专题 25.3 降次——解一元二次方程（公式法）（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦“降次——解一元二次方程（公式法）”核心知识点，系统梳理求根公式推导（配方法）、根的判别式、标准六步解题模板及三种解法对比，构建从原理理解到实际应用的完整学习支架。 资料特色为分层递进设计，基础题型巩固公式应用与判别式判断，提升题型结合几何综合培养数学思维（推理能力）与应用意识。同步检测覆盖选择填空解答题，课中辅助教师系统教学，课后帮助学生查漏补缺强化运算能力。

专题 25.3 降次——解一元二次方程（公式法）（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理 1 【知识点一】求根公式推导（配方法推导，必考理解） 1 【知识点二】根的判别式 2 【知识点三】公式法标准解题六步骤（考试满分模板） 2 【知识点四】三种解法对比（解题择优） 2 二．基础题型精析 2 【题型 1】熟悉求根公式 2 【题型 2】利用公式法解一元二次方程 5 【题型 3】利用根的判别式判断一元二次方程根的情况 7 【题型 4】利用根的判别式求参数的值或取值范围 9 【题型 5】利用根的判别式求值与证明 11 三.题型精析（巩固提升） 14 【题型 6】选择合适（指定）方法解一元二次方程 14 【题型 7】根的判别式与几何、函数综合 16 四.同步检测 19 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 19 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 23 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 27 一.知识梳理 【知识点一】求根公式推导（配方法推导，必考理解） 对一元二次方程一般形式 进行配方： ① 二次项系数化为1：； ② 移项： ； ③ 配方（两边加一次项系数一半的平方）：； ④ 整理完全平方： ； ⑤ 开方求解（右侧非负才有实根）： . 【知识点二】根的判别式 判别式三大结论： ① ：方程有两个不相等的实数根； ② ：方程有两个相等的实数根（重根）； ③ ：方程无实数根。 关键提醒：必须先保证 ，否则不是一元二次方程，不能用判别式。 【知识点三】公式法标准解题六步骤（考试满分模板） 1：化一般式——整理成 ，右侧必须为0； 2：定系数——找准 （带符号代入，负号不能丢）； 3：算判别式——计算 ，判断根的情况； 4：判断可否开方——代入公式，直接写无实数根； 5：代入公式——； 6：化简结果——约分、最简根式，规范写出 。 【知识点四】三种解法对比（解题择优） 1. 直接开平方法：只适合平方型 ，最快； 2. 配方法：适合配方简单、需要求最值、变形题型； 3. 公式法：所有一元二次方程通用，计算稳定、不易错。 二．基础题型精析 【题型 1】熟悉求根公式 【例题1】（23-24九年级上·全国·课后作业）用公式法解一元二次方程：．    解：方程化为． _______，． _________． 方程_________实数根． __________________， 即_________，． 【答案】 有两个不相等的 2 【分析】根据公式法解一元二次方程的解法步骤求解即． 解：方程化为． ，，． ． 方程有两个不相等的实数根． ， 即2，． 故答案为：；；有两个不相等的；；；2． 【点拨】本题考查公式法解一元二次方程，熟练掌握公式法解一元二次方程的解法步骤是解答的关键． 【变式1】（25-26九年级上·河北邢台·阶段检测）用公式法解方程时，得，则“□”处应填（  ） A． B． C．5 D．7 【答案】A 【分析】本题考查公式法解一元二次方程，熟记公式法解一元二次方程的方法是解决问题的关键． 先将题中一元二次方程化为一般式，再由求根公式代入求解即可得到答案． 解：用公式法解方程时，得， 先化为一元二次方程一般式：， ， ， 则“□”处应填， 故选：A． 【变式2】（24-25八年级下·安徽合肥·阶段检测）若是一元二次方程的根，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元二次方程----公式法，利用求根公式判断求解即可． 解：∵是一元二次方程方程的根， ∴，，， ∴， 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·福建三明·期中）在用求根公式求一元二次方程的根时，小明正确地代入了，，得到，则他求解的一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握求根公式中字母所表示的意义．根据求根公式解答． 解：由知： ，，． 所以该一元二次方程为：． 故选：A． 【题型 2】利用公式法解一元二次方程 【例题2】（25-26八年级下·全国·课后作业）用公式法解下列方程： （1）． （2）． 【答案】（1），；（2）， 【分析】（1）先将方程整理为一元二次方程的一般形式，再确定、、的值，代入求根公式求解； （2）先将方程整理为一般形式，再确定系数后用求根公式求解． 解：（1）解：整理，得． ， ， ，． （2）解：整理，得． ， ， ，． 【点拨】本题考查了公式法解一元二次方程，解题关键是先将方程整理为一般形式，准确确定、、的值，再代入求根公式求解． 【变式1】（25-26八年级·全国·暑假作业）方程的解为（  ） A． B． C． D．以上结论都不对 【答案】D 【分析】先将原方程整理为标准一元二次方程，求解后判断选项，注意不要误将方程右边当成0直接求解． 解：∵原方程为， 展开左边得， 整理为标准形式得， 计算判别式得， 由求根公式得方程的解为，该解不等于或， ∴选项A，B，C都错误，故选D． 【变式2】（25-26八年级上·上海徐汇·阶段检测）一元二次方程的根是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键；对于一元二次方程，由于无法直接因式分解，采用求根公式求解，先计算判别式，再代入公式求解即可． 解：方程中，，，， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 【变式3】（25-26九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），；（2）， 【分析】运用公式法求解即可． 解：（1）解：，，， ， ， 原方程的解为：，； （2）解：，，， ， ， 原方程的解为：，． 【点拨】本题考查了运用公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的求根公式是解题的关键． 【题型 3】利用根的判别式判断一元二次方程根的情况 【例题3】（25-26八年级下·全国·课后作业）用根的判别式判断下列方程根的情况（不用求方程的根）： （1）． （2）． （3）． （4）． 【答案】（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个不相等的实数根；（3）有两个相等的实数根；（4）没有实数根 【分析】（1）（2）先求出的值，再根据根的判别式得出答案即可； （3）（4）整理后求出的值，再根据根的判别式得出答案即可． 解：（1）解：，，， ， ∴方程有两个不相等的实数根． （2），，， ， ∴方程有两个不相等的实数根． （3）解：方程可变形为， ，，， ， ∴方程有两个相等的实数根． （4）解：方程可变形为， ，，， ， ∴方程没有实数根． 【点拨】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． 【变式1】（25-26八年级下·山西大同·期末）关于x的一元二次方程的根的情况（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】A 解：对于一元二次方程， 可得，，， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根. 【变式2】（2025·吉林四平·三模）一元二次方程根的情况是__________． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．据此即可求解． 求出的值，再判断符号即可． 解：一元二次方程，， ∴ ， ∴方程有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的实数根． 【变式3】（2025·河北唐山·二模）已知整式．化简P，若，利用判别式判断此方程实数根的情况． 【答案】，方程有两个不相等的实数根 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 先对整式化简，再将转化为一元二次方程，最后利用判别式判断方程实数根的情况即可． 解：； 当时，， ∵； ∴方程有两个不相等的实数根． 【题型 4】利用根的判别式求参数的值或取值范围 【例题4】（25-26九年级上·吉林辽源·阶段检测）为何值时，关于的一元二次方程； （1）有两个相等的实数根？ （2）有两个不相等的实数根？ （3）无实数根？ 【答案】（1）；（2）且；（3） 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，准确计算是解题的关键． （1）求解即可； （2）求解且即可； （3）求解即可； 解：（1）方程有两个相等的实数根， ， 解得； （2）方程有两个不相等的实数根， 且， 且． （3）方程无实数根， ， ． 【变式1】（25-26八年级下·山东淄博·期末）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A．且 B． C． D． 【答案】A 【分析】一元二次方程有实数根需满足两个条件：一元二次方程二次项系数不为0，方程有实数根时根的判别式大于或等于0，求解两个条件后取交集即可得到结果． 解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴二次项系数不为0，即， 解得； ∵原方程有实数根 ∴， 展开化简得， 解得， 综上，的取值范围是且． 【变式2】（25-26八年级下·山东泰安·期末）若关于的一元二次方程有实根，则的取值范围是__________． 【答案】且 【分析】根据一元二次方程的定义可得二次项系数不为，结合方程有实根可得根的判别式，列不等式求解即可得到的取值范围． 解：方程是关于的一元二次方程， 二次项系数，解得， 方程有实根， ， 解得， 综上，的取值范围是且． 【变式3】（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）已知关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围； （2）若k 为符合条件的最小正整数，求该方程的根． 【答案】（1）且；（2）， 【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）根据一元二次方程根与判别式的关系，根据判别式大于零列出不等式求解即可； （2）根据k 的取值范围和k 为正整数确定的值，代入方程后求解方程的根． 解：（1）解：判别式且， 解得且； （2）解：根据题意得，k为最小正整数， 则， 方程为 解得，． 【题型 5】利用根的判别式求值与证明 【例题5】（25-26八年级下·山东泰安·期末）已知关于的方程． （1）求证：无论取何值时，方程总有实数根； （2）若该方程两个根的平方和为25，求的值． 【答案】（1）证明：对于方程， 其中， ， ， 恒成立， 无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根 （2） 【分析】（1）证明恒大于0； （2）若该方程两个根的平方和为25，求的值． 解：（1）略 （2）解：由（1）知，利用求根公式： 解得：； 【变式1】（2026·安徽·中考真题）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则（     ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根的判别式性质，方程有两个相等实数根时判别式，整理等式即可求出的值． 解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴根的判别式， 展开整理得， 即， ∴，得， ∵， 等式两边同除以得． 【变式2】（25-26八年级下·陕西西安·期末）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义可得二次项系数不为，再根据方程有两个相等的实数根，可得根的判别式的值为，据此列方程求解即可得到的值． 解：方程是关于的一元二次方程， ，即． 方程有两个相等的实数根， ， 整理得， 解得． ，符合题意， 故m的值为． 【变式3】（25-26九年级上·江西新余·期末）已知关于x的一元二次方程（k为常数）． （1）若方程的一个根为，求的值； （2）求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根． 【答案】（1）；（2）证明见分析 【分析】本题考查了一元二次方程的解的概念以及根的判别式的应用，代入根求解参数和利用判别式判断根的情况是解题的关键． （1）将代入方程，得到关于的一元一次方程，解方程即可求出的值； （2）计算方程的判别式，通过配方证明，从而证明方程总有两个不相等的实数根． 解：（1）解：把代入方程，得 ， 解得； （2）证明：∵中，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根． 三.题型精析（巩固提升） 【题型 6】选择合适（指定）方法解一元二次方程 【例题6】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）用合适方法解下列方程． （1） （2） 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是根据方程特点选择直接开平方法或公式法． （1）方程为完全平方形式，用直接开平方法求解； （2）方程用公式法，先确定系数，计算判别式，再代入求根公式． 解：（1）解： 两边开平方得： 当时，； 当时，． 所以方程的解为，． （2）解：对于，，，， 判别式， 由求根公式得：， 所以方程的解为，． 【变式1】（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）用指定方法解下列方程 （1）用公式法解方程： （2）用配方法解方程： 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法：公式法与配方法是解题的关键． （1）根据公式法的步骤求解即可； （2）根据配方法的步骤求解即可． 解：（1）解： ， ∴， ∴， ∴，； （2）解：， ， ， ， ， ， ∴，． 【变式2】（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 解：（1）解：， 直接开平方：， 移项：， ∴． （2）解：， ， ， ， ， ∴． 【变式3】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）解下列方程： （1）（配方法）； （2）（公式法）． 【答案】（1），；（2）， 解：（1）解：， ， ， ， ∴， ∴，； （2）解：， ∵，，， ∴， ∴， ∴，． 【题型 7】根的判别式与几何、函数综合 【例题7】（25-26九年级上·江苏无锡·期末）已知分别是中所对的边长，且关于的一元二次方程有两个相等的实数根，若，试判断的形状并求其面积． 【答案】是直角三角形，面积为 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理的逆定理．一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1），方程有两个不相等的实数根；（2），方程有两个相等的实数根；（3），方程没有实数根． 根据已知条件得出，将等式变形，利用勾股定理的逆定理得到是直角三角形，然后由勾股定理求解，再由三角形面积公式求解． 解：因为关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， 所以其判别式． 化简可得：， 由可知，是直角三角形，且c为斜边． 又因为， ∴ 所以其面积． 【变式1】（25-26八年级下·山东·期末）已知一次函数（）的图象不过第三象限，则方程的根的个数为（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个 【答案】D 【分析】先根据一次函数位置得到、的取值范围，再分情况讨论方程类型，判断根的个数． 解：∵一次函数的图象不过第三象限， ∴，， 分两种情况讨论： 当时，原方程化为，是一元一次方程，仅有1个根； 当时，原方程为一元二次方程，计算判别式得， ∵，， ∴， ∴，即方程有2个不相等的实数根， 综上，方程根的个数为1个或2个． 【变式2】（24-25九年级上·江苏镇江·阶段检测）已知、、是的三边长，那么关于的方程的根的情况是______． 【答案】没有实数根 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用，一元二次方程根的判别式，不等式的性质等知识， 由三角形三边关系可得出，，然后代入根的判别式且利用不等式的性质可得出， 进而即可得出答案． 解：∵、、是的三边长， ∴，, ∴，, 关于的方程， ， ∴关于的方程无实数根， 故答案为：没有实数根． 【变式3】（2024·山东淄博·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，交轴于，交轴于． （1）求、的值及反比例函数的表达式； （2）将直线向下平移个单位，若直线与反比例函数的图象有唯一交点，求的值． 【答案】（1），，；（2） 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，求反比例函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题等知识，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）根据函数图象上点的坐标特征，将点，代入一次函数，求出、的值，再将点代入反比例函数，求出，即可得到反比例函数的表达式； （2）先得出直线平移后的解析式，再与反比例函数的解析式联立得出关于的一元二次方程，由直线与反比例函数的图象有唯一交点得出的值，再由即可得出结论． 解：（1）解：由题意可知，点，在一次函数的图象上， ，， ，， ，， 一次函数的图象与反比例函数的图象交于点， ， 反比例函数的表达式为； （2）解：直线向下平移个单位， 平移后的函数解析式为， 联立， 整理得：， 直线与反比例函数的图象有唯一交点， ， 解得：或， ， 不符合题意，舍去， ． 四.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26八年级下·山东泰安·期末）下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对于一元二次方程，当判别式时，方程有两个相等的实数根，计算各选项的判别式即可判断． 解：A、对于方程，，方程没有实数根，不符合题意； B、对于方程，，方程有两个相等的实数根，符合题意； C、对于方程，，方程有两个不相等的实数根，不符合题意； D、对于方程，，方程有两个不相等的实数根，不符合题意． 2．（2026·河北邯郸·模拟预测）若关于x的方程有两个实数根，则k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当一元二次方程有两个实数根时，根的判别式，据此列出不等式求解即可得到的取值范围． 解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴根的判别式， 方程中，，， 代入得：， 化简得， 解得， 因此的取值范围是． 3．（25-26九年级上·上海·阶段检测）点在线段上，且，如果，那么的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设，则，根据题意可得方程，解方程即可得到答案． 解：设，则， ∵， ∴， ∴，即， 解得或（舍去）， 故选：B． 4．（24-25九年级上·河南商丘·期中）下列一元二次方程的根可以根据计算出的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查公式法解一元二次方程，根据求根公式确定二次项系数，一次项系数和常数项即可． 解：∵一元二次方程的根可以根据计算， ∴， ∴对应方程为：； 故选B． 5．（25-26八年级下·河北衡水·期末）一元二次方程的根的情况是（     ） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【分析】计算一元二次方程根的判别式的值，根据与的大小关系即可判断根的情况． 解：∵对于一元二次方程，可得，，， ∴， ∴该一元二次方程有两个不相等的实数根． 6．（25-26八年级下·安徽宣城·期末）若关于的方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】A 【分析】当，即时，原方程为一元一次方程，满足题意；当，即时，原方程是一元二次方程，利用判别式求出此时m的取值范围即可得到答案． 解：当，即时，此时原方程为，解得，有实数根，符合题意； 当，即时，原方程是一元二次方程， ∵原方程有实数根， ∴， ∴， 解得，即此时满足条件的范围是且， 综上所述，的取值范围是． 7．（2026·河南漯河·一模）已知一次函数的大致图象如图所示，则一元二次方程的根的情况为（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】B 【分析】由一次函数图象可得，， 再结合根的判别式判断一元二次方程根的情况． 解：对于一元二次方程，， 根据图象可得，， ， ， ，即， 一元二次方程有两个不相等的实数根． 8．（24-25八年级下·浙江宁波·阶段检测）对于一元二次方程，根据求根公式为（其中），可以推导两根之差的绝对值的表达式．若有两个实数根，．则能够满足的m的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】先推导一元二次方程两根之差的绝对值公式，再结合题目条件列出关于的方程，同时根据方程有两个实数根确定判别式的取值范围，求解后得到符合条件的的值． 解：对于一元二次方程，由求根公式，得 ， ∵方程有两个实数根，． ． 由，得 解得， ，符合条件． （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）一元二次方程的判别式的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式公式是解题的关键． 根据根的判别式公式计算即可． 解：∵， ∴，，， ∴． 故答案为：． 10．（25-26八年级下·山东日照·期末）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】当一元二次方程有实数根时，根的判别式大于等于，据此列不等式即可求出的取值范围． 解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴，即， 解得， ∴的取值范围是． 11．（25-26九年级上·河南洛阳·期中）方程的解是________． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据公式法解一元二次方程，即可求解． 解：， ∵， ∴， ∴， 解得：，． 故答案为：，． 12．（24-25九年级上·湖南永州·阶段检测）关于x的一元二次方程x2﹣10x＋m＝0的两个实数根分别是x1，x2，且以x1，x2，6为三边的三角形恰好是等腰三角形，则m的值为__． 【答案】24或25/25或24 【分析】分6为底边和6为腰两种情况分类讨论即可确定m的值． 解：当6为底边时，则x1＝x2， ∴Δ＝100﹣4m＝0， ∴m＝25， ∴方程为x2﹣10x+25＝0， ∴x1＝x2＝5， ∵5+5＞6， ∴5，5，6能构成等腰三角形； 当6为腰时，则设x1＝6， ∴36﹣60+m＝0， ∴m＝24， ∴方程为x2﹣10x+24＝0， ∴x1＝6，x2＝4， ∵6+4＞6， ∴4，6，6能构成等腰三角形； 综上所述：m＝24或25， 故答案为24或25． 【点拨】本题考查了根的判别式，三角形的三边关系，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 13．（25-26八年级下·山东烟台·期末）在实数范围内，存在两个不相等的x的值，使得代数式与的值相等，则k的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的情况求参数取值范围，根据题意得到关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，利用根的判别式大于求解即可． 解：由题意得方程，整理得， 根据题意可得方程有两个不相等的实数根， ， 解得． 14．（25-26九年级下·浙江温州·期中）方程的正根介于正整数与之间，则________． 【答案】2 【分析】先求解方程得到正根，再估算正根的范围，即可得到整数的值． 解：， ∴ ， ∴方程的正根为， ， ， ，则． 15．（25-26八年级下·上海嘉定·期中）顶角为的等腰三角形的腰与底的比值为______． 【答案】 【分析】作的平分线交于点，得到的和都是顶角为的等腰三角形，根据它们的腰和底对应成比例，列比例式解答即可． 解：设等腰中，顶角，（腰长），（底边长）， ∴ ． 作的平分线交于点． 则， ， ． ， ， ， ∵和都是顶角为的等腰三角形， ∴它们的腰和底的比相等， 即， 代入得， 整理得， 两边同除以， 设， 得， 解得， ， ． 16．（25-26九年级上·江西南昌·阶段检测）已知等腰的一条边的长是5，另两条边的长是关于一元二次方程的两个实数根，则k的值为________． 【答案】或或 【分析】本题考查的是等腰三角形定义及一元二次方程根的判别式与根的关系，分两种情况：当为腰或当为底边时，分别求出相应的k值即可． 解：当为腰时，则方程必有一根为5， 将代入方程，， 解得； 当为底边时，方程必有两个相等的实数根， ∴， 解得， 则k的值为或或， 故答案为：或或． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（2026八年级下·全国·专题练习）使用“公式法”解一元二次方程 （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）或；（2）；（3）无实数根 【分析】本题考查用公式法解一元二次方程，关键是先将方程化为一般形式，确定、、的值，计算判别式，根据的符号判断根的情况：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根，最后代入求根公式求解（时无需代入）． （1）方程已为一般形式，直接确定系数，计算判别式后代入公式求解； （2）方程已为一般形式，确定系数后计算判别式，根据求相等实根； （3）先将方程化为一般形式，再确定系数、计算判别式，根据判断无实数根． 解：（1）解：方程，其中，，， ∴， ∴， 即，； （2）解：方程，其中，，， ∴， ∴， 即； （3）解：先将方程化为一般形式：， 其中，，， ∴， ∴原方程无实数根． 18．（25-26九年级上·全国·课后作业）用公式法解方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1），；（2）方程没有实数解；（3），． 【分析】（1）先计算出根的判别式的值得到，然后利用求根公式得到方程的解； （2）先把方程化为一般式，再计算出根的判别式的值得到，然后利用根的判别式的意义判断方程没有实数解； （3）先把方程化为一般式，再计算出根的判别式的值得到，然后利用求根公式得到方程的解． 解：（1）解：， ，，， ， ， ，； （2）， 方程化为一般式为， ，，， ， 方程没有实数解； （3）， 方程化为一般式为， ，，， ， ， ，． 【点拨】本题考查了解一元二次方程公式法：熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键． 19．（25-26九年级上·新疆喀什·期末）在中，a，b，c分别是的对边，且，关于x的方程有两个相等的实数根． （1）试判断的形状； （2）若，求的面积． 【答案】（1）是直角三角形；（2）18 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理及其逆定理，解直角三角形等知识点． （1）由一元二次方程根的判别式结合勾股定理逆定理求解即可； （2）先解直角三角形求出，再由勾股定理求解，最后根据三角形面积公式求解． 解：（1）解：方程有两个相等的实数根， ， ∴， ∵， ， ． ∴是直角三角形，且， （2）解：∵， ∴， ∵ 20．（25-26八年级下·江苏南通·期末）已知关于的方程 其中． （1）利用判别式判断该方程的根的情况； （2）C是线段上一点， ，的长是该方程的一个根， 且． ①求证； ②确定点在线段上的位置，并说明理由． 【答案】（1）该方程有两个不相等的实数根；（2）①证明：∵的长是该方程的一个根， ∴．即．① ∵， ∴．② ①+②，得． ∴． ②解：在线段靠近的三等分点处，即． ∵， ∴． ∴． 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式计算，得出，即可求解； （2）①根据的长是该方程的一个根，得出，结合已知，进而得出 ②根据，，求得的值，即可求解． （1）解：， ∴该方程有两个不相等的实数根． （2）略 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 25.3 降次——解一元二次方程（公式法）（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理 1 【知识点一】求根公式推导（配方法推导，必考理解） 1 【知识点二】根的判别式 2 【知识点三】公式法标准解题六步骤（考试满分模板） 2 【知识点四】三种解法对比（解题择优） 2 二．基础题型精析 2 【题型 1】熟悉求根公式 2 【题型 2】利用公式法解一元二次方程 3 【题型 3】利用根的判别式判断一元二次方程根的情况 4 【题型 4】利用根的判别式求参数的值或取值范围 4 【题型 5】利用根的判别式求值与证明 5 三.题型精析（巩固提升） 5 【题型 6】选择合适（指定）方法解一元二次方程 5 【题型 7】根的判别式与几何、函数综合 6 四.同步检测 6 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 6 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 8 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 8 一.知识梳理 【知识点一】求根公式推导（配方法推导，必考理解） 对一元二次方程一般形式 进行配方： ① 二次项系数化为1：； ② 移项： ； ③ 配方（两边加一次项系数一半的平方）：； ④ 整理完全平方： ； ⑤ 开方求解（右侧非负才有实根）： . 【知识点二】根的判别式 判别式三大结论： ① ：方程有两个不相等的实数根； ② ：方程有两个相等的实数根（重根）； ③ ：方程无实数根。 关键提醒：必须先保证 ，否则不是一元二次方程，不能用判别式。 【知识点三】公式法标准解题六步骤（考试满分模板） 1：化一般式——整理成 ，右侧必须为0； 2：定系数——找准 （带符号代入，负号不能丢）； 3：算判别式——计算 ，判断根的情况； 4：判断可否开方——代入公式，直接写无实数根； 5：代入公式——； 6：化简结果——约分、最简根式，规范写出 。 【知识点四】三种解法对比（解题择优） 1. 直接开平方法：只适合平方型 ，最快； 2. 配方法：适合配方简单、需要求最值、变形题型； 3. 公式法：所有一元二次方程通用，计算稳定、不易错。 二．基础题型精析 【题型 1】熟悉求根公式 【例题1】（23-24九年级上·全国·课后作业）用公式法解一元二次方程：．    解：方程化为． _______，． _________． 方程_________实数根． __________________， 即_________，． 【变式1】（25-26九年级上·河北邢台·阶段检测）用公式法解方程时，得，则“□”处应填（  ） A． B． C．5 D．7 【变式2】（24-25八年级下·安徽合肥·阶段检测）若是一元二次方程的根，则的值为___________． 【变式3】（24-25九年级上·福建三明·期中）在用求根公式求一元二次方程的根时，小明正确地代入了，，得到，则他求解的一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 【题型 2】利用公式法解一元二次方程 【例题2】（25-26八年级下·全国·课后作业）用公式法解下列方程： （1）． （2）． 【变式1】（25-26八年级·全国·暑假作业）方程的解为（  ） A． B． C． D．以上结论都不对 【变式2】（25-26八年级上·上海徐汇·阶段检测）一元二次方程的根是___________． 【变式3】（25-26九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列方程： （1）； （2）． 【题型 3】利用根的判别式判断一元二次方程根的情况 【例题3】（25-26八年级下·全国·课后作业）用根的判别式判断下列方程根的情况（不用求方程的根）： （1）． （2）． （3）． （4）． 【变式1】（25-26八年级下·山西大同·期末）关于x的一元二次方程的根的情况（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【变式2】（2025·吉林四平·三模）一元二次方程根的情况是__________． 【变式3】（2025·河北唐山·二模）已知整式．化简P，若，利用判别式判断此方程实数根的情况． 【题型 4】利用根的判别式求参数的值或取值范围 【例题4】（25-26九年级上·吉林辽源·阶段检测）为何值时，关于的一元二次方程； （1）有两个相等的实数根？ （2）有两个不相等的实数根？ （3）无实数根？ 【变式1】（25-26八年级下·山东淄博·期末）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A．且 B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·山东泰安·期末）若关于的一元二次方程有实根，则的取值范围是__________． 【变式3】（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）已知关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围； （2）若k 为符合条件的最小正整数，求该方程的根． 【题型 5】利用根的判别式求值与证明 【例题5】（25-26八年级下·山东泰安·期末）已知关于的方程． （1）求证：无论取何值时，方程总有实数根； （2）若该方程两个根的平方和为25，求的值． 【变式1】（2026·安徽·中考真题）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则（     ） A． B． C． D．2 【变式2】（25-26八年级下·陕西西安·期末）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为______． 【变式3】（25-26九年级上·江西新余·期末）已知关于x的一元二次方程（k为常数）． （1）若方程的一个根为，求的值； （2）求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根． 三.题型精析（巩固提升） 【题型 6】选择合适（指定）方法解一元二次方程 【例题6】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）用合适方法解下列方程． （1） （2） 【变式1】（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）用指定方法解下列方程 （1）用公式法解方程： （2）用配方法解方程： 【变式2】（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）解方程： （1）； （2）． 【变式3】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）解下列方程： （1）（配方法）； （2）（公式法）． 【题型 7】根的判别式与几何、函数综合 【例题7】（25-26九年级上·江苏无锡·期末）已知分别是中所对的边长，且关于的一元二次方程有两个相等的实数根，若，试判断的形状并求其面积． 【变式1】（25-26八年级下·山东·期末）已知一次函数（）的图象不过第三象限，则方程的根的个数为（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个 【变式2】（24-25九年级上·江苏镇江·阶段检测）已知、、是的三边长，那么关于的方程的根的情况是______． 【变式3】（2024·山东淄博·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，交轴于，交轴于． （1）求、的值及反比例函数的表达式； （2）将直线向下平移个单位，若直线与反比例函数的图象有唯一交点，求的值． 四.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26八年级下·山东泰安·期末）下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·河北邯郸·模拟预测）若关于x的方程有两个实数根，则k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·上海·阶段检测）点在线段上，且，如果，那么的长为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·河南商丘·期中）下列一元二次方程的根可以根据计算出的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·河北衡水·期末）一元二次方程的根的情况是（     ） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 6．（25-26八年级下·安徽宣城·期末）若关于的方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 7．（2026·河南漯河·一模）已知一次函数的大致图象如图所示，则一元二次方程的根的情况为（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 8．（24-25八年级下·浙江宁波·阶段检测）对于一元二次方程，根据求根公式为（其中），可以推导两根之差的绝对值的表达式．若有两个实数根，．则能够满足的m的值为（   ） A． B．1 C． D．2 （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）一元二次方程的判别式的值为___________． 10．（25-26八年级下·山东日照·期末）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______． 11．（25-26九年级上·河南洛阳·期中）方程的解是________． 12．（24-25九年级上·湖南永州·阶段检测）关于x的一元二次方程x2﹣10x＋m＝0的两个实数根分别是x1，x2，且以x1，x2，6为三边的三角形恰好是等腰三角形，则m的值为__． 13．（25-26八年级下·山东烟台·期末）在实数范围内，存在两个不相等的x的值，使得代数式与的值相等，则k的取值范围是__________． 14．（25-26九年级下·浙江温州·期中）方程的正根介于正整数与之间，则________． 15．（25-26八年级下·上海嘉定·期中）顶角为的等腰三角形的腰与底的比值为______． 16．（25-26九年级上·江西南昌·阶段检测）已知等腰的一条边的长是5，另两条边的长是关于一元二次方程的两个实数根，则k的值为________． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（2026八年级下·全国·专题练习）使用“公式法”解一元二次方程 （1）； （2）； （3）． 18．（25-26九年级上·全国·课后作业）用公式法解方程： （1）； （2）； （3）． 19．（25-26九年级上·新疆喀什·期末）在中，a，b，c分别是的对边，且，关于x的方程有两个相等的实数根． （1）试判断的形状； （2）若，求的面积． （25-26八年级下·江苏南通·期末）已知关于的方程 其中． （1）利用判别式判断该方程的根的情况； （2）C是线段上一点， ，的长是该方程的一个根， 且． ①求证； ②确定点在线段上的位置，并说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $