停止运动），两点同时出发． (1)当（在线段上）时，点运动到的位置恰好是线段的中点，则点的运动速度为____________．（直接写出答案即可） (2)若点的运动速度为，经过多长时间两点相距？ (3)当点运动到线段上时，分别取和的中点则____________．（直接写出答案即可） 例3（24-25七年级上·陕西商洛·期末）如图，点在线段上，，，动点从点出友，沿线段以每秒3个单位长度的速度向终点匀速运动；同时，动点从点出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点匀速运动，当点到达终点时，点也随之停止运动．设点的运动时间为秒． (1)当点与点相遇时，求的值．(2)当点与点之间的距离为9个单位长度时，求的值． (3)当时，求的值． 模型2.动态线段中的‌定值模型 例1（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图（）所示，已知直线上有两点，，有一根木棒放在直线上，将木棒沿直线左右水平移动．当点与重合时，点刚好落在点移动前的位置，当点与重合时，点刚好落在点移动前的位置．    (1)直接写出木棒的长； (2)木棒在射线上移动的过程中，当时，求的长； (3)另一根木棒长为，和在直线上的位置如图（）所示，其中点与重合，点与重合．木棒以个单位长度/秒的速度向左移动，木棒以个单位长度/秒的速度向右移动，它们同时出发，设运动时间为秒，若式子的值为定值，请直接写出此时的取值范围，并写出这个定值． 例2（24-25七年级上·四川眉山·期末）如图，线段在射线上运动，，且． (1)求线段、的长；(2)点M、N分别为线段、的中点，若，求的长； (3)当运动到某一时刻时，点D与点B重合，点P是线段延长线上任意一点求证：． 例3（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在数轴上的A点表示数，B点表示数，满足。(1)点A表示的数为____________，点B表示的数为______________. (2)若在原点处放一挡板，一小球甲从点A 处以2个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B处以3个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒）． ①当时，乙小球到原点的距离=______________；当时，乙小球到原点的距离=_______________． ②试探究：甲、乙两小球到原点的距离可能相等吗？若不能，请说明理由；若能，请计算说明． (3)现将小球乙看成动点P，当点P运动到线段上时，分别取和的中点，试判断的值是否为定值，若不是，请说明理由；若是，请求出该定值．    模型3.动态线段中的存在性模型（探究型） 例1（24-25七年级上·北京·期末）已知点为直线上的点，且 为的中点．(1)如图①，若，则为多少？ 若，则与的数量关系是什么？ (2)当点沿直线向左运动至图②的位置时，（）中与的数量关系是否仍然成立？请说明理由． 例2（24-25七年级上·陕西宝鸡·阶段练习）已知在数轴上有A，B两点，点A表示的数为，点B表示的数为6．若动点M从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒． (1)当时，点M表示的数是____________，点N表示的数是____________；(2)当时，求t的值； (3)若点C为的中点，点D为的中点，当点M、N在线段上运动，且点M在点N的左侧时，试猜想与之间的数量关系，并说明理由． 例3（24-25七年级上·浙江·期中）已知线段，（，为常数，且），线段在直线上运动（点B，M在点A的右侧，点N在点M的右侧）．P是线段的中点，Q是线段的中点． (1)如图①，当点N与点B重合时，求线段的长度（用含a，b的代数式表示）； (2)如图②，当线段运动到点B，M重合时，求线段，之间的数量关系； (3)当线段运动至点Q在点B的右侧时，请你画图探究线段，三者之间的数量关系． 模型4.动态线段中的分类讨论模型 例1（24-25七年级上·陕西安康·期末）如图，直线上有，两点，，点是线段上一点，．(1)________，________；(2)若点以的速度从点出发沿直线向右运动，同时，点以的速度从点出发沿直线也向右运动，设运动时间为，当点与点重合时，，两点停止运动．①当为何值时，；②当点经过点时，动点从点出发，以的速度也沿直线向右运动，当点追上点后立即返回，以的速度向点运动，遇到点后再立即返回，以的速度向点运动，如此往返，直到点，停止运动时，点也停止运动，在此过程中，点行驶的总路程是多少？ 例2（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，已知线段，点、在上且满足，点从点出发沿射线方向以的速度运动，同时，点从出发沿射线方向以的速度运动，设运动时间为秒，点、分别为、的中点，当时，则 ． 例3（24-25七年级上·吉林·期末）如图，线段，动点从出发，以每秒2个单位的速度沿射线运动，运动时间为秒，M为的中点． (1)用含的代数式表示的长度为_____．(2)在点运动的过程中，当为多少时，？ (3)在点运动的过程中，点为的中点，证明线段的长度不变，并求出其值． (4)当点在延长线上运动时，当、、三点中的一个点是以另两个点为端点的线段中点时，直接写出值． 模型5.动态线段中的新定义模型 例1（24-25七年级上·辽宁铁岭·期末）已知点C在线段上，若或，则称点C是线段的“五美点”． 【理解定义】（1）若线段，C是线段的“五美点”，则______； 【解决问题】（2）如图，E在射线上，． ①若点D、F均为线段的“五美点”，且，又K为线段的中点，求线段的长度；②点P从点O出发，以每秒5个单位长度的速度沿射线向右运动，同时点Q从点E出发，以每秒2个单位长度的速度也沿射线向右运动，运动时间为t秒，点P追上点Q时，两点同时停止运动，请问当P、E、Q三点中某一点为其余两点所构成线段的“五美点”时，t的值是多少？请直接写出答案，不必写过程． 例2（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图①，点M是线段上任意一点，图中共有三条线段和，若其中的两条较短线段中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段的“友好点”．(1)若，点M是线段上靠近点A的“友好点”，求的长； (2)如图②，若，点M是线段的“友好点”，点N是线段的中点，则__________； (3)如图③，已知，动点P从点A出发，以速度沿向点B匀速移动，点从点B出发，以的速度沿向点A匀速移动，点同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．设移动的时间为t，请求出t为何值时， 三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“友好点”． 例3（24-25·七年级上·江苏泰州·期末）【概念学习】点在线段上，若，则称是点在线段上的“分点值”，记作．例如，如图1，若，则点在线段上的“分点值”是，记作；若，则，故点在线段上的“分点值”是，记作． 【理解与应用】(1)已知点在线段上．若，，则________； 若，，则_________． (2)如图2，线段， 是线段上一点，、两点分别从点、出发以，的速度同时向点运动，运动的时间为， 当其中一点到达点时，两点都停止运动． ①若点在上运动时，总有，求出的值； ②若，则当为何值时，； ③若时，，则___________． 1．（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图，线段，动点P从A出发，以的速度向点B运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（   ） ①运动后，；②在点P运动过程中，值随着点P位置的变化而变化； ③当时，运动时间为． A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 2．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）定义：如图1，点在射线上，图中共有三条线段，和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“美点”．如图，已知，动点，分别从点，同时出发沿相向运动，速度分别为，，当点到达点时，运动停止．设点的运动时间为，当点恰好是线段的“美点”时，最大值与最小值的差为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·广西南宁·开学考试）如图，射线上有A、B、C三点，满足，，．点P从点O出发，沿方向以的速度匀速运动，2秒后点Q从点C出发在线段上向点O匀速运动，当点Q运动到点O时，点P，Q停止运动．当点P运动到线段的中点D时，此时Q点距离到达D点还差，则点Q的运动速度是 ． 4．（25-26七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，已知直线上的三条线段分别为：，，，将线段固定不动，线段以每秒个单位的速度向右运动，、分别为、中点，设线段的运动时间为，当时， ． 5.（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，C为射线上一点，，比的多5，P、Q两点分别从A、B两点同时出发，分别以3单位/秒和2单位/秒的速度在射线上沿方向运动，运动时间为t秒，M为线段上一点，且，N为的中点，以下结论： ①；②；③当时，，其中正确的是 ． 6．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）已知点在线段上，，线段在直线上移动（点，不与点，重合） (1)若，求和的长；(2)若，，线段在线段上移动，且点在点的左侧，①如图，当点为中点时，求的长；②点（不与点，，重合）在线段上，，，求的长． 7．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，射线上有三点A、B、C，满足，，，点P从点O出发，沿方向以的速度匀速运动，点Q从点C出发在线段上向点O匀速运动，两点同时出发，当点Q运动到点O时，点P、Q停止运动． (1)若点Q运动速度为，经过多长时间P、Q两点相遇？ (2)当P在线段上且时，点Q运动到的位置恰好是线段的三等分点，求点Q的运动速度； (3)当点P运动到线段上时，分别取和的中点E、F，求的值． 8．（2024·江苏·七年级校考阶段练习）【概念与发现】当点C在线段AB上，时，我们称n为点C在线段AB上的“点值”，记作． 例如，点C是AB的中点时，即，则；反之，当时，则有． 因此，我们可以这样理解：“”与“”具有相同的含义． 【理解与应用】(1)如图，点C在线段AB上．若，，则________； 若，则________AB． 【拓展与延伸】(2)已知线段，点P以1cm/s的速度从点A出发，向点B运动．同时，点Q以3cm/s的速度从点B出发，先向点A方向运动，到达点A后立即按原速向点B方向返回．当P，Q其中一点先到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为t（单位：s）．①小王同学发现，当点Q从点B向点A方向运动时，的值是个定值，则m的值等于________；②t为何值时，． 9．（24-25七年级上·湖南永州·期末）如图，数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，且．      (1)______，______；(2)P为数轴上的动点，设Q为的中点，点P从点M向左运动时，请探究与的数量关系，并说明理由． 10．（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图①，已知线段，线段在射线上运动（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧），且． (1)若，求的长．(2)当在线段的延长线上时，如图②所示，若点M，N分别是线段的中点，求的长．(3)当运动到某一时刻，使得点D与点B重合时，若点P是线段延长线上任意一点，请判断是否为定值，并说明理由． 11．（24-25七年级·福建·期末）如图，已知，点C、D分别为线段、上的动点，若点C从点O出发以的速度沿方向运动，同时点D从点B出发以的速度沿方向运动．    (1)如图1，当运动时间为时，求的值；(2)如图1，若在运动过程中，始终保持，求OA的长；(3)如图2，在（2）的条件下，延长BO到点M，使，点P是直线OB上一点，且，求的值． 12．（24-25七年级上·浙江·专题练习）如图，P是线段上一点，，C，D两点分别从点P，B出发以，的速度沿直线向左运动（点C在线段上，点D在线段上），运动的时间为． (1)当时，，的长为 ； (2)若点C，D运动到任一时刻时，总有，请求出的长； (3)在（2）的条件下，若Q是直线上一点，且，求的长． 13．（24-25七年级上·陕西商洛·期末）如图，点C是线段上一点，，，点P从点A处出发，以的速度沿向右运动，终点为点B处；点Q从点B处出发，以的速度沿向左运动，终点为点A处．已知点P和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设点P的运动时间为．(1)当点P运动到点C处时，线段的长度为__________； (2)当P，Q两点重合时，求t的值；(3)是否存在某一时刻，使得C，P，Q这三个点中，有一个点恰好是另外两点所连线段的中点？若存在，求出所有满足条件的t值；若不存在，请说明理由． 14．（24-25七年级上·河北衡水·期中）如图，已知数轴上A，B两点所表示的数分别为和8． (1)若点A，B分别以每秒1和3个单位长度的速度向左移动，直接写出移动多少秒时，A，B两点的距离恰好为8？(2)若P为射线上的一点（点P不与A，B两点重合），M为的中点，N为的中点，当点P在射线上运动时，线段的长度是否发生改变？若不变，请你画出图形，并求出线段的长；若改变，请说明理由．(3)在第（2）问的条件下，点P所表示的数是多少时，？ 15．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）已知，，点为线段的三等分点（），点在点左侧，点在点左侧． (1)若线段在线段上运动．如图，当点为线段的中点时， ；（直接写出结果） 为线段上一点，且，，求线段的长； (2)若线段在射线上运动，且，求线段的长． 16．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）已知：如图1，M是定长线段上一定点，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上）。(1)若，当点C、D运动了，求的值． (2)若点C、D运动时，总有，直接填空： ___________． (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，求的值． 17．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）如下图所示，在数轴上点A、B、C起初表示的数分别是、2、20，从某一时刻开始，点A以每秒3个单位长度的速度向右运动，点C同时出发以每秒1个单位长度的速度向左运动，设运动的时间为t秒，点M是线段的中点. (1)运动开始前，线段的中点M表示的数是______； (2)点A、C运动t秒后，线段的中点M表示的数是______（用含的式子表示并化简）； (3)按照上述方式运动， A、C两点同时出发多少秒后相遇，相遇点表示的数是多少? (4)若点B跟点A、C同时出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，当点A和点C相遇后，所有的点都停止运动，试说明的值与t无关. 18．（24-25七年级上·广东·期末）如图，已知直线l上有两条可以左右移动的线段：，且m，n满足，点M，N分别为中点．    (1)求线段的长；(2)线段以每秒4个单位长度向右运动，线段以每秒1个单位长度也向右运动．若运动6秒后，，求此时线段的长；(3)若，将线段固定不动，线段以每秒4个单位速度向右运动，在线段向右运动的某一个时间段t内，始终有为定值．求出这个定值，并直接写出t在哪一个时间段内． 19．（24-25·湖南邵阳·七年级统考期末）如图，在直线上，线段，动点从出发，以每秒2个单位长度的速度在直线上运动，为的中点，为的中点，设点的运动时间为秒． (1)若点在线段上运动，当时， ；(2)若点在射线上运动，当时，求点的运动时间的值；(3)当点在线段的反向延长线上运动时，线段、、有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明你的理由． 20．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）如图1，点C在线段上，图中共有三条线段和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“巧点”． (1)若点C是线段的中点，判断C是否是线段的“巧点”； (2)如图2，已知，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动；点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿向点A匀速运动，点P，Q同时出发，设移动的时间为t（s），当其中一点到达终点时，运动停止．①当t为何值时，P、Q重合？②当t为何值时，Q为的“巧点”？ 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06.线段中的五类动态模型 线段中的动态模型一直都是一大难点和常考点，它经常以压轴题的形式出现。考查样式也是很丰富，和平时所学的内容结合在一起考。本专题就线段中的动态模型（‌中点与和差倍分模型、‌定值模型、存在性模型‌、分类讨论模型、新定义模型等）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 4 模型1.动态线段中的和差倍分模型（求值模型） 4 模型2动态线段中的‌定值模型 7 模型3.动态线段中的存在性模型（探究型） 10 模型4.动态线段中的分类讨论模型 13 模型5.动态线段中的新定义模型 16 21 动态模型的思想可追溯至古希腊几何学，欧几里得《几何原本》中已隐含线段分割与比例关系的动态分析‌。17世纪笛卡尔坐标系建立后，线段动态问题开始与代数结合；19世纪柯西、魏尔斯特拉斯等完善极限理论，为动态模型的严格化提供工具。现代初中数学教育工作者将线段动态问题被归纳为五类核心模型，即：‌中点与和差倍分模型、‌定值模型、存在性模型‌、分类讨论模型、新定义模型。 （24-25七年级上·湖南怀化·期末）已知：如图1，M是定长线段上一定点，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上）．                (1)若，当点C、D运动了，求的值； (2)若点C、D运动时，总有，直接填空：_______； (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，求的值． 【答案】(1)(2)(3)或1 【详解】（1）解：当点C、D运动了时，，， ，． （2）解：设运动时间为t，则，，，， 又，，即， ，，； （3）解：当点N在线段上时，如图 ，又，，，即． 当点N在线段的延长线上时，如图： ，又，，即． 综上所述的值为或． （24-25七年级上·江苏南京·期中）【概念学习】点在线段上，若，则称是点在线段上的“分点值”，记作．例如，如图1，若，则点在线段上的“分点值”是，记作；若，则，故点在线段上的“分点值”是，记作． 【理解与应用】(1)已知点线段上．若，，则______；若，，则_____． (2)如图2，线段，是线段上一点，、两点分别从点、出发以，的速度同时向点运动，运动的时间为，当其中一点到达点时，两点都停止运动． ①若点在上运动时，总有，求出的值；②若，则当t为何值时，；③若时，，则_____． 【答案】(1)   (2)①　②　③ 【详解】（1）解：因为，所以． 因为，所以．所以．故答案为：    （2）①设，则，． 根据题意，得 解得 ．．所以． ②根据题意，得，．，． 根据题意，得解得 ③设．当点在点的左侧时：，，， ，可得解得；所以． 当点在点的右侧时：，，． ．可得 解得 所以．综上所述，或．故答案为：或 1、在与线段长度有关的问题中，常会涉及线段较多且关系较复杂的问题，而且题中的数据无法直接利用，常设未知数列方程。 2、线段的动态模型解题步骤： 1）设入未知量t表示动点运动的距离； 2）利用和差（倍分）关系表示所需的线段； 3）根据题设条件建立方程求解； 4）观察运动位置可能的情况去计算其他结果。 模型1.动态线段中的和差倍分模型（求值模型） 例1（24-25七年级上·河北廊坊·期末）如图，，点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，为的中点，设运动时间为秒． (1)当点在线段上运动时．①求的值；②出发多少秒后，？ (2)当点在线段的延长线上运动时，为的中点，求的值． 【答案】(1)①12；②出发4秒后， (2)6 【详解】（1）解：①当在线段上运动时，，， 为的中点，，， ， 当在线段上运动时，为12； ②由题意得：，则， 为的中点，，由得：，， 答：出发4秒后，； （2）解：如图， 由题意得：，，为的中点，， 为的中点，，， 当在延长线上运动时，长度为6． 例2（24-25七年级上·云南红河·期末）如图，在射线上有三点，满足．点从点出发，沿方向以的速度运动；点从点出发在线段上向点匀速运动（点运动到点时停止运动），两点同时出发． (1)当（在线段上）时，点运动到的位置恰好是线段的中点，则点的运动速度为____________．（直接写出答案即可） (2)若点的运动速度为，经过多长时间两点相距？ (3)当点运动到线段上时，分别取和的中点则____________．（直接写出答案即可） 【答案】(1)(2)经过2秒，秒，P、Q两点相距；(3) 【详解】（1）解：∵点P在线段上时，，， ∴，而，∴，∴， ∵点Q是线段的中点∴，而， ∴，∴点Q的运动速度为； （2）解：设运动时间为t秒，则， ∵点Q运动到O点时停止运动∴点Q最多运动时间为 依题意，分以下两种情况： ①当点P、Q相遇前，，即，解得 ②当点P、Q相遇后，，，解得：，经检验不符合题意，舍去； 当时，与重合，停止运动，此时， 当再运动时，相距，此时， 综上，经过2秒，秒，P、Q两点相距； （3）解：如图，设， 点P在线段上，则，即， 点E、F分别为和的中点，， 则． 例3（24-25七年级上·陕西商洛·期末）如图，点在线段上，，，动点从点出友，沿线段以每秒3个单位长度的速度向终点匀速运动；同时，动点从点出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点匀速运动，当点到达终点时，点也随之停止运动．设点的运动时间为秒． (1)当点与点相遇时，求的值．(2)当点与点之间的距离为9个单位长度时，求的值． (3)当时，求的值． 【答案】(1)(2)当或时，点与点之间的距离为个单位长度(3) 【详解】（1）解：∵点在线段上，，， ∴，依题意，， 当点与点相遇时，解得：； （2）解：相遇前点与点之间的距离为个单位长度时，，解得：， 相遇前点与点之间的距离为个单位长度时，则，解得：， 综上所述，当或时，点与点之间的距离为个单位长度； （3）∵，当在线段上时，，此时， ∵，∴，解得：（舍去） 当在线段上时，，此时， ∵，∴，解得：，∴ 模型2.动态线段中的‌定值模型 例1（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图（）所示，已知直线上有两点，，有一根木棒放在直线上，将木棒沿直线左右水平移动．当点与重合时，点刚好落在点移动前的位置，当点与重合时，点刚好落在点移动前的位置．    (1)直接写出木棒的长； (2)木棒在射线上移动的过程中，当时，求的长； (3)另一根木棒长为，和在直线上的位置如图（）所示，其中点与重合，点与重合．木棒以个单位长度/秒的速度向左移动，木棒以个单位长度/秒的速度向右移动，它们同时出发，设运动时间为秒，若式子的值为定值，请直接写出此时的取值范围，并写出这个定值． 【答案】(1)；(2)或；(3)，定值为． 【详解】（1）解：由题意可得，； （2）解：设， 当点在点左侧时，， ∵，∴，解得，∴； 当点在点右侧时，， ∵，∴，解得，∴； ∴的长为或； （3）解：由题意可得，当木棒和木棒重叠时，式子的值为定值， 定值即为， 当点与点重合时，，解得； 当点与点重合时，，解得； ∴当时，式子的值为定值，定值为． 例2（24-25七年级上·四川眉山·期末）如图，线段在射线上运动，，且． (1)求线段、的长；(2)点M、N分别为线段、的中点，若，求的长； (3)当运动到某一时刻时，点D与点B重合，点P是线段延长线上任意一点求证：． 【答案】(1)(2)(3)见解析 【详解】（1）解：，， ，，； （2）解：①点C在点B右边时，如图： M、N分别为线段的中点， ，， ； ②点C在点B左边时，如图： M、N分别为线段的中点， ，， ；综上，． （3）证明：当点B与点D重合时，如图： ，，． ，即． 例3（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在数轴上的A点表示数，B点表示数，满足。(1)点A表示的数为____________，点B表示的数为______________. (2)若在原点处放一挡板，一小球甲从点A 处以2个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B处以3个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒）． ①当时，乙小球到原点的距离=______________；当时，乙小球到原点的距离=_______________． ②试探究：甲、乙两小球到原点的距离可能相等吗？若不能，请说明理由；若能，请计算说明． (3)现将小球乙看成动点P，当点P运动到线段上时，分别取和的中点，试判断的值是否为定值，若不是，请说明理由；若是，请求出该定值．    【答案】(1)，5(2)①2，4；②能，当或时，甲、乙两小球到原点的距离相等 (3)的值是定值，这个定值为2 【详解】（1）解：，，，解得， 则点表示的数为，点表示的数为5，故答案为：，5． （2）解：①点表示的数为5，， 当时，乙小球运动的距离为，则乙小球到原点的距离为， 当时，乙小球运动的距离为，则乙小球到原点的距离为，故答案为：2，4； ②假设甲、乙两小球到原点的距离能相等， 乙小球从点运动到原点所需时间为（秒）， 当时，则，解得，符合题设； 当时，，解得，符合题设； 综上，当或时，甲、乙两小球到原点的距离相等． （3）解：由（1）可知，，点从点运动到点，再从点运动到点所需时间为（秒），点是的中点，点表示的数为5，点表示的有理数为， ①如图，当时，则运动秒后，点表示的有理数为，   ， 点是的中点，点表示的数为，点表示的有理数为， ，； ②如图，当时，则运动秒后，点表示的有理数为，   ， 点是的中点，点表示的数为，点表示的有理数为， ，， 综上，的值是定值，这个定值为2． 模型3.动态线段中的存在性模型（探究型） 例1（24-25七年级上·北京·期末）已知点为直线上的点，且 为的中点． (1)如图①，若，则为多少？ 若，则与的数量关系是什么？ (2)当点沿直线向左运动至图②的位置时，（）中与的数量关系是否仍然成立？请说明理由． 【答案】(1)，(2)仍然成立，理由见解析 【详解】（1）解：∵，，∴， ∵为的中点，∴，∵，∴， ∵，，∴ ， ∵为的中点，∴， ∵，∴，∴； （2）解：仍然成立，理由如下： ∵为的中点，∴，∴， ∴仍然成立． 例2（24-25七年级上·陕西宝鸡·阶段练习）已知在数轴上有A，B两点，点A表示的数为，点B表示的数为6．若动点M从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒． (1)当时，点M表示的数是____________，点N表示的数是____________；(2)当时，求t的值； (3)若点C为的中点，点D为的中点，当点M、N在线段上运动，且点M在点N的左侧时，试猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，4(2)t的值为3或5(3)，理由见详解 【详解】（1）解：当时，点M表示的数是，点N表示的数是． 故答案为：，4； （2）解：由题意得，点M表示的数为，点N表示的数为， 当点M在点N左侧时，，解得； 当点M在点N右侧时，，解得．所以当时，求t的值为3或5； （3）解：．证明：如图，当点M在点N的左侧时，，， 所以，所以， 因为点C为的中点，点D为的中点，所以，， 所以，所以， 所以，所以． 例3（24-25七年级上·浙江·期中）已知线段，（，为常数，且），线段在直线上运动（点B，M在点A的右侧，点N在点M的右侧）．P是线段的中点，Q是线段的中点． (1)如图①，当点N与点B重合时，求线段的长度（用含a，b的代数式表示）； (2)如图②，当线段运动到点B，M重合时，求线段，之间的数量关系； (3)当线段运动至点Q在点B的右侧时，请你画图探究线段，三者之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）解：因为P是线段的中点，Q是线段的中点， 所以，，∴． （2）因为P是线段的中点，Q是线段的中点，所以，， 因为，所以，因为，所以． （3）如图①， 当点M在点B的左侧时，，，所以； 如图②，当点M在点B的右侧时，，所以． 综上所述，或． 模型4.动态线段中的分类讨论模型 例1（24-25七年级上·陕西安康·期末）如图，直线上有，两点，，点是线段上一点，．(1)________，________；(2)若点以的速度从点出发沿直线向右运动，同时，点以的速度从点出发沿直线也向右运动，设运动时间为，当点与点重合时，，两点停止运动．①当为何值时，；②当点经过点时，动点从点出发，以的速度也沿直线向右运动，当点追上点后立即返回，以的速度向点运动，遇到点后再立即返回，以的速度向点运动，如此往返，直到点，停止运动时，点也停止运动，在此过程中，点行驶的总路程是多少？ 【答案】(1)，(2)①或② 【详解】（1）解：∵，，∴， ∴，∴；故答案为：，； （2）①由题意，得：，，则：， 当在线段上时，，由题意，得：，解得：， 当在线段的延长线上时，，由题意，得：，解得：； 综上：或； ②∵，∴点运动到点时，，此时两点的间的距离为：， 当点与点重合时，所需时间为：秒，∴点行驶的总路程是． 例2（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，已知线段，点、在上且满足，点从点出发沿射线方向以的速度运动，同时，点从出发沿射线方向以的速度运动，设运动时间为秒，点、分别为、的中点，当时，则 ． 【答案】或 【详解】解：∵，， ∴， 如图所示，以点A为原点，射线的方向为正方形，为1个单位长度建立数轴， ∴点A表示的数为0，点B表示的数为5，点C表示的数为20，点D表示的数为50； 由题意得，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵点、分别为、的中点， ∴点E表示的数为，点F表示的数为， ∴，， ∵，∴，解得或， ∴或， 综上所述，的长为或，故答案为；或。 例3（24-25七年级上·吉林·期末）如图，线段，动点从出发，以每秒2个单位的速度沿射线运动，运动时间为秒，M为的中点． (1)用含的代数式表示的长度为_____．(2)在点运动的过程中，当为多少时，？ (3)在点运动的过程中，点为的中点，证明线段的长度不变，并求出其值． (4)当点在延长线上运动时，当、、三点中的一个点是以另两个点为端点的线段中点时，直接写出值． 【答案】(1)(2)或(3)的长度不变，其值为(4)或 【详解】（1）解：当运动到点时， 当点在线段上，即时，； 当点在的延长线上时，即时，， ∴的长度为，故答案为：． （2）解：∵是线段的中点，∴， ∵，∴，∴或，解得或； ∴当或秒时， ； （3）解：的长度不变，其值为，证明如下： 当时，如图所示， 是线段的中点，           ， 是线段的中点，，， 的长度是一个常数，的长度不变，其值为； 当时，如图所示， 是线段的中点，           ， 是线段的中点，，， 的长度不变，其值为； （4）解：点在延长线上运动时，，由（3）可得， ∴， ∴点在的右侧，不能为中点，分两种情况讨论， ①当是的中点时，如图所示， ∴∴ ∵∴； ②当是的中点，如图所示， ∴，∴， ∵是线段的中点，   ∴，解得：，综上所述，或． 模型5.动态线段中的新定义模型 例1（24-25七年级上·辽宁铁岭·期末）已知点C在线段上，若或，则称点C是线段的“五美点”． 【理解定义】（1）若线段，C是线段的“五美点”，则______； 【解决问题】（2）如图，E在射线上，． ①若点D、F均为线段的“五美点”，且，又K为线段的中点，求线段的长度；②点P从点O出发，以每秒5个单位长度的速度沿射线向右运动，同时点Q从点E出发，以每秒2个单位长度的速度也沿射线向右运动，运动时间为t秒，点P追上点Q时，两点同时停止运动，请问当P、E、Q三点中某一点为其余两点所构成线段的“五美点”时，t的值是多少？请直接写出答案，不必写过程． 【答案】（1）5或1，（2）①；②t=或t=或t=或t= 【详解】解：（1）∵C在线段上，∴． ∵C是线段的“五美点”，∴或，即或． ∴或． 又∵，∴或1．故答案为：5或1； （2）①∵点D、F均为线段的“五美点”，且， ∴，，∴， ∵K为线段的中点，∴，∴； ②由题意得：点P在数轴上表示的数为，点Q在数轴上表示的数为，点P追上点Q时， ，解得：， Ⅰ、点E是线段的“五美点”，则或， ∴或，解得：或； Ⅱ、点P是线段的“五美点”，则或， 或，解得：或，综上：或或或 例2（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图①，点M是线段上任意一点，图中共有三条线段和，若其中的两条较短线段中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段的“友好点”．(1)若，点M是线段上靠近点A的“友好点”，求的长； (2)如图②，若，点M是线段的“友好点”，点N是线段的中点，则__________； (3)如图③，已知，动点P从点A出发，以速度沿向点B匀速移动，点从点B出发，以的速度沿向点A匀速移动，点同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．设移动的时间为t，请求出t为何值时， 三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“友好点”． 【答案】(1)；(2)或；(3)或4或或． 【详解】（1）点M是线段上靠近点A的“友好点”,根据“友好点”的定义可得，， ，，解得，． （2）由题意可知，点N是线段的中点， 不是线段的中点，当点是靠近点的三等分点时，有， ，，， ，， 当点是靠近点的三等分点时，有， ，，， ，． （3）由题意可知，A点不可能是“三等分点”，故P或Q点是“三等分点”． ，t秒后，，， 当P点是“三等分点”时，， 当时，有，解得 当时，有，解得， 当Q点是“三等分点”时，， 当时，有，解得 当时，有，解得 综上所述：或4或或． 例3（24-25·七年级上·江苏泰州·期末）【概念学习】点在线段上，若，则称是点在线段上的“分点值”，记作．例如，如图1，若，则点在线段上的“分点值”是，记作；若，则，故点在线段上的“分点值”是，记作． 【理解与应用】(1)已知点在线段上．若，，则________； 若，，则_________． (2)如图2，线段， 是线段上一点，、两点分别从点、出发以，的速度同时向点运动，运动的时间为， 当其中一点到达点时，两点都停止运动． ①若点在上运动时，总有，求出的值； ②若，则当为何值时，； ③若时，，则___________． 【答案】(1)；18(2)①；②；③或 【详解】（1）解：若，，则， 若，，则，∵，∴． ∵∴．故答案为：；18； （2）①，．∵，∴． ∴．∴； ②∵，，∴，则． ∴，， ∵，∴，故； ③∵．∴，．分两种情况： 当在的左侧时，∵，∴．∴． 可知，，则； 当在的右侧时，．， 则；综上所述，或；故答案为：或． 1．（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图，线段，动点P从A出发，以的速度向点B运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（   ） ①运动后，； ②在点P运动过程中，值随着点P位置的变化而变化； ③当时，运动时间为． A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 【答案】D 【详解】解：运动后，， ∵为的中点，为的中点，∴， ∴，故①正确；设运动秒，则， ∵为的中点，为的中点，， ∴，， ∴的值不变，故②错误；， ，解得：，故③正确；故选：D． 2．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）定义：如图1，点在射线上，图中共有三条线段，和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“美点”．如图，已知，动点，分别从点，同时出发沿相向运动，速度分别为，，当点到达点时，运动停止．设点的运动时间为，当点恰好是线段的“美点”时，最大值与最小值的差为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：动点，分别从点，同时出发沿相向运动，速度分别为，，设点的运动时间为，∴，， 当时，相遇，即，解得： 当时，， 当时，，∴， 由新定义可知或或， 当时，则，解得或（舍去） 当时，则，解得； 当时，则，解得或， ∴的最大值为，最小值为，∴，故选：D． 3．（24-25七年级下·广西南宁·开学考试）如图，射线上有A、B、C三点，满足，，．点P从点O出发，沿方向以的速度匀速运动，2秒后点Q从点C出发在线段上向点O匀速运动，当点Q运动到点O时，点P，Q停止运动．当点P运动到线段的中点D时，此时Q点距离到达D点还差，则点Q的运动速度是 ． 【答案】2 【详解】解：设点Q的运动速度是， 因为当点P运动到线段的中点D时，此时Q点距离到达D点还差， 所以，整理得，解得，故答案为：． 4．（25-26七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，已知直线上的三条线段分别为：，，，将线段固定不动，线段以每秒个单位的速度向右运动，、分别为、中点，设线段的运动时间为，当时， ． 【答案】6 【详解】解：设运动秒后，点表示，点表示，点表示，点表示， 为中点，为中点，点表示，点表示， ，，， 当时，．故答案为：． 5.（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，C为射线上一点，，比的多5，P、Q两点分别从A、B两点同时出发，分别以3单位/秒和2单位/秒的速度在射线上沿方向运动，运动时间为t秒，M为线段上一点，且，N为的中点，以下结论： ①；②；③当时，，其中正确的是 ． 【答案】① 【详解】解：当在线段上时，∵，比的多5， ∴，解得：，则，∴， 当在线段外时，∵，比的多5， ∴，解得：，不合题意；故①正确； ∵P、Q两点分别从A、B两点同时出发，分别以3单位/秒和2单位/秒的速度在射线上沿方向运动，运动时间为t秒，∴时间为时，，， 当在左边时，，∵，∴， ∴，∴， ∵N为的中点，∴，∴，∴； 当在右边时，，∵，∴， ∴，∴， ∵N为的中点，∴，此时不一定等于；故②错误， 当在左边时，，， ∴当时，则，解得：， 当在右边时，，， ∴当时，则，解得：，故③错误，故答案为：①． 6．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）已知点在线段上，，线段在直线上移动（点，不与点，重合） (1)若，求和的长；(2)若，，线段在线段上移动，且点在点的左侧，①如图，当点为中点时，求的长；②点（不与点，，重合）在线段上，，，求的长． 【答案】(1)， 【详解】（1）解：，，； （2）解：，，， 当点为中点时，则， ，，； 分两种情况：）当在点左侧时，如图， ，，， ，，，； ）当在点右侧时，如图， ，，，，， ，；综上所述，或． 7．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，射线上有三点A、B、C，满足，，，点P从点O出发，沿方向以的速度匀速运动，点Q从点C出发在线段上向点O匀速运动，两点同时出发，当点Q运动到点O时，点P、Q停止运动． (1)若点Q运动速度为，经过多长时间P、Q两点相遇？ (2)当P在线段上且时，点Q运动到的位置恰好是线段的三等分点，求点Q的运动速度； (3)当点P运动到线段上时，分别取和的中点E、F，求的值． 【答案】(1)(2)或(3)2 【详解】（1），，， 设经过时两点相遇，根据题意，得，解得，所以经过后两点相遇； （2），，，，；点P，Q的运动时间为 ，，或40；Q的运动速度为或 （3）设运动时间为ts，，， ， ∵、分别是、的中点，，； ；． 8．（2024·江苏·七年级校考阶段练习）【概念与发现】当点C在线段AB上，时，我们称n为点C在线段AB上的“点值”，记作． 例如，点C是AB的中点时，即，则；反之，当时，则有． 因此，我们可以这样理解：“”与“”具有相同的含义． 【理解与应用】(1)如图，点C在线段AB上．若，，则________； 若，则________AB． 【拓展与延伸】(2)已知线段，点P以1cm/s的速度从点A出发，向点B运动．同时，点Q以3cm/s的速度从点B出发，先向点A方向运动，到达点A后立即按原速向点B方向返回．当P，Q其中一点先到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为t（单位：s）．①小王同学发现，当点Q从点B向点A方向运动时，的值是个定值，则m的值等于________；②t为何值时，． 【答案】(1)，(2)①3；②2或6 【详解】（1）解：∵，，∴∴，∵，∴ （2）解：①设运动时间为t，则AP=t，AQ=10-3t，则， ∵的值是个定值，∴的值是个定值，∴m=3 ②当点Q从点B向点A方向运动时，∵∴∴t=2 当点Q从点A向点B方向运动时，∵∴∴t=6∴t的值为2或6 9．（24-25七年级上·湖南永州·期末）如图，数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，且．      (1)______，______；(2)P为数轴上的动点，设Q为的中点，点P从点M向左运动时，请探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2)当点P在线段上时，；当点P在点N左侧，点Q在线段上时，；当点P、点Q均在点N左侧时，，理由见详解 【详解】（1）∵，又∵，， ∴，，∴，，故答案为：，； （2）当点P在线段上时，；当点P在点N左侧，点Q在线段上时，；当点P、点Q均在点N左侧时，，理由如下：设点P表示的数为x， ∵，，∴， 当点P在线段上时，如图，    ∵点P表示的数为x，点N表示的数为，点M表示的数为， ∴，，∴， ∵Q为的中点，∴，∴， ∴，∴； 当点P在点N左侧，点Q在线段上时，即，如图，    ∴，，∴， ∵Q为的中点，∴，且， ∴，则：，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴； 当点P、点Q均在点N左侧时，如图，    ∴，，∴， ∵Q为的中点，∴，且，∴， ∴，∴， ∴， 综上所述：当点P在线段上时，；当点P在点N左侧，点Q在线段上时，；当点P、点Q均在点N左侧时，． 10．（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图①，已知线段，线段在射线上运动（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧），且． (1)若，求的长．(2)当在线段的延长线上时，如图②所示，若点M，N分别是线段的中点，求的长．(3)当运动到某一时刻，使得点D与点B重合时，若点P是线段延长线上任意一点，请判断是否为定值，并说明理由． 【答案】(1)17或25(2)(3)不是定值，理由见解析． 【详解】（1）解：∵，， ∴，∴，∴， ①当点C在点B的左侧时，，，， ②当点C在点B的右侧时，，，， 综上所述，的长为17或25． （2）解：∵点M，N分别为线段的中点， ，． ∴； （3）解：不是定值，说明如下： 点D与点B重合，点P是线段延长线上任意一点，如图所示： ∴，∵，∴ ， ∵点位值不确定，∴长度不确定，故不是定值． 11．（24-25七年级·福建·期末）如图，已知，点C、D分别为线段、上的动点，若点C从点O出发以的速度沿方向运动，同时点D从点B出发以的速度沿方向运动．    (1)如图1，当运动时间为时，求的值；(2)如图1，若在运动过程中，始终保持，求OA的长；(3)如图2，在（2）的条件下，延长BO到点M，使，点P是直线OB上一点，且，求的值． 【答案】(1)(2)(3)或 【详解】（1）解：当运动时间为时，，， ∵，∴，∴， ∵，∴；       （2）解：设运动时间为，则，，∴，， ∵，∴，∴ ∵，∴，∴． （3）解：∵，∴，，， ∵，∴点P在点O右边， 当点P在O、B之间时，∴， ∵，∴，∴，∴． 当点P在点B右边时，∵，， ∴，∴；综上，或． 12．（24-25七年级上·浙江·专题练习）如图，P是线段上一点，，C，D两点分别从点P，B出发以，的速度沿直线向左运动（点C在线段上，点D在线段上），运动的时间为． (1)当时，，的长为 ； (2)若点C，D运动到任一时刻时，总有，请求出的长； (3)在（2）的条件下，若Q是直线上一点，且，求的长． 【答案】(1)(2)(3)或 【详解】（1）解：当时，，， ∵，∴， ∴，∴．故答案为：； （2）解：将和分别代入，得， 解得，∴； （3）解：当点Q在线段上时：∵，， ∴，∴； 当点Q在延长线上时：∵， ∴，∴，综上所述：或． 13．（24-25七年级上·陕西商洛·期末）如图，点C是线段上一点，，，点P从点A处出发，以的速度沿向右运动，终点为点B处；点Q从点B处出发，以的速度沿向左运动，终点为点A处．已知点P和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设点P的运动时间为．(1)当点P运动到点C处时，线段的长度为__________； (2)当P，Q两点重合时，求t的值；(3)是否存在某一时刻，使得C，P，Q这三个点中，有一个点恰好是另外两点所连线段的中点？若存在，求出所有满足条件的t值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)(3)值为4或7或． 【详解】（1）解：∵，， ∴，∴， ∴，∴，故答案为， （2）解：由题意可得：，， 当、重合时，，解得：； （3）由题意可得：， ①当点是线段的中点时，，解得：； ②当点是线段的中点时，，解得：； ③当点是线段的中点时，解得：； 综上所述，满足条件的值为4或7或． 14．（24-25七年级上·河北衡水·期中）如图，已知数轴上A，B两点所表示的数分别为和8． (1)若点A，B分别以每秒1和3个单位长度的速度向左移动，直接写出移动多少秒时，A，B两点的距离恰好为8？(2)若P为射线上的一点（点P不与A，B两点重合），M为的中点，N为的中点，当点P在射线上运动时，线段的长度是否发生改变？若不变，请你画出图形，并求出线段的长；若改变，请说明理由．(3)在第（2）问的条件下，点P所表示的数是多少时，？ 【答案】(1)当移动1秒或9秒时，A，B两点的距离恰好为8 (2)线段的长度不发生变化，其值为5，理由见详解 (3)点所表示的数为或， 【详解】（1）解：设A、B两点移动的时间为，由题意可知后点A、B在数轴上所表示的数分别为， 当点B在点A的右侧时，则有，解得：； 当点B在点A的左侧时，则有，解得：； 综上所述：当移动1秒或9秒时，A，B两点的距离恰好为8； （2）解：线段的长度不发生变化，其值为5． ∵M为的中点，N为的中点，∴， 分下面两种情况：①当点在、两点之间运动时（如图）． ； ②当点在点的左侧运动时（如图）． ． 综上所述，线段的长度不发生变化，其值为5． （3）解：当点在、两点之间运动时， ∵，∴， 又，解得：，此时点所表示的数为； 当点在点的左侧运动时，同理得：， ，解得：．此时点所表示的数为． 15．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）已知，，点为线段的三等分点（），点在点左侧，点在点左侧． (1)若线段在线段上运动．如图，当点为线段的中点时， ；（直接写出结果） 为线段上一点，且，，求线段的长； (2)若线段在射线上运动，且，求线段的长． 【答案】(1)；线段的长为或；(2)线段的长为或． 【详解】（1）解：如图，∵点为线段的三等分点（）， ∴，， ∵点为线段的中点，∴，∴，故答案为：； 如图，当点在点的右侧时， 设，则，，，，， ∵，∴，解得， ∴，∴； 如图，当点在点的右侧，点在点的左侧时， 设，则，，，，， ∵，∴，解得，∴， ∴；∴线段的长为或； （2）解：如图，当线段在线段上时， 设，则，，∴， ∵，∴，解得，∴； 如图，当点在的延长线上，点在线段上时， 设，则，，∴， ∵，∴，解得，不合，舍去； 如图，当线段在线段的延长线上时， 设，则，，， ∵，∴，解得，∴； 综上，线段的长为或． 16．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）已知：如图1，M是定长线段上一定点，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上）。(1)若，当点C、D运动了，求的值． (2)若点C、D运动时，总有，直接填空： ___________． (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，求的值． 【答案】(1)(2)(3)或1 【详解】（1）解：（1）当点C、D运动了时，，， ，，，． （2）解：设运动时间为t，则，， ，，又，，即， ，，，故答案为：． （3）解：当点N在线段上时，如图 ， 又，，，即． 当点N在线段的延长线上时，如图： ， 又，，即．综上所述的值为或． 17．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）如下图所示，在数轴上点A、B、C起初表示的数分别是、2、20，从某一时刻开始，点A以每秒3个单位长度的速度向右运动，点C同时出发以每秒1个单位长度的速度向左运动，设运动的时间为t秒，点M是线段的中点. (1)运动开始前，线段的中点M表示的数是______； (2)点A、C运动t秒后，线段的中点M表示的数是______（用含的式子表示并化简）； (3)按照上述方式运动， A、C两点同时出发多少秒后相遇，相遇点表示的数是多少? (4)若点B跟点A、C同时出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，当点A和点C相遇后，所有的点都停止运动，试说明的值与t无关. 【答案】(1)6(2)(3)7秒后相遇，相遇点表示的数是13(4)见解析 【详解】（1）解：∵运动开始前，点A表示的数为，点C表示的数为20， ∴线段的中点M表示的数是； （2）t秒后，点A表示的数为，点C表示的数为， 则此时线段的中点M表示的数是； （3）当A、C两点相遇时，，解得：，相遇点表示的数为：； （4）t秒后，点B表示的数为，则，， ∴，故的值与t无关． 18．（24-25七年级上·广东·期末）如图，已知直线l上有两条可以左右移动的线段：，且m，n满足，点M，N分别为中点．    (1)求线段的长；(2)线段以每秒4个单位长度向右运动，线段以每秒1个单位长度也向右运动．若运动6秒后，，求此时线段的长；(3)若，将线段固定不动，线段以每秒4个单位速度向右运动，在线段向右运动的某一个时间段t内，始终有为定值．求出这个定值，并直接写出t在哪一个时间段内． 【答案】(1)线段的长是4，线段的长是8(2)16或8 (3)当时，为定值，定值为6 【详解】（1）解：∵，∴，， ∴，，∴，，即线段的长是4，线段的长是8； （2）解：∵，，∴，， 设运动后点M对应点为，点N对应点为，分两种情况， 若6秒后，在的左侧时：， ∴，即，解得． 若6秒后，在的右侧时：， ∴，即，解得． 即线段的长为16或8； （3）解：∵，，， ∴，， ∵线段固定不动，线段以每秒4个单位速度向右运动， ∴运动t秒后，，， 当时，； 当时，； 当时，； 故当时，为定值，定值为6． 19．（24-25·湖南邵阳·七年级统考期末）如图，在直线上，线段，动点从出发，以每秒2个单位长度的速度在直线上运动，为的中点，为的中点，设点的运动时间为秒． (1)若点在线段上运动，当时， ；(2)若点在射线上运动，当时，求点的运动时间的值；(3)当点在线段的反向延长线上运动时，线段、、有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明你的理由． 【答案】(1)3；(2)或20；(3)，理由见解析． 【详解】（1）解：∵为的中点，为的中点，， ∴，，∴， ∵线段，∴，∴． （2）①当点P在线段上，，如图， ∵，为的中点，∴，解得 ②当点P在线段的延长线上，，如图， 同理：，解得 综上所述，当时，点P的运动时间t的值为或20． （3）当点P在线段的反向延长线上时，，理由如下： 如图， ∵，为的中点，为的中点， ∴，， ，． 20．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）如图1，点C在线段上，图中共有三条线段和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“巧点”． (1)若点C是线段的中点，判断C是否是线段的“巧点”； (2)如图2，已知，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动；点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿向点A匀速运动，点P，Q同时出发，设移动的时间为t（s），当其中一点到达终点时，运动停止．①当t为何值时，P、Q重合？②当t为何值时，Q为的“巧点”？ 【答案】(1)中点是这条线段“巧点”．(2)①时，P、Q重合；②或，Q为“巧点” 【详解】（1）因为点C是线段的中点，所以，所以中点是这条线段“巧点”． （2）①由题意，得：，解得：； ②当为中点（）时，，；（运动终止） 当时，，； 当时，，（舍去） 综上所述：或，Q为 “巧点”． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $