专题 3.2 探索三角形相似的条件（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年北师大版九年级数学上册基础知识专项突破讲与练

本初中数学讲义聚焦探索三角形相似的条件，系统梳理相似三角形定义、“两角分别相等”“两边成比例且夹角相等”“三边成比例”三个判定定理及黄金分割，构建从定义到判定应用的知识支架。 资料以表格化呈现定理，结合图示与几何语言，通过例题与变式分层训练，如“两角分别相等判定”题型含证明与选择变式，培养推理能力与几何直观。课中辅助教师教学，课后助力学生巩固，查漏补缺。

专题 3.2 探索三角形相似的条件（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理解读 1 【知识点一】相似三角形定义 1 【知识点二】三角形相似定理（1） 2 【知识点三】三角形相似定理（2） 2 【知识点四】三角形相似定理（3） 2 【知识点五】黄金分割 2 二.题型精析（夯实基础） 3 【题型 1】利用“两角分别相等的两个三角形相似”判断三角形相似 3 【题型 2】利用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判断三角形相似 5 【题型 3】利用“三边成比例的两个三角形相似”判断三角形相似 8 【题型 4】黄金分割 10 三.题型精析（巩固提升） 12 【题型 5】选择或补充条件证明两三角形相似 12 【题型 6】相似三角形判定综合 15 四.同步检测 18 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 19 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 25 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 31 一.知识梳理解读 【知识点一】相似三角形定义 三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫作相似三角形。 定理 图示 几何语言 三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫作相似三角形. , 【知识点二】三角形相似定理（1） 定理：两角分别相等的两个三角形相似 定理 图示 几何语言 两角分别相等的两个三角形相似 【知识点三】三角形相似定理（2） 定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 定理 图示 几何语言 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 【知识点四】三角形相似定理（3） 定理：三边成比例的两个三角形相似。 定理 图示 几何语言 三边成比例的两个三角形相似 【知识点五】黄金分割 一般地，点把线段分成两条线段和，如果，那么称线段点黄金分割，点叫作线段黄金分割点，与的比叫作黄金比。 内容 图示 几何语言 黄金分割 是线段黄金分割点 二.题型精析（夯实基础） 【题型 1】利用“两角分别相等的两个三角形相似”判断三角形相似 【例题1】（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）如图，在中，，D是上一点，E是上的一点，且． 求证：． 【答案】见分析 【分析】此题考查了等边对等角，相似三角形的判定，解题的关键是掌握以上知识点． 由得到，然后得到，即可证明． 解：证明：∵ ∴ ∵， ∴ ∴． 【变式1】（25-26九年级上·广西梧州·期末）如图，在四边形中，，对角线交于点，则图中相似的三角形是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定定理解答即可． 解：∵， ∴， ∴，故D选项正确，符合题意； 根据题意无法得到，，，故A，B，C选项不正确，不符合题意； 故选：D 【变式2】（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，是的斜边上的高，图中与相似的三角形为_________（填一个即可）． 【答案】或（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余，相似三角形的判定等知识点，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 首先，利用两角对应相等可证得，然后由，可得，进而可证得，于是得解． 解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：或（答案不唯一）． 【变式3】（25-26九年级上·湖南常德·期末）如图，在中，是边上的中线，且，，与相交于点E，与相交于点F．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定，等腰三角形的性质等知识点． （1）根据三角形中线得到，再由即可证明全等； （2）由全等三角形得到，再结合等边对等角得到，即可证明相似三角形． 解：（1）证明：∵是边上的中线， ∴ ∵， ∴， ∵ ∴； （2）证明：由（1）知， ∴ ， ∴， ∴． 【题型 2】利用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判断三角形相似 【例题2】（26-27九年级·上海·暑假作业）如图，已知：四边形的对角线与相交于点，，，，．求证：与是相似三角形． 【答案】证明：，，，， ，， ∴， 又， ． 【分析】对应边成比例且夹角相等的两个三角形是相似三角形，由此证明即可． 解：略 【变式1】（2026·河北沧州·模拟预测）如图，点D，E分别在的边，上，且，则下列说法一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由及，可证明，即可得到；另三个结论均无法证明． 解：，， ， ， B选项正确； 和不是同位角， 无法证明， A选项错误； ， ， C选项错误； ，且与不一定会相等， 与不一定会相等， D选项错误． 【变式2】（25-26九年级上·上海宝山·阶段检测）在和中，如果，，，，，那么______时，与相似． 【答案】或 【分析】本题考查相似三角形的判定．两条边的比相等并且对应的夹角相等的两个三角形相似，分和两种情况，根据对应边成比例列式计算即可． 解：当时，， 即， 解得， 当时，， 即， 解得， 故答案为：或． 【变式3】（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）如图，在中，点D，E分别在边、上，且，连接，求证：． 【答案】见分析 【分析】根据相似三角形的判定定理证明即可． 解：证明：∵， ∴， 又∵， ∴． 【题型 3】利用“三边成比例的两个三角形相似”判断三角形相似 【例题3】（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，在四边形中，，相交于点F，点E在上，且．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查相似三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据相似三角形的判定定理得到，由相似三角形的性质得到，根据角的和差即可得到结论； （2）由已知条件得到，结合，即可得到结论． 解：（1）证明：∵， ． ． ． ． （2）证明：， ． 由（1）可知：， ． 【变式1】（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，在大小为的正方形网格中，是相似三角形的是（   ） A．①和② B．②和③ C．②和④ D．①和④ 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，相似三角形的判定，掌握相似三角形的定理是解题关键．利用勾股定理分别求出每个三角形的三边长，再根据两三角形的三组对应边的比例相等，则这两个三角形相似判断即可． 解：①中三角形三边分别为，2，， ②中三角形三边分别为，3，， ③中三角形三边分别为，，， ④中三角形三边分别为2，，， ∵， ∴是相似三角形的是①和④． 故选D． 【变式2】（2025九年级·全国·专题练习）已知的三边之比为．在中，．当_______时，． 【答案】 【分析】本题考查了三角形相似的判定定理，结合已知条件，利用三条边对应成比例，解题过程注意对应边． 解：当时，．理由如下： ∵， ∴可设（）， ∴，，， ∴， ∴，符合题意 故答案为： ． 【变式3】（25-26九年级上·全国·课后作业）如下图所示的是由三个边长为1的正方形拼成的矩形．求证：． 【答案】证明见分析 【分析】本题主要考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理；解决问题的关键是熟练掌握勾股定理，证明三边成比例． 根据正方形的性质和勾股定理求出的长，得出 ，再根据相似三角形的判定方法即可证明． 解：证明：由题意可知，．由勾股定理，得． 【题型 4】黄金分割 【例题4】（24-25八年级下·全国·课后作业）已知点是线段的黄金分割点，若线段，求线段的长． 【答案】线段的长为或 【分析】本题主要考查了黄金分割点，二次根式的混合运算，解题的关键是掌握分类讨论的思想． 根据黄金分割点的定义，分两种情况进行求解即可． 解：由于点为线段的黄金分割点， 若，则； 若，则， 此时； 综上所述，线段的长为或． 【变式1】（25-26八年级下·重庆·期末）若点P是线段的黄金分割点，且，，则的长度为（     ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查黄金分割的定义，解题思路是根据黄金分割的定义得到与的关系，再代入的长度计算即可． 解：∵点是线段的黄金分割点，且 ∴ 又∵ ∴． 【变式2】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）中国纸扇历史悠久，其设计中多处暗合黄金分割，能使扇子展开时线条更加流畅、美观．如图，已知，点为线段的黄金分割点，则______（结果保留根号）． 【答案】/ 【分析】根据黄金分割点的定义，较长线段与全长的比值为，结合图形判断出为较长线段，代入的长度进行计算即可． 解：点为线段的黄金分割点，且由图可知 为较长线段 ． 【变式3】（25-26九年级上·安徽宣城·阶段检测）人们把黄金分割誉为“天赋”的比例法则．如图，在中，若点M是线段的黄金分割点（），，求证：． 【答案】见分析 【分析】本题考查黄金分割点，相似三角形的判定，根据黄金分割点的定义可得，由已知推出，再结合，即可证明结论． 解：证明：由题意可知，点是线段的黄金分割点，， ， 又，， ，即， ． 三.题型精析（巩固提升） 【题型 5】选择或补充条件证明两三角形相似 【例题5】（24-25九年级上·河南南阳·期中）如图，点D为边上一点，请用尺规作图法，在边上求作一点E，使与相似．（保留作图痕迹，画出一种即可，不写作法），并写出证明．    【答案】解：如图，点即为所求作的点． 由作图可知：， 又， ∴．    【分析】本题主要考查作图相似变换，解题的关键是以为边、点为顶点在内部作一个角等于，角的另一边与的交点即为所求作的点． 解：略 【变式1】（25-26八年级下·山东淄博·期末）如图，是的边上一点，连接，下列条件中，能使的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已知两个三角形有一组公共角，若要使两个三角形相似，只需夹这组公共角的两边对应成比例即可． 解：∵， ∴要证明需要满足， ∴，故C符合题意； A、B、D中的条件结合现有条件无法证明． 【变式2】（24-25八年级下·全国·课后作业）结论开放 如图所示，在中，，，D是边上的一点，连接，若使与相似，只需添加一个条件：____________． 【答案】或或或 【分析】此题考查了相似三角形的判定，解题的关键是正确理解如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似．根据为与的公共角，若两个三角形相似，则需添加一组对应角相等，或夹的两组对应边成比例． 解：∵为与的公共角， 当或时，； 当时，， 故答案为：或或或． 【变式3】（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，点D、E为外两点，给出下列信息：①；②；③． 请从上述三条信息中选择两条作为补充条件，余下的一条作为结论组成一个真命题，并说明理由．你选择的补充条件是______，结论是______．（填写序号） 【答案】见详解 【分析】分别将条件进行组合，判断是否为真命题，再根据三角形相似的判定方法证明即可． 解：（1）条件：①②，结论③； （2）条件：①③，结论②； （3）条件：②③，结论①； 以上三个命题均是真命题． 选择（1）进行证明， 证明：，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点拨】本题考查了三角形相似的判定及性质，掌握相似的判定方法是解题的关键． 【题型 6】相似三角形判定综合 【例题6】（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角和摆成如图所示的样子，为公共顶点，，请在图中找出相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明． 【答案】∽∽∽；证明见分析 【分析】本题考查了相似三角形的判定、等腰直角三角形的性质，关键是找到合适的判定方法； 根据有两组角对应相等的两个三角形相似可得∽∽∽． 解：图中相似三角形有∽∽∽ 证明∽的过程为： ∵和都为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴∽． 同理可得； 证明的过程为： ∵， ， ， ∴， ∴． 【变式1】（25-26九年级上·河北唐山·期末）如图，在中，点、、分别在边、、上（都不与顶点重合），．添加下列一个条件，仍无法判定与相似，则这个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，根据平行线的性质得出，，进而得出，然后结合选项一一判定即可得出答案． 解：∵， ∴，， ∴ ．仅知道，只能说明D是中点但无法建立与的角或边的比例关系，无法判定相似．故该选项符合题意； ．∵，∴，∵，，又，∴，故该选项不符合题意； ．∵，，∴，故该选项不符合题意； ．，又，∴，又，∴故该选项不符合题意； 故选A． 【变式2】（24-25九年级下·河北衡水·期中）如图，在矩形中，点E在上，，与相交于点O，与相交于点F． （1）若平分，则与是否垂直？________（填“是”或“否”）； （2）图中与相似的三角形有________（写出两个即可） 【答案】 是 ， 【分析】（1）根据矩形的性质和角平分线的定义即可得出结论； （2）根据判定两个三角形相似的判定定理，找到相应的角度相等即可得出． 解：（1）如图，    ∵矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：是； （2）∵， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， 又， ∴； 故答案为：，． 【点拨】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定，等边对等角．熟练掌握矩形的性质，是解题的关键． 【变式3】（25-26九年级上·内蒙古包头·阶段检测）如图，在中，点D，E分别在边，上，，相交于点O，且， 求证： （1）； （2）． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，注意：①相似三角形的对应边的比相等，对应角相等，②两三角形有两组对应边的比相等，且这两边的夹角也相等的两三角形相似． （1）根据两三角形有两组对应边的比相等，且这两边的夹角也相等的两三角形相似推出即可； （2）根据两三角形的相似得出，再，即可推出，得出比例式，即可得出答案． 解：（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 即． 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26九年级上·上海青浦·期末）已知是四边形的对角线，，下列补充的条件中，不能判定和相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定，关键掌握两角对应相等或两边对应成比例且夹角相等（）等判定方法．已知，结合各选项条件判断与是否相似． 解：∵， 选项A：∵，且，∴，故A能判定相似，不符合题意； 选项B：∵，且，∴，故B能判定相似，不符合题意； 选项C：∵，即，且，∴，故C能判定相似，不符合题意； 选项D：∵，即，但夹角与不一定相等，故D不能判定相似，符合题意 ． 故选：D． 2．（24-25九年级上·内蒙古包头·阶段检测）在和中，有下列条件： ①；②；③；④． 如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断的共有（    ） A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 根据相似三角形的判定定理（①有两角相等的两个三角形相似，②有两边的比相等，并且它们的夹角也相等的两个三角形相似，③有三组对应边的比相等的两三角形相似）得出即可 解：选①②： ∵，， ∴， ∴； 选①③，无法得到； 选①④，无法得到； 选②③，无法得到； 选②④： ∵，， ∴； 选③④： ∵，， ∴． ∴能判断的共有3组． 故选：B 3．（25-26九年级上·重庆·阶段检测）如图，在大小为的正方形网格中，是相似三角形的是（    ）． A．①和② B．②和③ C．①和③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定，勾股定理，掌握好相似三角形的判定定理是关键． 结合网格图与勾股定理，计算出每个三角形的三边长，利用三边对应成比例的判定定理判断相似三角形． 解：由网格图和勾股定理可得， ①中三角形的三边长为，，； ②中三角形的三边长为，，； ③中三角形的三边长为，，； ④中三角形的三边长为，，； ∵， ∴①和③中的三角形相似． 故选：C． 4．（25-26九年级上·安徽淮北·期末）如图，在中，为上的一点，下列条件中，不能满足的条件是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定定理，包括两角对应相等、两边对应成比例且夹角相等．关键是分析每个选项中的条件是否符合相似三角形的判定规则． 解：在和中，为公共角． 选项A：∵，且， ∴根据两角对应相等，两个三角形相似，； 选项B：∵，且， ∴根据两角对应相等，两个三角形相似，； 选项C：∵，即，且， ∴根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，； 选项D：∵，即，但该比例对应的角不是公共角，不满足相似三角形的判定条件， ∴不能判定． 故选：D． 5．（25-26九年级上·上海·阶段检测）下列命题正确的是（   ） A．菱形都相似 B．边长相等的六边形一定相似 C．有一个角相等的两个等腰梯形一定相似 D．两个等腰直角三角形相似 【答案】D 【分析】本题考查了命题，相似多边形的判定条件，即对应角相等且对应边成比例．选项A、B、C均无法保证所有对应角相等或对应边成比例，而选项D的等腰直角三角形所有对应角都相等，且对应边成比例，因此一定相似，即可作答． 解：A、菱形的对应角不一定相等，故该选项不符合题意； B、边长相等的六边形对应角不一定相等，故该选项不符合题意； C、有一个角相等的两个等腰梯形，它们的对应角一定都相等，但对应边不一定成比例，所以不一定相似，故该选项不符合题意； D、等腰直角三角形的角均为，对应角相等，且对应边成比例，故该选项符合题意； 故选：D 6．（25-26八年级下·山东泰安·期末）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点B为线段的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 解：由题意，， ∵的长度为， ∴. 7．（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，在与中，，添加下列一个条件不能使的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 解：A、由可得：，即，则根据“两个角对应相等的两个三角形相似”可判定，故不符合题意； B、由可得：，则根据“一个角对应相等且它们的夹边对应成比例的两个三角形相似”可判定，故不符合题意； C、由根据“两个角对应相等的两个三角形相似”可判定，故不符合题意； D、由，不能判定，故符合题意． 8．（2026·河北沧州·模拟预测）如图，点D，E分别在的边，上，且，则下列说法一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由及，可证明，即可得到；另三个结论均无法证明． 解：，， ， ， B选项正确； 和不是同位角， 无法证明， A选项错误； ， ， C选项错误； ，且与不一定会相等， 与不一定会相等， D选项错误． 9．（2026·河北张家口·二模）如图，在中，点、、分别在边、、上（都不与顶点重合），．添加下列一个条件，仍无法判定与相似，则这个条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定定理判断即可． 解：∵， ∴， ∴，故不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，不符合题意； ∵， ∴， ∵ ∴，不符合题意； 对于，缺少夹角，故不能证明相似，符合题意． 10．（25-26九年级下·吉林长春·开学考试）将四边形按如图所示的折纸方法展开后，下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据折叠性质得出，得出，证明，即可得出结论． 解：由折叠得：， ，故A、B都一定正确； ， ， ， ， ，故C一定正确； 无法得出，故D不一定正确． （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26九年级上·河南南阳·阶段检测）如图，在中，F是延长线上一点，连接交于点E，请写出图中的一对相似三角形：________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据平行四边形的性质，可得，从而可根据平行的性质，得到，从而可判断，，，据此作答即可． 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 12．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）在与中，，，，，，，可证，其判定依据为______． 【答案】两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键．①两角分别相等的两个三角形相似；②两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似；③三边成比例的两个三角形相似． 由题意可知， ，，即可根据“两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似”进行判定． 解：∵，，，， ∴， 即， ∵， ∴（两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似）． 故答案为：两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似． 13．（25-26九年级上·全国·课后作业）在Rt中，．若在Rt中，，则Rt与Rt___________（填“相似”或“不相似”）． 【答案】相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定、勾股定理，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键. 解：∵在Rt中，． ∴ ∴， ∴， ∵， ∴. 故答案为：相似 ． 14．（2026·江苏徐州·一模）如图，在中，是边上的一点，，，要使，则的长为________． 【答案】 【分析】先根据得出，再根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似证明即可． 解：∵，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴当时，成立， 又∵， ∴． 15．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，是边上的高，且，则的度数为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，属于基础题，熟悉相似三角形的判定证明及用好其性质是解题关键． 根据是边上的高和即可证明；再由相似三角形的性质证，再结合，即可得． 解：由题意可知，． ， ， ． ， ． 16．（2026·辽宁抚顺·一模）古希腊数学家毕达哥拉斯发现的黄金分割被誉为“最优美的比例”，C是线段的黄金分割点，，则的长为______． 【答案】或 【分析】点C是线段的黄金分割点，需分两种情况讨论：即为较长线段或为较短线段，根据黄金分割的定义计算即可得到结果． 解：由黄金分割的定义可知，黄金分割比为， ∵， ∴分两种情况讨论： ①当为较长线段时.； ②当为较短线段时，此时为较长线段：， 则， 综上可得：的长为或． 17．（25-26八年级下·广西钦州·期中）宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形．如图，现有一张黄金矩形纸片，长，折叠纸片，使点落在上的点处，折痕为，连接，然后将纸片展开，则的长为_____________． 【答案】/ 【分析】根据题意可知，结合可求得；由折叠的性质可得四边形是正方形，即，最后根据线段的和差即可解答． 解：∵黄金矩形纸片，， ∴，即，解得：． 根据折叠的性质，得四边形是正方形， ∴， ∴． 18．（2026·江苏扬州·一模）如图，中，，，点是中点，点在上且，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的长为__________． 【答案】 【分析】 连接并延长，过点E作交于点G，过点F作交延长线于点H，得到，平分，，求出，然后证明出，得到，代数求出，，，然后证明出，得到，，最后利用勾股定理求解即可． 解：如图所示，连接并延长，过点E作交于点G，过点F作交延长线于点H， ∵中，，，点是中点， ∴，平分，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（26-27九年级·上海·暑假作业）如图，已知：点、分别在的边上，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴，， ∴． 解：略 20．（本小题满分8分）（25-26九年级上·天津·阶段检测）如图，已知，．求证：． 【答案】见分析 【分析】本题考查相似三角形的判定，由，得到，结合，即可证明． 解：证明：∵， ∴， ∵， ∴． 21．（本小题满分10分）（24-25八年级下·全国·课后作业）如图所示，在四边形中，，．求证：平分． 【答案】见分析 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的判定得到，进而利用相似三角形的对应角相等可得答案． 解：证明：， ． ， ． 平分． 22．（本小题满分10分）（2026·云南玉溪·二模）如图，在矩形中，，相交于点，是的中点，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若矩形的面积为，求的面积． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）由矩形知，由知，故，又点是的中点，故点是的中点，从而是的中位线，又是的中点，故，故四边形是平行四边形，又，故四边形是菱形； （2）由矩形的面积为得，故，由得，故，从而，． 解：（1）证明：∵在矩形中，，相交于点， 是的中点，， ， ， ， ， 又∵点是的中点， ∴点是的中点， 是的中位线， ， 是的中点， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形； （2）解：∵矩形的面积为， ， ∵四边形是菱形， ，， ， 在和中， ， ， ， ． 23．（本小题满分10分）（2024九年级·甘肃·专题练习）如图1，一般地，点把线段分成两条线段和，如果，那么称线段被点白银分割，点叫做线段的白银分割点，与的比叫做白银比．在《中国古代木结构建筑比例与尺度研究》中记载了我国古建筑如：山西晋祠献殿、山西平遥文庙大成殿都具有这个比例． 小景用不带刻度的直尺和圆规通过如下作图步骤确定了一条线段的白银分割点： 已知：射线，，． ①以点为圆心，适当长为半径画弧分别交，于点，； ②分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； ③以点为圆心，长为半径画弧交射线于点． 则点是线段的白银分割点． 根据以上信息完成下列问题： （1）如图，请你根据小景的作图步骤，用不带刻度的直尺和圆规完成以上作图； （2）证明：点是线段的白银分割点． 【答案】（1）作图见分析；（2）证明见分析 【分析】（）按题中步骤画图即可； （）连接， 可证四边形是正方形，设，则， 得，即得，再计算的值即可求证； 本题考查白银分割点的定义，正方形的判定和性质，勾股定理，理解题意是解题的关键． 解：（1）解：画图如下： （2）证明：连接， 由作图知：， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴点是线段的白银分割点． 24．（本小题满分12分）（2025·贵州遵义·一模）中，，，点E是边上一点，点D是射线上一点，过点D作交直线于F． （1）如图①，若，点D是的中点，点E是的中点，连接，则______； （2）如图②，若点D是的中点，点F在边上，证明：； （3）若，试探究，的数量关系． 【答案】（1）；（2） 证明 ∶连接， ∵，，点D是的中点， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴； （3）， 理由如下：当点D在上时，如图，过D作交于G， ∴， ∴，， ∵，，点D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点D在AB延长线上时，如图，过D作交延长线于H， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，，的数量关系是． 【分析】（1）根据证明，得出，根据直角三角形斜边上中线的性质求出，然后根据勾股定理求解即可； （2）根据证明，然后根据全等三角形的性质即可得证； （3）分点D在上和点D在延长线上两种情况讨论，根据等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识求解即可． （1）解∶ 连接， ∵，，点D是的中点， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，点E是的中点，， ∴， ∴， 又， ∴； （2）略 （3）略 【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适的辅助线，合理分类讨论是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 3.2 探索三角形相似的条件（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理解读 1 【知识点一】相似三角形定义 1 【知识点二】三角形相似定理（1） 2 【知识点三】三角形相似定理（2） 2 【知识点四】三角形相似定理（3） 2 【知识点五】黄金分割 2 二.题型精析（夯实基础） 3 【题型 1】利用“两角分别相等的两个三角形相似”判断三角形相似 3 【题型 2】利用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判断三角形相似 4 【题型 3】利用“三边成比例的两个三角形相似”判断三角形相似 5 【题型 4】黄金分割 5 三.题型精析（巩固提升） 6 【题型 5】选择或补充条件证明两三角形相似 6 【题型 6】相似三角形判定综合 7 四.同步检测 8 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 8 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 12 一.知识梳理解读 【知识点一】相似三角形定义 三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫作相似三角形。 定理 图示 几何语言 三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫作相似三角形. , 【知识点二】三角形相似定理（1） 定理：两角分别相等的两个三角形相似 定理 图示 几何语言 两角分别相等的两个三角形相似 【知识点三】三角形相似定理（2） 定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 定理 图示 几何语言 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 【知识点四】三角形相似定理（3） 定理：三边成比例的两个三角形相似。 定理 图示 几何语言 三边成比例的两个三角形相似 【知识点五】黄金分割 一般地，点把线段分成两条线段和，如果，那么称线段点黄金分割，点叫作线段黄金分割点，与的比叫作黄金比。 内容 图示 几何语言 黄金分割 是线段黄金分割点 二.题型精析（夯实基础） 【题型 1】利用“两角分别相等的两个三角形相似”判断三角形相似 【例题1】（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）如图，在中，，D是上一点，E是上的一点，且． 求证：． 【变式1】（25-26九年级上·广西梧州·期末）如图，在四边形中，，对角线交于点，则图中相似的三角形是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，是的斜边上的高，图中与相似的三角形为_________（填一个即可）． 【变式3】（25-26九年级上·湖南常德·期末）如图，在中，是边上的中线，且，，与相交于点E，与相交于点F．求证： （1）； （2）． 【题型 2】利用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判断三角形相似 【例题2】（26-27九年级·上海·暑假作业）如图，已知：四边形的对角线与相交于点，，，，．求证：与是相似三角形． 【变式1】（2026·河北沧州·模拟预测）如图，点D，E分别在的边，上，且，则下列说法一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·上海宝山·阶段检测）在和中，如果，，，，，那么______时，与相似． 【变式3】（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）如图，在中，点D，E分别在边、上，且，连接，求证：． 【题型 3】利用“三边成比例的两个三角形相似”判断三角形相似 【例题3】（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，在四边形中，，相交于点F，点E在上，且．求证： （1）； （2）． 【变式1】（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，在大小为的正方形网格中，是相似三角形的是（   ） A．①和② B．②和③ C．②和④ D．①和④ 【变式2】（2025九年级·全国·专题练习）已知的三边之比为．在中，．当_______时，． 【变式3】（25-26九年级上·全国·课后作业）如下图所示的是由三个边长为1的正方形拼成的矩形．求证：． 【题型 4】黄金分割 【例题4】（24-25八年级下·全国·课后作业）已知点是线段的黄金分割点，若线段，求线段的长． 【变式1】（25-26八年级下·重庆·期末）若点P是线段的黄金分割点，且，，则的长度为（     ） A． B． C． D．3 【变式2】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）中国纸扇历史悠久，其设计中多处暗合黄金分割，能使扇子展开时线条更加流畅、美观．如图，已知，点为线段的黄金分割点，则______（结果保留根号）． 【变式3】（25-26九年级上·安徽宣城·阶段检测）人们把黄金分割誉为“天赋”的比例法则．如图，在中，若点M是线段的黄金分割点（），，求证：． 三.题型精析（巩固提升） 【题型 5】选择或补充条件证明两三角形相似 【例题5】（24-25九年级上·河南南阳·期中）如图，点D为边上一点，请用尺规作图法，在边上求作一点E，使与相似．（保留作图痕迹，画出一种即可，不写作法），并写出证明．    【变式1】（25-26八年级下·山东淄博·期末）如图，是的边上一点，连接，下列条件中，能使的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·全国·课后作业）结论开放 如图所示，在中，，，D是边上的一点，连接，若使与相似，只需添加一个条件：____________． 【变式3】（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，点D、E为外两点，给出下列信息：①；②；③． 请从上述三条信息中选择两条作为补充条件，余下的一条作为结论组成一个真命题，并说明理由．你选择的补充条件是______，结论是______．（填写序号） 【题型 6】相似三角形判定综合 【例题6】（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角和摆成如图所示的样子，为公共顶点，，请在图中找出相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明． 【变式1】（25-26九年级上·河北唐山·期末）如图，在中，点、、分别在边、、上（都不与顶点重合），．添加下列一个条件，仍无法判定与相似，则这个条件是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级下·河北衡水·期中）如图，在矩形中，点E在上，，与相交于点O，与相交于点F． （1）若平分，则与是否垂直？________（填“是”或“否”）； （2）图中与相似的三角形有________（写出两个即可） 【变式3】（25-26九年级上·内蒙古包头·阶段检测）如图，在中，点D，E分别在边，上，，相交于点O，且， 求证： （1）； （2）． 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26九年级上·上海青浦·期末）已知是四边形的对角线，，下列补充的条件中，不能判定和相似的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·内蒙古包头·阶段检测）在和中，有下列条件： ①；②；③；④． 如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断的共有（    ） A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 3．（25-26九年级上·重庆·阶段检测）如图，在大小为的正方形网格中，是相似三角形的是（    ）． A．①和② B．②和③ C．①和③ D．①②③ 4．（25-26九年级上·安徽淮北·期末）如图，在中，为上的一点，下列条件中，不能满足的条件是（  ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·上海·阶段检测）下列命题正确的是（   ） A．菱形都相似 B．边长相等的六边形一定相似 C．有一个角相等的两个等腰梯形一定相似 D．两个等腰直角三角形相似 6．（25-26八年级下·山东泰安·期末）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点B为线段的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度是（     ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，在与中，，添加下列一个条件不能使的是（     ） A． B． C． D． 8．（2026·河北沧州·模拟预测）如图，点D，E分别在的边，上，且，则下列说法一定正确的是（   ） A． B． C． D． 9．（2026·河北张家口·二模）如图，在中，点、、分别在边、、上（都不与顶点重合），．添加下列一个条件，仍无法判定与相似，则这个条件是（     ） A． B． C． D． 10．（25-26九年级下·吉林长春·开学考试）将四边形按如图所示的折纸方法展开后，下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26九年级上·河南南阳·阶段检测）如图，在中，F是延长线上一点，连接交于点E，请写出图中的一对相似三角形：________． 12．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）在与中，，，，，，，可证，其判定依据为______． 13．（25-26九年级上·全国·课后作业）在Rt中，．若在Rt中，，则Rt与Rt___________（填“相似”或“不相似”）． 14．（2026·江苏徐州·一模）如图，在中，是边上的一点，，，要使，则的长为________． 15．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，是边上的高，且，则的度数为________． 16．（2026·辽宁抚顺·一模）古希腊数学家毕达哥拉斯发现的黄金分割被誉为“最优美的比例”，C是线段的黄金分割点，，则的长为______． 17．（25-26八年级下·广西钦州·期中）宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形．如图，现有一张黄金矩形纸片，长，折叠纸片，使点落在上的点处，折痕为，连接，然后将纸片展开，则的长为_____________． 18．（2026·江苏扬州·一模）如图，中，，，点是中点，点在上且，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的长为__________． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（26-27九年级·上海·暑假作业）如图，已知：点、分别在的边上，．求证：． 20．（本小题满分8分）（25-26九年级上·天津·阶段检测）如图，已知，．求证：． 21．（本小题满分10分）（24-25八年级下·全国·课后作业）如图所示，在四边形中，，．求证：平分． 22．（本小题满分10分）（2026·云南玉溪·二模）如图，在矩形中，，相交于点，是的中点，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若矩形的面积为，求的面积． 23．（本小题满分10分）（2024九年级·甘肃·专题练习）如图1，一般地，点把线段分成两条线段和，如果，那么称线段被点白银分割，点叫做线段的白银分割点，与的比叫做白银比．在《中国古代木结构建筑比例与尺度研究》中记载了我国古建筑如：山西晋祠献殿、山西平遥文庙大成殿都具有这个比例． 小景用不带刻度的直尺和圆规通过如下作图步骤确定了一条线段的白银分割点： 已知：射线，，． ①以点为圆心，适当长为半径画弧分别交，于点，； ②分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； ③以点为圆心，长为半径画弧交射线于点． 则点是线段的白银分割点． 根据以上信息完成下列问题： （1）如图，请你根据小景的作图步骤，用不带刻度的直尺和圆规完成以上作图； （2）证明：点是线段的白银分割点． 24．（本小题满分12分）（2025·贵州遵义·一模）中，，，点E是边上一点，点D是射线上一点，过点D作交直线于F． （1）如图①，若，点D是的中点，点E是的中点，连接，则______； （2）如图②，若点D是的中点，点F在边上，证明：； （3）若，试探究，的数量关系． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $