专题 25.6 实际问题与一元二次方程（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年人教版九年级数学上册基础知识专项突破讲与练

本讲义聚焦实际问题与一元二次方程核心知识点，系统梳理解应用题步骤，涵盖增长率、传播与裂变、几何面积、销售利润、握手与循环比赛等基础题型，通过综合题型及高频易错点汇总，构建从基础到提升的递进式学习支架。 该资料特色在于题型紧密结合现实情境，如用“东方白鹳文创销量”实例解析增长率问题，培养学生用数学眼光观察现实世界。通过“平移法”解决几何面积问题，强化数学思维中的推理意识，同步检测分层设计，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺，体现用数学语言表达现实问题的应用意识。

专题 25.6 实际问题与一元二次方程（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】解一元二次方程实际应用题步骤 1 【知识点二】增长率问题（最基础高频） 2 【题型 1】增长率问题 2 【知识点三】传播与裂变问题（病毒、树枝、握手） 4 【题型 2】传播问题 4 【知识点四】几何面积问题（道路、边框、裁剪） 6 【题型 3】图形面积问题 6 【知识点五】销售利润问题（中考必考压轴基础） 9 【题型 4】销售与利润问题 10 【知识点六】握手、单循环比赛问题 13 【题型 5】握手与循环比赛问题 13 二.题型精析（巩固提升） 15 【知识点七】高频易错点汇总 15 【题型 6】增长率与销售利润问题综合 15 【题型 7】一元二次方程与几何问题综合 19 三.同步检测 22 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 22 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 27 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 30 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】解一元二次方程实际应用题步骤 1. 审：审题——读懂题意，找出已知量、未知量，梳理题目中的等量关系。 2. 设：设未知数——一般直接设所求量为；复杂题型可间接设未知数，统一单位。 3. 列：列方程——根据核心等量关系，列出一元二次方程。 4. 解：解方程——选用因式分解法、公式法求解方程，得到两个根。 5. 验：双重检验（关键步骤）① 检验根是否满足方程；② 检验根是否符合实际情境（长度、人数、增长率不能为负，人数为整数等），舍去不合理的根。 6. 答：规范作答——完整写出答案，对应题目问题。 核心易错点：一元二次方程必有两个根，但实际问题中大多只有一个根符合题意，必须验根舍根，不验根直接扣分！ 【知识点二】增长率问题（最基础高频） 1. 通用公式：设基数为，平均增长率为，增长次数为，最终量为：；平均下降率公式： 初中常考：连续两年增长/下降，即。 【题型 1】增长率问题 【例题1】（25-26八年级下·浙江金华·期末）为了增强体质，王大伯决定每天坚持快走锻炼．已知王大伯第一周行走的总路程为10000米，从第一周起的前四周，他每周行走的总路程按相同的平均增长率增长．经统计，第三周时，单周路程达到了12100米． （1）求每周路程的平均增长率； （2）按照这个增长速度，预测第五周王大伯行走的总路程是多少米？ 【答案】（1）；（2）米 【分析】（1）设每周路程的平均增长率为，根据题意建立方程，解方程即可； （2）结合（1）的结论，在第三周的基础上，列式计算即可． 解：（1）解：设每周路程的平均增长率为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：每周路程的平均增长率为． （2）解： （米）， 答：预测第五周王大伯行走的总路程是米． 【变式1】（25-26八年级下·浙江杭州·期末）杭州某公司开展低空经济飞行器研发，2024年研发经费为2000万元，2026年研发经费达2310万元．已知2026年研发经费的增长率比2025年研发经费的增长率高．设2025年研发经费的增长率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件表示出2026年的增长率，再依次推导各年研发经费，最终根据2026年研发经费列出方程． 解：∵设2025年研发经费的增长率为，2026年研发经费的增长率比2025年高， ∴2026年研发经费的增长率为． ∵2024年研发经费为2000万元， ∴2025年研发经费为万元， ∴2026年研发经费为万元． 又∵2026年研发经费为2310万元， ∴列方程得． 【变式2】（25-26八年级下·山东东营·期末）黄河入海，万鸟齐飞．东营黄河口湿地作为“鸟类国际机场”，秋冬观鸟热潮持续升温，东方白鹳主题文创销量节节攀升．某文创店月“东方白鹳”挂件销量为万件，月销量达万件．若每月的增长率相同，则这款挂件销量的月平均增长率为________． 【答案】 【分析】设月平均增长率为，根据月和月的销量关系列一元二次方程，舍去不符合题意的负根即可得到结果． 解：设这款挂件销量的月平均增长率为， 根据题意列方程得：， ∴， 解得，（舍去）， ∴这款挂件销量的月平均增长率为． 【变式3】（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）随着“浙”篮球赛事的持续升温，越来越多的球迷前往现场观赛，感受篮球魅力．某篮球馆，今年3月份共计接待观众1万人，5月份接待观众增加到了万人． （1）求该篮球馆这两个月接待观众的月平均增长率； （2）若6月份继续保持相同的增长率，则该篮球馆6月份预计接待观众多少万人？ 【答案】（1）月平均增长率为；（2）6月份预计接待观众万人 【分析】（1）设该篮球馆这两个月接待观众的月平均增长率为，根据今年3月份共计接待观众1万人，5月份接待观众增加到了万人，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）根据月份继续保持相同的增长率，列式计算即可． 解：（1）解：设该篮球馆这两个月接待观众的月平均增长率为， 依题意，得：， 解得：，（不符合题意，舍去）； 故该篮球馆这两个月接待观众的月平均增长率为． （2）解：月份接待观众人数：（万人）， 答：该篮球馆月份预计接待观众万人． 【知识点三】传播与裂变问题（病毒、树枝、握手） 模型规律：传染源1个，每轮每人传播个，经过两轮传播后总数量： 【题型 2】传播问题 【例题2】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段检测）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数量的小分支，主干、支干和小分支的总数是73，每个支干长出多少小分支？ 【答案】每个支干长出8个小分支 【分析】此题考查了一元二次方程的应用． 由题意设每个支干长出的小分支的数目是x个,每个小分支又长出x个分支,则又长出个分支,则共有个分支,即可列方程求得x的值． 解：设每个支干长出的小分支的数目是x个， 根据题意列方程得：， 解得：或（不合题意，应舍去）， ∴ 答：每支支干长出8个小分支． 【变式1】（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意，列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 解：设每轮传染中平均一个人传染了个人． ∵初始有人患流感， ∴第一轮传染后，总患病人数为， ∵第二轮传染中，有个患者，每人传染人， ∴新增患病人数为， ∴． 【变式2】（25-26八年级下·山东东营·期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出______个小分支． 【答案】9 【分析】设每个支干长出x个小分支，主干为1个，支干为个，小分支为个，根据总数是91列出一元二次方程求解． 解：设每个支干长出x个小分支， 根据题意得， 解得，（舍去） ∴每个支干长出9个小分支． 【变式3】（23-24九年级上·江西赣州·期中）有一种传染性疾病，蔓延速度极快，据统计，在人群密集的城市里，通常情况下，每天一人能传染给若干人，现有一个人患了这种疾病，经过两轮传染后共有个人患有这种疾病． （1）设这种疾病每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮后共有_______个人患病；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x个人，第二轮后共有_______个人患病．（用含x的式子表示） （2）求x的值． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意是解题关键． （1）根据这种疾病每轮传染中平均一个人传染了x个人即可求解； （2）根据题意可列方程求解． 解：（1）解：∵这种疾病每轮传染中平均一个人传染了x个人， ∴一个人可致使x个人患这种疾病， ∴第一轮后共有个人患病， 同理：第二轮后共有个人患病， 故答案为：，； （2）解：列方程， 解方程，得（不合题意，舍去）， 故的值为． 【知识点四】几何面积问题（道路、边框、裁剪） 解题技巧：利用“平移法”，将不规则空白道路、边框拼接为规则矩形，简化计算，避免重复减面积出错。 【题型 3】图形面积问题 【例题3】（25-26八年级下·广西崇左·期末）如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． （1）设花圃的一边长为x米，请你用含x的代数式表示另一边的长； （2）若此时花圃的面积刚好为，求此时花圃的长与宽； （3）能否围成面积为的花圃？请说明理由． 【答案】（1）米；（2）花圃的长为9米，宽为5米 （3）解：不能围成面积为的花圃，理由如下： 当花圃的面积刚好为时， ， 化简得：， ∴， ∴该方程没有实数解， ∴不能围成面积为的花圃． 【分析】（1）设花圃的宽长为x米，则米； （2）由矩形面积，列出方程，解方程可得答案； （3）由矩形面积，列出方程，判断方程的解的情况可得答案． 解：（1）解：∵宽米， ∴长（米）； （2）解：∵花圃的面积刚好为平方米， ∴， 化简得：， 解得：，， 当时，长，不合题意，舍去； 当时，长，符合题意； 答：花圃的长为9米，宽为5米． （3）略 【变式1】（25-26八年级下·浙江温州·期末）如图，某学校有一块长，宽的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若两块矩形绿地的面积共，设人行通道的宽度为x米，根据题意列出方程（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意和图形可以得到相应的方程，从而可以解答本题． 解：由题意可得， ． 【变式2】（25-26八年级下·山西大同·期末）如图1为一矩形纸板，长，宽．在它的四角各切去一个同样大小的正方形，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒（如图2）．如果要制作的无盖方盒的底面积为，则矩形纸板各角应切去正方形的边长为______． 【答案】 【分析】设切去正方形的边长为 ，根据矩形的长和宽分别减去 表示出底面的长和宽，利用矩形面积公式列一元二次方程求解，并根据实际意义检验根的合理性即可． 解：设矩形纸板各角应切去正方形的边长为． 根据题意，得 ． 整理，得 ． 解得 ． 当 时，，不合题意，舍去． 所以 ，即矩形纸板各角应切去正方形的边长为1． 【变式3】（25-26八年级下·广西百色·期末）综合与探究：剪纸艺术中的数学问题 剪纸是我国传统民间艺术，某同学有一张长为、宽为的长方形卡纸． 操作过程： 为制作花边图案，该同学在长方形卡纸的四个角各截去一个相同大小的小正方形，剩余中间的长方形剪纸图案区域（阴影部分）面积为． 探究问题： （1）设剪去的小正方形的边长为，请用含x的代数式表示剩余图案阴影区域的长和宽；长为_______________，宽为_______________． （2）求出剪去的小正方形的边长； （3）若剩余图案阴影区域需要再裁剪出边长为的小正方形贴纸，直接写出最多可以裁剪多少个． 【答案】（1），；（2）；（3）个 【分析】（1）剩余图案阴影区域的长和宽为长方形卡纸的长和宽减去个小正方形的边长，据此列代数式； （2）根据长方形面积建立一元二次方程求解即可； （3）先求出剩余图案阴影区域的长和宽，再求解长和宽上可裁剪的个数即可． 解：（1）解：设剪去的小正方形的边长为，则长为，宽为； （2）解：由题意得，， 整理得 解得， 当时，长和宽均小于0，不符合题意，舍去， ∴小正方形的边长为； （3）解：当小正方形的边长为时，剩余图案阴影区域的长为，宽为， ∵，取整数；， ∴ ∴最多可以裁剪个． 【知识点五】销售利润问题（中考必考压轴基础） 1. 核心公式：（1）单件利润 = 售价 - 进价；（2）总利润 = 单件利润 × 销售数量 【题型 4】销售与利润问题 【例题4】（25-26八年级下·广西贺州·期末）某水果店售卖时令水果，进价是每千克元，市场调查可知：售价定为每千克元时，每日可售出千克；售价每降低元，每日销量增加千克．设每千克售价降低元．（，为整数） （1）用含的式子表示：现在每千克售价为_____元，每日销售量为_______千克； （2）若该水果店每日销售这种水果获利元，为了尽快减少这种水果的库存，求此时水果的售价； （3）水果店规定：每千克这种时令水果的利润不少于元，且每日水果销售量超过千克，求符合条件的所有整数． 【答案】（1），；（2）元；（3），， 【分析】（1）设每千克售价降低元，根据题意列出关于的表达式． （2）设水果每千克售价降低元，则售价为元，根据题意列出方程计算即可． （3）依题意得不等式组，求出的取值范围，根据只能取整数即可求解． 解：（1）解：根据题意可知，现在每千克售价元，每日销量千克． （2）解：设水果每千克售价降低元，则售价为元，列方程得： 整理得：，即 解得，， ∵尽快减少这种水果的库存，每日销售量为千克必须是最大的， ∴（舍去）， ∴水果的售价为：（元） 答：此时水果的售价为元． （3）解：依题意得不等式组： 解得，即， ∵是整数， ∴取，，， 答：符合条件的所有整数有，，． 【变式1】（25-26八年级下·山东威海·期末）直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商对一款成本价为每件40元的小商品进行直播销售，据市场分析，销售单价定为50元时，一个月能售出500件；若销售单价每涨2元，月销售量就减少10件．若要保证每月盈利9000元，那么销售单价应定为多少元？设销售单价应定为元，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“总盈利每件商品利润月销售量”列方程，分别用表示出每件利润和实际月销售量，即可得到对应方程． 解：∵设销售单价定为元，成本为每件元， ∴每件商品的利润为元， 销售单价相比元上涨了元， ∵已知销售单价每涨元，月销售量减少件， ∴月销售量减少件，实际月销售量为件， ∵要求每月盈利元，总盈利每件利润销售量， ∴可列方程为． 【变式2】（2025九年级·全国·专题练习）某商城在元旦节期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个14元，标价为每个20元．市场调研表明：当每个商品的售价为20元时，平均每天能够售出40个，当每个商品的售价每降1元时，平均每天就能多售出10个．在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润，每个商品的售价应为___________元，最大利润是___________元． 【答案】 19 250 【分析】本题考查二次函数的实际应用，掌握根据利润、售价、销售量的关系构建二次函数模型，利用二次函数的性质求最值是解题的关键． 设每个商品降价元，根据售价、利润、销售量的关系得到总利润的二次函数，结合售价不低于进价的条件，求二次函数的最大值，进而得到售价和最大利润． 解：设每个商品降价元，则售价为元， 由售价不低于进价，得，解得， 每个商品的利润为元， 每天销售量为个， 总利润， 化简得， 二次项系数， 有最大值， 当时，取最大值， 此时售价为元， 元， 故答案为：19，250． 【变式3】（2026·山东烟台·中考真题）为庆祝长征胜利90周年，文旅公司推出多款长征主题的文创产品．已知某款文创产品的成本价是每件20元，日销售量（件）与每件售价（元）的函数关系如图所示． （1）求与的函数表达式； （2）文旅公司在销售这款文创产品时，若每天盈利525元，且尽可能的让利于顾客，求该款文创产品每件的售价为多少元？ 【答案】（1）；（2）该款文创产品每件的售价为35元． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意列一元二次方程，取较小解即可． 解：（1）解：设与的函数表达式为， 将点和点的代入得：， 解得：， 与的函数表达式为； （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 尽可能的让利于顾客， ， 即该款文创产品每件的售价为35元． 【知识点六】握手、单循环比赛问题 1. 通用模型：个人两两握手（单循环比赛），总次数： 【题型 5】握手与循环比赛问题 【例题5】（25-26九年级上·江西南昌·阶段检测）行知中学举办九年级篮球赛，比赛采用单循环赛制（即每个队伍与其它参赛队伍各比赛1场），以下是小锦和小江对比赛总场数的统计： （1）若有6个参赛队伍，按赛制共进行了几场比赛？ （2）小江的说法有道理吗？请通过计算说明； 【答案】（1）有6个参赛队伍，按赛制共进行了15场比赛；（2）小江说的有道理，理由见分析 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键． （1）由题意，得6个队伍需比赛的局数为； （2）设有x个队伍报名参赛，根据题意列方程，然后解方程，根据方程根的情况可得结论． 解：（1）解：由题意，得6个队伍需比赛的局数为， 答：有6个参赛队伍，按赛制共进行了15场比赛； （2）解：小江说的有道理，理由如下： 设有x个队伍报名参赛，根据题意得， 整理，得：， 解得：（不是整数，不合题意）， ∴方程的解不符合实际，故小江的说法有道理． 【变式1】（25-26八年级下·山东东营·期末）为丰富职工文化生活，东营区举办职工篮球友谊赛，每两支参赛队伍之间都要进行一场比赛，累计比赛36场．设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据单循环比赛的规则，计算总比赛场数列方程，用到的是计数去重的思路，即可得到符合题意的方程． 解：依题意，共有个队参赛，每两支队伍之间赛一场，每支队伍需要和除自身外的支队伍比赛， 又∵ 两队之间进行一场比赛， ∴ 实际总比赛场数为， 已知总比赛为36场， 因此列方程得，符合题意的为选项A. 【变式2】（25-26九年级上·陕西西安·期末）某班组织了一次小型同学聚会，参与的同学每两个人之间只握一次手，所有人共握了45次手，则参加同学聚会的人数为_________． 【答案】10 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设参加聚会的人数为x，则每两人握一次手，总握手次数为，即可列出方程求解． 解：根据题意，， 整理得． 解得或（舍去）． 故答案为：10． 【变式3】（25-26九年级上·河南驻马店·期中）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手次，有多少人参加聚会？ 【答案】有5人参加聚会． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设有x人参加聚会，利用，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值，即可得出结论． 解：设有x人参加聚会，根据题意， 化简得， 即． 解得或（舍去）． 答：有5人参加聚会． 二.题型精析（巩固提升） 【知识点七】高频易错点汇总 1. 忘记验根舍根：实际问题中负数、超范围数值、非整数均需要舍去，是最大失分点。 2. 增长率次数混淆：两年增长是平方，不是乘以2，禁止写成。 3. 面积问题重复减空：十字道路必须用平移法，避免重复减去交叉重叠部分。 4. 利润问题数量关系错：涨价销量减少、降价销量增加，对应数量变化切勿写反。 5. 单循环与双循环混淆：握手、单循环球赛除以2；互赠礼物、双循环比赛不除以2。 【题型 6】增长率与销售利润问题综合 【例题6】（25-26八年级下·山东泰安·期末）为庆祝中国航天事业成立70周年，某航天科普基地推出了一款运载火箭纪念品，深受青少年喜爱． （1）该纪念品今年1月份的销售量为700件，3月份的销售量为1008件．若1月份到3月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率． （2）该纪念品的进价为每件50元，据市场调查发现，若售价为每件90元，每天能销售30件；售价每降价2元，每天可多售出4件．为推广航天知识，基地决定降价促销，同时尽快减少库存．若使销售该纪念品每天获利1400元，则售价应降低多少元？ 【答案】（1）；（2）售价应降低20元 【分析】（1）设月平均增长率为，根据题意列出一元二次方程并求解，结合实际即可获得答案； （2）设降价元，则单件利润为元，每日销量为件，根据题意列出一元二次方程并求解，结合题意即可获得答案． 解：（1）解：设月平均增长率为， 根据题意，可得， ∴， 解得（不合题意，舍去）， ∴， 答：月平均增长率为； （2）解：设降价元，则单件利润为（元），每日销量为（件）， 根据题意，可得， 整理可得， 解得，， 要求尽快减少库存，选择降价更多的，降价元， 答：售价应降低20元． 【变式1】（25-26八年级下·浙江金华·期末）依托金华双龙景区暑期文旅热潮，本地老字号酥饼门店线上线下销量持续走高．该店7月份酥饼总销量15万袋，9月份销量增长至21.6万袋． （1）求该门店7月到9月酥饼总销量的月平均增长率． （2）门店酥饼进货成本每袋18元，日常售价25元/袋时，单日可卖出60袋．市场调研显示：售价每下调1元，单日销量多卖出10袋．门店计划降价清库存，若要单日销售总利润达到400元，则每袋酥饼需要降价多少元？ 【答案】（1）月平均增长率为；（2）每袋酥饼需要降价元 【分析】（1）设月平均增长率为，根据增长规律得到9月销量的表达式，结合题干给出的9月销量列方程，解方程即可得到结果； （2）设每袋酥饼需要降价元， 根据题意列一元二次方程，解方程即可得到结果． 解：（1）解：设月平均增长率为， 由题意得，， 解得，或（不符合题意，舍去） 答：该门店7月到9月酥饼总销量的月平均增长率为； （2）解：设每袋酥饼需要降价元， 则每袋酥饼的利润为元，单日销售量为袋， 由题意得，， 整理得，， 解得，或（不符合题意，舍去） 答：每袋酥饼需要降价元． 【变式2】（25-26八年级下·山东泰安·期末）智能头盔是在传统防护头盔基础上，集成电子、传感、通讯模块的安全防护+智能穿戴设备，逐渐被电动车、摩托车等骑行爱好者喜欢．某品牌智能头盔专卖店统计了2026年第二季度（4月至6月）该品牌智能头盔的销量情况：4月份销售150个，6月份销售216个． （1）求该店该品牌智能头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率； （2）该智能头盔的进价为300元/个，市场调研发现：当售价为400元/个时，月销售量为60个；若售价在此基础上每上涨2元/个，则月销售量将减少1个．为响应政府“安全骑行、惠民利民”的号召，该专卖店希望在月销售利润达到6032元的同时，尽可能让市民享受实惠．请问该品牌智能头盔的实际售价应定为每个多少元？ 【答案】（1）；（2）404元 【分析】（1）设该品牌智能头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率为，依题意列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）设该品牌智能头盔的实际售价定为每个y元，依题意列出一元二次方程，解方程即可求解． 解：（1）解：设该品牌智能头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率为，由题意得 解得： 即或 （不合题意，舍去） 答：该品牌智能头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率为． （2）解：设该品牌智能头盔的实际售价定为每个y元，由题意得： 解得，， 要尽可能让顾客得到实惠， 该品牌智能头盔的实际售价应定为每个404元． 【变式3】（25-26八年级下·福建福州·期末）自月日“闽超”开赛以来，福建省各地掀起观赛热潮，相关周边产品需求持续攀升．某文创公司推出闽超吉祥物纪念品“五福天团”，并同步开展线上主题打卡活动．现要对活动方案进行升级，需要对定价和打卡人数进行调研． 素材 月份，参与“闽超线上打卡”活动的人数有人，随着“闽超”热度不断提升，月份的报名人数达到人． 素材 闽超吉祥物纪念品“五福天团”深受球迷喜爱，在销售中发现：纪念品的进价为每件元． 素材 在统计销售数据后，发现当纪念品售价为每件元时，每月销售量达到件．若纪念品售价每降价元，销售量就会增加件． 请完成下面两个任务． （1）确定增长率：求从月份到月份“闽超线上打卡”活动报名人数的平均增长率． （2）拟定价格方案：求当纪念品降价多少元时，商场可以尽量减少库存并获利元． 【答案】（1）；（2）每件纪念品降价8元时，可尽量减少库存且获利10800元 【分析】（1）设月平均增长率为，4月基数人，经过两个月增长到6月人，套用平均增长率公式：初始量增长率最终量，列一元二次方程求解，舍去负根． （2）单件利润原售价进价降价；总销量原销量降价增加的销量；总利润单件利润销量．列方程求出两个降价值，减少库存应使销量尽可能大，因此选更大的降价． 解：（1）解：设从4月到6月报名人数的月平均增长率为． 4月人数：人，经过、两个月增长，因此列方程： ， 两边同除以： ， ， ①若，得； ②若，得，增长率不能为负，舍去． 答：月平均增长率为． （2）解：设纪念品每件降价元． 单件利润：元； 月销售量：件； 总利润为元，列方程： ， 整理标准一元二次方程：， 解得：，． 要求尽量减少库存，即销量越大越好，降价越多销量越高： 降价2元：销量（件）； 降价8元：销量（件）， ，因此取． 答：每件纪念品降价8元时，可尽量减少库存且获利10800元． 【题型 7】一元二次方程与几何问题综合 【例题7】（25-26八年级下·安徽亳州·期中）在中，，，，点P，Q都从点C出发，点P以的速度沿向A运动，点Q从点C出发，以的速度沿向B运动，两点同时出发，设运动时间为． （1）当时，求长． （2）当的面积为时，求t的值． （3）当时，求t的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）当时，，，根据勾股定理求解即可； （2）根据题意，，由列方程求解即可； （3）根据勾股定理列方程求解即可． 解：（1）解：当时，，， ， ； （2）解：，，， ，， ， ； （3）解：由勾股定理，可得， 解得或， ， ． 【变式1】（24-25九年级上·山西太原·阶段检测）如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒．． （1）当_______时，的长度等于（直接填结果）； （2）连接，是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在，． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，解答本题的关键是找准等量关系，列出一元二次方程解决问题． （1）先求出，，再利用勾股定理建立方程解方程即可得到答案； （2）先求出，再根据三角形面积计算公式得到方程，解方程即可得到答案． 解：（1）解：在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动，设运动时间为秒， ，， ， 四边形是矩形， ， 在中，由勾股定理得， ， 解得（舍去），， 当时，的长度等于； 故答案为：． （2）由题意得：， 的面积等于， ， ， ， 或（舍去）， 当时，使得的面积等于． 【变式2】（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）如图，中，，，8，点从点出发，以每秒的速度沿运动；同时点从点出发，以每秒的速度沿运动，当到达点时，点同时停止运动． （1）运动几秒时的面积为？ （2）运动几秒时中？ 【答案】（1）运动秒后，的面积等于；（2）运动或秒时中 【分析】本题主要考查一元二次方程与几何的问题，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． （1）设运动秒后的面积等于，根据题意可直接列出方程进行求解； （2）由三角形面积可直接列方程进行求解即可． 解：（1）解：设运动秒后的面积等于， 根据题意得：，，    则的面积是： 解得， ∵当时， ∴不符合题意，舍去 所以运动秒后，的面积等于； （2）解：根据题意可得：， 解得 所以运动或秒时中． 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26九年级上·广西南宁·阶段检测）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有49人患了流感，假设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决实际问题，解题的关键是找准等量关系，列出方程． 根据流感传染模型，起始1人患病，每轮传染中每人传染x人，两轮后总患病人数为，据此列方程． 解：设每轮传染中平均一人传染x人，根据题意得， ∵ 起始患病人数为1， 第一轮后患病人数为：， 第二轮后患病人数为：， 又∵ 两轮后总患病人数为49， ∴ ， 故选：B． 2．（2026·山西·中考真题）某公司自主研发并生产的仿生蝴蝶飞行器，能高度还原蝴蝶飞行动作．今年3月份此款飞行器产量为1200台，5月份的产量为1600台．若设该公司此款飞行器这两个月产量的月平均增长率为，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据月平均增长率依次表示出各月产量，结合5月份实际产量列出等式即可． 解：∵3月份产量为台，月平均增长率为 ， ∴4月份产量为台 ， ∴5月份产量为台 ， 又∵5月份实际产量为台 ， ∴可列方程为． 3．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大，则这个两位数为（   ） A．25 B．36 C．25或36 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设十位上的数字为，则个位上的数字为，根据“一个两位数等于它的个位数的平方”列出一元二次方程，解方程即可得出答案，理解题意，找准等量关系，正确列出方程是解此题的关键． 解：设十位上的数字为，则个位上的数字为， 由题意得：， 整理得：， 解得：或， 当时，，此时这个两位数为， 当时，，此时这个两位数为， 综上所述，这个两位数为25或36， 故选：C． 4．（23-24九年级上·河南平顶山·期中）将进货单价为40元的商品按50元出售时，售出500个．经市场调查发现：该商品每涨价1元，其销量减少10个．为了赚8000元，则售价应定为（   ） A．60元 B．80元 C．60元或80元 D．70元 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设每个商品涨价x元，则售价为元，销量为个．根据利润公式列出利润方程并求解即可进一步得到售价． 解：设每个商品涨价x元，则售价为元，销量为个． ∵每个利润为元， ∴总利润为． 整理得：， 解得或， 则售价为元或元． 故售价应定为60元或80元． 故选：C． 5．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问：阔及长各几步？”也就是说：“一块长方形田地的面积为864平方步，宽比长小12步，问：这块长方形田地的长、宽各多少步？”设宽为步，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设宽为步，先表示出长，再利用长方形面积公式列方程，即可选出正确选项． 解：设宽为步，则长为步， ∵长方形田地的面积为864平方步， ∴可得方程． 6．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）中国（安庆）黄梅戏艺术节是中国首个以黄梅戏为主题的全国综合性艺术节，安庆市某校八（1）班同学互赠黄梅戏主题书签，共赠主题书签2450张，若八（1）班共有n名学生，则所列方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，解题关键是理解互赠的含义． 计算总赠出书签的数量，从而列出方程． 解：∵八（1）班共有名学生，同学之间互赠书签，即每名同学需要向除自己以外的其他同学各赠送1张书签， ∴每名同学送出张书签，名同学送出书签的总张数为， 又已知共赠主题书签2450张， ∴可列方程． 7．（25-26九年级上·广东佛山·阶段检测）如图，在中，点、同时由、两点出发分别沿、方向向点匀速运动，其速度为，几秒后的面积是面积的一半（   ） A． B．9 C．或9 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意，得出，结合运动速度和运动方向得，根据三角形面积公式进行列式计算，即可作答． 解：依题意，设秒后的面积是面积的一半， 则， ∵点、同时由、两点出发分别沿、方向向点匀速运动，其速度为， ∴， 故， 即， ∴， 整理得 ∴ 解得或， 当时，则不符合题意； ∴秒后的面积是面积的一半， 故选：A． 8．（25-26九年级上·河北保定·期中）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用， 根据题意，每株椽的价钱为文，少拿一株后剩余株，运费为文，运费等于一株椽的价钱，由此列出方程． 解：∵每株椽的价钱为文，少拿一株后，运费为文，且运费等于一株椽的价钱， ∴， 两边乘以得：， 即选项B正确． 故选：B． （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26八年级下·山东东营·期末）黄河入海，万鸟齐飞．东营黄河口湿地作为“鸟类国际机场”，秋冬观鸟热潮持续升温，东方白鹳主题文创销量节节攀升．某文创店月“东方白鹳”挂件销量为万件，月销量达万件．若每月的增长率相同，则这款挂件销量的月平均增长率为________． 【答案】 【分析】设月平均增长率为，根据月和月的销量关系列一元二次方程，舍去不符合题意的负根即可得到结果． 解：设这款挂件销量的月平均增长率为， 根据题意列方程得：， ∴， 解得，（舍去）， ∴这款挂件销量的月平均增长率为． 10．（25-26九年级上·湖北恩施·期中）某种传染病在羊群中传播迅猛，平均一头羊每隔5小时能传染x头羊，现一养羊场有1头羊感染此病，若不及时控制，经过10小时后会有100头羊感染上此病，依题意可列方程________． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确得到等量关系是解题的关键． 根据题意，每5小时每头感染羊传染头羊，经过10小时，感染羊数量从1头开始，经过两次传染后达到100头，由此列出方程． 解：初始有1头羊感染。 经过第一个5小时，这1头羊传染头羊，此时总感染羊数为， 经过第二个5小时，现有头感染羊每头传染x头羊，新感染羊数为， 故总感染羊数变为， 根据题意，经过10小时后总感染羊数为100头， 故列方程可得， 故答案为：． 11．（24-25九年级上·山东聊城·期中）如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是_______． 【答案】 【分析】根据题意，设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积，由此列式求解即可． 解：设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积， 依题意得：， 解得：（不合题意，舍去）， 答：小路的宽是． 12．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出10件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出1件．若商场平均每天盈利600元，每件衬衫应降价多少元？若设每件衬衫应降价元，则可列方程为________． 【答案】 【分析】本题根据总利润每件衬衫的利润每天的销售量列方程，先分别表示出降价后每件衬衫的利润与每天的销售量，再代入等量关系即可得到方程． 解：设每件衬衫应降价元，根据题意，降价后每件衬衫的利润为元，每件降价元后，每天多售出件， 因此每天的销售量为件， 已知商场平均每天盈利元，结合总利润公式可得方程． 13．（22-23九年级下·湖南永州·单元复习）某校八年级组织篮球赛，若每两班之间赛一场，共进行了28场，设该校八年级有x个班级，依题意可列方程为：__________________________________． 【答案】 【分析】根据每两班之间赛一场，共进行了28场，列出方程即可. 解：由题意，可列方程为. 14．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）徐老师购买了576张签名卡，在毕业典礼上，他向每位同学赠送了一张签名卡，每位同学间也互赠了一张签名卡，签名卡恰好用完，则班级共有______名学生． 【答案】24 【分析】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设班级有名学生，根据题意列出方程即可，根据题意得等量关系，建立方程是解题的关键． 解：设班级有名学生， 根据题意得：， 解得：，（舍去）， ∴班级共有24名学生． 故答案为：24． 15．（25-26九年级下·湖南永州·单元复习）如图，某中学课外兴趣活动小组准备围建一个面积为平方米的矩形苗圃园，其中一边靠米的墙，另外三边是周长为米的篱笆围成，则这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米． 依题意可列方程为：___________________；其中x的取值范围为：______________________ 【答案】 【分析】利用长方形的面积公式，依据已知条件，找出平行于墙的一边的长度，列出方程即可，再根据长方形的长度范围即可求出取值范围． 解：设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，根据题意得， ， ，， ，， ． 16．（2025九年级上·全国·专题练习）某旅行社的一则广告如下： 我社组团去井冈山红色研学活动，收费标准：如果人数不超过30，那么人均旅游费用为800元；如果人数多于30，那么每增加1人，人均旅游费用降低10元，但人均旅游费用不得低于500元． 现该旅行社组织了一批学生去井冈山红色研学活动，共计收到费用29250元，则这次旅游可以安排_____人参加． 【答案】45 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．根据题意得，可以得出人数大于人；设这次旅游可以安排人参加，可得人均旅游费为：，根据题意建立方程求解即可，根据人均旅游费用不得低于500元取舍方程的解，即可求解． 解：根据题意得， 所以该旅行社的人数大于人， 设这次旅游可以安排人参加，则人均旅游费为元， 由题意得：， 解得： 当时，人均费用＜，不符合要求；当时，人均费用，符合要求． 故这次旅游可以安排人参加． 故答案为：． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26八年级下·广西崇左·期末）如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． （1）设花圃的一边长为x米，请你用含x的代数式表示另一边的长； （2）若此时花圃的面积刚好为，求此时花圃的长与宽； （3）能否围成面积为的花圃？请说明理由． 【答案】（1）米；（2）花圃的长为9米，宽为5米；（3）解：不能围成面积为的花圃，理由如下： 当花圃的面积刚好为时， ， 化简得：， ∴， ∴该方程没有实数解， ∴不能围成面积为的花圃． 【分析】（1）设花圃的宽长为x米，则米； （2）由矩形面积，列出方程，解方程可得答案； （3）由矩形面积，列出方程，判断方程的解的情况可得答案． 解：（1）解：∵宽米， ∴长（米）； （2）解：∵花圃的面积刚好为平方米， ∴， 化简得：， 解得：，， 当时，长，不合题意，舍去； 当时，长，符合题意； 答：花圃的长为9米，宽为5米． （3）略 18．（2026·山东烟台·中考真题）为庆祝长征胜利90周年，文旅公司推出多款长征主题的文创产品．已知某款文创产品的成本价是每件20元，日销售量（件）与每件售价（元）的函数关系如图所示． （1）求与的函数表达式； （2）文旅公司在销售这款文创产品时，若每天盈利525元，且尽可能的让利于顾客，求该款文创产品每件的售价为多少元？ 【答案】（1）；（2）该款文创产品每件的售价为35元． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意列一元二次方程，取较小解即可． 解：（1）解：设与的函数表达式为， 将点和点的代入得：， 解得：， 与的函数表达式为； （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 尽可能的让利于顾客， ， 即该款文创产品每件的售价为35元． 19．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）问题：“某工程队准备修建一条长3000米的下水管道，由于采用新的施工方式，________________，提前2天完成任务，求原计划每天修建下水管道的长度？” 条件：（1）实际每天修建的长度比原计划多； （2）原计划每天修建的长度比实际少75米． 在上述的2个条件中选择1个________________（仅填序号）补充在问题的横线上，并完成解答． 【答案】选（1）或（2）；选（1）原计划每天修建下水管道的长度为米；选（2）原计划每天修建下水管道的长度为米 【分析】选择（1）时，设原计划每天修建米，则实际每天修建米，根据提前2天完成这一任务，即可得出关于的分式方程，解之经检验即可得出结论； 选择（2）时，设原计划每天修建盲道米，则实际每天修建米，根据提前2天完成这一任务，即可得出关于y的分式方程，解之经检验即可得出结论； 解：选（1）或（2） （1）解：设原计划每天修建下水管道的长度为米 经检验：是所列方程的解 答：原计划每天修建下水管道的长度为米． （2）解：设原计划每天修建下水管道的长度为米 （舍） 经检验：是所列方程的解． 答：原计划每天修建下水管道的长度为米． 【点拨】本题主要考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 20．（25-26八年级下·安徽宣城·期末）五一假期，全网出圈的“黄站长”带火宣城文旅，各地游客慕名前来游玩．宣城某乡镇果蔬专业合作社依托文旅热度，对果园进行适度改造，引入草莓种植，大力发展采摘旅游业．结合提供的素材，解决相关问题． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 该专业合作社辖区内有一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米．    素材2 经市场调查，奶油草莓深受游客喜爱，销售前景乐观．若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓．受天气诸多因素影响，草莓难以长时间保鲜，负责人决定将草莓降价销售．若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500平方米草莓．果园每月的承包费为2万元．    问题解决： （1）若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． （2）若该专业合作社预期一个月的总利润为52万元，则从购买草莓客户的角度应该降价多少元？ （3）若草莓降价模式保持不变，该专业合作社能否实现每月总利润60万元的预期目标？ 【答案】（1）路面设置的宽度符合要求；（2）从购买草莓客户的角度应该降价元；（3）该合作社不能实现每月60万元的预期目标 【分析】（1）由果园的长、宽及四周道路的宽度，可得出中间种植部分是长为米、宽为米的长方形，根据中间种植的面积列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，取其符合题意的值，再对照的取值范围，即可得出结论； （2）设每平方米草莓平均利润下调元，则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓，利用总利润=销售利润−承包费，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，再结合要让利于顾客，即可确定结论． （3）假设该专业合作社能实现每月总利润60万元的预期目标，根据（2）的总利润方程式得到，解方程即可． 解：（1）解：根据题意得， 整理得， 解得， 当时，（不符合题意，舍去）， 故 ， 路面设置的宽度符合要求； （2）解：设每平方米草莓平均利润下调元，则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓， 根据题意得， 整理得， 解得，， 又 要让利于顾客， ． 答：每平方米草莓平均利润下调元． （3）解：根据题意得， 整理得 则 ∴方程在实数范围内无解 该合作社不能实现每月60万元的预期目标． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 25.6 实际问题与一元二次方程（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】解一元二次方程实际应用题步骤 1 【知识点二】增长率问题（最基础高频） 2 【题型 1】增长率问题 2 【知识点三】传播与裂变问题（病毒、树枝、握手） 3 【题型 2】传播问题 3 【知识点四】几何面积问题（道路、边框、裁剪） 3 【题型 3】图形面积问题 4 【知识点五】销售利润问题（中考必考压轴基础） 5 【题型 4】销售与利润问题 5 【知识点六】握手、单循环比赛问题 6 【题型 5】握手与循环比赛问题 6 二.题型精析（巩固提升） 7 【知识点七】高频易错点汇总 7 【题型 6】增长率与销售利润问题综合 7 【题型 7】一元二次方程与几何问题综合 8 三.同步检测 9 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 9 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 11 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 12 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】解一元二次方程实际应用题步骤 1. 审：审题——读懂题意，找出已知量、未知量，梳理题目中的等量关系。 2. 设：设未知数——一般直接设所求量为；复杂题型可间接设未知数，统一单位。 3. 列：列方程——根据核心等量关系，列出一元二次方程。 4. 解：解方程——选用因式分解法、公式法求解方程，得到两个根。 5. 验：双重检验（关键步骤）① 检验根是否满足方程；② 检验根是否符合实际情境（长度、人数、增长率不能为负，人数为整数等），舍去不合理的根。 6. 答：规范作答——完整写出答案，对应题目问题。 核心易错点：一元二次方程必有两个根，但实际问题中大多只有一个根符合题意，必须验根舍根，不验根直接扣分！ 【知识点二】增长率问题（最基础高频） 1. 通用公式：设基数为，平均增长率为，增长次数为，最终量为：；平均下降率公式： 初中常考：连续两年增长/下降，即。 【题型 1】增长率问题 【例题1】（25-26八年级下·浙江金华·期末）为了增强体质，王大伯决定每天坚持快走锻炼．已知王大伯第一周行走的总路程为10000米，从第一周起的前四周，他每周行走的总路程按相同的平均增长率增长．经统计，第三周时，单周路程达到了12100米． （1）求每周路程的平均增长率； （2）按照这个增长速度，预测第五周王大伯行走的总路程是多少米？ 【变式1】（25-26八年级下·浙江杭州·期末）杭州某公司开展低空经济飞行器研发，2024年研发经费为2000万元，2026年研发经费达2310万元．已知2026年研发经费的增长率比2025年研发经费的增长率高．设2025年研发经费的增长率为，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·山东东营·期末）黄河入海，万鸟齐飞．东营黄河口湿地作为“鸟类国际机场”，秋冬观鸟热潮持续升温，东方白鹳主题文创销量节节攀升．某文创店月“东方白鹳”挂件销量为万件，月销量达万件．若每月的增长率相同，则这款挂件销量的月平均增长率为________． 【变式3】（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）随着“浙”篮球赛事的持续升温，越来越多的球迷前往现场观赛，感受篮球魅力．某篮球馆，今年3月份共计接待观众1万人，5月份接待观众增加到了万人． （1）求该篮球馆这两个月接待观众的月平均增长率； （2）若6月份继续保持相同的增长率，则该篮球馆6月份预计接待观众多少万人？ 【知识点三】传播与裂变问题（病毒、树枝、握手） 模型规律：传染源1个，每轮每人传播个，经过两轮传播后总数量： 【题型 2】传播问题 【例题2】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段检测）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数量的小分支，主干、支干和小分支的总数是73，每个支干长出多少小分支？ 【变式1】（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意，列方程为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·山东东营·期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出______个小分支． 【变式3】（23-24九年级上·江西赣州·期中）有一种传染性疾病，蔓延速度极快，据统计，在人群密集的城市里，通常情况下，每天一人能传染给若干人，现有一个人患了这种疾病，经过两轮传染后共有个人患有这种疾病． （1）设这种疾病每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮后共有_______个人患病；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x个人，第二轮后共有_______个人患病．（用含x的式子表示） （2）求x的值． 【知识点四】几何面积问题（道路、边框、裁剪） 解题技巧：利用“平移法”，将不规则空白道路、边框拼接为规则矩形，简化计算，避免重复减面积出错。 【题型 3】图形面积问题 【例题3】（25-26八年级下·广西崇左·期末）如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． （1）设花圃的一边长为x米，请你用含x的代数式表示另一边的长； （2）若此时花圃的面积刚好为，求此时花圃的长与宽； （3）能否围成面积为的花圃？请说明理由． 【变式1】（25-26八年级下·浙江温州·期末）如图，某学校有一块长，宽的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若两块矩形绿地的面积共，设人行通道的宽度为x米，根据题意列出方程（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·山西大同·期末）如图1为一矩形纸板，长，宽．在它的四角各切去一个同样大小的正方形，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒（如图2）．如果要制作的无盖方盒的底面积为，则矩形纸板各角应切去正方形的边长为______． 【变式3】（25-26八年级下·广西百色·期末）综合与探究：剪纸艺术中的数学问题 剪纸是我国传统民间艺术，某同学有一张长为、宽为的长方形卡纸． 操作过程： 为制作花边图案，该同学在长方形卡纸的四个角各截去一个相同大小的小正方形，剩余中间的长方形剪纸图案区域（阴影部分）面积为． 探究问题： （1）设剪去的小正方形的边长为，请用含x的代数式表示剩余图案阴影区域的长和宽；长为_______________，宽为_______________． （2）求出剪去的小正方形的边长； （3）若剩余图案阴影区域需要再裁剪出边长为的小正方形贴纸，直接写出最多可以裁剪多少个． 【知识点五】销售利润问题（中考必考压轴基础） 1. 核心公式：（1）单件利润 = 售价 - 进价；（2）总利润 = 单件利润 × 销售数量 【题型 4】销售与利润问题 【例题4】（25-26八年级下·广西贺州·期末）某水果店售卖时令水果，进价是每千克元，市场调查可知：售价定为每千克元时，每日可售出千克；售价每降低元，每日销量增加千克．设每千克售价降低元．（，为整数） （1）用含的式子表示：现在每千克售价为_____元，每日销售量为_______千克； （2）若该水果店每日销售这种水果获利元，为了尽快减少这种水果的库存，求此时水果的售价； （3）水果店规定：每千克这种时令水果的利润不少于元，且每日水果销售量超过千克，求符合条件的所有整数． 【变式1】（25-26八年级下·山东威海·期末）直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商对一款成本价为每件40元的小商品进行直播销售，据市场分析，销售单价定为50元时，一个月能售出500件；若销售单价每涨2元，月销售量就减少10件．若要保证每月盈利9000元，那么销售单价应定为多少元？设销售单价应定为元，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2025九年级·全国·专题练习）某商城在元旦节期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个14元，标价为每个20元．市场调研表明：当每个商品的售价为20元时，平均每天能够售出40个，当每个商品的售价每降1元时，平均每天就能多售出10个．在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润，每个商品的售价应为___________元，最大利润是___________元． 【变式3】（2026·山东烟台·中考真题）为庆祝长征胜利90周年，文旅公司推出多款长征主题的文创产品．已知某款文创产品的成本价是每件20元，日销售量（件）与每件售价（元）的函数关系如图所示． （1）求与的函数表达式； （2）文旅公司在销售这款文创产品时，若每天盈利525元，且尽可能的让利于顾客，求该款文创产品每件的售价为多少元？ 【知识点六】握手、单循环比赛问题 1. 通用模型：个人两两握手（单循环比赛），总次数： 【题型 5】握手与循环比赛问题 【例题5】（25-26九年级上·江西南昌·阶段检测）行知中学举办九年级篮球赛，比赛采用单循环赛制（即每个队伍与其它参赛队伍各比赛1场），以下是小锦和小江对比赛总场数的统计： （1）若有6个参赛队伍，按赛制共进行了几场比赛？ （2）小江的说法有道理吗？请通过计算说明； 【变式1】（25-26八年级下·山东东营·期末）为丰富职工文化生活，东营区举办职工篮球友谊赛，每两支参赛队伍之间都要进行一场比赛，累计比赛36场．设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·陕西西安·期末）某班组织了一次小型同学聚会，参与的同学每两个人之间只握一次手，所有人共握了45次手，则参加同学聚会的人数为_________． 【变式3】（25-26九年级上·河南驻马店·期中）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手次，有多少人参加聚会？ 二.题型精析（巩固提升） 【知识点七】高频易错点汇总 1. 忘记验根舍根：实际问题中负数、超范围数值、非整数均需要舍去，是最大失分点。 2. 增长率次数混淆：两年增长是平方，不是乘以2，禁止写成。 3. 面积问题重复减空：十字道路必须用平移法，避免重复减去交叉重叠部分。 4. 利润问题数量关系错：涨价销量减少、降价销量增加，对应数量变化切勿写反。 5. 单循环与双循环混淆：握手、单循环球赛除以2；互赠礼物、双循环比赛不除以2。 【题型 6】增长率与销售利润问题综合 【例题6】（25-26八年级下·山东泰安·期末）为庆祝中国航天事业成立70周年，某航天科普基地推出了一款运载火箭纪念品，深受青少年喜爱． （1）该纪念品今年1月份的销售量为700件，3月份的销售量为1008件．若1月份到3月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率． （2）该纪念品的进价为每件50元，据市场调查发现，若售价为每件90元，每天能销售30件；售价每降价2元，每天可多售出4件．为推广航天知识，基地决定降价促销，同时尽快减少库存．若使销售该纪念品每天获利1400元，则售价应降低多少元？ 【变式1】（25-26八年级下·浙江金华·期末）依托金华双龙景区暑期文旅热潮，本地老字号酥饼门店线上线下销量持续走高．该店7月份酥饼总销量15万袋，9月份销量增长至21.6万袋． （1）求该门店7月到9月酥饼总销量的月平均增长率． （2）门店酥饼进货成本每袋18元，日常售价25元/袋时，单日可卖出60袋．市场调研显示：售价每下调1元，单日销量多卖出10袋．门店计划降价清库存，若要单日销售总利润达到400元，则每袋酥饼需要降价多少元？ 【变式2】（25-26八年级下·山东泰安·期末）智能头盔是在传统防护头盔基础上，集成电子、传感、通讯模块的安全防护+智能穿戴设备，逐渐被电动车、摩托车等骑行爱好者喜欢．某品牌智能头盔专卖店统计了2026年第二季度（4月至6月）该品牌智能头盔的销量情况：4月份销售150个，6月份销售216个． （1）求该店该品牌智能头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率； （2）该智能头盔的进价为300元/个，市场调研发现：当售价为400元/个时，月销售量为60个；若售价在此基础上每上涨2元/个，则月销售量将减少1个．为响应政府“安全骑行、惠民利民”的号召，该专卖店希望在月销售利润达到6032元的同时，尽可能让市民享受实惠．请问该品牌智能头盔的实际售价应定为每个多少元？ 【变式3】（25-26八年级下·福建福州·期末）自月日“闽超”开赛以来，福建省各地掀起观赛热潮，相关周边产品需求持续攀升．某文创公司推出闽超吉祥物纪念品“五福天团”，并同步开展线上主题打卡活动．现要对活动方案进行升级，需要对定价和打卡人数进行调研． 素材 月份，参与“闽超线上打卡”活动的人数有人，随着“闽超”热度不断提升，月份的报名人数达到人． 素材 闽超吉祥物纪念品“五福天团”深受球迷喜爱，在销售中发现：纪念品的进价为每件元． 素材 在统计销售数据后，发现当纪念品售价为每件元时，每月销售量达到件．若纪念品售价每降价元，销售量就会增加件． 请完成下面两个任务． （1）确定增长率：求从月份到月份“闽超线上打卡”活动报名人数的平均增长率． （2）拟定价格方案：求当纪念品降价多少元时，商场可以尽量减少库存并获利元． 【题型 7】一元二次方程与几何问题综合 【例题7】（25-26八年级下·安徽亳州·期中）在中，，，，点P，Q都从点C出发，点P以的速度沿向A运动，点Q从点C出发，以的速度沿向B运动，两点同时出发，设运动时间为． （1）当时，求长． （2）当的面积为时，求t的值． （3）当时，求t的值． 【变式1】（24-25九年级上·山西太原·阶段检测）如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒．． （1）当_______时，的长度等于（直接填结果）； （2）连接，是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【变式2】（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）如图，中，，，8，点从点出发，以每秒的速度沿运动；同时点从点出发，以每秒的速度沿运动，当到达点时，点同时停止运动． （1）运动几秒时的面积为？ （2）运动几秒时中？ 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26九年级上·广西南宁·阶段检测）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有49人患了流感，假设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·山西·中考真题）某公司自主研发并生产的仿生蝴蝶飞行器，能高度还原蝴蝶飞行动作．今年3月份此款飞行器产量为1200台，5月份的产量为1600台．若设该公司此款飞行器这两个月产量的月平均增长率为，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大，则这个两位数为（   ） A．25 B．36 C．25或36 D．或 4．（23-24九年级上·河南平顶山·期中）将进货单价为40元的商品按50元出售时，售出500个．经市场调查发现：该商品每涨价1元，其销量减少10个．为了赚8000元，则售价应定为（   ） A．60元 B．80元 C．60元或80元 D．70元 5．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问：阔及长各几步？”也就是说：“一块长方形田地的面积为864平方步，宽比长小12步，问：这块长方形田地的长、宽各多少步？”设宽为步，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）中国（安庆）黄梅戏艺术节是中国首个以黄梅戏为主题的全国综合性艺术节，安庆市某校八（1）班同学互赠黄梅戏主题书签，共赠主题书签2450张，若八（1）班共有n名学生，则所列方程是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·广东佛山·阶段检测）如图，在中，点、同时由、两点出发分别沿、方向向点匀速运动，其速度为，几秒后的面积是面积的一半（   ） A． B．9 C．或9 D．10 8．（25-26九年级上·河北保定·期中）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是（   ） A． B． C． D． （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26八年级下·山东东营·期末）黄河入海，万鸟齐飞．东营黄河口湿地作为“鸟类国际机场”，秋冬观鸟热潮持续升温，东方白鹳主题文创销量节节攀升．某文创店月“东方白鹳”挂件销量为万件，月销量达万件．若每月的增长率相同，则这款挂件销量的月平均增长率为________． 10．（25-26九年级上·湖北恩施·期中）某种传染病在羊群中传播迅猛，平均一头羊每隔5小时能传染x头羊，现一养羊场有1头羊感染此病，若不及时控制，经过10小时后会有100头羊感染上此病，依题意可列方程________． 11．（24-25九年级上·山东聊城·期中）如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是_______． 12．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出10件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出1件．若商场平均每天盈利600元，每件衬衫应降价多少元？若设每件衬衫应降价元，则可列方程为________． 13．（22-23九年级下·湖南永州·单元复习）某校八年级组织篮球赛，若每两班之间赛一场，共进行了28场，设该校八年级有x个班级，依题意可列方程为：__________________________________． 14．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）徐老师购买了576张签名卡，在毕业典礼上，他向每位同学赠送了一张签名卡，每位同学间也互赠了一张签名卡，签名卡恰好用完，则班级共有______名学生． 15．（25-26九年级下·湖南永州·单元复习）如图，某中学课外兴趣活动小组准备围建一个面积为平方米的矩形苗圃园，其中一边靠米的墙，另外三边是周长为米的篱笆围成，则这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米． 依题意可列方程为：___________________；其中x的取值范围为：______________________ 16．（2025九年级上·全国·专题练习）某旅行社的一则广告如下： 我社组团去井冈山红色研学活动，收费标准：如果人数不超过30，那么人均旅游费用为800元；如果人数多于30，那么每增加1人，人均旅游费用降低10元，但人均旅游费用不得低于500元． 现该旅行社组织了一批学生去井冈山红色研学活动，共计收到费用29250元，则这次旅游可以安排_____人参加． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26八年级下·广西崇左·期末）如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． （1）设花圃的一边长为x米，请你用含x的代数式表示另一边的长； （2）若此时花圃的面积刚好为，求此时花圃的长与宽； （3）能否围成面积为的花圃？请说明理由． 18．（2026·山东烟台·中考真题）为庆祝长征胜利90周年，文旅公司推出多款长征主题的文创产品．已知某款文创产品的成本价是每件20元，日销售量（件）与每件售价（元）的函数关系如图所示． （1）求与的函数表达式； （2）文旅公司在销售这款文创产品时，若每天盈利525元，且尽可能的让利于顾客，求该款文创产品每件的售价为多少元？ 19．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）问题：“某工程队准备修建一条长3000米的下水管道，由于采用新的施工方式，________________，提前2天完成任务，求原计划每天修建下水管道的长度？” 条件：（1）实际每天修建的长度比原计划多； （2）原计划每天修建的长度比实际少75米． 在上述的2个条件中选择1个________________（仅填序号）补充在问题的横线上，并完成解答． 20．（25-26八年级下·安徽宣城·期末）五一假期，全网出圈的“黄站长”带火宣城文旅，各地游客慕名前来游玩．宣城某乡镇果蔬专业合作社依托文旅热度，对果园进行适度改造，引入草莓种植，大力发展采摘旅游业．结合提供的素材，解决相关问题． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 该专业合作社辖区内有一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米．    素材2 经市场调查，奶油草莓深受游客喜爱，销售前景乐观．若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓．受天气诸多因素影响，草莓难以长时间保鲜，负责人决定将草莓降价销售．若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500平方米草莓．果园每月的承包费为2万元．    问题解决： （1）若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． （2）若该专业合作社预期一个月的总利润为52万元，则从购买草莓客户的角度应该降价多少元？ （3）若草莓降价模式保持不变，该专业合作社能否实现每月总利润60万元的预期目标？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $