专题 3.1 相似多边形（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年北师大版九年级数学上册基础知识专项突破讲与练

本讲义聚焦相似多边形核心知识，系统梳理两条线段的比、成比例线段、相似多边形的定义与性质及比例的基本性质（含比例中项、合比与等比性质），构建从线段比到相似多边形的递进知识支架。 资料通过分层题型设计（夯实基础与巩固提升）和实例应用（如比例尺计算、相似矩形判定），培养数学眼光与思维，同步检测助力课中分层教学和课后查漏补缺，提升学生问题解决与表达能力。

专题 3.1 相似多边形（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理 1 【知识点一】两条线段的比 1 【知识点二】成比例线段 1 【知识点三】相似多边形 2 【知识点四】相似多边形的性质 2 【知识点五】比例的基本性质 2 二.题型精析（夯实基础） 2 【题型 1】成比例线段求值 2 【题型 2】比例中项 3 【题型 3】比例的基本性质 3 【题型 4】相似多边形 3 三.题型精析（巩固提升） 4 【题型 5】比例的基本性质求值 4 【题型 6】相似多边形性质求值 5 四.同步检测 6 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 6 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 7 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 8 一.知识梳理 【知识点一】两条线段的比 如果选用同一个长度单位量得两条线段,长度分别是,，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即，或写成，其中,线段,分别叫作这个线段比的前项和后项。 【要点提示】如果把表示成比值，那么，或。两条线段的比实际上就是两个数的比。 【知识点二】成比例线段 四条线段，，，，如果与的比等于与比，即，那么这四条线段，，，叫作成比例线段，简称比例线段。 【知识点三】相似多边形 各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫作相似多边形。相似用符号“∽”表示，读作“相似于”。相似多边形对应边的比叫作相似比。 【要点提示】在记两个多边形相似时，要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 【知识点四】相似多边形的性质 相似多边形对应角相等，相似多边形对应边成比例 【知识点五】比例的基本性质 1. 基本性质：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积。 即：若 （）,则 。反之：若（），则 ， 2. 比例中项：若比例式为 ，则 叫做 、 的比例中项，满足 。 3. 合比性质：（前后项同时加减自身分母，比例仍成立）； 4. 等比性质：若 （），则 。 二.题型精析（夯实基础） 【题型 1】成比例线段求值 【例题1】 （23-24九年级上·全国·课后作业）已知四个数a，b，c，d成比例． （1）若，，，求d； （2）若， ，，求c． 【变式1】（25-26八年级下·山东泰安·期末）四条线段、、、是成比例线段，其中、、，则的值为（     ） A．3 B．4 C．6 D．7 【变式2】（25-26九年级上·上海·阶段检测）上海与南京的实际距离约320千米，在比例尺为的地图上，两地的图上距离约_____厘米． 【变式3】（25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）已知线段满足，且.求线段的长． 【题型 2】比例中项 【例题2】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如果线段，，线段是和的比例中项，求线段的长度． 【变式1】（25-26八年级下·山东烟台·期中）若，且b是a、c的比例中项，那么等于（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·安徽安庆·期中）已知线段，线段是线段的比例中项，那么______________． 【变式3】（23-24九年级上·河北邢台·期中）已知线段， （1）求的值； （2）若线段是线段，的比例中项，求线段的长； 【题型 3】比例的基本性质 【例题3】（25-26九年级上·安徽六安·期中）已知线段满足，且． （1）求a、b、c的值； （2）若四条线段a，b，c，d为成比例线段，则线段d的长为 ． 【变式1】（24-25八年级下·全国·课后作业）已知，则下面结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）如果，那么_________． 【变式3】（24-25九年级上·上海浦东新·阶段检测）已知线段a、b、c，且． （1）求的值； （2）若线段a、b、c满足，求a、b、c的值． 【题型 4】相似多边形 【例题4】（25-26九年级下·全国·课前预习）某小区有一块矩形草坪长20米，宽10米，沿着草坪四周要修一宽度相等的环形小路，使得小路内外边缘所成的矩形相似，你能做到吗？若能，求出这一宽度；若不能，说明理由． 【变式1】（24-25八年级下·江苏无锡·阶段检测）下列选项中的两个图形一定相似的是（    ） A．两个等腰三角形 B．两个矩形 C．两个菱形 D．两个正五边形 【变式2】（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，五边形五边形，则五边形与五边形的相似比是________．    【变式3】（24-25八年级下·全国·课后作业）如图所示，有一块长为、宽为的玻璃，为了保护玻璃，需要镶上宽的铝合金边框，那么边框的内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？ 三.题型精析（巩固提升） 【题型 5】比例的基本性质求值 【例题5】（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）已知线段，，满足． （1）求的值； （2）当线段是，的比例中项且时，求的值． 【变式1】（25-26九年级上·江苏徐州·期末）点把线段分成两部分，如果，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·福建莆田·一模）我们把宽与长的比为黄金比（）的矩形称为黄金矩形，如图，在黄金矩形ABCD中，AB＜BC，BC＝4，∠ABC的平分线交AD边于点E，则DE的长为 _____． 【变式3】（25-26九年级上·浙江宁波·期中）已知线段、满足，且． （1）求、的值； （2）若线段是线段、的比例中项，求的值． 【题型 6】相似多边形性质求值 【例题6】（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，已知四边形与四边形相似，点的对应点分别为． （1）求的度数； （2）求边的长度． 【变式1】（25-26九年级上·河南安阳·阶段检测）如图，四边形四边形，相似比为，点，，，四点共线，则下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，点D、E在线段上，是等边三角形，当时，的度数为_____________． 【变式3】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，社区人员在一块一边靠墙的矩形小花园周围铺上石子路，已知矩形小花园的长为，宽为，纵向石子路的宽为，横向石子路的宽为，石子路外边缘形成矩形． （1）若石子路的宽均为（即），石子路外边缘的矩形与矩形小花园相似吗？ （2）要使矩形矩形，则石子路的宽度x与y的比值应为多少？ 四.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（24-25九年级上·吉林长春·阶段检测）下列长度的各组线段中，属于成比例线段的一组是（   ） A．、、、 B．、、、 C．、、、 D．、、、 2．（25-26九年级上·广东河源·期末）已知，，，成比例线段，其中，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（25-26九年级上·浙江金华·期末）已知线段，，则的比例中项线段c等于（   ） A．36 B．6 C． D．6.5 4．（25-26九年级上·山东青岛·期末）下列每个选项中的两个图形一定相似的是（   ） A．两个等腰三角形 B．两个正方形 C．两个矩形 D．两个平行四边形 5．（25-26九年级上·上海宝山·阶段检测）下列选项中的两个图形一定相似的是（   ） A．两个等腰三角形 B．两个矩形 C．两个菱形 D．两个正方形 6．（2026·北京海淀·二模）小明用投影仪将平板电脑屏幕的画面投屏到墙上，画面形状保持不变．已知该平板电脑屏幕的画面是相邻两边长之比为∶的矩形．若墙上投影画面的短边长为，则投影画面的长边长为（     ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，已知，若，，则的长为（   ）． A．12 B．13 C．14 D．15 8．（25-26九年级上·海南海口·阶段检测）如图，在中，，分别是，上的点，且．若，，，则（　　） A． B． C． D． （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）现有四条线段，长度按从长到短的顺序分别为4，3，2，a，若这四条线段是成比例线段，则a的值为_______ 10．（25-26九年级上·四川广安·阶段检测）如果在比例尺为的地图上，、 两地的图上距离是厘米，那么、两地的实际距离是_____千米． 11．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）已知线段，线段c是线段a、b的比例中项，那么线段c的长是 ________ ． 12．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）下列命题中，①任意的矩形都相似；②任意的菱形都相似；③任意的正方形都相似；④任意的圆都相似，正确命题的有________．（填序号） 13．（25-26九年级下·江西·开学考试）如图，四边形和相似，则________．      14．（2026九年级下·全国·专题练习）如图，四边形四边形，若 ，则____度． 15．（25-26九年级上·甘肃武威·阶段检测）若五边形与五边形相似，其中与，与为对应边，且，则__________ ． 16．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，四边形是一张矩形纸片，将其按如图所示的方式折叠；使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，其中，，则的长为______． （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段检测）已知线段a，b，c满足，且．求a，b，c的值． 18．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，已知四边形与四边形相似，点A、B、C、D的对应点分别为、、、． （1）______度； （2）求边x的长度． 19．（26-27九年级·全国·暑假作业）如图，在中，是斜边上的高． （1）求证：； （2）是成比例线段吗？为什么？ 20．（25-26九年级上·上海嘉定·阶段检测）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边对应成比例的两个凸四边形做相似四边形，相似四边形对应边的比叫做相似比．某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”） （1）①三个角分别相等的两个凸四边形相似；（ 命题） ②两个大小不同的正方形相似．（ 命题） （2）如图，在凸四边形和凸四边形中，，=， = = ， 求证：四边形和四边形相似． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 3.1 相似多边形（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理 1 【知识点一】两条线段的比 1 【知识点二】成比例线段 2 【知识点三】相似多边形 2 【知识点四】相似多边形的性质 2 【知识点五】比例的基本性质 2 二.题型精析（夯实基础） 2 【题型 1】成比例线段求值 2 【题型 2】比例中项 4 【题型 3】比例的基本性质 6 【题型 4】相似多边形 8 三.题型精析（巩固提升） 9 【题型 5】比例的基本性质求值 10 【题型 6】相似多边形性质求值 12 四.同步检测 15 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 15 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 19 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 22 一.知识梳理 【知识点一】两条线段的比 如果选用同一个长度单位量得两条线段,长度分别是,，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即，或写成，其中,线段,分别叫作这个线段比的前项和后项。 【要点提示】如果把表示成比值，那么，或。两条线段的比实际上就是两个数的比。 【知识点二】成比例线段 四条线段，，，，如果与的比等于与比，即，那么这四条线段，，，叫作成比例线段，简称比例线段。 【知识点三】相似多边形 各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫作相似多边形。相似用符号“∽”表示，读作“相似于”。相似多边形对应边的比叫作相似比。 【要点提示】在记两个多边形相似时，要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 【知识点四】相似多边形的性质 相似多边形对应角相等，相似多边形对应边成比例 【知识点五】比例的基本性质 1. 基本性质：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积。 即：若 （）,则 。反之：若（），则 ， 2. 比例中项：若比例式为 ，则 叫做 、 的比例中项，满足 。 3. 合比性质：（前后项同时加减自身分母，比例仍成立）； 4. 等比性质：若 （），则 。 二.题型精析（夯实基础） 【题型 1】成比例线段求值 【例题1】 （23-24九年级上·全国·课后作业）已知四个数a，b，c，d成比例． （1）若，，，求d； （2）若， ，，求c． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查了成比例线段的定义．此题比较简单，解题的关键是注意掌握比例线段的定义． （1）根据四个数a，b，c，d成比例，得出，然后代入数据进行计算即可； （2）根据四个数a，b，c，d成比例，得出，然后代入数据进行计算即可． 解：（1）解：∵四个数a，b，c，d成比例， ∴， ∵，，， ∴， 即， ∴． （2）解：∵四个数a，b，c，d成比例， ∴， ∵， ，， ∴， 即． ∴． 【变式1】（25-26八年级下·山东泰安·期末）四条线段、、、是成比例线段，其中、、，则的值为（     ） A．3 B．4 C．6 D．7 【答案】B 【分析】四条线段a、b、c、d成比例，满足，根据比例的基本性质变形可得，将已知线段长度代入即可计算出d的值． 解：∵四条线段、、、是成比例线段， ∴， 即， 将，，代入等式，得， 整理得， 解得． 【变式2】（25-26九年级上·上海·阶段检测）上海与南京的实际距离约320千米，在比例尺为的地图上，两地的图上距离约_____厘米． 【答案】8 【分析】本题主要考查了比例尺的应用，根据比例尺图上距离：实际距离，列出比例式，求解即可得出两地的图上距离． 解：设图上距离为x厘米，则 ， 所以（厘米）． 上海与南京的图上距离约8厘米． 故答案为：8． 【变式3】（25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）已知线段满足，且.求线段的长． 【答案】， 【分析】本题考查了成比例线段，熟练掌握求解的方法是解题关键．设，，代入计算可得的值，由此即可得． 解：由条件可设，， ， ， ， ，． 【题型 2】比例中项 【例题2】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如果线段，，线段是和的比例中项，求线段的长度． 【答案】线段的长度是 【分析】本题主要考查了成比例线段，由比例中项的概念结合比例的基本性质，可得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．列出比例式即可得出中项． 解：线段是和的比例中项，线段，， ， 又， ． 答：线段的长度是． 【变式1】（25-26八年级下·山东烟台·期中）若，且b是a、c的比例中项，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据比例中项的概念可得，由此即可求得答案． 解：∵b是a、c的比例中项， ∴， ∴． 【变式2】（24-25九年级上·安徽安庆·期中）已知线段，线段是线段的比例中项，那么______________． 【答案】6 【分析】本题主要考查了线段的比例中项的定义，注意线段不能为负． 根据比例中项的定义，线段c是线段a和b的比例中项，则，代入已知数值计算即可． 解：∵c是a和b的比例中项， ∴， ∴（线段长度取正值）． 故答案为：6． 【变式3】（23-24九年级上·河北邢台·期中）已知线段， （1）求的值； （2）若线段是线段，的比例中项，求线段的长； 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了成比例线段，掌握比例的性质是解题的关键； （1）根据题意直接可得结果； （2）根据比例的性质可得，进而即可求解． 解：（1）解： （2）∵线段是线段，的比例中项，，， ∴， 解得：， 又∵线段的长是正数， ∴． 【题型 3】比例的基本性质 【例题3】（25-26九年级上·安徽六安·期中）已知线段满足，且． （1）求a、b、c的值； （2）若四条线段a，b，c，d为成比例线段，则线段d的长为 ． 【答案】（1），，；（2）8 【分析】本题主要考查了比例的性质． （1）利用，可设，，，代入求出的值，即可求出、、的值； （2）根据题意得，代入求得d即可． 解：（1）解：∵， 设，，， 又， ，即， 合并同类项，得， 系数化为，得， ，，； （2）解：∵线段a，b，c，d是成比例线段， ， ， 解得． 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级下·全国·课后作业）已知，则下面结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例内项之积等于外项之积的性质是解题关键． 根据比例的性质，把等积式写成比例式即可得出结论． 解：A、由得，故选项符合题意； B、由得，故选项不符合题意； C、由得，故选项不符合题意； D、由得，故选项不符合题意． 故选：A． 【变式2】（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）如果，那么_________． 【答案】 【分析】根据已知比例关系，可设，（其中），再代入所求表达式计算． 解：， ∴可设，（其中）， ∴ 故答案为 ． 【变式3】（24-25九年级上·上海浦东新·阶段检测）已知线段a、b、c，且． （1）求的值； （2）若线段a、b、c满足，求a、b、c的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）设代入计算即可； （2）由（1）中的结论构建方程求出k即可． 解：（1）解：设 则： （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 【点拨】此题主要考查了比例的性质，根据已知得出进而得出k的值是解题关键． 【题型 4】相似多边形 【例题4】（25-26九年级下·全国·课前预习）某小区有一块矩形草坪长20米，宽10米，沿着草坪四周要修一宽度相等的环形小路，使得小路内外边缘所成的矩形相似，你能做到吗？若能，求出这一宽度；若不能，说明理由． 【答案】不能，见分析 【分析】设小路宽为x米，则小路的外边缘围成的矩形的长为米，宽为米，将两个矩形的长与宽分别相比，得，解方程即可求解． 解：设小路宽为x米，则小路的外边缘围成的矩形的长为米，宽为米，将两个矩形的长与宽分别相比，得， 解得：， 经检验，是原方程的根， 即宽度为0米的小路不存在， ∴做不到． 【点拨】通过本题的探索可以发现：把一个矩形的长和宽同时增加或减小相同的长度，所得矩形与原来矩形一定不相似，因为（a、b、c都是正数）． 【变式1】（24-25八年级下·江苏无锡·阶段检测）下列选项中的两个图形一定相似的是（    ） A．两个等腰三角形 B．两个矩形 C．两个菱形 D．两个正五边形 【答案】D 【分析】形状相同的图形称为相似图形．结合图形，对选项一一分析，排除错误答案即可． 解：A．任意两个等腰三角形，形状不一定相同，不一定相似，本选项不符合题意； B．任意两个矩形，对应角对应相等、边的比不一定相等，不一定相似，本选项不符合题意； C．任意两个菱形，边的比相等、对应角不一定相等，不一定相似，本选项不符合题意； D．任意两个正多边形的对应角相等、边的比相等，一定相似，本选项符合题意． 【变式2】（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，五边形五边形，则五边形与五边形的相似比是________．    【答案】 【分析】相似图形的相似比等于对应边之比；再由五边形 五边形 可得相似比为，进而求解即可． 解：设横向相邻的两点距离为1，则，， ∴五边形 五边形 可得相似比为． 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了相似图形的相似比，掌握相似比的定义是解题的关键． 【变式3】（24-25八年级下·全国·课后作业）如图所示，有一块长为、宽为的玻璃，为了保护玻璃，需要镶上宽的铝合金边框，那么边框的内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？ 【答案】不相似，理由见分析 【分析】本题考查的是相似多边形的判定，灵活运用相似多边形的对应边成比例这一判定定理是解题的关键．先根据边框宽度计算出内边缘矩形的长和宽，再分别计算内外矩形对应边的比值，通过判断比值是否相等来确定两个矩形是否相似． 解：不相似，理由： ， ，， ， ，， ， 不相似． 三.题型精析（巩固提升） 【题型 5】比例的基本性质求值 【例题5】（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）已知线段，，满足． （1）求的值； （2）当线段是，的比例中项且时，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了比例线段，能根据题中所给等式，用表示出进而代入计算是解题的关键． （1）根据题意，用表示出，再进行计算，即可求解； （2）根据比例中项的定义进行计算即可． 解：（1）解：由题知， 故， ∴． （2）解：∵，， 故， ∵线段是，的比例中项， ∴， 故（负值舍去）． 【变式1】（25-26九年级上·江苏徐州·期末）点把线段分成两部分，如果，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查比例线段与一元二次方程的求解；设，由题意得，，由得到关于的一元二次方程，解方程即可． 解：设， ，且， ，， ， ，即， ，，， ， 负值舍去， ， 故选：B． 【变式2】（2026·福建莆田·一模）我们把宽与长的比为黄金比（）的矩形称为黄金矩形，如图，在黄金矩形ABCD中，AB＜BC，BC＝4，∠ABC的平分线交AD边于点E，则DE的长为 _____． 【答案】 【分析】根据黄金矩形ABCD，得出宽与长的比为黄金比（），，，可求，根据BE为∠ABC的平分线，证出，再利用计算即可． 解：∵四边形ABCD为黄金矩形， ∴其宽与长的比，，， ∴， ∵BE为∠ABC的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了黄金矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、矩形的性质等知识，解题关键是熟练掌握黄金矩形的性质、等腰三角形判定与性质等知识并利用线段和差求解． 【变式3】（25-26九年级上·浙江宁波·期中）已知线段、满足，且． （1）求、的值； （2）若线段是线段、的比例中项，求的值． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查了比例线段，解题的关键是掌握对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如（即，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．注意利用代数的方法解决较为简便． （1）利用，可设，，则，然后解出的值即可得到、的值； （2）根据比例中项的定义得到，即，然后根据算术平方根的定义求解． 解：（1）解：， 设，， ， ， 解得， ，； （2）线段是线段、的比例中项， ， 是线段，， ． 【题型 6】相似多边形性质求值 【例题6】（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，已知四边形与四边形相似，点的对应点分别为． （1）求的度数； （2）求边的长度． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了相似四边形的性质，四边形的内角和，掌握相似四边形的性质是解题的关键． （）根据相似四边形的性质得到，再根据四边形的内角和即可求解； （）根据相似四边形的性质求解即可． 【小问1】 解：四边形与四边形相似， ， ． 【小问2】 解：∵四边形与四边形相似， ， ， 解得． 【变式1】（25-26九年级上·河南安阳·阶段检测）如图，四边形四边形，相似比为，点，，，四点共线，则下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似多边形的性质，根据相似多边形对应角相等，对应边成比例，逐项判断即可． 解：四边形四边形，相似比为， ，，， 选项A，D说法正确，不合题意； ， ， 选项B说法正确，不合题意； 现有条件不能得出， 选项C说法不一定正确，符合题意； 故选：C． 【变式2】（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，点D、E在线段上，是等边三角形，当时，的度数为_____________． 【答案】/120度 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和等边三角形的性质，解决此题的关键是熟练运用外角的性质；先根据相似三角形的性质得到角相等，再根据等边三角形的性质和外角的性质即可得到答案； 解：∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，社区人员在一块一边靠墙的矩形小花园周围铺上石子路，已知矩形小花园的长为，宽为，纵向石子路的宽为，横向石子路的宽为，石子路外边缘形成矩形． （1）若石子路的宽均为（即），石子路外边缘的矩形与矩形小花园相似吗？ （2）要使矩形矩形，则石子路的宽度x与y的比值应为多少？ 【答案】（1）不相似；（2） 【分析】本题考查相似图形的判定，熟练掌握相似图形的定义是解题的关键． （1）根据相似图形的定义，结合已知条件求得外框外边缘所围成的长与宽的比以及矩形中长宽的比，进而比较作答即可． （2）用含x、y的式子表示矩形的边长，根据相似多边形的性质（对应边成比例），结合，得；代入边长表达式化简求解得． 解：（1）解：∵，，， ∴，． ∴，． ∵， ∴石子路外边缘的矩形与矩形小花园不相似． （2）解：同（1）可知，，． 当矩形矩形时，， 即． ∴． 四.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（24-25九年级上·吉林长春·阶段检测）下列长度的各组线段中，属于成比例线段的一组是（   ） A．、、、 B．、、、 C．、、、 D．、、、 【答案】B 【分析】本题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等，同时注意单位要统一．如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，对选项一一分析，排除错误答案． 解：A、，不是成比例线段，故本选项不符合题意； B、，是成比例线段，故本选项符合题意； C、，不是成比例线段，故本选项不符合题意； D、，不是成比例线段，故本选项不符合题意． 故选：B． 2．（25-26九年级上·广东河源·期末）已知，，，成比例线段，其中，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了比例线段的定义，根据成比例线段的性质列出比例式，再分别代入数值计算即可求出d的长． 解：，，，是成比例线段， ，即， ， 代入，，得： ． 故选：B． 3．（25-26九年级上·浙江金华·期末）已知线段，，则的比例中项线段c等于（   ） A．36 B．6 C． D．6.5 【答案】B 【分析】本题考查成比例线段的概念，解决本题的关键是熟练掌握成比例线段的概念． 根据比例中项线段满足，且线段长度为正值，由此求解即可． 解：∵是和的比例中项， ∴， 又∵线段的长度为正数， ∴． 故选：B． 4．（25-26九年级上·山东青岛·期末）下列每个选项中的两个图形一定相似的是（   ） A．两个等腰三角形 B．两个正方形 C．两个矩形 D．两个平行四边形 【答案】B 【分析】本题考查相似图形的判定，需依据相似图形“对应角相等、对应边成比例”的定义逐项分析判断． 解： ∵相似图形的定义为对应角相等且对应边成比例． A选项：两个等腰三角形的对应角不一定相等，对应边也不一定成比例， ∴不一定相似． B选项：两个正方形的每个内角均为，对应角相等，且各边都相等，对应边的比为定值， ∴一定相似． C选项：两个矩形的对应角相等，但对应边不一定成比例， ∴不一定相似． D选项：两个平行四边形的对应角不一定相等，对应边也不一定成比例， ∴不一定相似． 故选：B． 5．（25-26九年级上·上海宝山·阶段检测）下列选项中的两个图形一定相似的是（   ） A．两个等腰三角形 B．两个矩形 C．两个菱形 D．两个正方形 【答案】D 【分析】本题考查的是相似形的定义，相似图形的形状必须完全相同；相似图形的大小不一定相同．由此逐项判断即可． 解：A．两个等腰三角形，对应角不一定相等，不一定相似，不合题意； B．两个矩形，对应相等、边的比不一定相等，不一定相似，不合题意； C．两个菱形，边的比相等、对应角不一定相等，不一定相似，不合题意； D．任意两个正方形的对应角对应相等、边的比相等，一定相似，本选项符合题意． 故选：D． 6．（2026·北京海淀·二模）小明用投影仪将平板电脑屏幕的画面投屏到墙上，画面形状保持不变．已知该平板电脑屏幕的画面是相邻两边长之比为∶的矩形．若墙上投影画面的短边长为，则投影画面的长边长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】投屏后形状不变，投影矩形与原屏幕矩形是相似图形，对应边成比例，根据原矩形边长比列比例式即可求出投影长边长． 解：∵投屏后画面形状保持不变， ∴投影矩形与原屏幕矩形相似，对应边成比例， ∵原矩形相邻两边长之比为，即长边短边，设投影长边长为， 可得， 解得， 即投影画面长边长为． 7．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，已知，若，，则的长为（   ）． A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】C 【分析】相似多边形的性质，对应边成比例，则． 解：∵ ∴， ∴． 故选：C． 8．（25-26九年级上·海南海口·阶段检测）如图，在中，，分别是，上的点，且．若，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，关键是掌握定理的内容并能灵活运用，特别注意定理中线段的对应．设，则，再根据求解即可． 解：，， ． 设． ， ． ， ， 解得，即． 故选：B． （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）现有四条线段，长度按从长到短的顺序分别为4，3，2，a，若这四条线段是成比例线段，则a的值为_______ 【答案】 【分析】根据成比例线段的定义，按顺序对应成比例，据此列比例式求解即可． 解： 四条线段长度按从长到短的顺序分别为 ，且这四条线段是成比例线段， ， 根据比例的基本性质，得 ， 解得． 10．（25-26九年级上·四川广安·阶段检测）如果在比例尺为的地图上，、 两地的图上距离是厘米，那么、两地的实际距离是_____千米． 【答案】 【分析】本题考查了比例线段，根据地图上的距离与实际距离的比等于比例尺，即可求解． 解：设A、B两地的实际距离为 则： 解得千米 A、B两地的实际距离为千米 故答案为：． 11．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）已知线段，线段c是线段a、b的比例中项，那么线段c的长是 ________ ． 【答案】 【分析】本题考查了比例中项的定义，根据比例中项的定义，线段是线段和的比例中项，则，代入和的值计算即可 解：∵ 线段是线段、的比例中项， ∴ ． ∴ （取正值，因为线段长度为正）． 故答案为． 12．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）下列命题中，①任意的矩形都相似；②任意的菱形都相似；③任意的正方形都相似；④任意的圆都相似，正确命题的有________．（填序号） 【答案】③④ 【分析】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．根据多边形相似的定义判断即可． 解：①两个矩形的对应边不一定成比例，不一定相似，故任意的矩形都相似是假命题； ②两个菱形的对应角不一定相等，不一定相似，故任意的菱形都相似是假命题； ③任意的正方形都相似，是真命题； ④任意的圆都相似，是真命题； 故答案为：③④． 13．（25-26九年级下·江西·开学考试）如图，四边形和相似，则________．      【答案】/81度 【分析】由相似多边形的性质得出，再由四边形的内角和即可得解． 解：∵四边形和相似， ∴， 在四边形中，， ∴． 14．（2026九年级下·全国·专题练习）如图，四边形四边形，若 ，则____度． 【答案】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟记相似多边形的对应角相等是解题的关键．根据相似多边形的对应角相等，以及四边形内角和为度求解即可． 解：四边形四边形， 又，，， ， 故答案为：． 15．（25-26九年级上·甘肃武威·阶段检测）若五边形与五边形相似，其中与，与为对应边，且，则__________ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了学生对相似多边形的性质知识的理解掌握及运用的情况，根据相似形对应边的比相等，就可以求出． 相似多边形的对应边成比例，根据已知对应边与的长度比求出比例关系，再应用至与求解． 解：因为五边形与五边形相似，且与为对应边， 与为对应边，所以对应边成比例，即， 代入，得， 解得． 故答案为：． 16．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，四边形是一张矩形纸片，将其按如图所示的方式折叠；使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，其中，，则的长为______． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似多边形的性质以及一元二次方程的应用，由折叠可知：，设，则，根据矩形与原矩形相似，得即可建立方程求解． 解：由折叠可知：， 由题意得：， 设，则， ∵矩形与原矩形相似， ∴，即， 解得：（舍）， ∴的长为， 故答案为：． （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段检测）已知线段a，b，c满足，且．求a，b，c的值． 【答案】，， 【分析】本题考查比例线段，熟练掌握比例的性质是解题关键． 设，依次表示出b和c，解方程求出k的值后，计算出a，b，c的值． 解：设， ∵， ∴，， ∵， ∴， 化简得，，即， ∴，，． 18．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，已知四边形与四边形相似，点A、B、C、D的对应点分别为、、、． （1）______度； （2）求边x的长度． 【答案】（1）69；（2） 【分析】本题考查了相似多边形的性质：对应边成比例，对应角相等，四边形内角和； （1）根据相似多边形的对应角相等及四边形内角和为即可求解； （2）相似多边形的对应边成比例，即可求解． 解：（1）解：∵四边形与四边形相似，点A、B、C、D的对应点分别为、、、， ∴， ∵四边形内角和为， ∴， 故答案为：69； （2）解：∵四边形与四边形相似， ∴， ∴． 19．（26-27九年级·全国·暑假作业）如图，在中，是斜边上的高． （1）求证：； （2）是成比例线段吗？为什么？ 【答案】（1）证明：∵在中，是斜边上的高． ∴ ∴； （2）解：是成比例线段，理由如下： ∵ ∴ ∴是成比例线段． 【分析】（1）利用等面积法求解即可； （2）将乘积式化为比例式即可求解． 解：（1）略 （2）略 20．（25-26九年级上·上海嘉定·阶段检测）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边对应成比例的两个凸四边形做相似四边形，相似四边形对应边的比叫做相似比．某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”） （1）①三个角分别相等的两个凸四边形相似；（ 命题） ②两个大小不同的正方形相似．（ 命题） （2）如图，在凸四边形和凸四边形中，，=， = = ， 求证：四边形和四边形相似． 【答案】（1）假，真；（2）见分析 【分析】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，相似多边形的判定和性质等知识． （1）根据相似多边形的定义即可判断； （2）根据相似多边形的定义证明四边成比例，四个角相等即可． 解：（1）解：根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边对应成比例的两个凸四边形叫做相似四边形，可得： ①三个角分别相等的两个凸四边形相似，是假命题，边不一定成比例； ②两个大小不同的正方形四个角分别相等，四条边对应成比例，所以两个大小不同的正方形相似，是真命题； 故答案为：假，真； （2）证明：连接， ∵，， ∴， ∴，，， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，，， ∴，，，，， ∴四边形和四边形相似． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $