第16讲 直线与椭圆的位置关系讲义（知识详解+11典例精讲+课后作业）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册暑假预习

第16讲 直线与椭圆的位置关系 （知识详解+11典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：直线与椭圆的位置关系 知识点02：中点弦问题 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：讨论椭圆与直线的位置关系 题型02：根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 题型03：根据韦达定理求参数 题型04：求椭圆中的弦长 题型05：椭圆中三角形(四边形)的面积 题型06：椭圆的中点弦 题型07：求椭圆中的参数及范围 题型08：求椭圆中的最值问题 题型09：椭圆中的直线过定点问题 题型10：椭圆中的定值问题 题型11：椭圆中的向量问题 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】直线与椭圆的位置关系 直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系的判断方法： 联立消去y(或x)得到一个关于x(或y)的一元二次方程： 位置关系 解的个数 Δ的取值 相交 两解 Δ>0 相切 一解 Δ＝0 相离 无解 Δ<0 注意点： 设直线方程时，容易忽略斜率不存在的情况． 【例1】判断直线与椭圆的位置关系。 解：步骤1：联立直线与椭圆方程 步骤2：代入消元、整理方程 将代入椭圆方程： 两边同乘4去分母化简： 步骤3：计算判别式 步骤4：判定结论 因为，所以直线与椭圆相交，有两个不同公共点。 答案：直线与椭圆相交。 【知识点02】中点弦问题 点差法：设出弦的两端点坐标后，代入椭圆的方程，将两式相减，式中含有， ， 三个未知量，这样就联系了中点坐标和直线的斜率． 【例2】已知椭圆的弦的中点为，求弦所在直线的方程。 解：步骤1：确定椭圆参数与中点坐标 由椭圆方程，得，； 中点坐标，。 步骤2：代入中点弦斜率公式求斜率 步骤3：用点斜式求直线方程 直线过中点，斜率，由点斜式得： 整理化简： 步骤4：验证相交性 联立直线与椭圆方程，可求得，直线与椭圆真实相交，方程有效。 答案：弦所在直线方程为。 【题型01】讨论椭圆与直线的位置关系 【典例1-1】（25-26高二上·河南·阶段检测）直线与椭圆的位置关系为（    ） A．与k的值有关 B．相切 C．相离 D．相交 【答案】D 【分析】先求出直线的必过定点，利用椭圆的性质得到点在椭圆内部，进而得到位置关系即可. 【详解】设椭圆上的点为，则，， 而直线恒过定点，则该定点在椭圆的内部， 可得不论k为何值，直线与椭圆都相交，故D正确. 故选：D 【变式1-1】已知直线，椭圆，则直线与椭圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【答案】C 【分析】联立直线和椭圆方程，根据所得到的方程的解的个数来判断直线和椭圆的位置关系. 【详解】联立，消去，整理得到，该方程判别式，于是此方程无解，即直线和椭圆没有交点，故直线和椭圆相离. 故选：C 【变式1-2】直线与椭圆（）的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】C 【分析】由直线与椭圆的位置关系求解即可. 【详解】因为直线过点， 而为椭圆的右端点和上端点， 故直线与椭圆相交. 故选：C. 【变式1-3】在平面直角坐标系中，已知点，点为圆上任意一点，线段的垂直平分线交半径于点，当点在圆上运动时，记点的轨迹为. (1)求的方程； (2)若点，试判断直线与的位置关系，并说明理由. 【答案】(1) (2)相切，理由见解析 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质和椭圆的定义来确定的轨迹方程. （2）先求出直线的方程，再联立直线的方程与椭圆的方程，通过判断方程解的个数来确定直线与椭圆的位置关系. 【详解】（1）圆心，半径. 线段的垂直平分线交半径于点. 点在圆上， . . 点的轨迹是以为焦点的椭圆，其中，则. . 的轨迹方程为. （2） 因为直线是线段的垂直平分线，所以直线的斜率 又直线过，所以直线方程：， 联立， 可得，即，只有一个解. 直线与椭圆相切. 【题型02】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【典例2-1】（25-26高二上·重庆大足·期中）已知椭圆E：，若过点的两条直线，与E都只有一个交点，且，则（    ） A． B． C．3 D．-3 【答案】A 【分析】设切线方程为，联立方程结合可得，可知为关于的方程的两根，根据垂直关系结合韦达定理运算求解. 【详解】由题意可知：过点与椭圆E相切直线的斜率存在， 设切线方程为，直线，的斜率分别为， 联立方程，消去y可得， 则，整理可得， 因为，则，可知为关于的方程的两根， 若，则，解得， 且，所以. 故选：A. 【变式2-1】（24-25高二上·浙江杭州·期中）若直线与椭圆有两个不同的交点，则m的范围是_______． 【答案】 【分析】联立直线与椭圆方程，根据可得m的范围. 【详解】由得，， ∵直线与椭圆有两个不同的交点， ∴，解得， ∴m的范围是. 故答案为：. 【变式2-2】（多选）（25-26高二上·云南玉溪·期末）已知直线与椭圆有公共点，则可取（   ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】BCD 【详解】联立可得. 依题意得，，解得. 所以可取、、. 【变式2-3】（25-26高二下·陕西汉中·期末）已知椭圆的两个焦点分别是，，并且其离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆有两个公共点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用椭圆的焦点与离心率求出，即得椭圆方程； （2）将直线方程与椭圆方程联立消元后，根据判别式为正，解不等式即得的取值范围. 【详解】（1）依题意可得，，可得， 则， 故椭圆的标准方程为. （2）联立，消元整理得 由，解得或. 即实数的取值范围为. 【题型03】根据韦达定理求参数 【典例3-1】已知椭圆，是椭圆的一条弦的中点，点在直线上，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出直线的方程，与椭圆的方程联立结合韦达定理求出的关系计算即得. 【详解】依题意，直线的斜率，直线的方程为，即， 由消去并整理得：， 则，即， 设，则，而弦的中点为，即， 于是，解得，此时 所以椭圆的离心率. 故选：A 【变式3-1】（2025高二上·河南安阳·专题练习）已知直线交椭圆于两点，椭圆与轴的正半轴交于点，若的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用重心坐标公式，结合韦达定理计算即可． 【详解】设点，椭圆右焦点为， 设的方程为，代入椭圆方程， 得：， 联立①②，解得， ∴的方程为， 经检验，满足． 故选：D． 【变式3-2】（25-26高二上·江苏连云港·期中）已知椭圆，过点的直线与椭圆交于两点，以线段，为邻边作平行四边形（为坐标原点），若点在椭圆上，则直线的斜率为__________． 【答案】 【分析】设直线的方程，然后与椭圆联立，再利用平行四边形的性质得到点坐标，最后将点坐标代入椭圆方程求解直线的斜率即可. 【详解】由题意可知直线l的斜率存在，设直线的斜率为， 直线过点，直线的方程为， 联立直线和椭圆，得， 需满足，解得或， 设，根据韦达定理，得，， 又四边形为平行四边形， ， 又，， 将点坐标代入椭圆方程，得， 化简得，代入， 得，解得，符合题意， 故答案为：. 【变式3-3】（24-25高二上·湖南永州·期末）已知椭圆的离心率为，点在上． (1)求的方程； (2)设直线交于，两点，直线，的斜率之和为0，求直线的斜率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件结合、、关系列方程，解方程即可求解； （2）设出直线方程，直曲联立，得到方程：，根据韦达定理得到：，，结合已知条件得到方程：，解方程验证即可求解. 【详解】（1） 依题意，，点在椭圆上， ∴解得，，， 所以椭圆的方程为：． （2）依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立，消得， ， 设，， 由韦达定理得， ，， 又，则， ∴， ，代入化简得： ， 将，代入化简得：， 即，∴或． 当时，直线过点，不合题意， 综上；直线的斜率为． 【题型04】求椭圆中的弦长 【典例4-1】（25-26高二上·江苏淮安·阶段检测）已知椭圆与直线交于、两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将直线的方程与椭圆方程联立，求出两个交点的横坐标，结合弦长公式可求得的值. 【详解】设点、，直线的方程可化为， 联立可得，解得，， 由弦长公式可得. 故选：C. 【变式4-1】（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）过椭圆的左焦点作倾斜角为的弦，则弦的长为__________. 【答案】 【详解】椭圆化为标准方程得，该椭圆的左焦点是， 又因为直线的倾斜角为，所以直线的方程为， 由，消去并整理，得， 设，则， 由弦长公式，得. 【变式4-2】（多选）已知过点的直线与椭圆交于两点，则弦长可能是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】BCD 【分析】讨论直线斜率存在性，设直线方程并联立椭圆方程，应用韦达定理及弦长公式求的范围，即可得答案. 【详解】由，即点在椭圆内， 若直线斜率存在，设直线为，联立椭圆， 整理得，且， 所以， 则， 若直线斜率不存在，则为长轴长，即， 综上，.    故选：BCD 【变式4-3】（25-26高二下·陕西咸阳·期末）已知椭圆：的焦距为4，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)若斜率为的直线过椭圆的右焦点，且与椭圆相交于、两点，求弦的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由离心率和焦距列出等式，求得即可； （2）由弦长公式即可求解. 【详解】（1）由题知得，， 所以椭圆的方程为． （2）椭圆的右焦点，所以直线的方程为：， 代入椭圆的方程，化简得，， 设，，由韦达定理知，，， 故． 由弦长公式，得， 即弦的长度为． 【题型05】椭圆中三角形(四边形)的面积 【典例5-1】已知,为椭圆：的两个焦点P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且,则四边形的面积为（    ） A．24 B．33 C．9 D．18 【答案】D 【分析】判断出四边形为矩形，根据将椭圆与联立，解出点P,Q的坐标，进而即得. 【详解】由题意可知四边形为矩形， P,Q可看作是椭圆：与圆关于坐标原点对称的两个交点， 不妨设P,Q位置如图所示分别位于一、三象限. 由得， 所以， 因为，所以. 所以. 故选：D 【变式5-1】（24-25高二上·河南南阳·阶段检测）椭圆的左､右焦点分别为，点在上，直线过左焦点，且与椭圆相交于两点，若直线的倾斜角为，则的面积等于__________. 【答案】 【分析】根据点可得椭圆方程，即可得的方程为，联立直线与椭圆方程得韦达定理，利用弦长公式以及点到直线的距离公式，结合面积公式即可求解. 【详解】已知点在椭圆上，可得，所以， 又因为直线的斜率，所以的方程为. 设，联立方程组消去得，可得， 所以， 点到直线的距离， 所以. 故答案为:. 【变式5-2】（25-26高二上·河北张家口·期中）已知椭圆的左焦点为，短轴长为4．求： (1)椭圆C的标准方程． (2)过点F且斜率为1的直线l交椭圆C于A、B两点，O为坐标原点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的相关概念，求出参数，写出椭圆的标准方程即可. （2）根据直线点斜式方程，以及直线与椭圆的位置关系，联立方程组，求出交点坐标，求出三角形面积即可 【详解】（1）由题意知，所以， 所以椭圆C的标准方程为. （2） 如图所示，过点F且斜率为1的直线l方程为， 可得，消去得，解得或， 则交点坐标为 则. 【变式5-3】焦点在轴上的椭圆，离心率为，短轴长为2． (1)求该椭圆的标准方程； (2)过椭圆的左、右焦点，分别向斜上方作斜率为1的两条射线，依次交椭圆的上半部分于点，求四边形的面积． 【答案】(1)；(2)． 【分析】（1）由题意可求得，，求解可得椭圆的标准方程； （2）延长交椭圆于另一点，连接，，利用已知可得，联立直线的方程与椭圆方程，可求得. 【详解】（1）设椭圆的标准方程为． 由题意知，，，解得，，． 故椭圆的标准方程是． （2）椭圆的左、右焦点是，延长交椭圆于另一点，连接，． 利用椭圆的对称性可知，故， 则． 易知直线的方程为，与椭圆联立方程组 ， ． 而点到直线的距离等于点到直线的距离， 从而，故四边形的面积为． 【题型06】椭圆的中点弦 【典例6-1】（25-26高二上·湖南常德·期末）椭圆中，以为中点的弦所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用点差法求得直线的斜率，再利用点斜式即可求得所求直线方程. 【详解】因为，所以点在椭圆内， 又不在坐标轴上，故以为中点的弦所在的直线斜率存在， 设以点为中点的弦的两端的坐标分别为， 则，由，两式相减， 得，则， 设以点为中点的弦所在直线斜率为，则， 所以所求直线方程为：，即. 故选：C 【变式6-1】（24-25高二上·安徽马鞍山·期中）已知中心在原点，焦点坐标为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，则该椭圆的方程为________． 【答案】 【分析】将直线方程和椭圆方程联立得方程组，消元，根据韦达定理和中点坐标公式可得，再根据焦点坐标得出，联立可得，，可得椭圆的方程． 【详解】由题意设椭圆的标准方程为， 联立，消元得， 设两个交点分别为，，则弦中点横坐标为， 则结合韦达定理得，即①， 因为焦点，所以有②， 由①②得， 所以椭圆方程为， 故答案为： 【变式6-2】（多选）（25-26高二上·青海西宁·期末）设椭圆的方程为，斜率为的直线不经过原点，且与椭圆相交于两点，为线段的中点.下列结论正确的有（   ） A．直线与垂直 B．若点坐标为，则直线方程为 C．若直线方程为，则点坐标为 D．若直线方程为，则 【答案】BD 【分析】利用椭圆中中点弦问题的处理方法，结合弦长的求解方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】 设，则， 两式作差，得，设线段的中点，则， 对于A，，所以A不正确. 对于B，因为点坐标为，，所以，所以直线方程为，即，所以 正确. 对于C，若直线方程为，，即，又， 解得，故点，所以C不正确. 对于D，若直线方程为，与椭圆方程 联立，得， 整理得，解得，. 所以，所以D正确. 故选：BD. 【变式6-3】（25-26高二上·甘肃陇南·期末）已知为椭圆C：（）的上焦点，D，E分别为C的左、下顶点，且的面积为. (1)求a； (2)若斜率为4的直线l与C交于A，B两点，且为线段AB的中点，求t. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件列方程组求解； （2）设，与椭圆方程联立，根据韦达定理和中点坐标公式求解. 【详解】（1）由题意可知，，， 且， 则，则，得； （2）由（1）可知，椭圆C：， 设直线，， 联立，得， 则， 则， 因为为线段AB的中点，所以，，解得. 【题型07】求椭圆中的参数及范围 【典例7-1】（25-26高二上·江西南昌·期中）已知点，椭圆上两点，满足，则当点横坐标的绝对值最大，的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】设，由得将，代入椭圆方程，消元得到关于的二次函数，根据二次函数性质，当时，最大。 【详解】设，由，得： 即有又，在椭圆上，那么， 将代入可得：， 两式相减得：， 即，由可得， 两式相加，解得， 则， ， 即有时，有最大值4，即点横坐标的绝对值最大. 故选：D. 【变式7-1】（24-25高二上·甘肃白银·阶段检测）设，是椭圆长轴的两个端点，若椭圆上存在点满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】易知当为短轴端点时取得最大值，即此时，分情况讨论当椭圆焦点在两坐标轴上时，长轴与短轴的范围，即可得解. 【详解】 由已知当点运动到短轴的端点时，取最大值，此时， 当时，椭圆的长轴在轴上，如图1所示， 令，， 由，可知， 则，则，即； 当时，椭圆的长轴在轴上， 如图2所示，令，， 由，可知， 则，则，即； 综上所述，， 故选：A． 【变式7-2】已知，是椭圆：的长轴的两个端点，若上存在点满足，则的取值范围是_______. 【答案】 【分析】分轴为长轴和轴为长轴两种情况分别求的取值范围，由点为椭圆的短轴的端点时，最大.利用三角函数建立不等式求得所示的范围. 【详解】当轴为长轴，即时，，，当点为轴与椭圆的交点时，最大. 要使椭圆上存在点满足，则，即， 所以，故. 当轴为长轴时，即时，，，当点为轴与椭圆的交点时，最大. 要使椭圆上存在点满足，则，即， 所以，故. 综上所述，的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】易错点点睛：在椭圆的标准方程中示指明焦点的位置时，注意考虑焦点在两个坐标轴上的情况，容易先入为主，认为椭圆的焦点在x轴上，从而漏掉一种情况. 【变式7-3】已知椭圆C：，，过P点斜率为k的直线与椭圆C交于另一点为Q． (1)若的面积为，求k的值； (2)若直线与椭圆C交于M，N两点，且，求的值． 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）由题意，得到直线的方程，设出点的坐标，将直线的方程与椭圆的方程联立，利用韦达定理、点到直线的距离公式、弦长公式以及三角形面积公式进行求解即可； （2）将直线方程与椭圆的方程联立，利用根的判别式、韦达定理以及直线垂直的条件，列出等式进行求解即可. 【详解】（1）易知直线PQ的方程为，不妨设， 联立，消去y并整理得， 由韦达定理得，所以， 又点O到直线的距离， 则 解得或； （2）不妨设， 联立，消去y并整理得， 此时，解得， 由韦达定理得， 不妨设线段MN的中点为D， 此时，所以， 因为，所以，即， 解得，满足，故． 【题型08】求椭圆中的最值问题 【典例8-1】（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知椭圆 ，则该椭圆上的点到 的距离的最小值为（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义和性质进行求解即可. 【详解】因为椭圆方程为，所以， 所以右顶点坐标为，. 根据椭圆性质可知，椭圆上到右焦点距离最短的点为右顶点， 所以最小值为. 故选：A. 【变式8-1】（2025高二上·福建厦门·专题练习）已知F是椭圆的一个焦点，PQ是过其中心的一条动弦，则面积的最大值是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过点 与 关于原点对称的特性，将 分解为两个等面积三角形；再以焦点到原点连线为底、点 的纵坐标绝对值为高，将面积表示为 ；最后利用椭圆上点的纵坐标最大值为，得出最大值为 . 【详解】设椭圆右焦点为（其中）， 过椭圆中心，则与关于原点对称， 设，则， 将分成和， 由于与关于原点对称，， 所以， 以为底，到轴的垂直距离为高，， 因此， 点在椭圆上，故， 所以， 即面积最大值为. 故选：D 【变式8-2】（24-25高三下·山西·阶段检测）已知为椭圆上一动点．设点，，则的最小值为________． 【答案】/ 【分析】利用椭圆的定义，得到，从而可求解. 【详解】根据题设可知，为椭圆的右焦点，设为椭圆的左焦点，则， 所以，当，，三点共线时等号成立． 又，故，即的最小值为． 故答案为：． 【变式8-3】（25-26高二上·辽宁·期中）已知动点P与两定点，连线的斜率之积为，记P的轨迹为曲线 (1)求点P的轨迹E的方程; (2)设点，点，求的最大值; 【答案】(1)； (2)； 【分析】（1）设，根据斜率公式，可得，表达式，根据，代入化简，即可得答案. （2）由（1）可得为椭圆的左焦点，分析可得点N在椭圆内，根据椭圆的定义，可得，分析求解，即可得答案. 【详解】（1）设，则，， 由，得，整理得， 故点P的轨迹方程E为. （2）由（1）知，点P的轨迹为除去长轴端点的椭圆，其中，，， 故点为椭圆的左焦点，设椭圆的右焦点为， 因为，所以点N在椭圆内， 由椭圆的定义得， 当P，N，三点共线(在线段PN上)时取等号， 所以的最大值为· 【题型09】椭圆中的直线过定点问题 【典例9-1】已知椭圆：，不过点的动直线l交椭圆于A，B两点，且，则直线l过定点__________． 【答案】 【解析】设直线为联立方程组化为一元二次方程，由韦达定理求得，，，，由得，将坐标代入化简求得，再代入直线方程即可得定点. 【详解】依题意设直线为，， 由 得则， ， ， ， 则有或， 又因为； 当时， 直线与椭圆不一定有两个交点，故不成立； 经检验成立，故 所以 故直线l过定点 故答案为： 【点睛】关键点点晴：关键在于由韦达定理求得，，，，由得，将坐标代入化简求得关系. 【变式9-1】已知椭圆：，为短轴顶点，椭圆上两个不同点满足，则直线恒过的定点的横坐标为______________． 【答案】0 【分析】设直线PQ的方程为：，与椭圆联立，求得韦达定理，又，则，代入化简可以得到参数t满足的方程，解得t的值，即可求得定点，从而解得定点的横坐标. 【详解】设，，，直线PQ的方程为：， 由题意知k必然存在，联立， 化简得， 由韦达定理知，， 又，则， 即， 代入韦达定理，化简得，解得或（舍）； 所以过定点，定点的横坐标为0， 同理，根据对称性可得，当时，定点的横坐标为0， 故答案为：0 【点睛】方法点睛：求直线过定点，需要求得直线方程，根据斜率和截距的关系，判断定点的值，在求解过程中，常常联立直线与圆锥曲线方程，通过韦达定理代入条件化简来求得参数间的关系，从而求得结果. 【变式9-2】（25-26高二下·湖南郴州·期中）已知椭圆的离心率为，且过点． (1)求的标准方程； (2)设过点的直线(斜率不为)与相交于，两点，点关于轴的对称点为，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1) (2)证明见解析，恒过定点 【分析】（1）由离心率得，结合推出，设椭圆方程后代入已知点坐标，求出与，写出椭圆方程. （2）设直线联立椭圆方程，由限定斜率范围，利用韦达定理得根与系数关系，写出对称点，求出直线在处的横坐标，代入化简消去参数，证得直线恒过定点. 【详解】（1）因为离心率，所以. 因为，所以，所以的方程可写为. 因为过点，所以，解得，因此， 所以的标准方程为. （2）由题可知直线斜率存在,否则直线与椭圆没有交点. 设直线的方程为，与的方程联立， 消去得， 由，解得. 设，则. 直线的方程为，令，可得. 因为， 所以 故直线恒过定点. 【变式9-3】（24-25高二上·云南昆明·期末）已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为，且C经过点． (1)求C的方程； (2)设C与y轴的正半轴交于点D，直线l：y=kx+m与C交于A、B两点（l不经过D点），且AD⊥BD．证明：直线l经过定点 【答案】(1) (2)由已知得， 由，得， 故， 设，，则，， ，， 由得， 即， 所以，解得或， ①当 时，直线 经过点，舍去； ②当时，显然有，直线 经过定点． 【分析】（1）由题意可得，设椭圆，求得椭圆的另一个焦点坐标，利用定义求解，再求得b，即可求出椭圆方程. （2）由已知得，联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系可得A，B横纵坐标的和与积，结合AD⊥BD，得，由此求解m值，当时，有，直线l经过定点． 【详解】（1）设椭圆的方程为，一个焦点为， 所以，椭圆的另一个焦点为， 又C经过点，所以由椭圆定义得： ， 即，所以, 所以的方程为. （2）略 【题型10】椭圆中的定值问题 【典例10-1】已知是椭圆长轴上的两个顶点，点P是椭圆上异于的任意一点，则直线与的斜率之积为定值__________. 【答案】/ 【分析】根据直线的斜率求解直线与的斜率，然后化简即可求解. 【详解】设，， 则， ， ， 故答案为： 【变式10-1】（24-25高三上·安徽宣城·期末）点是椭圆上的动点，若的值为定值，则m的取值范围是______． 【答案】 【分析】将问题化为椭圆上任意一点到直线、的距离之和为定值，进一步化为直线在椭圆左上方且与椭圆相切或相离，联立方程并结合判别式确定参数范围. 【详解】由为定值，即为定值， 所以椭圆上任意一点到直线、的距离之和为定值， 显然、平行或重合， 且，则，即， 所以与椭圆无交点， 综上，只需保证椭圆在直线、之间即可，如下图， 需直线在椭圆左上方且与椭圆相切或相离即可， 联立有，则，即， 所以，即或， 当时，直线在椭圆右下方，不合要求； 当时，直线在椭圆左上方，符合； 所以m的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：将问题化为直线在椭圆左上方且与椭圆相切或相离为关键. 【变式10-2】（多选）（2027高二·全国·专题练习）已知椭圆，点，过点作直线交椭圆于点，交直线于点，下面正确的有（   ） A．为定值 B．为定值 C．可能为2 D．可能为2 【答案】BC 【分析】设出直线的方程，与椭圆的方程联立，再根据韦达定理即可进行判断. 【详解】设直线的方程为：，，，不妨设， 则由得， 故，， 故， 直线方程为：， 令，得，故，同理可得， 所以，故B正确，D错误. 因此，当且仅当时等号成立， 而当时，，，故，，进而可得，， 故此时，故C正确，A错误. 【变式10-3】（25-26高二上·江西萍乡·期中）设，两点的坐标分别为，，直线与相交于点，且它们的斜率之积为.设点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)过原点的直线与交于，两点（与不重合），证明：直线与直线的斜率之积为定值，并求出该定值. 【答案】(1) (2) 当直线的斜率不存在时，交点为的上､下顶点，不妨设， 则； 当直线的斜率存在时，设，与的方程联立､化简得， 不妨设， 则， 综上所述，直线与直线的斜率之积为定值.    【分析】（1）依题意求出与的斜率，写出并化简曲线的轨迹方程即可； （2）分直线的斜率不存在和存在两种情况，分别写出直线与直线的斜率，化简并计算斜率之积即得结论. 【详解】（1）设，则，， 由题意有， 化简得点的轨迹的方程为：； （2）略 【题型11】椭圆中的向量问题 【典例11-1】（25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）已知椭圆的右焦点为，点在直线上，，为坐标原点，则=（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】设出坐标，根据垂直关系得到坐标关系，然后将坐标关系代入数量积得到结果. 【详解】设，则， 因为，所以，所以， 所以， 故选：C. 【变式11-1】（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）在椭圆中，为下顶点，、为左、右焦点，延长交椭圆于，，则焦距与的比值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点，根据结合平面向量的线性运算可求出点的坐标，将点的坐标代入椭圆方程，可得出的值，即可得出的值. 【详解】如下图所示： 设点，易知点、，则，， 由，可得，解得，即点， 将点的坐标代入椭圆方程得，解得， 所以，故. 故选：A. 【变式11-2】（25-26高二上·四川成都·期末）已知椭圆是的右顶点.若上存在一点，满足，则__________. 【答案】 【分析】设且，由向量共线的坐标表示求出的坐标，再由点在椭圆上列方程求参数值. 【详解】由题设，设，则， 所以，可得，则在椭圆上， 所以，则. 故答案为： 【变式11-3】（25-26高二上·湖南·期末）已知椭圆，设分别为椭圆的左、右焦点． (1)点在椭圆上，若，求的面积； (2)过点的直线（斜率不为0）交于两点，在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标及定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1 (2)在轴上存在定点，使得为定值． 【分析】（1）由椭圆定义、勾股定理、直角三角形面积公式求解即可； （2）设直线与椭圆联立，设定点，由韦达定理化简数量积，让含m的项系数为 0，即可求出定点的坐标. 【详解】（1）设，又，则， 由得，∴解得， 故． （2）由（1）知，左焦点． 因为直线斜率不为0，可设直线的方程为， 联立直线的方程与椭圆方程，得． 设，则， ． 设定点，则， 代入得：， 令此式与无关，则，则， 此时， 因此，在轴上存在定点，使得为定值． 知识点01直线与椭圆的三种位置关系 1. 核心判定方法（通用判别式法） 将直线方程代入椭圆标准方程，消去一个变量，整理得到一元二次方程，通过判别式 判断位置关系，椭圆无一次方程特殊情况，所有联立结果均为二次方程。 2. 位置关系判定标准 设联立后一元二次方程判别式为： ① ：直线与椭圆相交，有2个不同公共点，存在有效弦； ② ：直线与椭圆相切，有且仅有1个公共点，直线为椭圆切线； ③ ：直线与椭圆相离，无公共点。 核心结论：椭圆是封闭圆锥曲线，无“平行对称轴单交点”特殊情况，判别式判定完全通用。 知识点02直线与椭圆的弦长问题 1. 通用弦长公式（微软标准公式） 设直线与椭圆交于、，直线斜率为（存在且不为0）： 若直线斜率不存在（垂直x轴），可直接代入横坐标，计算纵坐标差值求弦长。 2. 解题固定步骤 步骤1：联立直线与椭圆方程，消元得一元二次方程； 步骤2：利用韦达定理求出 （或）； 步骤3：代入弦长公式化简计算； 步骤4：得出弦长结果。 知识点03椭圆中点弦问题（点差法核心考点） 1. 适用题型 已知弦中点坐标，求弦所在直线斜率、直线方程；已知斜率，求弦中点轨迹，是椭圆高频必考题型。 2. 标准点差法推导（核心公式） 设椭圆标准方程 ，弦端点、，弦中点，直线斜率为。 代入椭圆方程： 两式作差、因式分解整理： 由中点性质 ，斜率 ，代入化简得椭圆中点弦秒杀公式： 3. 核心注意事项 点差法求出直线方程后，必须检验判别式，确认直线与椭圆真实相交，避免出现伪弦解。 知识点04本节核心公式汇总（微软公式标准版） 1. 位置关系判定：相交，相切，相离 2. 通用弦长公式： 3. 椭圆中点弦斜率公式： 知识点05高频易错点课堂小结 1. 椭圆为封闭曲线，联立方程恒为二次方程，无单交点特殊情况，判别式可直接通用； 2. 弦长计算必须结合韦达定理，禁止直接联立求解坐标，计算量过大易出错； 3. 中点弦公式仅限中心在原点、对称轴为坐标轴的标准椭圆； 4. 点差法求解中点弦问题，务必验证，排除无效直线； 5. 区分椭圆与抛物线中点弦公式，公式结构不同，不可混用。 一、单选题 1．已知直线的方程为，椭圆的方程为，则直线与椭圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定 【答案】B 【分析】求出直线所过定点，判断该定点与椭圆位置关系即可判断直线与椭圆位置关系. 【详解】，即，令，解得， 则直线所过定点，代入椭圆方程，，则该定点在椭圆内， 则直线与椭圆的位置关系为相交. 故选：B. 2．（25-26高二上·山东德州·期中）经过椭圆的左焦点作倾斜角为45°的直线l，直线l与椭圆相交于A，B两点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得直线的方程，再与椭圆方程联立，结合韦达定理，利用弦长公式求解. 【详解】在中，，， 所以，即， 故左焦点为，而， 故直线的方程为， 联立得， ，设，， 由韦达定理得，， 则由弦长公式得． 故选：B． 3．（25-26高二上·四川巴中·阶段检测）已知椭圆方程，过其右焦点作互相垂直的两条直线分别与椭圆相交于和四点，则四边形面积的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】讨论直线的斜率，设联立椭圆，应用韦达定理、弦长公式及四边形面积公式得，求出对应面积，比较大小即可得. 【详解】当直线的斜率存在且不为零时，设直线的方程为， 由，消去得，， ，，， 用代替可得，则， 令，故，则，当且仅当时取等号； 当直线的斜率不存在时，将代入椭圆得，则，，故， 同理，当直线的斜率为零时，，，故， 所以四边形面积的最小值为. 故选：C 4．（25-26高二下·广东广州·期末）如图，直线交椭圆于两点，分别交轴正半轴、轴正半轴于两点，且，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将代入椭圆，两式相减，得到，结合斜率公式和中点公式，化简得到，即可求解. 【详解】设 将代入椭圆，可得， 两式相减，可得，即， 因为，所以， 则直线的斜率为． 5．（25-26高二下·四川南充·期中）已知椭圆的一个焦点为，经过点的直线与椭圆交于，两点．当直线的斜率为1时，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由焦点求出椭圆标准方程，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理和弦长公式求解弦长. 【详解】由椭圆焦点为，得，椭圆中，由，得， 因此，椭圆的方程为. 斜率为且过点的直线方程为. 联立方程， 整理得，， 设，，由韦达定理，得，. 由弦长公式， 代入参数计算：. 6．（2027高二·全国·专题练习）过椭圆的一个焦点作弦，若，，则的数值为（   ） A． B． C． D．与弦的斜率有关 【答案】B 【分析】法一：当直线的斜率不存在时，可得，即可得；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立曲线方程，可得与交点横坐标有关的韦达定理，再表示出、后，结合所得韦达定理计算即可得.法二：利用焦长公式计算即可得. 【详解】法一：令，设，， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 由，解得，则，所以； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由，整理得：， 方程的判别式， 所以，， 设椭圆的离心率为， 则 ， 同理，所以 ， 综上，； 法二：由椭圆对称性，不妨设焦点为左焦点，设， 则，； 故． 7．（25-26高二下·湖北·期中）已知椭圆：（，）的左右焦点分别为，，离心率，且椭圆过点，过点的直线与椭圆交于，两点（在轴上方），且满足，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件确定椭圆方程，再设出直线的方程并与椭圆方程联立，结合根与系数关系以及求得直线的斜率，再结合三角形面积公式即可求解. 【详解】由离心率 ，故 ，得 ， 椭圆方程可写为：， 将点 代入得 ， 解得 ，， 因此椭圆方程为，则，，， 由于在轴上方且直线的斜率存在，所以直线的斜率不为， 设直线的方程为 ，设 ，由题意， 因, 由 可得 ​，即 ， 由，消去并化简得， 则①，②， 又③， 由①②③可得，则, 解得，则，所以， 所以. 8．（24-25高二上·河北衡水·期末）如图，已知椭圆的上顶点为，离心率为，若过点A作圆的两条切线分别与椭圆C相交于点B，D（不同于点A）．则直线BD过定点（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件列方程求，可得椭圆方程，再设两切线，的斜率分别为，（），由切线性质可得，再表示出直线的方程，确定其过定点. 【详解】∵椭圆的上顶点为，离心率为， ∴解得，∴椭圆C的方程为． 设切线方程为，则，即， 设两切线AB，AD的斜率分别为， 则是上述方程的两根，根据韦达定理可得：， ∵由，消掉y得， 设，∴， 同理可得， ∴， ∴直线BD方程为． 令，得 ∴故直线BD过定点． 故选：A 【点睛】方法点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： （1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； （2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 二、多选题 9．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知椭圆，左、右焦点分别为，，点是上的动点，点，则下列结论正确的是（   ） A．不存在最大值 B．椭圆的离心率为 C．的最小值为 D．被点平分的弦所在直线的斜率为 【答案】BCD 【分析】根据椭圆的定义判断线段和的最值，即可判断AC选项；利用直接法可得椭圆离心率，利用点差法可确定弦的斜率. 【详解】 如图所示，由已知椭圆， 即，，则， 所以椭圆离心率为，B选项正确； 且，，，， 则， 又， 即当点在延长线上时取得最大值为， ， 即当点在延长线上时取得最小值为， 即A选项错误；C选项正确； 设被点平分的弦与椭圆交于点，， 即，两式相减可得， 即， 又为中点，即， 所以， 所以，D选项正确. 10．（25-26高二下·云南昭通·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在C上，且，的最大值为3，则下列结论正确的是（   ） A．椭圆C的离心率为 B．的周长为 C．当P为椭圆短轴端点时，的面积最大 D．的最大值为 【答案】ACD 【分析】由题设列式求出、、根据椭圆的离心率公式计算可判断A；结合椭圆的定义求出的周长即可判断B；设由可判断C；利用余弦定理以及椭圆的定义，结合基本不等式可判断D. 【详解】由题可知，得；因为的最大值为，所以，得，故 对于A选项,离心率，A选项正确； 对于B选项,由椭圆的定义可得的周长，B选项错误； 对于C选项,设，因为，所以当P为椭圆短轴端点时，的面积最大，故C选项正确； 对于D选项，设，由余弦定理可得 ，当且仅当时，即当点P位于短轴端点时，等号成立， 又因为余弦函数在上为减函数，且，故， 即当P为椭圆短轴端点时，取得最大值，故D选项正确． 11．（25-26高二上·黑龙江大庆·期末）设椭圆的左右焦点为，，是上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．离心率 B．△PF1F2面积的最大值为1 C．以线段为直径的圆与直线相切 D．的最小值为0 【答案】BCD 【分析】求出离心率可判断A；计算面积的最大值可判断B；求出圆的方程，再判断圆心到直线的距离与半径的关系可判断C；设进行数量积的坐标运算结合可判断D，进而可得正确选项. 【详解】对于A：由椭圆可知，，，， 所以左､右焦点分别为，，离心率，故选项A错误； 对于B：，当点与椭圆的上下顶点重合时，面积的最大， 所以面积的最大值为，故选项B正确； 对于C：以线段为直径的圆的圆心，半径为1，由圆心到直线的距离， 所以以线段为直径的圆与直线相切，故选项C正确； 对于D：设，， ，则的最小值为，故选项D正确. 故选：BCD 三、填空题 12．（2026高三·全国·专题练习）倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点，则线段AB中点M的轨迹方程是_______． 【答案】 【分析】由题意，设直线方程为，，中点，应用点差法得到，结合在椭圆内部求自变量范围即可得. 【详解】倾斜角为，故直线斜率，   设直线方程为，，中点，则， 由在椭圆上，故，则， 由，，，可得， 联立椭圆方程，得，而中点在椭圆内部，故， 所以点M的轨迹方程为. 13．（25-26高二上·陕西渭南·期中）已知是椭圆的两焦点，点在椭圆上，则的最小值是__________. 【答案】 【分析】设出的坐标，将向量数量积运算转化为坐标运算，根据的坐标满足椭圆方程进行化简，再根据的范围可求的最小值. 【详解】设，因为，所以， 所以， 又因为，所以， 所以， 又因为，所以， 所以，此时， 故答案为：. 14．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知是椭圆上一点，是直线上一点，则的最小值为___________. 【答案】/ 【分析】设与直线l平行的直线为，与椭圆联立，根据判别式，可得t值，结合两平行线间距离公式，分析计算，即可得答案. 【详解】求椭圆上的点到直线的最小距离，即求直线与平行于的椭圆切线之间的距离的最小值， 设与直线l平行且与椭圆C相切的直线为， 联立，得， 判别式，解得， 当时，切线为，与直线l的距离， 当时，切线为，与直线l的距离. 所以的最小值为. 故答案为： 四、解答题 15．（25-26高二上·云南迪庆·期末）已知椭圆，点在椭圆上，且点到两焦点和的距离之和为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若点的坐标为，过点的直线与椭圆交于（异于点）两点，且直线的斜率为，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的定义求得后即可求得椭圆的标准方程； （2）由题意求得直线方程，直线与椭圆联立方程根据弦长公式求得，再利用点到直线的距离公式及三角形面积公式计算即可求解. 【详解】（1）由已知可得，化简可得， ， 则椭圆方程为； （2）设，， 由已知可得直线，即， 联立直线与椭圆，消去可得， 则，， 则， 又点到直线的距离， 所以； 16．（25-26高二下·海南·期末）椭圆的两个焦点是和，椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于． (1)求椭圆的离心率． (2)已知椭圆的弦的中点的坐标为，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的定义可得，再求离心率即可； （2）先求得椭圆方程，设，，进而可得，，再利用作差法可得直线的斜率，然后根据点斜式求直线方程即可． 【详解】（1）椭圆的焦点在轴上，故设椭圆的标准方程为 ， ，， ． （2）， 椭圆的标准方程为； 设，． 因为是的中点，所以，， 即：，， 点和都在椭圆上：， 将相减；， 即：， 代入和， ， 即：， 因此，直线的斜率：， 直线过点，斜率为， 其方程为：，即． 17．（25-26高二上·江苏宿迁·阶段检测）如图，已知椭圆，记分别是的左､右焦点，是的上顶点，连接并延长交椭圆于点，过作轴的垂线交椭圆于另一点，连接. (1)若，求； (2)若点的坐标为，且，求直线的斜率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的定义，结合对称性即可求解； （2）根据向量的坐标运算，求点的坐标，即可求出的坐标，从而求出直线的斜率； 【详解】（1）由条件可知， 因为，所以, 由对称性可知，； （2）设，，， 由，可知， 所以，得， 因为点，则， 所以，所以，则， 所以， 所以直线的斜率为； 18．（25-26高二下·上海·期中）如图所示，椭圆，左右焦点分别记作、，过、分别作直线，交椭圆于、，且． (1)当直线的斜率时，求直线的斜率； (2)求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设 ，分别将坐标代入椭圆中，得出两等式，相减得出 ，写出的表达式，化简得出结果，然后代入计算. （2）设直线 的方程，联立直线的方程和椭圆方程，求出 ，算出的表达式，而 ，代入，用基本不等式求出最大值，再得出四边形面积的最大值. 【详解】（1）设，，根据对称性，有. 因为，都在椭圆上，所以，. 两式相减得，. 所以为定值. 所以时，. （2）当的倾斜角为时，与重合，舍去. 当的倾斜角不为0时，由对称性得四边形为平行四边形，. 设直线的方程为，代入. 得. 显然，，. 所以 设，所以，. 所以. 当且仅当即时等号成立，所以. 所以平行四边形面积的最大值为. 19．（25-26高二下·广东惠州·期末）已知点在椭圆：上，，分别是椭圆的左、右焦点，椭圆的离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)设过点的两直线和分别与椭圆相交于，和，两点，且，点，分别是弦，的中点，若直线和直线均不与轴重合，求证：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明：设过点的直线，，， 联立方程组得，得， ， ， ，则， ，所以， 同理可得，即， 当时，， 直线的方程为， 整理可得， 所以直线恒过定点， 当时，直线的方程为，也过点， 所以直线恒过定点. 【分析】（1）由椭圆过点的坐标及离心率公式，求出，得到椭圆的方程； （2）先设出直线和的方程，联立方程组求出点，的坐标，进而求出直线的方程，得到直线过定点. 【详解】（1）点在椭圆：上，所以， 椭圆的离心率为，，，， 得，，，， 椭圆的标准方程为. （2）略 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第16讲 直线与椭圆的位置关系 （知识详解+11典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：直线与椭圆的位置关系 知识点02：中点弦问题 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：讨论椭圆与直线的位置关系 题型02：根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 题型03：根据韦达定理求参数 题型04：求椭圆中的弦长 题型05：椭圆中三角形(四边形)的面积 题型06：椭圆的中点弦 题型07：求椭圆中的参数及范围 题型08：求椭圆中的最值问题 题型09：椭圆中的直线过定点问题 题型10：椭圆中的定值问题 题型11：椭圆中的向量问题 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】直线与椭圆的位置关系 直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系的判断方法： 联立消去y(或x)得到一个关于x(或y)的一元二次方程： 位置关系 解的个数 Δ的取值 相交 两解 Δ>0 相切 一解 Δ＝0 相离 无解 Δ<0 注意点： 设直线方程时，容易忽略斜率不存在的情况． 【例1】判断直线与椭圆的位置关系。 【知识点02】中点弦问题 点差法：设出弦的两端点坐标后，代入椭圆的方程，将两式相减，式中含有， ， 三个未知量，这样就联系了中点坐标和直线的斜率． 【例2】已知椭圆的弦的中点为，求弦所在直线的方程。 【题型01】讨论椭圆与直线的位置关系 【典例1-1】（25-26高二上·河南·阶段检测）直线与椭圆的位置关系为（    ） A．与k的值有关 B．相切 C．相离 D．相交 【变式1-1】已知直线，椭圆，则直线与椭圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【变式1-2】直线与椭圆（）的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【变式1-3】在平面直角坐标系中，已知点，点为圆上任意一点，线段的垂直平分线交半径于点，当点在圆上运动时，记点的轨迹为. (1)求的方程； (2)若点，试判断直线与的位置关系，并说明理由. 【题型02】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【典例2-1】（25-26高二上·重庆大足·期中）已知椭圆E：，若过点的两条直线，与E都只有一个交点，且，则（    ） A． B． C．3 D．-3 【变式2-1】（24-25高二上·浙江杭州·期中）若直线与椭圆有两个不同的交点，则m的范围是_______． 【变式2-2】（多选）（25-26高二上·云南玉溪·期末）已知直线与椭圆有公共点，则可取（   ） A．3 B．5 C．7 D．9 【变式2-3】（25-26高二下·陕西汉中·期末）已知椭圆的两个焦点分别是，，并且其离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆有两个公共点，求实数的取值范围. 【题型03】根据韦达定理求参数 【典例3-1】已知椭圆，是椭圆的一条弦的中点，点在直线上，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2025高二上·河南安阳·专题练习）已知直线交椭圆于两点，椭圆与轴的正半轴交于点，若的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高二上·江苏连云港·期中）已知椭圆，过点的直线与椭圆交于两点，以线段，为邻边作平行四边形（为坐标原点），若点在椭圆上，则直线的斜率为__________． 【变式3-3】（24-25高二上·湖南永州·期末）已知椭圆的离心率为，点在上． (1)求的方程； (2)设直线交于，两点，直线，的斜率之和为0，求直线的斜率． 【题型04】求椭圆中的弦长 【典例4-1】（25-26高二上·江苏淮安·阶段检测）已知椭圆与直线交于、两点，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）过椭圆的左焦点作倾斜角为的弦，则弦的长为__________. 【变式4-2】（多选）已知过点的直线与椭圆交于两点，则弦长可能是（    ） A．1 B． C． D． 【变式4-3】（25-26高二下·陕西咸阳·期末）已知椭圆：的焦距为4，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)若斜率为的直线过椭圆的右焦点，且与椭圆相交于、两点，求弦的长度． 【题型05】椭圆中三角形(四边形)的面积 【典例5-1】已知,为椭圆：的两个焦点P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且,则四边形的面积为（    ） A．24 B．33 C．9 D．18 【变式5-1】（24-25高二上·河南南阳·阶段检测）椭圆的左､右焦点分别为，点在上，直线过左焦点，且与椭圆相交于两点，若直线的倾斜角为，则的面积等于__________. 【变式5-2】（25-26高二上·河北张家口·期中）已知椭圆的左焦点为，短轴长为4．求： (1)椭圆C的标准方程． (2)过点F且斜率为1的直线l交椭圆C于A、B两点，O为坐标原点，求的面积． 【变式5-3】焦点在轴上的椭圆，离心率为，短轴长为2． (1)求该椭圆的标准方程； (2)过椭圆的左、右焦点，分别向斜上方作斜率为1的两条射线，依次交椭圆的上半部分于点，求四边形的面积． 【题型06】椭圆的中点弦 【典例6-1】（25-26高二上·湖南常德·期末）椭圆中，以为中点的弦所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25高二上·安徽马鞍山·期中）已知中心在原点，焦点坐标为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，则该椭圆的方程为________． 【变式6-2】（多选）（25-26高二上·青海西宁·期末）设椭圆的方程为，斜率为的直线不经过原点，且与椭圆相交于两点，为线段的中点.下列结论正确的有（   ） A．直线与垂直 B．若点坐标为，则直线方程为 C．若直线方程为，则点坐标为 D．若直线方程为，则 【变式6-3】（25-26高二上·甘肃陇南·期末）已知为椭圆C：（）的上焦点，D，E分别为C的左、下顶点，且的面积为. (1)求a； (2)若斜率为4的直线l与C交于A，B两点，且为线段AB的中点，求t. 【题型07】求椭圆中的参数及范围 【典例7-1】（25-26高二上·江西南昌·期中）已知点，椭圆上两点，满足，则当点横坐标的绝对值最大，的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式7-1】（24-25高二上·甘肃白银·阶段检测）设，是椭圆长轴的两个端点，若椭圆上存在点满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】已知，是椭圆：的长轴的两个端点，若上存在点满足，则的取值范围是_______. 【变式7-3】已知椭圆C：，，过P点斜率为k的直线与椭圆C交于另一点为Q． (1)若的面积为，求k的值； (2)若直线与椭圆C交于M，N两点，且，求的值． 【题型08】求椭圆中的最值问题 【典例8-1】（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知椭圆 ，则该椭圆上的点到 的距离的最小值为（   ） A．2 B．4 C． D． 【变式8-1】（2025高二上·福建厦门·专题练习）已知F是椭圆的一个焦点，PQ是过其中心的一条动弦，则面积的最大值是（） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25高三下·山西·阶段检测）已知为椭圆上一动点．设点，，则的最小值为________． 【变式8-3】（25-26高二上·辽宁·期中）已知动点P与两定点，连线的斜率之积为，记P的轨迹为曲线 (1)求点P的轨迹E的方程; (2)设点，点，求的最大值; 【题型09】椭圆中的直线过定点问题 【典例9-1】已知椭圆：，不过点的动直线l交椭圆于A，B两点，且，则直线l过定点__________． 【变式9-1】已知椭圆：，为短轴顶点，椭圆上两个不同点满足，则直线恒过的定点的横坐标为______________． 【变式9-2】（25-26高二下·湖南郴州·期中）已知椭圆的离心率为，且过点． (1)求的标准方程； (2)设过点的直线(斜率不为)与相交于，两点，点关于轴的对称点为，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标. 【变式9-3】（24-25高二上·云南昆明·期末）已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为，且C经过点． (1)求C的方程； (2)设C与y轴的正半轴交于点D，直线l：y=kx+m与C交于A、B两点（l不经过D点），且AD⊥BD．证明：直线l经过定点 【题型10】椭圆中的定值问题 【典例10-1】已知是椭圆长轴上的两个顶点，点P是椭圆上异于的任意一点，则直线与的斜率之积为定值__________. 【变式10-1】（24-25高三上·安徽宣城·期末）点是椭圆上的动点，若的值为定值，则m的取值范围是______． 【变式10-2】（多选）（2027高二·全国·专题练习）已知椭圆，点，过点作直线交椭圆于点，交直线于点，下面正确的有（   ） A．为定值 B．为定值 C．可能为2 D．可能为2 【变式10-3】（25-26高二上·江西萍乡·期中）设，两点的坐标分别为，，直线与相交于点，且它们的斜率之积为.设点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)过原点的直线与交于，两点（与不重合），证明：直线与直线的斜率之积为定值，并求出该定值. 【题型11】椭圆中的向量问题 【典例11-1】（25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）已知椭圆的右焦点为，点在直线上，，为坐标原点，则=（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式11-1】（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）在椭圆中，为下顶点，、为左、右焦点，延长交椭圆于，，则焦距与的比值为（   ） A． B． C． D． 【变式11-2】（25-26高二上·四川成都·期末）已知椭圆是的右顶点.若上存在一点，满足，则__________. 【变式11-3】（25-26高二上·湖南·期末）已知椭圆，设分别为椭圆的左、右焦点． (1)点在椭圆上，若，求的面积； (2)过点的直线（斜率不为0）交于两点，在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标及定值；若不存在，请说明理由． 知识点01直线与椭圆的三种位置关系 1. 核心判定方法（通用判别式法） 将直线方程代入椭圆标准方程，消去一个变量，整理得到一元二次方程，通过判别式 判断位置关系，椭圆无一次方程特殊情况，所有联立结果均为二次方程。 2. 位置关系判定标准 设联立后一元二次方程判别式为： ① ：直线与椭圆相交，有2个不同公共点，存在有效弦； ② ：直线与椭圆相切，有且仅有1个公共点，直线为椭圆切线； ③ ：直线与椭圆相离，无公共点。 核心结论：椭圆是封闭圆锥曲线，无“平行对称轴单交点”特殊情况，判别式判定完全通用。 知识点02直线与椭圆的弦长问题 1. 通用弦长公式（微软标准公式） 设直线与椭圆交于、，直线斜率为（存在且不为0）： 若直线斜率不存在（垂直x轴），可直接代入横坐标，计算纵坐标差值求弦长。 2. 解题固定步骤 步骤1：联立直线与椭圆方程，消元得一元二次方程； 步骤2：利用韦达定理求出 （或）； 步骤3：代入弦长公式化简计算； 步骤4：得出弦长结果。 知识点03椭圆中点弦问题（点差法核心考点） 1. 适用题型 已知弦中点坐标，求弦所在直线斜率、直线方程；已知斜率，求弦中点轨迹，是椭圆高频必考题型。 2. 标准点差法推导（核心公式） 设椭圆标准方程 ，弦端点、，弦中点，直线斜率为。 代入椭圆方程： 两式作差、因式分解整理： 由中点性质 ，斜率 ，代入化简得椭圆中点弦秒杀公式： 3. 核心注意事项 点差法求出直线方程后，必须检验判别式，确认直线与椭圆真实相交，避免出现伪弦解。 知识点04本节核心公式汇总（微软公式标准版） 1. 位置关系判定：相交，相切，相离 2. 通用弦长公式： 3. 椭圆中点弦斜率公式： 知识点05高频易错点课堂小结 1. 椭圆为封闭曲线，联立方程恒为二次方程，无单交点特殊情况，判别式可直接通用； 2. 弦长计算必须结合韦达定理，禁止直接联立求解坐标，计算量过大易出错； 3. 中点弦公式仅限中心在原点、对称轴为坐标轴的标准椭圆； 4. 点差法求解中点弦问题，务必验证，排除无效直线； 5. 区分椭圆与抛物线中点弦公式，公式结构不同，不可混用。 一、单选题 1．已知直线的方程为，椭圆的方程为，则直线与椭圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定 2．（25-26高二上·山东德州·期中）经过椭圆的左焦点作倾斜角为45°的直线l，直线l与椭圆相交于A，B两点，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·四川巴中·阶段检测）已知椭圆方程，过其右焦点作互相垂直的两条直线分别与椭圆相交于和四点，则四边形面积的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 4．（25-26高二下·广东广州·期末）如图，直线交椭圆于两点，分别交轴正半轴、轴正半轴于两点，且，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·四川南充·期中）已知椭圆的一个焦点为，经过点的直线与椭圆交于，两点．当直线的斜率为1时，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 6．（2027高二·全国·专题练习）过椭圆的一个焦点作弦，若，，则的数值为（   ） A． B． C． D．与弦的斜率有关 7．（25-26高二下·湖北·期中）已知椭圆：（，）的左右焦点分别为，，离心率，且椭圆过点，过点的直线与椭圆交于，两点（在轴上方），且满足，则的面积为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·河北衡水·期末）如图，已知椭圆的上顶点为，离心率为，若过点A作圆的两条切线分别与椭圆C相交于点B，D（不同于点A）．则直线BD过定点（   ）    A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知椭圆，左、右焦点分别为，，点是上的动点，点，则下列结论正确的是（   ） A．不存在最大值 B．椭圆的离心率为 C．的最小值为 D．被点平分的弦所在直线的斜率为 10．（25-26高二下·云南昭通·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在C上，且，的最大值为3，则下列结论正确的是（   ） A．椭圆C的离心率为 B．的周长为 C．当P为椭圆短轴端点时，的面积最大 D．的最大值为 11．（25-26高二上·黑龙江大庆·期末）设椭圆的左右焦点为，，是上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．离心率 B．△PF1F2面积的最大值为1 C．以线段为直径的圆与直线相切 D．的最小值为0 三、填空题 12．（2026高三·全国·专题练习）倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点，则线段AB中点M的轨迹方程是_______． 13．（25-26高二上·陕西渭南·期中）已知是椭圆的两焦点，点在椭圆上，则的最小值是__________. 14．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知是椭圆上一点，是直线上一点，则的最小值为___________. 四、解答题 15．（25-26高二上·云南迪庆·期末）已知椭圆，点在椭圆上，且点到两焦点和的距离之和为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若点的坐标为，过点的直线与椭圆交于（异于点）两点，且直线的斜率为，求的面积． 16．（25-26高二下·海南·期末）椭圆的两个焦点是和，椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于． (1)求椭圆的离心率． (2)已知椭圆的弦的中点的坐标为，求直线的方程． 17．（25-26高二上·江苏宿迁·阶段检测）如图，已知椭圆，记分别是的左､右焦点，是的上顶点，连接并延长交椭圆于点，过作轴的垂线交椭圆于另一点，连接. (1)若，求； (2)若点的坐标为，且，求直线的斜率. 18．（25-26高二下·上海·期中）如图所示，椭圆，左右焦点分别记作、，过、分别作直线，交椭圆于、，且． (1)当直线的斜率时，求直线的斜率； (2)求四边形面积的最大值． 19．（25-26高二下·广东惠州·期末）已知点在椭圆：上，，分别是椭圆的左、右焦点，椭圆的离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)设过点的两直线和分别与椭圆相交于，和，两点，且，点，分别是弦，的中点，若直线和直线均不与轴重合，求证：直线过定点． 1 学科网（北京）股份有限公司 $