专题 1.1 认识特殊的平行四边形（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）基础知识专项突破讲与练2026-2027学年北师大版九年级数学上册

本初中数学讲义聚焦特殊平行四边形的核心知识点，以平行四边形性质为基础延伸，系统梳理菱形（邻边相等）、矩形（一个直角）、正方形（邻边相等且直角）的定义及对称性（均为轴对称图形，菱形矩形2条对称轴，正方形4条），构建知识学习支架。 资料亮点在于分层题型设计，从基础到巩固提升，结合实际情境例题（如木制衣帽架角度计算、矩形折纸问题），培养学生几何直观与空间观念（数学眼光），通过推理与运算（数学思维）提升解题能力，同步检测含选择、填空、解答题，助力课后查漏补缺，课中辅助教学效果提升。

专题 1.1 认识特殊的平行四边形（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】菱形、矩形、正方形定义 1 【知识点二】特殊平行四边形的对称性 2 【题型 1】菱形、矩形、正方形的对称性 2 【题型 2】菱形、矩形、正方形综合求值（基础） 3 二.题型精析（巩固提升） 5 【题型 3】利用菱形定义与对称性质求值 5 【题型 4】利用矩形定义与对称性质求值 8 【题型 5】利用正方形定义与对称性质求值 13 三.同步检测 16 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 16 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 21 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 25 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】菱形、矩形、正方形定义 有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形；有一个角是直角的平行四边形叫作矩形；有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形。 类型 图形 几何语言 菱形 在中 是菱形 矩形 在中 是矩形 正方形 在中 且 是正方形 【要点提示】从定义可知，矩形、菱形、正方形具有平行四边形的所有性质。 【知识点二】特殊平行四边形的对称性 菱形、矩形、正方形都是轴对称图形；菱形、矩形都有两条对称轴，正方形有四条对称轴。 【要点提示】菱形、矩形、正方形都是轴对称图形。 【题型 1】菱形、矩形、正方形的对称性 【例题1】（25-26八年级下·江苏南京·期中）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 解：A、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形； B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形； C、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形； D、该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）矩形有________条对称轴，通过对边________的直线就是它的对称轴． 【答案】 /两 中点 【分析】根据对称轴定义结合矩形的特征，确定对称轴的数量与位置. 解：∵若一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，则该直线为图形的对称轴， ∴对于矩形，沿经过对边中点的直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合， ∴矩形共有条对称轴，过对边中点的直线即为矩形的对称轴. 【变式2】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）在平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形这五个几何图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的一共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】先明确中心对称图形和轴对称图形的定义，逐一判断题目给出的五个图形，统计符合条件的图形个数即可． 解：平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合要求； 矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合要求； 菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合要求； 正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合要求； 等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合要求； 综上，符合要求的图形共个． 【变式3】（2026·上海浦东新·模拟预测）现有五张纸片，分别写着“正三角形”、“菱形”、“平行四边形”、“正方形”、“等腰梯形”，从中任意抽取一张既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率是_____． 【答案】 【分析】先根据中心对称图形和轴对称图形的定义，确定符合条件的图形个数，再利用概率公式计算所求概率． 解：∵总共有种等可能的抽取结果， 逐一判断图形性质：正三角形是轴对称图形，不是中心对称图形； 平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形； 等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形； 只有菱形、正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形， ∴符合条件的结果共种， 根据概率公式可得，从中任意抽取一张既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率． 【题型 2】菱形、矩形、正方形综合求值（基础） 【例题2】（2026·福建厦门·二模）已知如图，在矩形中，E为边的中点．求证：． 【答案】证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵E为边的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】由矩形的性质可得，，再证明，即可得证． 解：略 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，菱形的周长是16，，则对角线的长是（   ） A．16 B．10 C．8 D．4 【答案】D 解：由菱形各边都相等，当菱形的周长是16时， 菱形边长为4， ∵，， ∴为等边三角形， 则． 【变式2】（25-26八年级下·四川广元·期中）若正方形的周长为40，则其对角线长为_____． 【答案】 【分析】先根据正方形周长公式求出正方形的边长，再利用勾股定理计算对角线的长度即可． 解：∵正方形的周长为， ∴正方形的边长为， ∴正方形的对角线长为 ． 【变式3】（2026·福建宁德·二模）如图，在正方形中，点，分别在边，上，．求证：． 【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴，， 在和中， ∴， ∴． 【分析】根据正方形的性质得，，结合证明便可得结论． 解：略 二.题型精析（巩固提升） 【题型 3】利用菱形定义与对称性质求值 【例题3】（25-26八年级下·江苏徐州·阶段检测）如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成的，根据实际需要可以调节A、E间的距离．若A、E间的距离调节到，菱形的边长，求的度数． 【答案】 【分析】连接，可得是等边三角形，由菱形的性质可得平分，继而可得． 解：如图所示，连接， 由题意得， ∵菱形的边长， ∴，平分， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【变式1】（25-26八年级下·四川绵阳·阶段检测）如图，菱形盒子底部有一面平面镜，从点处射入一道平行于的光线，入射光线经过镜面反射后恰好经过点（法线与平面镜垂直，反射角等于入射角），若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据菱形的性质得，，再根据平行线的性质得，然后根据入射角等于反射角可得，最后根据三角形内角和定理得出答案． 解：∵四边形是菱形， ∴，． ∵，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴． 【变式2】（2026·江苏泰州·二模）如图，设计师采用正五边形与菱形搭配设计地面镶嵌图案，菱形地砖的锐角为________． 【答案】72 【分析】根据正五边形的一个内角是，进而利用平面图形镶嵌的内角和是解答即可． 解：∵正五边形的一个内角是，平面图形镶嵌的内角和是， ∴菱形地砖的锐角． 【变式3】（25-26八年级下·安徽滁州·期末）如图，在菱形中，点分别在边上，且． （1）求证：； （2）设与交于点，则___________°． 【答案】（1）证明：四边形为菱形， ， ∵， ，即． 在和中，， ； （2）26 【分析】（1）利用即可证明； （2）利用全等三角形的性质求得，利用菱形的性质求得，再根据三角形的内角和定理和三角形的外角性质求解即可． 解：（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵菱形， ∴， ， ． 【题型 4】利用矩形定义与对称性质求值 【例题4】（25-26八年级下·江苏常州·期中）如图，已知矩形，是对角线． （1）将沿翻折得到，与交于点F．用直尺和圆规在图中作出（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）①求证：； ②若，求的度数． 【答案】（1）作图见分析；（2）①证明见分析；②； 【分析】（1）由翻折可得，，，则根据作一个角等于已知角的方法作，再以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点E，连接即可． （2）①由翻折可得，，，再结合矩形的性质可得，，根据全等三角形的判定可得结论． ②根据全等三角形的性质可得，进而可得，则． 解：（1）解：如图，即为所求．    （2）①证明：由翻折可得，，， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴，， ∵， ∴． ②解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点拨】本题考查翻折的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质，作已知角的角平分线，熟练掌握翻折的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 【变式1】（25-26八年级下·浙江嘉兴·期末）把一张矩形纸片按如图方式折叠，使顶点和顶点重合，折痕为．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形的性质与折叠性质，首先由求出，再由折叠性质得． 解：由矩形性质知， ， 由折叠性质知． 【变式2】（25-26八年级下·湖北随州·期末）如图，在矩形中，连接，以为圆心，为半径画弧交射线于点，连接，若，，则的长为________． 【答案】 【分析】由题意可得，，，由勾股定理可得，从而可得，求出，最后再由勾股定理计算即可得出结果． 解：由题意可得，，， 由勾股定理可得， ∵以为圆心，为半径画弧交射线于点， ∴， ∴， ∴． 【变式3】（25-26八年级下·河南南阳·阶段检测）如图，在矩形中，与交于点O，点E为上一点． （1）与的周长之差为________； （2）连接，若平分，则的面积为________； （3）连接，当时， ①若，则的度数为________； ②求的长． 【答案】（1）2；（2）6；（3）①10°；② 【分析】（1）由矩形的性质得，，进而即可求解； （2）先推出是等腰直角三角形，从而得，进而即可求解； （3）①先求出，再利用三角形外角的性质求解即可；②连接，设的长为x．利用勾股定理列出方程求解即可. 解：（1）解：∵在矩形中，与交于点O， ∴， ∴与的周长之差=， 故答案为2； （2）解：若平分，则， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴的面积=， 故答案为：6；    （3）当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：10°    解：连接，设的长为x．    ∵矩形中，，又， ∴． 又∵， ∴在中，根据勾股定理得 解得 ∴的长为． 【点拨】本题考查了矩形的性质、勾股定理，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，掌握勾股定理和矩形的性质是关键． 【题型 5】利用正方形定义与对称性质求值 【例题5】（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）如图①②均是的正方形网格，点，均在格点（小正方形的顶点）上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中画图，所画图形的顶点均在格点上． （1）在图①中，画一个以为对角线的矩形； （2）在图②中，画一个以为边的正方形． 【答案】（1）在图中，画一个以为对角线的矩形，如图所示；   （2）在图中，画一个以为边的正方形，如图所示 【分析】（1）选取合适的网格点直接作图即可； （2）根据正方形四条边相等且相邻边垂直的特点选取合适的网格点直接作图即可． 解：（1）作图见答案 （2）作图见答案 【变式1】（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的四边形学具，他先调整学具成为图1所示的图形，并测得，对角线，接着调整学具成为图2所示的图形，测得，则图2中对角线的长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形和正方形的性质，连接．在图1中，证是等边三角形，得出．在图2中，由勾股定理求出即可． 解：如图1，图2中，连接． 图1中，四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， 在图2中，四边形是正方形， ，， 是等腰直角三角形， ； 故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）如图，在正方形中，，点、分别为、边上的动点，保持不变，则的最小值为______． 【答案】 【分析】延长至点使，连接，，可证得，于是有；又与关于轴对称，所在的直线是线段的垂直平分线，可知，，由勾股定理即可求解的最小值． 解：延长至点使，连接，，则， ∵四边形是正方形， ∴，，， 又∵ ∴， ∴， ∵，， ∴与关于轴对称，所在的直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴， 当，，三点共线时，有最小值，最小值为． 【变式3】（25-26九年级上·江西新余·期末）如图，点是正方形的边上一点，将顺时针旋转至的位置． （1）旋转中心是 点，旋转角度是 度； （2）若正方形边长为6，，求的长． 【答案】（1）A，90；（2） 【分析】本题考查了旋转的相关定义，正方形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握正方形四边相等，四个角都是直角；旋转前后对应边相等，对应角相等；以及勾股定理． （1）根据正方形的性质和旋转的性质，即可解答； （2）根据旋转的性质得出进而得出，，最后根据勾股定理，即可解答． 解：（1）解：∵顺时针旋转至的位置，四边形为正方形， ∴旋转中心是点A，旋转角度为， 故答案为：A，90； （2）解：∵顾时针旋转至的位置，四边形为正方形， ∴， ∴，即点F、B、C三点共线， ∵正方形边长为6， ∴， ∴，， 根据勾股定理可得：． 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）在菱形中，，对角线，则该菱形的周长为（     ） A．6 B．12 C．15 D．20 【答案】B 【分析】利用菱形四边相等的性质，结合已知角度判定等边三角形，求出边长后即可计算菱形周长． 解：如图， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴菱形的周长为． 2．（2026·河南平顶山·二模）按如图方式，将矩形木板截去一个直角三角形木板，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】延长交于点F，利用平行线的性质得，然后利用三角形外角的性质求解即可． 解：如图， 延长交于点F， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴． 3．（25-26八年级下·河北雄安·期中）如图，在菱形中，过点作垂直于，交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质，求出的度数，再求出的度数． 解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵是菱形的对角线， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．（2026·海南省直辖县级单位·一模）如图，在矩形中，，，，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由长方形的条件可知，，，再根据A，B，C三点的坐标特征，找到点D的坐标即可． 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵，，， ∴轴，轴， ∴轴，轴， ∴点D的横坐标等于点A的横坐标，点D的纵坐标等于点C的纵坐标， ∴． 5．（25-26七年级下·云南昭通·期中）如图，在正方形中，点在对角线的延长线上，且满足，连接，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 解：∵是正方形的对角线， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．（25-26八年级下·湖南邵阳·期中）如图，在矩形中，点E在边上，，连接，若，，则的长为（   ） A． B．10 C． D． 【答案】A 【分析】先在直角三角形中利用勾股定理求出的长度，从而得到的长度，进而得出和的长度，最后在直角三角形中用勾股定理求出的长度．本题主要考查了矩形的性质以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 解：∵ 四边形是矩形 ∴ ，，， ∵ ，， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 7．（25-26八年级下·广西河池·期中）如图，在矩形中，若，则间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质可知间的距离即为线段的长，据此即可求解． 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴间的距离即为线段的长， ∵， ∴间的距离为． 8．（2026·湖北荆州·模拟预测）如图，一束光线射入一块透明的矩形玻璃砖发生折射现象，光的传播路径会发生改变，光线路径为（不在同一条直线上），射入光线与射出光线平行，即．若射入光线与玻璃砖边的夹角度数为，那么射出光线与玻璃砖边夹角度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 解：延长交于点N， ∵， ∴， ∵ 四边形是矩形， ∴ ， ∴ （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）如图，在中，，，将线段水平向左平移n个单位得到线段，若四边形为菱形，则n的值为______． 【答案】2 解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴． 10．（25-26八年级下·上海·期中）如图，正方形的边长为1，点E在对角线上且，则的长为______． 【答案】 【分析】先由正方形的性质结合勾股定理求解，再由求解即可． 解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴ ∵ ∴． 11．（2026·广东肇庆·一模）如图，在矩形中，，，为中点，连接，则的长为_____． 【答案】13 【分析】根据矩形的性质和中点的定义得到，，，，根据勾股定理即可求出答案． 解：∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∵E为中点， ∴， ∴． 12．（25-26八年级下·上海普陀·期中）如果正方形的一条对角线长为，那么它的面积是______． 【答案】3 【分析】本题可利用正方形对角线相等的性质，根据正方形面积等于对角线乘积的一半直接求解． 解：∵ 正方形的对角线相等，已知一条对角线长为， ∴ 另一条对角线长也为， 正方形面积 ． 13．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）如图，将矩形纸片沿对角线折叠，使得点B落在点E处，交于点F，若平分，，则的长为________． 【答案】 【分析】根据矩形的性质和轴对称的性质，求出，然后根据等腰三角形的判定，求出，再根据直角三角形的性质求得，所以，，即可得到答案． 解：矩形纸片沿对角线折叠， ，，， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ． 14．（25-26八年级下·福建厦门·期中）如图，是一个正方形花园，是一条小路，现准备继续修建两条观光小路和，若小路长为15米，则小路长为_______米． 【答案】15 解：连接， 四边形为正方形， ∴垂直平分， ∴， ∵米， ∴米． 15．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）两个正方形按如图所示位置摆放，若，则_______． 【答案】 【分析】根据正方形的性质和角之间的关系，计算即可求解． 解：如图， 两个正方形， ，， ， ， ， ． 16．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，若将四根木条钉成的平行四边形木框变形为矩形的形状，则矩形的内角的大小为___________． 【答案】 解：矩形的四个内角都是直角， 则的大小为． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知正方形．求的大小． 【答案】， ， 【分析】正方形的四个内角都是直角，对角线互相垂直，且对角线平分正方形的内角． 解：∵正方形的四个内角都是直角，对角线互相垂直，且对角线平分正方形的内角， ∴，，． 18．（2026·陕西西安·三模）如图，四边形是矩形，点、分别是左侧、右侧的点，连接、、、，延长、交于点，，，求证：． 【答案】证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】通过论证来证明结论即可. 解：略 19．（24-25九年级上·内蒙古包头·期末）如图，四边形是正方形，G是上任意一点（点G与B、C不重合），于E，于F． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】（1）由题意得，，，由互余得，故； （2）由（1）得，，故． 解：（1）证明：∵四边形是正方形， ，， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ； （2）证明：， ，， ， ． 20．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）如图，嘉淇同学用一张矩形纸片进行折纸，已知该纸片宽为，为．当嘉淇折叠时，顶点D落在边上的点F处（折痕为）． （1） ， ； （2）求的长． 【答案】（1）6，4；（2） 【分析】（1）由矩形的性质及勾股定理可得出答案； （2）设，由勾股定理可得，则可得出答案． 解：（1）解：∵四边形是长方形，，，是 折叠得到， ∴．， ∴在中，， ∴． （2）解：设， ∴，． 在中，， ∴， 解得：， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.1 认识特殊的平行四边形（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】菱形、矩形、正方形定义 1 【知识点二】特殊平行四边形的对称性 2 【题型 1】菱形、矩形、正方形的对称性 2 【题型 2】菱形、矩形、正方形综合求值（基础） 2 二.题型精析（巩固提升） 3 【题型 3】利用菱形定义与对称性质求值 3 【题型 4】利用矩形定义与对称性质求值 4 【题型 5】利用正方形定义与对称性质求值 5 三.同步检测 7 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 7 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 8 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 10 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】菱形、矩形、正方形定义 有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形；有一个角是直角的平行四边形叫作矩形；有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形。 类型 图形 几何语言 菱形 在中 是菱形 矩形 在中 是矩形 正方形 在中 且 是正方形 【要点提示】从定义可知，矩形、菱形、正方形具有平行四边形的所有性质。 【知识点二】特殊平行四边形的对称性 菱形、矩形、正方形都是轴对称图形；菱形、矩形都有两条对称轴，正方形有四条对称轴。 【要点提示】菱形、矩形、正方形都是轴对称图形。 【题型 1】菱形、矩形、正方形的对称性 【例题1】（25-26八年级下·江苏南京·期中）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）矩形有________条对称轴，通过对边________的直线就是它的对称轴． 【变式2】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）在平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形这五个几何图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的一共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式3】（2026·上海浦东新·模拟预测）现有五张纸片，分别写着“正三角形”、“菱形”、“平行四边形”、“正方形”、“等腰梯形”，从中任意抽取一张既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率是_____． 【题型 2】菱形、矩形、正方形综合求值（基础） 【例题2】（2026·福建厦门·二模）已知如图，在矩形中，E为边的中点．求证：． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，菱形的周长是16，，则对角线的长是（   ） A．16 B．10 C．8 D．4 【变式2】（25-26八年级下·四川广元·期中）若正方形的周长为40，则其对角线长为_____． 【变式3】（2026·福建宁德·二模）如图，在正方形中，点，分别在边，上，．求证：． 二.题型精析（巩固提升） 【题型 3】利用菱形定义与对称性质求值 【例题3】（25-26八年级下·江苏徐州·阶段检测）如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成的，根据实际需要可以调节A、E间的距离．若A、E间的距离调节到，菱形的边长，求的度数． 【变式1】（25-26八年级下·四川绵阳·阶段检测）如图，菱形盒子底部有一面平面镜，从点处射入一道平行于的光线，入射光线经过镜面反射后恰好经过点（法线与平面镜垂直，反射角等于入射角），若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·江苏泰州·二模）如图，设计师采用正五边形与菱形搭配设计地面镶嵌图案，菱形地砖的锐角为________． 【变式3】（25-26八年级下·安徽滁州·期末）如图，在菱形中，点分别在边上，且． （1）求证：； （2）设与交于点，则___________°． 【题型 4】利用矩形定义与对称性质求值 【例题4】（25-26八年级下·江苏常州·期中）如图，已知矩形，是对角线． （1）将沿翻折得到，与交于点F．用直尺和圆规在图中作出（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）①求证：； ②若，求的度数． 【变式1】（25-26八年级下·浙江嘉兴·期末）把一张矩形纸片按如图方式折叠，使顶点和顶点重合，折痕为．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·湖北随州·期末）如图，在矩形中，连接，以为圆心，为半径画弧交射线于点，连接，若，，则的长为________． 【变式3】（25-26八年级下·河南南阳·阶段检测）如图，在矩形中，与交于点O，点E为上一点． （1）与的周长之差为________； （2）连接，若平分，则的面积为________； （3）连接，当时， ①若，则的度数为________； ②求的长． 【题型 5】利用正方形定义与对称性质求值 【例题5】（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）如图①②均是的正方形网格，点，均在格点（小正方形的顶点）上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中画图，所画图形的顶点均在格点上． （1）在图①中，画一个以为对角线的矩形； （2）在图②中，画一个以为边的正方形． 【变式1】（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的四边形学具，他先调整学具成为图1所示的图形，并测得，对角线，接着调整学具成为图2所示的图形，测得，则图2中对角线的长为（   ）． A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）如图，在正方形中，，点、分别为、边上的动点，保持不变，则的最小值为______． 【变式3】（25-26九年级上·江西新余·期末）如图，点是正方形的边上一点，将顺时针旋转至的位置． （1）旋转中心是 点，旋转角度是 度； （2）若正方形边长为6，，求的长． 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）在菱形中，，对角线，则该菱形的周长为（     ） A．6 B．12 C．15 D．20 2．（2026·河南平顶山·二模）按如图方式，将矩形木板截去一个直角三角形木板，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·河北雄安·期中）如图，在菱形中，过点作垂直于，交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·海南省直辖县级单位·一模）如图，在矩形中，，，，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·云南昭通·期中）如图，在正方形中，点在对角线的延长线上，且满足，连接，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·湖南邵阳·期中）如图，在矩形中，点E在边上，，连接，若，，则的长为（   ） A． B．10 C． D． 7．（25-26八年级下·广西河池·期中）如图，在矩形中，若，则间的距离为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·湖北荆州·模拟预测）如图，一束光线射入一块透明的矩形玻璃砖发生折射现象，光的传播路径会发生改变，光线路径为（不在同一条直线上），射入光线与射出光线平行，即．若射入光线与玻璃砖边的夹角度数为，那么射出光线与玻璃砖边夹角度数为（    ） A． B． C． D． （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）如图，在中，，，将线段水平向左平移n个单位得到线段，若四边形为菱形，则n的值为______． 10．（25-26八年级下·上海·期中）如图，正方形的边长为1，点E在对角线上且，则的长为______． 11．（2026·广东肇庆·一模）如图，在矩形中，，，为中点，连接，则的长为_____． 12．（25-26八年级下·上海普陀·期中）如果正方形的一条对角线长为，那么它的面积是______． 13．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）如图，将矩形纸片沿对角线折叠，使得点B落在点E处，交于点F，若平分，，则的长为________． 14．（25-26八年级下·福建厦门·期中）如图，是一个正方形花园，是一条小路，现准备继续修建两条观光小路和，若小路长为15米，则小路长为_______米． 15．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）两个正方形按如图所示位置摆放，若，则_______． 16．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，若将四根木条钉成的平行四边形木框变形为矩形的形状，则矩形的内角的大小为___________． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知正方形．求的大小． 18．（2026·陕西西安·三模）如图，四边形是矩形，点、分别是左侧、右侧的点，连接、、、，延长、交于点，，，求证：． 19．（24-25九年级上·内蒙古包头·期末）如图，四边形是正方形，G是上任意一点（点G与B、C不重合），于E，于F． （1）求证：； （2）求证：． 20．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）如图，嘉淇同学用一张矩形纸片进行折纸，已知该纸片宽为，为．当嘉淇折叠时，顶点D落在边上的点F处（折痕为）． （1） ， ； （2）求的长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $